D   E   R   D   E

B O V C K   D E S

W  E  E  R  E  L  T-

S C H R I F T S *)

V A N D E

C L O O T S C H E

D R I E H O V C K E N.

---

*)  Err.: Des Driehouckhandels.

---

C O R T B E G R Y P

{Argumentum.}

Y  deelen dit bouck in drie onderscheytselen: T'eerste van 22 vertooghen {Theorematibus.}, dienende als ghemeene gront der voorstellen {Propositionum.} daer na volghende. Het tweede van 9 vertooghen, uyt welcke de form der wercking vande werckstucken {Problematum.} des derden onderscheyts ghetrocken wort. Het derde van 13 werckstucken vande vinding der begheerde houcken en sijden van ghegheven clootsche driehoucken.

  Hier achter sal noch volghen een  B Y V O V G H  der clootsche veelhoucken.

  En daer na een  A N H A N G  des driehouckhandels.

B E P A L I N G H E N.

{Definitiones.}

1   B E P A L I N G.

  C L O O T S C H E  driehouck is, die int clootvlack begrepen wort tusschen drie grootste rondts boghen, elck kleender dan een halfront.

  H I E R  uyt valt te bedencken, dat alwaermen int volghende somwijlen maer en spreeckt van rondt of booch, dat daer altijt by verstaen moet worden grootste rondt, of grootste ronts booch. De reden waerom datmen die boghen hier kleender dan een halfrondt neemt sal inden  A N H A N G  verclaert worden.

2   B E P A L I N G.

  D E  grootheyt des cloothoucx is, die anghewesen wort met eens grootste rondts booch kleender dan een halfrondt, beschreven tusschen de twee houckboghen, opt punt des houcx als aspunt. {Polum.}

  L A E T  AB, AC twee grootsterondts boghen sijn, makende den clootschen houck BAC: Voorts sy DE een ander grootste rondts booch, beschreven tusschen de twee houckboghen AB, AC, opt punt des houcx A als aspunt: T'welck soo sijnde, ick segh dat de grootheyt des houcx BAC, anghewesen wort mette booch DE. Als by voorbeelt, sijnde de selve booch DE van 80 tr. men seght de grootheyt des houcx A van 80 tr. te wesen. Laet tot noch breeder verclaring tusschen DA en EA, ghestelt worden de punten F, G, ende ghetrocken sijn de grootsterontsboghen FG, BC: Nu alsoo den houck BAC, DAE, en FAG al een selve houck is, soo wort daer by verstaen dat de booch DE, soo wel anwijst de grootheyt des houcx BAC vanden driehouck BAC, ende des driehoucx FAG vanden driehouck FAG, als des houcx DAE vanden driehouck DAE.

  Ende om alles noch opentlicker uyt te legghen machmender dit toe segghen: Te weten dat de grootheyt des cloothoucx A, oock can bedocht of anghewesen worden metten houck ghemaeckt vande twee platten der grootste ronden daer AB, AC boghen af sijn, want die twee platten op malcander rechthouckich wesende, soo is den houck A oock recht, ende een scherphouck begrijpende, soo is den houck A oock scherp, maer een plomphouck vervanghende, soo is den houck A oock plomp, ende van soo veel trappen de opening dier twee platten is, van sulcken grootheyt is oock den houck A. Ende om die trappen der openheyt vande vlacken bequamelick te nemen deur openheyt van linien, soo bedenckt twee rechte linien streckende vande punten D, E tot des cloots middelpunt {Centrum.}, want dien platten houcx grootheyt (welcke de booch DE verclaert) is oock de grootheyt des clootschen houcx A: Welcke manier in sommighe voorbeelden oock oirboirlick alsoo sal meughen bedocht worden.

  Angaende bepalinghen vande ancleving {Adiunctorum.} des cloots, als form int gheheel, vlack, as, aspunt {Superficies. axis, Polus.}: Wy nemense door de beghinselen der meetconst {Elementa Geometriæ.} voor bekent.

M E R C K T.

  Wanttet inde leering der wisconsten {Mathematicarum artium.} groot voordeel gheeft, dat de formen diemen tot verclaring des voornemens ghebruyckt, goede ghelijckheyt mettet beteeckende hebben, ende dat clootsche driehoucken met ander boghen daer toe behoorende, dickwils niet wel nabootselick en sijn int plat op papier, waer deur de leering duysterder valt: Soo neemtmen daer toe een hemelcloot, of eertcloot met haer ghetrapte ronden, oft een cloot van hout of ander stijve stof, daermen boghen van bekende langde op teyckent:
Oft alst maer en waer om vertooghen {Theoremata.} te verstaen, die gheen uytghedruckte menichte van trappen {Graduum.} en hebben, men mach daer toe oock nemen, ghelijck sijne  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  ghedaen heeft, een ghelu wasse clootken diens middellijn {Diameter.} van ontrent een duym sy, daer op teyckenende sulcke ronden en boghen, groot en kleen, houcken recht scherp en plomp, als ons te vooren commen, die daer na uytstrijckende, ghelijckmen t'gheschrift op een leye uyt vaeght, ende weder ander stellende na ons begheeren, t'welck tot verstercking des ghedachts gheen cleen behulp en is: Inder voughen dat de ghene die hem tot oeffening deser stof begheeft, sich voor al met sulcx voorsien mach, om alsoo claerlick ende met lichticheyt te verstaen, t'ghene anders in platte formen der boucken somwijlen duysterder valt.

  Ende soo ymant om sulcke redenen als gheseyt sijn int Merck achter de laetste bepaling des eersten boucx vant Houckmaetmaecksel, hem begheerde te oeffenen int vinden der onbekende palen van clootsche driehoucken, sonder voor t'eerste te verstaen de redenen en bewijsen der werckinghen, hy soude meughen vallen an t'ghebruyck verclaert byden Clootschen driehouckwijser, metsgaders t'ghebruyck der clootsche veelhoucken, beschreven inden Byvough daer achter staende, volghende een voorbeelt na den eysch vant ghegheven: Ende die ghebruyck wat verstaende, soude daer na meughen commen tottet ondersouck der oirsaken.

T'   E E R S T E   O N D E R-

S C H E Y T   V A N   V E R T O O G H E N:

Dienende als ghemeene grondt der voorstellen

daer na volghende.

1   V E R T O O C H.       1   V O O R S T E L.

  S O O  t'een grootste rondt door t'ander grootste rondts * aspunt streckt, sy sijn op malcander rechthouckich.   {Polum.}

  T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot wesen diens middelpunt E is, ende A wort ghenomen voor aspunt, opt welck beschreven is een grootste rondt BFGD.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de twee ronden op malcander rechthouckich sijn.
  T B E R E Y T S E L.  Laet ghetrocken worden den halven as AE.

T B E W Y S.

  Anghesien den halven as AE rechthouckich is opt plat des rondts BFGD door t'ghestelde, ende dat den selven as AE int plat des rondts ABCD is, soo moettet plat des selven rondts opt rondt BFGD oock rechthouckich wesen.
  T B E S L V Y T.  Soo dan t'een grootsterondt door t'ander grootste rondts aspunt streckt, sy sijn op malcander rechthouckich, t'welck wy bewijsen moesten.

M E R C K T.

  Want ettelicke vertooghen deser stof soo kennelick sijn datse gheen besonder voorstellen en schijnen te vereysschen, soo sullen wy die cortheyts halven mette nabeschreven vervolghen verclaren.

1   V E R V O L G H.

  Tis kennelick dat AB een vierendeelronts doet, deur wiens uyterste B ghetrocken is de booch of t'rondt BFGD rechthouckich op AB, ende dat daerom A aspunt is des selven rondts BFGD: Uyt het welckmen als by ghemeene reghel dit besluyt:

T'een uyterste des vierendeelrondts, is aspunt des boochs
  rechthouckich ghetrocken deur t'ander uyterste.

2   V E R V O L G H.

  Sooder vant punt A ghetrocken wort een grootsterondts booch tot datse t'rondt BFGD gheraeckt, als AH, t'is kennelick datse ghelijck AB oock een vierendeelrondts moet doen, ende opt selve rondt BFGD rechthouckich sijn, Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Wanneer vant uyterste eens vierendeelrondts een booch
  ghetrocken wort, tot datse den booch gheraeckt daer
  t'selve vierendeelronts rechthouckich op is, die ghe-
  trocken booch doet oock een vierendeelrondts, ende
  is op de booch daerse op ghetrocken wert oock recht-
  houckich.

  Laet tot noch opentlicker verclaring IK in dees besonder form een vierendeel rondts sijn, rechthouckich op den booch KL, ende vant uyterste punt I, sy ghetrocken een booch tot datse KL gheraeckt, als IM: T'welck soo sijnde, de selve IM is een vierendeel rondts, ende den houck IMK, oock IML is recht.

3   V E R V O L G H.

  Tis kennelick dat de twee booghen ABC, AHC, elck een halfrondt doen, malcander doorsniende in twee plaetsen A en C, sulcx dat de twee houcken diese maken, als BCH, BAH, met malcander even sijn, want de booch BH is grootheyt van d'een en d'ander deur de 2 bepaling: Waer uyt men dit besluyt.

Twee grootste rondts boghen op beyden eynden voort-
  getrocken sijnde tot datse malcander snijen, doen elck
  een halfrondt, vervanghende t'samen an beyden eyn-
  den even houcken.

4   V E R V O L G H.

  Sooder uyt eenich punt als H des omtrecx BFDG, een grootste rondts booch verre ghenouch getrocken wort rechthouckich op den selven omtreck BFDG, t'is kennelick datse den booch BAD erghens deursnijen moet als in A, sulcx dat AD en AH elck een vierendeel rondts doen, ende dat haer ghemeene sne A, aspunt is des rondts BFDH: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Wanneer op een eerste booch, ghetrocken wert een
  tweede rechthouckich op d'eerste tot datse een derde
  ontmoet die op d'eerste oock rechthouckich is: De
  tweede en derde snijen van malcander een vieren-
  deel rondts, ende haer ghemeene sne is aspunt van
  d'eerste.

  Laet tot noch opentlicker verclaring NO in dees besonder form een booch sijn, waer op een ander booch NP rechthouckich staet. Voort sy van eenich punt in ON als Q, getrocken een booch rechthouckich op ON, tot datse de booch NP gheraeckt, t'welck gheschiet neem ick in R: Dit soo sijnde,, QR ende RN doen elck een vierendeelrondts, ende R is aspunt van ON.

5   V E R V O L G H.

  Sooder vant punt E tot H ghetrocken wort de rechte lini EH, t'is kennelick dat de twee houcken HEB, HED, even sijn met twee rechtlinighe rechthoucken {13 v. des 1 boucx Euc.}: Maer den plathouck HEB, ende den cloothouck HAB sijn even groot, ofte haer grootheyt wort met een selve booch BH anghewesen deur de 2 bepaling: S'ghelijcx is oock evegroot den cloothouck HAD, metten plathouck HED, daerom de twee cloothoucken HAB, HAD (veroirsaeckt deur d'een booch HA op d'ander BAD ghetrocken) sijn even met twee rechthoucken, ende hebben even houckmaten deur de 2 bepaling vant houckmaetmaecksel: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

D'een booch maeckt op d'ander twee houcken, t'samen
  even met twee rechthoucken, ende hebben die twee
  houcken even houckmaten, raecklijnen, en snylijnen.

  Laet tot noch opentlicker verclaring ST in dees besonder form een booch sijn, ende daer op eenighe ander VX, t'welck soo wesende, de twee houcken SVX, TVX sijn t'samen even met twee rechthoucken: Daerom d'een scherp sijnde d'ander is plomp, d'een recht sijnde d'ander is oock recht, ende d'een bekent sijnde d'ander wort oock bekent. By voorbeelt doende den houck TVX 50 tr. ick treck die van twee rechthoucken dats van 180 tr. blijft voor den houck SVX 130 tr. Ende hebben 50 tr. ende 130 tr. even houckmaten, te weten elck 7660445 deur de 2 bepaling vant houckmaetmaecksel.

6   V E R V O L G H.

  Soo de booch AH voortghetrocken wort tot C, tis kennelick dat de booch AC, snyende de booch BHD in H, vier houcken maeckt, te weten AHD, DHC, CHB, BHA diens teghenoverhoucken even sijn, als AHD met CHB, ende DHC met BHA, want de twee houcken BHA, AHD sijn even met twee rechthoucken, alsoo oock sijn de twee houcken AHD, DHC door het 5 vervolgh, daerom de twee houcken BHA, AHD, sijn t'samen even mette twee houcken AHD, DHC: Nu ghetrocken van elck haer ghemeenen houck AHD, soo blijft den houck BHA, even met haer teghenoverhouck DHC: Ende s'ghelijcx sal oock bethoont worden den houck AHD even te wesen met haer teghenoverhouck CHB, uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Twee grootste rondts boghen malcander doorsnijende,
  hebben haer teghenoverhoucken even.

7   V E R V O L G H.

  Sooder opt punt A als aspunt, beschreven wort een kleender rondt YZ, t'is kennelick dattet evewijdich {Parallelus.} moet sijn mettet rondt BFDH, t'welck door t'ghegheven opt selve aspunt oock beschreven is, voort want het grootste rondt ABCD, rechthouckich is opt grootste rondt BFDH, soo moet sijn vlack opt vlack vant rondt YZ oock rechthouckich wesen: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Een cloots grootste rondt streckende door het aspunt
  van een kleender rondt, heeft sijn vlack opt selve recht-
  houckich.

8   V E R V O L G H.

  Want d'een sijde AH des rechthouckighen driehoucx AHB, den rechthouck an H gheraeckt, soo ist kennelick dat den houck, ABH teghenover de sijde AH, recht is: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Soo de sijde die eens driehoucx rechthouck raeckt, een
  vierendeelrondts is, haer teghenoverhouck sal recht sijn.

9   V E R V O L G H.

  Want d'een sijde AH des rechthouckighen driehoucx AHB een vierendeelrondts doet, soo ist kennelick dat des rechthoucx H teghenoversijde AB, oock een vierendeelrondts doet: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Soo d'eene der twee rechthoucksijden een vierendeel-
  rondts is, de * schoensche sal oock een vierendeelrondts
  wesen.   {Hipotenusa.}

1 0   V E R V O L G H.

  Want inden rechthouckighen driehouck AHB, des rechthoucx H teghenoversijde AB een vierendeelrondts doet, soo ist kennelick d'eene der twee ander sijden die den rechthouck raken, als AH, oock een vierendeelrondts te wesen: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Soo inden clootschen rechthouckighen driehouck, des
  rechthoucx teghenoversijde een vierendeelrondts is,
  d'eene der twe sijden die den rechthouck raeckt moet
  oock een vierendeelrondts wesen.

1 1   V E R V O L G H.

  Want inden driehouck AHB, den houck B die de teghenoversijde AB des rechthoucx H raeckt, een rechthouck is, soo ist openbaer de selve teghenoversijde AB een vierendeelrondts te wesen: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Soo inden clootschen rechthouckighen driehouck, d'een
  der twee houcken die de teghenoversijde des recht-
  houcx raeckt, oock een rechthouck waer, de selve te-
  ghenoversijde sal een vierendeelrondts doen.

1 2   V E R V O L G H.

  Want inden driehouck AHB, de teghenoversijde AB des rechthoucx H, een vierendeelrondts doet, soo ist kennelick d'een der twee houcken diese raeckt, als den houck B recht te wesen: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Soo inden clootschen rechthouckighen driehouck, de
  teghenoversijde des rechthoucx een vierendeelrondts
  waer: D'een der twee houcken diese raeckt moet
  recht sijn.

1 3   V E R V O L G H.

  Tis kennelick dat AB, AH twee vierendeelrondts sijn, ghetrocken van een selve aspunt A, op een derde booch BH, ende dat daerom de twee houcken ABH, AHB recht sijn: Uyt het welcke men als by ghemeene reghel dit besluyt:

Twee vierendeelrondts van een selve * aspunt op een
  derde booch ghetrocken, sijn daer op rechthouckich.   {Poli.}

2   V E R T O O C H.       2   V O O R S T E L.

  W E S E N D E  een clootsche rechthouckighe driehouck, wiens een rechthoucksijde kleender is dan een vierendeelrondts: Haer teghenoverhouck is scherp: maer isse grooter haer teghenoverhouck sal plomp sijn.

  T'ghegheven vant 1 deel.  Laet ABC een clootsche rechthouckighe driehouck sijn wiens rechthouck B is, ende een rechthoucksijde als AB sy kleender dan een vierendeelrondts.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat haer teghenoverhouck ACB scherp is.
    T B E R E Y T S E L.  Laet BA voortghetrocken worden tot D, sulcx dat BD een vierendeelrondts doe, daer na sy ghetrocken de booch DC.

T B E W Y S.

  Anghesien de sijde BD een vierendeelrondts doet, soo sal t'punt D (deur dien de selve DB rechthouckich op BC is) aspunt vanden booch BC sijn deur het 1 vervolgh des 1 voorstels, van welck aspunt D ghetrocken wesende de booch tot C, sy sal rechthouckich op BC sijn, ende den houck DCB recht hebben deur het 2 vervolgh des 1 voorstels, ende vervolghens den houck ACB scherp, als kleender wesende dan den rechthouck DCB.

  T'ghegheven vant tweede deel.  Laet BD doende een vierendeelrondts alsboven, voortghetrocken worden tot E, daer na de grootste rondts booch EC.

T B E W Y S.

  Nadien den houck DCB teghenover t'vierendeelrondts DB recht is, deur t'eerste deel, soo moet den houck ECB noch grooter sijnde plomp wesen, daerom de sijde EB grooter wesende dan een vierendeelrondts, haer teghenoverhouck ECB is plomp.
  T B E S L V Y T.  Wesende dan een clootsche rechthouckighe driehouck, wiens een rechthoucksijde kleender is dan een vierendeelrondts, haer teghenoverhouck is scherp: Maer isse grooter, haer teghenoverhouck sal plomp sijn, t'welck wy bewijsen moesten.

V E R V O L G H.

  Anghesien de sijde AB kleender dan een vierendeelrondts sijnde, haer teghenoverhouck ACB scherp heeft, soo moet weerom verkeert de scherphouck ACB haer teghenoversijde AB kleender hebben dan een vierendeelrondts: Ende om dierghelijcke redenen moet den plomphouck ECB haer teghenoversijde EB grooter hebben, waer uyt besloten wort t'verkeerde des voorstel aldus:

Wesende een clootsche rechthouckige driehouck wiens
  een scheefhouck scherp is: Haer teghenoversijde is
  kleender dan een vierendeelrondts: Maer isse plomp,
  haer teghenoversijde sal grooter sijn.

3   V E R T O O C H.       3   V O O R S T E L.

  W E S E N D E  een clootsche rechthouckighe driehouck met twe rechthoucksijden elck kleynder of elck grooter dan een vierendeelrondts: De * schoensche sal kleender sijn: Maer is d'eene kleender d'ander grooter, de schoensche sal grooter wesen.   {Hipotenusa.}

  T'ghegheven vant 1 deel.  Laet ABC een clootsche rechthouckige driehouck sijn, wiens rechthouck B is, ende haer twee sijden als AB, CB, sijn elck kleender dan een vierendeelrondts.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de schoensche AC kleender dan een vierendeelrondts is.
  T B E R E Y T S E L.  Laet BA voortghetrocken worden tot D, ende CB tot E, sulcx dat BD en CE elck een vierendeelrondts doen: Daer na sy ghetrocken de grootste rondts booch DE, ende CA sy voortghetrocken tot datse DE in F ontmoet.

T B E W Y S.

  Want den houc ABC recht is, ende BD een vierendeelronts, so moet D aspunt {Polus.} des ronts CE wesen deur het 1 vervolgh des 1 voorstels, ende daerom den houc DEC recht deur het 1 voorstel. Voort want den houck DEC recht is, ende CE een vierendeelrondts, soo moet, deur t'boveschreven 1 vervolgh, C aspunt des rondts DE wesen, ende daerom is CF oock een vierendeelrondts, deur het 2 vervolgh des 1 voorstels, wiens deel CA nootsakelick kleender is.

  T'ghegheven des 2 deels.  Laet het vierendeelrondts BD voortghetrocken worden tot G, ende het deel BC verlangt tot H, sulcx dat CH een vierendeelrondts doe, daer na sy ghetrocken de booch HG: T'welck soo sijnde, des driehoucx GBH houck GBH is recht, ende de twee sijden die hem gheraken als GB, en HB, sijn elck grooter dan een vierendeelrondts.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat des rechthoucx B teghenoversijde GH, kleender dan een vierendeelrondts is.
  T B E R E Y T S E L.  Ick treck vant punt C deur t'punt D een grootste rondts booch, ontmoetende de voortghetrocken HG in I.

T B E W Y S.

  Anghesien den houck DBH recht is, ende BD een vierendeelrondts, soo is D aspunt des boochs BH, deur het 1 vervolgh des 1 voorstels, ende den houck DCB recht deur het 2 vervolgh. Voort alsoo den booch CH een vierendeelrondts is, soo moet deur de voorgaende redenen, H aspunt sijn des boochs IC, waerom oock den booch HI een vierendeelrondts doet, vant welck GH een deel sijnde, soo moet de selve GH kleender wesen.

  T'ghegheven vant 3 deel.  Laet tusschen H en C een punt ghestelt worden als K, ende van t'selve ghetrocken sijn een grootste rondts booch deur t'punt D, tot datse t'voortghetrocken vierendeelrondts HI ontmoet in L. Nu anghesien D aspunt is des rondts EH, als int voorgaende blijckt, soo moet DK een vierendeelrondts doen, ende KL grooter daen een vierendeelrondts sijn, ende HK (deel des vierendeelrondts HC) kleender dan een vierendeelrondts, ende den houck DKH recht, diens teghenoversijde HL. Sulcx dat wy hier hebben na luyt vant derde deel deses voorstels een driehouck LKH, wiens twee sijden die den rechthouck LKH raken, als LK, HK, d'een kleender is dan een vierendeelrondts als HK, d'ander grooter als LK.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat des rechthoucx LKH teghenoversijde HL, grooter is dan een vierendeelrondts.

T B E W Y S.

  Doende HI een vierendeelrondts deur t'bewijs des tweeden deels, ende een stuck sijnde van HL, soo moet HL grooter wesen.
  T B E S L V Y T.  Wesende dan een clootsche rechthouckighe driehouck met twee sijden, etc.

V E R V O L G H.

  T'blijckt door t'eerste deel, dat des rechthouckighen driehoucx ABC twee sijden AB, BC, die den rechthouck ABC gheraecken, elck kleender dan een vierendeelrondts wesende, dat alsdan AC teghenoversijde des rechthoucx ABC, kleender is dan een vierendeelrondts. T'blijckt oock door het tweede deel, dat des rechthouckighen driehoucx GBH twee sijden GB, HB, die den rechthouck GBH gheraecken, elck grooter dan een vierendeelrondts wesende, dat alsdan GH teghenoversijde des rechthoucx GBA, kleender is dan een vierendeelrondts.

  T'blijckt oock deur het 3 deel, dat des rechthouckighen driehoucx LKH sijde HK, die den rechthouck LKH gheraeckt, kleender sijnde dan een vierendeelrondts, ende LK grooter, dat alsdan LH teghenoversijde des rechthoucx LKH, grooter is dan een vierendeelrondts. Deur t'verkeerde van t'welcke (als opentlick inde boveschreven form te sien is) oock t'verkeerde des voorstels volght, aldus:

Wesende een clootsche rechthouckige driehouck, wiens
  * schoensche kleender dan een vierendeelrondts is:
  De twee sijden die den rechthouck raken sijn elck
  kleynder dan een vierendeelrondts of elck grooter:
  Maer des rechthoucx teghenoversijde grooter wesen-
  de, soo sal d'eene der twee die den rechthouck raeckt,
  kleender wesen dan een vierendeelrondts, d'ander
  grooter.   {Hypotenusa.}

4   V E R T O O C H.       4   V O O R S T E L.

  S O O  de * schoensche ende d'een rechthoucksijde eens clootschen rechthouckighen driehoucx elck grooter sijn dan een vierendeelrondts: De derde moet kleender wesen.   {Hypotenusa.}

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC des 1 voorbeelts [?] een clootsche rechthouckighen driehouck sijn, diens houck B recht is, ende de schoensche AC mette rechthoucksijde BC, sijn elck grooter dan een vierendeelrondts.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de derde sijde AB kleender dan een vierendeelrondts is.
  T B E R E Y T S E L.  Ick trecke CA, CB voorwaert, tot datse malcander ontmoeten, t'welck sy in D.

T B E W Y S.

  De twee boghen CAD en CBD doen elck een halfrondt deur het 3 vervolgh des 1 voorstels, daer af ghetrocken CA, CB, die elck grooter sijnde dan vierendeelrondts, soo blijven AD, BD elck kleender: Voort nadien den houck ABC recht is door t'ghegeven, soo moet den houck ABD oock recht sijn, door het 3 [5] vervolgh des 1 voorstels. ABD dan is een rechthouckich driehouck, met een kleender schoensche AD, waer deur de twee rechthoucksijden AB, BD beyde kleynder of beyde grooter sijn dan een vierendeelrondts deur t'verkeerde van het 3 voorstel: Maer BD is kleender, AB dan moet oock kleender sijn.
  T B E S L V Y T.  Soo dan de schoensche ende d'een rechthoucksijde eens clootschen rechthouckighen driehoucx grooter sijn dan een vierendeelrondts: De derde moet kleender wesen, t'welck wy bewijsen moesten.

5   V E R T O O C H.       5   V O O R S T E L.

  W E S E N D E  een clootsche rechthouckige driehouck, wiens twee scheefhoucken beyde scherp of beyde plomp sijn: De schoensche sal kleender dan een vierendeelrondts wesen. Maer is d'een plomp d'ander scherp, die schoensche sal grooter sijn.

  T'ghegheven vant 1 deel.  Laet ABC een clootsche rechthouckige driehouck sijn, wiens rechthouck B is, ende de twee scheefhoucken A, C, sijn beyde scherp, of beyde plomp.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat AC kleender dan een vierendeelrondts sal wesen.

T B E W Y S.

  Anghesien de twee houcken A, C, beyde scherp of beyde plomp sijn, soo moeten de twee sijden AB, en BC elck kleender of elck grooter dan een vierendeelrondts wesen deur het [vervolch des] 2 voorstel[s]: Ende vervolghens soo moet dan deur het 3 voorstel AC corter sijn.

  T'ghegheven vant 2 deel.  Laet nu d'een der twee houcken A, C, scherp sijn, d'ander plomp.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de schoensche AC grooter dan een vierendeelrondts is.

T B E W Y S.

  Anghesien dat d'een der twee houcken A, C, scherp, d'ander plomp is, soo moet d'een der twee sijden AB, BC kleender sijn dan een vierendeelrondts, d'ander grooter deur het vervolgh des 2 voorstels, ende daerom de schoensche AC grooter deur het 3 deel des 3 voorstels.
  T B E S L V Y T.  Wesende dan een clootsche rechthouckighe driehouck wiens twee scheefhoucken beyde scherp of beyde plomp sijn, de schoensche sal kleender dan een vierendeelrondts wesen. Maer is d'een plomp d'ander scherp, de schoensche sal grooter sijn, t'welck wy bewijsen moesten.

V E R V O L G H.

  Deur t'verkeerde van dit voorstel (soomen opentlick inde boveschreven form sien mach) is dit openbaer:

Wesende een clootsche rechthouckige driehouck, wiens
  schoensche kleender dan een vierendeelrondts is:
  De twee scheefhoucken sijn beyde scherp, of beyde
  plomp: Maer isse grooter dan een vierendeelrondts,
  d'een dier twee houcken sal scherp, d'ander plomp sijn.

6   V E R T O O C H.       6   V O O R S T E L.

  S O O  een clootsche driehouck twee scherphoucken of twee plomphoucken heeft: De * hanghende ghetrocken vanden derden houck na heur teghenoversijde valt binnen den driehouck: Maer soo d'een der twee scherp d'ander plomp is, sy valter buyten.   {Perpendicularis.}

  T'ghegheven des 1 deels.  Laet ABC een clootsche driehouck wesen, diens twee houcken ABC, ACB scherp sijn.

  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de hanghende vanden derden houck A, ghetrocken na heur teghenoversijde BC, binnen den driehouck valt.
  T B E R E Y T S E L.  Laet D aspunt {Polus.} sijn des rondts CB ende ghetrocken worden de twee vierendeelrondts DB, DC.

T B E W Y S.

  Anghesien de booch DB comt vant aspunt D op haer rondt CB, soo moet den houck DBC recht sijn, deur het 1 voorstel: Maer den houck ABC is kleender, te weten scherp, daerom t'punt A valt op de slinckerhandt van DB, Ende s'ghelijcx sal bethoont worden t'selve punt A op de rechterhandt van DC te vallen, daerom oock vallet nootsakelick binnen den driehouck DBC: Alsoo oock doet de booch DA: Ende de selve DA voortghetrocken tot E, soo moet AE binnen den driehouck ABC vallen, want sooser buyten viel, t'vierendeelrondts DAE soude an A een houck moeten hebben kleender dan DAB, t'welck ongheschickt waer: Daerom AE en valt niet buyten den driehouck ABC na de rechterhandt: Ende s'ghelijcx sal oock bethoont worden datser niet buyten en valt na de slinckerhandt, sy valter dan nootsaeckelick binnen: T'selve sal oock alsoo bethoont worden wanneermen de twee houcken als C, B, stelt plomp te wesen.

  T'ghegheven vant 2 deel.  Laet ABC een clootsche driehouck wesen, diens houck C scherp is, B plomp.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de hanghende vanden derden houck A, op haer teghenoversijde (welverstaende ghenouch voortghetrocken) buyten den driehouck sal vallen.

T B E W Y S.

  Sooser niet buyten en viel, sy sal in een der sijden AB, AC vallen, of binnen den driehouck: Angaende van in AB of AC te vallen, en can niet wesen, want alsdan soude den houck B of C recht sijn, teghen t'ghestelde. By aldiense binnen den driehouck viel, als, neem ick, van A tot D, soo souden de twee houcken ADB, ADC, moeten recht sijn, t'welck niet en is om dese redenen: Laet de houcken ADB, ADC, soot meughelick waer, recht wesen, sulcx dat wy hebben twee rehthouckighe driehoucken ADB, ADC, diens ghemeene sijde AD is. De selve als tegenoversijde des scherphoucx C sal moeten kleender sijn dan een vierendeelrondts deur t'vervolgh des 2 voorstels: Ende als teghenoversijde des plomphoucx B sal grooter sijn deur t'selve vervolgh: Maer kleender en grooter is onmeughelick, daerom de hanghende vanden houck CAB op haer teghenoversijde, en valt niet binnen den driehouck maer daer buyten.
  T B E S L V Y T.  Soo dan een clootsche driehouck twee scherphoucken of twee plomphoucken heeft, de hanghende ghetrocken vanden derden houck na haer teghenoversijde valt binnen den driehouck: Maer soo d'een der twee scherp d'ander plomp waer, sy valter buyten: T'welck wy bewijsen moesten.

7   V E R T O O C H.       7   V O O R S T E L.

  H E B B E N D E  een clootsche driehouck drie scherphoucken: Elcke sijde is kleender dan een vierendeelrondts.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn met drie scherphoucken.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat elcke sijde kleender dan een vierendeelrondts is.
    T B E R E Y T S E L.  Laet ghetrocken worden een booch van A rechthouckich op CB, als AD, welcke deur het 6 voorstel nootsakelick binnen den driehouck valt, om dat de houcken C, B beyde scherp sijn.

T B E W Y S.

  Anghesien de twee houcken ADC, ADB, deur tbereytsel recht sijn, soo moeten de twee driehoucken ADC, ADB rechthouckich wesen, daerom na dien DAB en B twee scherphoucken sijn, soo sal AB kleender dan een vierendeelrondts wesen, deur het 5 voorstel. Desghelicx salmen bewijsen van AC: Oock van CB, midts datmen AB voor grondt neemt soo CB boven ghenomen is.
  T B E S L V Y T.  Hebbende dan een clootsche driehouck drie scherphoucken, elcke sijde is kleender dan een vierendeelrondts, t'welck wy bewijsen moesten.

8   V E R T O O C H.       8   V O O R S T E L.

  H E B B E N D E  een clootsche driehouck twee even scherphoucken: De teghenoversijden der selve sijn kleender dan een vierendeelrondts.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn met twee scherphoucken B, C.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat haer teghenoversijde AB, AC kleender dan een vierendeelrondts sijn.
  T B E R E Y T S E L.  Laet uyt het punt D, middel van CB, ghetrocken worden de booch AD, ende de selve verlangt van A tot E, alsoo dat DE een vierendeelrondts doe: Daer na de twee boghen EC, EB.

T B E W Y S.

  Angesien den houck ABC even is aen den houck ACB deur t'ghestelde, soo moet AB even sijn met AC, ende vervolghens AD opt middelste punt van CB commende, moet rechthouckich wesen op de selve CB, alsoo oock moet het vierendeelrondts ED, daerom E is aspunt des boochs CB deur het 1 voorbeelt [vervolch] des 1 voorstels, ende EC, EB oock rechthouckich op de selve CB commende, doen elck een vierendeelrondts deur het 2 vervolgh des selfden 1 voorstels. Nu dan den houck ABC scherp sijnde, ende EBC recht, soo moetet punt A onder E commen, ende AD corter sijn dan t'vierendeelrondts. Voort is DB oock kleender, om dattet den helft is des boochs CB, die deur de 2 bepaling kleender is dan een halfrondt. Wy hebben dan een rechthouckighen driehouck ADB, met twee sijden AD, DB, den rechthouck rakende, elck kleender dan een vierendeelrondts, waerom de derde AB oock kleender moet sijn deur het 3 voorstel.

S'ghelijcx sal oock bethoont worden van AC kleender te wesen.
  T B E S L V Y T.  Hebbende dan een clootsche driehouck twee even scherphoucken, de teghenoversijden der selve sijn kleender dan een vierendeelrondts, t'welck wy bewijsen moesten.

9   V E R T O O C H.       9   V O O R S T E L.

  H E B B E N D E  een clootsche driehouck twee oneven scherphoucken, ende een plomphouck: De teghenoversijde des scherpsten is kleender dan een vierendeelrondts, maer d'ander twee sijden connen wesen van een vierendeelrondts, kleender of grooter.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn met twee oneven scherphoucken ABC, ACB, welcker scherpste sy ABC, ende den houck CAB sy plomp.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat AC teghenoversijde des scherpsten houcx ABC kleender is dan een vierendeelrondts, maer dat de teghenoversijden van d'ander twee houcken, connen wesen of van een vierendeelrondts, of kleender of grooter.
  T'bereytsel van t'eerste deel.  Laet van t'punt A ghetrocken worden den booch AD rechthouckich op BC: De selve AD sal binnen den driehouck vallen deur het 6 voorstel, om dat de twee houcken ABC, ACB scherp sijn, ende sal de selve AD den houck ACD naerder sijn dan den houck ABC, om dat ABC scherper is dan ACB, daerom can in DB geteyckent worden t'punt E, also dat DE even sy met DC; t'welck ghedaen wesende, soo sy daer na ghetrocken de booch AE.
  T'bewijs van t'eerste deel.  Wy hebben een evebeenighe driehouck ACE, met twee scherphoucken C, E, wiens sijde AC kleender is dan een vierendeelrondts, deur het 8 voorstel.
  T'bereytsel vant 2 deel.  Laet AB en AC beyde voortghetrocken worden tot datse malcander ontmoeten in F, laet oock int halfrondt ABF gheteyckent worden t'punt G, ende in ACF t'punt H, sulcx dat AG, AH elck een vierendeelrondts doen, voort sy ghetrocken de booch GH, ende daer in gheteyckent t'punt I, alsoo dat HI oock een vierendeelrondts doet, daer na sy ghetrocken de booch CI. Dit soo sijnde, de booch CB is of een vierendeelrondts, of kleender, of grooter: Maer ghenomen datse van een vierendeelrondts is, soo laet geteyckent worden t'punt K, tusschen A, B, doch alsoo dat AK grooter sy dan AC, want CK daer op ghetrocken sijnde, soo sal, als blijckt uyt het bewijs des eersten deels, den houck AKC scherper sijn dan den houck ACK. Voort sy gheteyckent t'punt L, tusschen B en G, ende ghetrocken de booch GL [CL].

  T'bewijs vant 2 deel.  Anghesien CB ghestelt is voor een vierendeelrondts, soo can ten eersten de teghenoversijde des plomphoucx CAB een vierendeelrondts doen. Voort is CK kleender dan t'vierendeelrondts CB, maer CK is teghenoversijde des ghegheven plomphoucx, in een driehouck ACK, vande ghedaente deses voorstels, door t'bereytsel des 2 deels, daerom de teghenoversijde des plomphoucx can oock kleender sijn dan een vierendeelrondts. Voort soo is CL grooter dan t'vierendeelrondts CB, maer CL is teghenoversijde des ghegheven plomphoucx CAB, ende dat in een driehouck vande ghedaente deses voorstels (want den houck CAL is den ghegheven plomphouck, ende ALC is noch scherper dan den houck ABC, ende ACL onscherper dan den houck ACB, nochtans den selven houck ACL niet plomp sijnde, gemerckt sy kleender is dan den rechthouck ACI, sulcx dat ALC scherper is dan ACL) daerom de teghenoversijde des plomphoucx can oock grooter sijn dan een vierendeelrondts.
  Om nu te commen totte teghenoversijde des onscherpsten ACB, ick segh aldus: De booch AB is of een vierendeelrondts, of kleender of grooter: Ghenomen dan datse van een vierendeelrondts is, soo can de teghenoversijde des onscherpsten houcx een vierendeelrondts doen: S'ghelijcx AK kleender wesende dan t'vierendeelrondts AB, ende AL grooter, welcke AK, AL, yder in haer driehouck des onscherpsten houcx teghenoversijde is deur t'voorgaende, soo is daer mede de rest des voorstels bewesen.
  T B E S L V Y T.  Hebbende dan een clootsche driehouck twee oneven scherphoucken ende een plomphouck, de teghenoversijde des scherpsten is kleender dan een vierendeelrondts, maer d'ander twee sijden connen wesen van een vierendeelrondts, kleender, of grooter, t'welck wy bewijsen moesten.

1 0   V E R T O O C H.       1 0   V O O R S T E L.

  H E B B E N D E  een clootsche driehouck drie sijden elck kleender dan een vierendeelrondts: De teghenoverhoucken vande twee kleenste sijn scherp, maer de teghenoverhouc der grootste sijde can scherp, recht, of plomp wesen.

  W A N T  de teghenoverhouck der grootste sijde scherp recht of plomp can wesen, soo sullen wy t'bewijs in drien deelen.

  T'eerste deel is deur het 7 voorstel openbaer, te weten inden driehouck met drie scherphoucken, wiens sijden elck kleender dan een vierendeelrondts wesende, soo sijn de teghenoverhoucken vande twee cleenste sijden scherp, ende de teghenoverhouck der grootste sijde oock scherp.

  Het tweede deel is openbaer inden rechthouckighen driehouck met drie sijden elcke kleender dan een vierendeelrondts, als ABC, waer in de teghenoverhoucken A, C, vande twee kleenste sijden AB, BC, die den rechthouck B vervanghen scherp sijn deur het 2 voorstel, maer den teghenoverhouck B vande derde grootste sijde AC, is recht.

  Het derde deel wort aldus verclaert: Laet de booch CA voortghetrocken worden tot D, daer na sy ghetrocken de booch BD, doch soo dat CD noch kleender sy dan een vierendeelrondts, ende BD kleender dan CA: T'welck soo wesende, beneven den scherphouck C, soo is den houck D noch scherper dan den scherphouck CAB,

daerom D is oock scherp. Belanghende den houck DBC teghenover de grootste sijde DC, die moet plomp sijn, ghemerckt datse grooter is dan den rechthouck ABC.
  T B E S L V Y T.  Hebbende dan een clootsche driehouck drie sijden elck kleender dan een vierendeelrondts: De teghenoverhoucken vande twee kleenste sijn scherp, maer de teghenoverhouck der grootste sijde, can scherp, recht, of plomp wesen, t'welck wy bewijsen moesten.

1 1   V E R T O O C H.       1 1   V O O R S T E L.

  W E S E N D E  twee sijden eens clootschen driehouck elck kleender dan een vierendeelrondts, de derde grooter dan een van dien: De hanghende vanden houck der twee cortste, valt binnen den driehouck.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck wesen, diens twee sijden AB, AC, elck kleender sijn dan een vierendeelrondts ende de derde BC grooter dan AB of AC, ende AD sy de hanghende vanden houck CAB tot op de grootste sijde BC.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat AD binnen den driehouck ABC valt.

T B E W Y S.

  De derde grootste sijde als BC, is of kleender dan een vierendeelrondts, of van een vierendeelrondts, of grooter. Laetse ten eersten kleender sijn, t'welck soo ghenomen, ABC is een driehouck wiens drie sijden elck kleender dan een vierendeelrondts wesende, soo sijn de twee teghenoverhoucken der kleenste sijden, als den houck C, en ABC, scherp, deur het 7 voorstel, ende AD valt tusschen beyden binnen den driehouck deur het 6 voorstel. Laet ten tweeden de derde grootste sijde van een vierendeelrondts wesen, als neem ick de voortghetrocken CB tot E, des driehoucx AEC, wesende AE oock kleender dan een vierendeelrondts, ende kleender dan CE: T'welck soo sijnde, AD teghenoversijde des scherphoucx C, inden rechthouckighen driehouck ADC, is kleender dan een vierendeelrondts deur het 2 voorstel, ende haer teghenoverhouck AED des rechthouckighen driehoucx ADE, is deur t'selve voorstel oock scherp, ende de hanghende AD valt tusschen beyden binnen den driehouck deur het 6 voorstel. S'ghelijcx sal oock t'bewijs sijn van een derde grootste sijde grooter dan een vierendeelrondts: Als neem ick de voortghetrocken CE tot F, des driehoucx AFC, wesende AF kleender dan een vierendeelrondts, ende kleender dan CF.
  T B E S L V Y T.  Wesende dan twee sijden eens clootschen driehouck elck kleender dan een vierendeelrondts, de derde grooter dan een van dien: De hanghende vanden houck der twee cortste, valt binnen den driehouck, t'welck wy bewijsen moesten.

1 2   V E R T O O C H.       1 2   V O O R S T E L.

  H E B B E N D E  een clootsche driehouck twee sijden elck kleender dan een vierendeelrondts, de derde niet kleender: De twee teghenoverhoucken vande kleenste sijden sijn scherp: Maer de teghenoverhouck vande grootste sijde is plomp.

  W A N T  de sijde niet kleender dan een vierendeelrondts, sijn can grooter dan een vierendeelrondts, of van een vierendeelrondts, soo sullen wy daer af twee voorbeelden beschrijven.

1   V O O R B E E L T.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn, diens twee sijden AB, AC, elck kleender sijn dan een vierendeelrondts, de derde BC grooter.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de twee cleenste sijdens teghenoverhoucken ABC, ACB scherp sijn, maer de grootste sijdens CB teghenoverhouck CAB plomp.
  T B E R E Y T S E L.  Laet AB, AC, voortghetrocken worden tot D en E, sulcx dat AD, AE, elck een vierendeelrondts doen, daer na sy op A als aspunt, beschreven de booch ED, ende AF rechthouckich op CB, welcke AF binnen den driehouck ABC valt, deur het 14 [11] voorstel, want AB, AC sijn elck kleender dan een vierendeelrondts, ende CB is grooter dan een van dien: De selve AF sy voortghetrocken tot G, in ED.

T B E W Y S.

  Anghesien ED beschreven is op A als aspunt, soo moet den houck AED recht sijn, ende AG vallende op ED, moet ghelijck AE oock een vierendeelrondts doen, deur het 2 vervolgh des 1 voorstels: Maer AF is deel van AG, daerom AF is kleender dan een vierendeelrondts: Sy is oock teghenoversijde des houcx ACF, ende dat inden rechthouckighen driehouck AFC, daerom den houck ACF, of ACB, is scherp, deur het 2 voorstel: S'ghelijcx sal oock bethoont worden den houck ABC scherp te wesen. Maer den houck CAB plomp te sijn, wort aldus bethoont: By aldien ED maer een vierendeelrondts en dede, soo soude den driehouck ADE evesijdich ende evenhouckich sijn, te weten drie sijden elck van een vierendeelrondts, ende met drie rechthoucken, sulcx dat de grootste booch daer in ghetrocken, maer en soude connen wesen van een vierendeelrondts: Maer CB is grooter deur t'ghegheven, ende ED noch grooter: Maer ED wijst ons an de grootheyt des houcx EAD, deur de 2 bepaling, daerom EAD, of, dattet selve is, CAB, is grooter dan een rechthouck, het is dan een plomphouck.

2   V O O R B E E L T.

  Laet ten tweeden CB een vierendeelrondts doen, blijvende de rest alsboven: T'welck soo wesende, dat de twee houcken ACB, ABC scherp moeten sijn, is deur t'bewijs des 1 voorbeelts openbaer. Maer den houck CAB plomp te sijn, wort aldus bethoont: By aldien ED maer een vierendeelrondts en dede, soo soude den driehouck ADE evesijdich ende evenhouckich sijn, te weten drie sijden elck van een vierendeelrondts, ende met drie rechthoucken, sulcx dat de grootste boghen daer in ghetrocken, te weten uyt een houck tot haer teghenoversijde, maer en soude connen wesen van een vierendeelrondts, ende alle ander boghen niet commende uyt een houck, als de booch CB, souden moeten kleender wesen, maer CB en is niet kleender, want sy doet een vierendeelrondts

deur t'ghestelde, ED dan moet grooter wesen: Maer ED wijst ons an de grootheyt des houcx EAD, deur de 2 bepaling, daerom EAD, of dattet selve is CAB, is grooter dan een rechthouck, het is dan een plomphouck.
  T B E S L V Y T.  Hebbende dan een clootsche driehouck twee sijden elck kleender dan een vierendeelrondts, de derde niet kleender: De twee teghenoverhoucken vande kleenste sijden sijn scherp: Maer de teghenoverhouck vande grootste sijde is plomp, t'welck wy bewijsen moesten.

1 3   V E R T O O C H.       1 3   V O O R S T E L.

  H E B B E N D E  een clootsche driehouck een sijde van een vierendeelrondts, d'ander kleender, de derde grooter: De twee teghenoverhoucken vande kleenste sijden sijn scherp, maer de teghenoverhouck vande grootste sijde is plomp.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck wesen, diens sijde AB sy van een vierendeelrondts, AC kleender, ende BC grooter.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat de twee kleenste sijdens teghenoverhoucken ABC, ACB scherp sijn: Maer de grootste sijdens CB teghenoverhouck CAB plomp.
  T B E R E Y T S E L.  Laet AC voortghetrocken worden tot D, sulcx dat AD een vierendeelrondts doe: Daer na sy op A als aspunt, beschreven de booch BD ende ghetrocken AE rechthouckich op CB.

T B E W Y S.

    Dat de twee houcken ACB, ABC scherp moeten sijn, blijckt aldus: Anghesien AB een vierendeelrondts doet, ende den houck AEB recht is, soo moet EB een vierendeelrondts doen, door het 10 vervolgh des 1 voorstels, ende EC moet kleender sijn, om dat de heele booch CB kleender is dan een halfrondt deur de 1 bepaling: Voort moet AE oock kleender sijn door t'vervolgh des 3 voorstels, want des rechthoucx AEC teghenoversijde AC kleender sijnde, soo moeten d'ander twee AE, CE elck kleender of elck grooter wesen, maer CE is kleender, AE dan moet oock kleender sijn, daerom oock is haer teghenoverhouck C scherp deur het 2 voorstel. Ende de selve kleender AE, de grootheyt anwijsende des houcx ABE, door de 2 bepaling, soo moet den houck ABE, ofte ABC scherp sijn.
  Maer den houck CAB plomp te sijn, wort aldus bethoont: By aldien DB maer een vierendeelrondts en dede, soo soude den driehouck ADB evesijdich ende evenhouckich sijn, te weten drie sijden elck van een vierendeelrondts, met drie rechthoucken, sulcx dat de grootste booch daer in ghetrocken maer en soude connen wesen van een vierendeelrondts: Maer CB is grooter door t'ghegheven, ende DB noch grooter, welcke ons anwijst de grootheyt des houcx DAB deur de 2 bepaling, daerom DAB, of dattet selve is CAB, is grooter dan een rechthouck: Het is dan een plomphouck.
  T B E S L V Y T.  Hebbende dan een clootsche driehouck een sijde van een vierendeelrondts, d'ander kleender, de derde grooter: De twee teghenoverhoucken vande kleenste sijden sijn scherp, maer de teghenoverhouck vande grootste sijde is plomp, t'welck wy bewijsen moesten.

1 4   V E R T O O C H.       1 4   V O O R S T E L.

  D E S  clootschen driehoucx drie houcken sijn t'samen grooter dan twee rechthoucken.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn, diens drie houcken sijn A, B, C.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen de selve drie houcken t'samen grooter te sijn dan twee rechthoucken.
  T B E R E Y T S E L.  Laet eenighe twee boghen als AB, AC, voortghetrocken worden tot datse malcander ontmoeten in D, daer na (alsoo ABD, ACD elck een halfrondt doen deur het 3 vervolgh des 1 voorstels) den as AD, ende der drie boghen AB, BC, CA drie pezen AB, BC, CA: Laet oock in de peez AB erghens geteyckent sijn t'punt E, ende van daer ghetrocken worden de rechte lini EF, rechthouckich op den as AD, daer na van FG, inde peez AC, de rechte lini FG, rechthouckich op den as AD, ende ten laetsten de rechte lini GE.

T B E W Y S.

    Anghesien GF rechthouckich is op AF, soo is GA langher dan GF, want het viercant van GA, is even an de twee viercanten van GF, FA: S'ghelijcx sal oock bethoont worden EA langher te sijn dan EF, daerom is den houck GFE, grooter dan den houck GAE: Maer den houck GFE is oock de grootheyt des cloothoucx CAB deur de 2 bepaling (want GFE is oock den houck der platten vande twee grootste ronden daer AB, AC, boghen af sijn) daerom den cloothouck CAB, is grooter dan den plathouck CAB. Ende s'ghelijcx sal oock bewesen worden den cloothouck ABC grooter te sijn dan den plathouck ABC, ende den cloothouck BCA grooter dan den plathouck BCA. Ende vervolghens de drie cloothoucken sijn t'samen grooter dan de drie plathoucken, maer de drie plathoucken sijn t'samen even an twee rechthoucken, daerom de drie cloothoucken des driehoucx ABC, sijn t'samen grooter dan twee rechthoucken.
  T B E S L V Y T.  Des clootschen driehoucx drie houcken dan, sijn t'samen grooter dan twee rechthoucken, t'welck wy bewijsen moesten.

V E R V O L G H.

  Tis uyt het voorgaende openbaer, dat wesende eens driehoucx twee houcken t'samen niet grooter dan een vierendeelrondts, de derde moet grooter sijn.

1 5   V E R T O O C H.       1 5   V O O R S T E L.

  D E S  clootschen driehoucx grootsten houck comt teghenover de grootste sijde.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC des 14 voorstels een clootsche driehouck wesen, diens sijde AC de grootste sy, AB kleender, BC de minste.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat den houck ABC, teghenover de grootste sijde AC, grooter is als een van d'ander.

T B E W Y S.

  De grootste boghen hebben de grootste pezen, daerom is de peez AC de grootste van drien: Voort, de pezen die den grootsten plathouck maken, haer boghen maken de grootste cloothoucken, blijckende int selve 14 voorstel: Maer de twee kleender pezen AB, BC, maken den grootsten plathouck, daerom de kleender bogen AB, BC maken den grootsten cloothouck, ende dat teghenover de grootste sijde AC. S'ghelijcx sal oock bethoont worden den houck ACB, teghenover de sijde AB, grooter te wesen dan den houck CAB, teghenover de sijde BC, om dat AB deur t'ghestelde grooter is dan BC.
  T B E S L V Y T.  Des clootschen driehoucx grootsten houck dan, comt teghenover de grootste sijde; t'welck wy bewijsen moesten.

1 6   V E R T O O C H.       1 6   V O O R S T E L.

  W E S E N D E  een clootsche rechthouckighe driehouck, diens een scheefhouck scherp is: De booch ghetrocken van d'ander scheefhouck tot haer teghenoversijde, sal kleender sijn dan de schoensche, ende grooter dan de teghenoversijde van den scherphouck. Maer d'een scheefhouck plomp wesende, de booch ghetrocken van d'ander scheefhouck tot haer teghenoversijde, sal grooter sijn dan de schoensche, ende kleender dan de teghenoversijde van den scherphouck.

1  Voorbeelt met d'een scheefhouck scherp.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn, diens houck B recht is, C scherp, ende AD sy de booch van d'ander scheefhouck A, tot haer teghenoversijde BC.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat AD kleender is dan de schoensche AC, maer grooter dan AB, teghenoversijde des scherphoucx C.

T B E W Y S.

    Anghesien den houck C, des rechthouckighen driehoucx ABC, scherp is, haer teghenoversijde AB is kleender dan een vierendeelrondts deur t'vervolgh des 2 voorstels: Maer AB kleender wesende, haer teghenoverhouck ADB, des rechthouckighen driehoucx ABD, is scherp, deur het 2 voorstel, ende daerom den houck ADC plomp, deur het vervolgh des 1 voorstels: Sulcx dat ADC een driehouck is, diens scherphouck C kleender is dan haer plomphouck ADC, daerom deur het 15 voorstel, AD tegenoversijde vanden kleenderen houck C, is kleender dan AC teghenoversijde vanden grooteren houck ADC. Wederom AB teghenoversijde des scherphoucx C, kleender sijnde dan een vierendeelrondts, haer teghenoverhouck ADB des rechthouckighen driehoucx ADB, is scherp, deur het 2 voorstel. Sulcx dat ADB een rechthouckich driehouck is, diens rechthouck B grooter is dan den scherphouck ADB, daerom deur het 15 voorstel, AD teghenoversijde vanden grootsten houck B, is grooter dan AB teghenoversijde vanden kleensten houck ADB.

2  Voorbeelt met d'een scheefhouck plomp.

  T G H E G H E V E N.  Laet nu d'een houck C plomp sijn, de rest alsboven.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat AD grooter is dan de schoensche AC, maer kleender dan AB teghenoversijde des plomphoucx C.

T B E W Y S.

  Anghesien den houck C, des rechthouckighen driehoucx ABC, plomp is, haer teghenoversijde AB is grooter dan een vierendeelrondts deur t'vervolgh des 2 voorstels: Maer AB grooter wesende, haer teghenoverhouck ADB des rechthouckighen driehoucx ABD is plomp, deur het 2 voorstel, ende daerom den houck ADC scherp, deur het vervolgh des 1 voorstels: Sulcx dat ADC een driehouck is, diens plomphouck C grooter is dan haer scherphouck ADC, daerom deur het 15 voorstel AD teghenoversijde vanden grooten houck C, is grooter dan AC, teghenoversijde vanden kleenderen houck ADC. Wederom, AB teghenoversijde des plomphoucx C, grooter sijnde dan een vierendeelrondts, haer teghenoverhouck ADB, des rechthouckighen driehoucx ADB, is plomp, deur het 2 voorstel. Sulcx dat ADB een rechthouckich driehouck is, diens rechthouck B kleender is dan den plomphouck ADB, daerom deur het 15 voorstel, AD tegenoversijde vanden kleensten houck B, is kleender dan AB teghenoversijde vanden grootsten houck ADB.
  T B E S L V Y T.  Wesende dan een clootsche rechthouckighe driehouck, diens een scheefhouck, &c.

1 7   V E R T O O C H.       1 7   V O O R S T E L.

  D E S  clootschen driehoucx twee sijden sijn alsins grooter dan de derde.

  S O O  den driehouck drie even sijden heeft, of dat de twee grootste even waren, de saeck en behouft gheen bewijs, daerom sullen wy alleenelick segghen vanden driehouck met een grootste sijde van drien.
  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn, diens grootste sijde BC is.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat haer twee sijden alsins grooter sijn dan de derde.
  T B E R E Y T S E L.  Angesien BC grooter is dan AB, so laet ons van BC snijen BD even an AB, ende trecken de booch AD: Laet daer na voortgetrocken worden BA, BD, tot datse malcander ontmoeten in E.

T B E W Y S.

  Anghesien de sijde BC de grootste van drien is, soo moet de selve met een van d'ander twee nootsakelick grooter sijn dan de derde, sulcx dat wy daer af gheen bewijs behouvende, sullen alleenlick bethoonen AC met AB, grooter te sijn dan BC, tot desen eynde segh ick aldus: BAE ende BDE doen elck een halfrondt deur het 3 vervolgh des 1 voorstels, waer af EA even sijnde met ED (deur dien AB even is met BD) soo moet den houck EAD, even sijn metten houck EDA: Ende ghetrocken den houck EAC, vanden houck EAD, blijft den houck CAD, kleender dan den houck EAD, ende vervolghens kleender dan den houck EDA, of CDA, ende daerom is AC tegenoversijde vanden grooter houck CDA, grooter dan CD teghenoversijde vanden kleender houck CAD deur het 15 voorstel:

Ende soo veel AC grooter is dan CD, soo veel sijn de twee sijden CA, CB t'samen, openbaerlick grooter dan CB.
  T B E S L V Y T.  Des clootschen driehoucx twee sijden dan, sijn alsins grooter dan de derde, t'welck wy bewijsen moesten.

V E R V O L G H.

  Tis uyt het voorgaende openbaer dat wesende twee sijden eens driehoucx t'samen niet grooter dan een vierendeelrondts, de derde moet kleender sijn. Maer wesende haer verschil niet kleender dan een vierendeelrondts de derde moet grooter sijn.

1 8   V E R T O O C H.       1 8   V O O R S T E L.

  D E S  clootschen driehoucx drie sijden sijn t'samen kleender dan een rondt.

  T G H E G H E V E N.  Laet ABC een clootsche driehouck sijn.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat haer drie sijden t'samen kleender sijn dan een rondt.
  T B E R E Y T S E L.  Laet eenighe twee sijden voortghetrocken worden, ick neem AB, AC, tot datse malcander ontmoeten, t'welck sy in D.

T B E W Y S.

  De twee boghen ABD, ACD, doen deur het 3 vervolgh des 1 voorstels, elck een halfrondt, dats t'samen een rondt: Ende de twee boghen AB, AC, doen t'samen een rondt, min de twee bogen BD, CD: Daerom so CB even waer an BD met CD, de drie sijden des driehoucx ABC, souden t'samen even sijn an een rondt: Maer CB des driehoucx CBD, is kleender als d'ander twee BD, CD, deur het 16 [17] voorstel, daerom de drie sijden des driehoucx ABC, sijn t'samen kleender dan een rondt.
  T B E S L V Y T.  Des clootschen driehoucx drie sijden dan, sijn t'samen kleender dan een rondt, t'welck wy bewijsen moesten.

V E R V O L G H.

  Tis uyt het voorgaende openbaer, dat wesende twee sijden eens driehoucx t'samen niet kleender dan drie vierendeelrondts, de derde moet kleender sijn.

1 9   V E R T O O C H.       1 9   V O O R S T E L.

  R E C H T H O V C X  houckmaet is * middeleveredenighe tusschen des ghestelden boochs raecklijn, ende de raecklijn van haer schilbooch.   {Media proportionalis.}

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een halfrondt sijn, diens middelpunt D is, ende BC een vierendeelrondts, waer in CE een ghestelde booch is, diens raecklijn CF, ende BE haer schilbooch, diens raecklijn BG, ende CD rechthoucx houckmaet.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat DC middeleveredenighe is tusschen CF en BG.

T B E W Y S.

  De twee driehoucken CFD, BDG sijn recht an C en B, ende den houck FDC, is even anden houck DGB, daerom de selve twee driehoucken sijn ghelijck, ende haer lijckstandighe sijden everedenich, dat is:

    Ghelijck CF tot CD, alsoo DB tot BG:
Maer CD is even an DB, daerom
    Ghelijck CF tot CD, alsoo CD tot BG.
Sulcx dat CD middeleveredenighe is tusschen CF ende BG.
  T B E S L V Y T.  Rechthoucx houckmaet dan, is middeleveredenighe tusschen des ghestelden boochs raecklijn, ende de raecklijn van haer schilbooch, t'welck wy bewijsen moesten.

2 0   V E R T O O C H.       2 0   V O O R S T E L.

  T W E E R  boghen raecklijnen sijn overhandt everedenich mette raecklijnen van haer schilboghen.

  T G H E G H E V E N.  Laet inde form des 19 voorstels, ghetrocken worden de rechte lini van D tot H inde lini CF, sniende de booch BC in I: Laet oock BG voortghetrocken worden tot K inde lini DH: T'welck soo sijnde, wy hebben twee boghen CI, CE, diens raecklijnen CH, CF, ende haer schilboghens IB, EB raecklijnen, sijn BK, BG.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat der twee boghen CI, CE, raecklijnen CH, CF, overhandt everedenich sijn met haer schilboghens raecklijnen BG, BK: dat is, ghelijck CH tot BG: Alsoo CF tot BK.

T B E W Y S.

  DC is deur het 18 [19] voorstel middeleveredenighe tusschen CF en BG: Ende deur t'selve voorstel is DC oock middeleveredenighe tusschen CH en BK, sulcx dattet viercant van DC even is anden rechthouck begrepen onder CF en BG: Oock is t'selve viercant even anden rechthouck begrepen onder CHBK, daerom die twee rechthoucken sijn even, ende haer sijden overhandt everedenich, dat is: Ghelijck CH tot CF, alsoo BG tot BK.
  T B E S L V Y T.  Tweer boghen raecklijnen dan, sijn overhandt everedenich mette raecklijnen van haer schilboghen, t'welck wy bewijsen moesten.

2 1   V E R T O O C H.       2 1   V O O R S T E L.

  R E C H T H O V C X  houckmaet is middeleveredenighe tusschen de ghestelde boochs houckmaet, ende de snylijn van haer schilbooch.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een halfrondt sijn, diens middelpunt D is, ende BC een vierendeelrondts, waer in BE een booch is, diens houckmaet FE: Voort is CE haer schilbooch, diens snylijn DG, ende CD rechthoucx houckmaet.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat CD middeleveredenighe is tusschen FE houckmaet van BE, en DG snylijn van haer schilbooch EC.

T B E W Y S.

  De driehoucken GDC, DEF, sijn recht an C en F, ende den houck GDC, is even anden houck DEF, daerom die selve twee driehoucken sijn ghelijck, ende lijckstandighe sijden everedenich, dat is:

    Ghelijck FE tot ED, alsoo DC tot DG:
Maer DC is even an ED, daerom
    Ghelijck FE tot DC, alsoo DC tot DG.
Sulcx dat DC middeleveredenighe is tusschen FE ende DG.
  T B E S L V Y T.  Rechthoucx houckmaet dan, is middeleveredenighe tusschen de ghestelde boochs houckmaet, ende de snylijn van haer schilbooch, t'welck wy bewijsen moesten.

V E R V O L G H.

  Tis openbaer dat rechthoucx houckmaet, oock middeleveredenighe is tusschen schilboochs houckmaet, ende de snylijn van haer gestelde: Want nemende CE voor ghestelde diens schilbooch BE, wy segghen dat de voorschreven rechthoucx houckmaet DC, middeleveredenighe is tusschen FE schilboochs houckmaet van BE, en DG snylijn van haer ghestelde EC.

2 2   V E R T O O C H.       2 2   V O O R S T E L.

  T W E E R  boghen houckmaten, sijn overhandt everedenich mette snylijnen van haer schilboghen.

  T G H E G H E V E N.  Laet inde form des 21 voorstels, ghetrocken worden de rechte lini van D tot H inde lini CG, sniende de booch BC in I: Laet oock ghetrocken worden IK rechthouckich op DB: T'welck soo sijnde, wy hebben twee boghen BI, BE, diens houckmaten sijn KI, FE, ende haer verschilbogens IC, EC, snylijnen DG, DH.
  T B E G H E E R D E.  Wy moeten bewijsen dat dier twee boghen BI, BE, houckmaten KI, FE, overhandt everedenich sijn met haer schilboghens snylijnen, dat is, ghelijck KI, tot DG, alsoo FE tot DH.

T B E W Y S.

  DC is deur het 21 voorstel middeleveredenighe tusschen EF, en DG: Ende deur t'selve voorstel is DC oock middeleveredenighe tusschen KI en DH, sulcx dattet viercant van DC, even is anden rechthouck begrepen onder EF en DG, oock is t'selve viercant even anden rechthouck begrepen onder KI en DH, daerom die twee rechthoucken sijn even, ende haer sijden overhandt everedenich: Dat is, ghelijck KI tot DG, alsoo FE tot DH.
  T B E S L V Y T.  Tweer boghen houckmaten dan, sijn overhandt everedenich mette snylijnen van haer schilboghen.

V E R V O L G H.

  Tis openbaer dat twee schilboghens houckmaeten, oock overhandt everedenich sijn mette snylijnen van haer ghestelde, want nemende KI, FE voor schilboochs houckmaten van IC, EC, wy segghen dat de selve overhandt everedenich sijn met haer ghesteldens BI, BE, snylijnen DH, DG: Dat is ghelijck KI tot DG, Alsoo FE tot DH, t'welck boven bewesen is.

H E T   T W E E D E   O N D E R-

S C H E Y T   V A N   9  *  V E R T O O G H E N

uyt welcke de form der wercking vande * Werck-

stucken des derden onderscheyts ghetrocken wort.

{Theorematum.   Problematum.}