[ ... ] wel moet onderzocht worden of de andere afwijking, die uit de vorm ontstaat, niet enigszins kan storen. Te dien einde moeten we eerst door berekening trachten te weten te komen, wat de hoek is van beide afwijkingen in die genoemde microscoop van ons [<], waarin (naar we weten) geen van beide tot nu toe schadelijk is. Maar we laten de volgende hulpstelling eraan vooraf gaan. Hulpstelling 1   Laat van de bolle lens PD de as zijn NPB, het brandpunt in O, een straal evenwijdig aan de as SD, die dus verstrooid door de breking de rode straal langs DO laat gaan, maar van de uiterste violette stellen we dat hij met de as samenkomt in R.

[ 553 ]

Als nu vanaf een punt N op de as een straal ND loopt naar dezelfde lens, die verstrooid door de breking de rode straal laat gaan naar B, en de uiterste violette naar F, zeg ik dat de hoek BDF te beschouwen is als gelijk aan de hoek ODR, en des te beter naarmate de helling van de lensoppervlakken in D een kleinere hoek heeft, en naarmate de punten B en O minder ver van elkaar af staan.   Want daar de rode straal die in de invallende straal SD is, gaat langs DO, en de rode in de straal ND langs DB, zal (volgens voorstel [VI]) de hoek BDO bij benadering gelijk zijn aan SDN. En evenzo, daar de violette straal die in SD was, langs DR gaat, en evenzo de violette in ND langs DF gaat, zal volgens hetzelfde voorstel VI hoek FDR gelijk beschouwd worden aan SDN. Daarom worden BDO en FDR als onderling gelijk beschouwd, en wanneer het gemeenschappelijke stuk FDO weggelaten wordt zullen evenzo als gelijk beschouwd worden BDF en ODR. En in des te betere benadering naarmate èn de hoek tussen de hellingen van de lensoppervlakken in D kleiner is, èn de stralen SD en ND rechter invallen op die oppervlakken, en die stralen een kleinere hoek SDN afsnijden, zoals begrepen wordt uit wat bij het genoemde voorstel gezegd is [<]. Verder is het duidelijk dat SDN des te kleiner is naarmate punt B minder ver af staat van O, want des te groter is PN, omdat BO, BP en BN een evenredigheid*) vormen (volgens voorstel I.XX).   [ *)  BO : BP = BP : BN. In onze notatie: (b - f) / b = b / (v + b), overeenkomstig de lenzenformule 1 / f = 1 / v + 1 / b .] Voorstel XVI   De afwijkingshoek van de kleurschifting in onze microscoop door berekening onderzoeken, en hoe groot hij kan zijn in telescopen en microscopen zonder te schaden.

[ 555 ]

Nu zullen we de genoemde berekening als volgt behandelen. Van de lens P, waarvan we de dikte verwaarlozen, was de brandpuntsafstand PO = 7/10 van een duim, en PD = 1/20 . We trekken DO. Nu staat vast, als een straal die evenwijdig is met de as van bovenaf bij D invalt, dat deze verstrooid moet worden over de hoek ODβ, die 1/50 van hoek DOP is, zoals we gezegd hebben toen we de kleurschifting van een straal beschreven hebben [<]. Laat Oβ loodrecht op de as zijn, gesneden door Dβ in δ. Dan wordt dus gesteld Oβ = 1/50 PD. Maar PD was 1/20 duim. Dus Oβ = 1/1000 , en OD of OP, die 7/10 was, zal tot Oβ, zijn als 700 tot 1. Maar volgens de voorafgaande hulpstelling werd een invallende straal ND verstrooid over een hoek die gelijk was aan ODβ, en deze hoek was BDQ, aangezien gesteld wordt dat ND de rode straal zendt langs DB. Daarom is hoek BDQ = ODβ. En omdat andersom de invallende straal BD verstrooid wordt over de hoek NDK, gelijk aan BDQ (om een reden die in het bovenstaande uitgelegd is [<]), dat is over hoek ODβ; zal ook DN (of PN) tot NK zijn, zoals DO (of PO) tot Oβ, dat is als 700 tot 1. Maar EN is tot NP als 2 tot 7, of als 200 tot 700. Dus EN (of MK) tot NK als 200 tot 1, dat is zoals een tabelstraal 100000 tot 500, de tangens van 17'.12"; en daarom zal deze afwijkingshoek NMK in onze microscoop ten naaste bij 17'.12" zijn.   En de hoek zal dezelfde zijn in die kortere microscoop van 4 1/2 duim [<], en in alle achtereenvolgens verkleinde, omdat in ons onderzoek deze voorwaarde werd gesteld van een gelijke afwijking. Maar als we bij deze hoek NMK optellen de hoek NMG, die we daar wegens de kleinheid verwaarloosd hebben, zal hier de afwijkingshoek ongeveer 17'.42" worden*).   *)  In werkelijkheid 18' 8" voor de standaardmicroscoop van 121/3 duim, en 18' 43" voor de kortere.

[ 557 ]

Maar als we bij telescopen vragen hoe groot deze afwijkingshoek kan worden, zullen we bij nachttelescopen wel ongeveer 31' 1/3 vinden [<], maar bij dagtelescopen de helft oftewel 15' 2/3 ; wat niet veel verschilt van die 17'.42". In de figuur van voorstel VII, met de brandpuntsafstand CF van lens AC gesteld op 30 voet, hebben we namelijk gezegd dat CA 3/2 duim is [<], waaruit volgt FQ = 1/50 CA, dat is 3/100 duim. Maar QD of de brandpuntsafstand FP was toen 3 3/10 duim. Dus QD is tot QF als 3 3/10 tot 3/100 , dat is als 110 tot 1; en dat is als de halve diameter 100000 van een cirkel tot 909, de tangens van de hoek 31'.20", die heel dichtbij de genoemde waarde is van de afwijkingshoek QDF.   Hieruit wordt begrepen waarom deze afwijking door kleurschifting van een straal niet schadelijk zal zijn, noch in onze microscoop, noch in een andere die zoveel korter is als men maar wil (en in dezelfde mate meer vergrotend), en die volgens de gevonden regel uit de onze is afgeleid. Laten we dan nu een onderzoek instellen naar de afwijking die ontstaat uit de bolvorm van de lenzen. Waaraan we weer een hulpstelling vooraf laten gaan, als volgt.

[ 559 ]

Hulpstelling 2 *)   Zij van de lens PD de as NPB, brandpunt in O. SD een straal evenwijdig aan de as, die na breking gaat langs DH, de afwijking OH makend. Laat verder vanaf het punt N op de as naar dezelfde lens een straal ND lopen, die na breking samenkomt met de as in F, en B zij het punt dat met N verbonden is, en zo is van straal ND de afwijking FB. Ik zeg dat HO tot FB zal zijn ten naaste bij als het kwadraat van PO tot het kwadraat van PB, en des te meer naarmate de afstand NP vergeleken met PO groter is.   Want laat genomen worden PV op de as gelijk aan PO, en HL loodrecht op de as. En PO of PV = c; PD = a; NP = d; HO = n. Nu zal gelden, omdat NV, NP en PO, PB evenredig zijn (volgens voorstel I.XX), PB = dc/(d - c). En omdat LDH beschouwd wordt als gelijk aan SDN (volgens voorstel VI), dat is met hoek DNP, zal bij benadering gelden: zoals NP = d tot PD = a, zo DL (die beschouwd wordt als gelijk met PH, dat is c - n) tot LH, en deze zal zijn (ac - an)/d. En omdat PD tot LH zoals PF tot FH, zal DP min LH, dat is (da - ac + an)/d, zijn tot DP = a, zoals PH = c - n tot PF, en deze zal zijn (dc - dn)/(d - c + n); als deze wordt afgetrokken van PB = dc/(d - c) komt FB = ddn/(dd - 2dc + cc + dn - cn), die tot HO = n is, zoals dd tot dd - 2dc + cc + dd - cn. En deze verhouding kan beschouwd worden als gelijk aan dd tot dd - 2dc + cc, omdat de grootheid n heel klein is ten opzichte van de overige. Zoals nu dd tot dd - 2dc + cc, dat is zoals het kwadraat van NP tot het kwadraat van NV, zo is het kwadraat van PB tot het kwadraat van PO; omdat we gezegd hebben dat zoals NV tot NP is, zo PO tot PB. Dus zal FB tot HO zijn ten naaste bij als het kwadraat van PB tot het kwadraat van PO, en wel des te dichterbij naarmate de hoek SDN kleiner is (zoals blijkt uit wat we bij voorstel VI aangetekend hebben [<]), dat is naarmate de verhouding NP tot PO groter is. En zo is het voorgestelde duidelijk.   [ *)  Hulpstelling 2 is niet correct, zie p. 556, noot 7.]

[ 561 ]

En hieruit volgt: Hulpstelling 3   Als getrokken worden DO en DB, zullen de hoeken HDO en FDB gelijk zijn.   Want laat gesteld worden dat DO HL snijdt in I, en dat de loodlijn FE op de as de rechte DB ontmoet in E. Nu is dus de verhouding BF tot HO samengesteld wordt uit de verhoudingen BF tot FE, en FE tot HI, en HI tot HO. Dat is uit de verhoudingen BP tot PD, en FE tot HI, en PD tot PO; dat is uit de verhoudingen FE tot HI en BP tot PO. Verder is dezelfde verhouding BF tot OH die van het kwadraat van BP tot het kwadraat van PO, volgens wat boven bewezen is [<]. Noodzakelijk volgt uit dit alles dat de verhouding FE tot HI dezelfde is als BP tot PO, of die van FP tot PH, omdat FB en HO zeer klein zijn; of die van FD tot HD. Daarom wordt hoek FDE beschouwd als gelijk met HDI, wegens de kleinheid van de hoeken DFP en DHP. Voorstel XVII   De afwijkingshoek ten gevolge van de lensvorm in onze microscoop door berekening opsporen.   Vervolgens ondernemen we de berekening waarin nu de dikte van het lensje P beschouwd moet worden, te noemen TP, in de vorige figuur. Nu heeft dit lensje in onze microscoop één oppervlak plat (dat omlaag gekeerd is). En daar de brandpuntsafstand PO = 7/10 duim is, en deze gelijk geacht kan worden aan de bollingsdiameter van het oppervlak TD [I.XIV], zal gelden: zoals PO, of 7/10, tot PD = 1/20 , zo is deze tot TP, welke zal worden 1/280 . En 7/6 hiervan is gelijk aan de afwijking Oδ die een straal maakt die evenwijdig met de as bij D invalt, omdat het platte oppervlak van het lensje naar de andere kant gekeerd is. Dus Oδ = 7/1680 of 1/240 . Zoals nu δP of OP tot PD, dat is zoals 7/10 tot 1/20 , of zoals 14 tot 1, zo is δO tot Oβ. Dus wordt Oβ = 1/3360 ; en DO of PO is tot Oβ zoals 7/10 tot 1/3360 , of als 2352 tot 1.

[ 563 ]

Maar volgens Hulpstelling 3 zou de invallende straal ND een afwijkingshoek BDQ maken, gelijk aan ODβ: en daarom zal andersom de straal BD een afwijkingshoek NDK maken, gelijk aan BDQ of ODβ. Dus zoals DO, of PO, tot Oβ, dat is, zoals 2352 tot 1, zo zal DN, of PN, tot NK zijn. Maar zoals 2 tot 7, of zoals 672 tot 2352, zo is EN tot NP. Dus uit wat gelijk is: EN is tot NK, of MK tot NK, zoals 672 tot 1, dat is zoals in tabellen de halve diameter 100000 tot 149, de tangens van de hoek 5'.8", die hoek NMK is.   Dit is dus in onze microscoop de afwijkingshoek ten gevolge van de lensvorm. En dat een grotere dan deze verdragen kan worden zonder zichtverlies, blijkt daaruit, dat bij een omgedraaid lensje PD (zodat het bolle gedeelte omlaag gericht is) deze afwijkingshoek bijna viermaal zo groot is;

[ 565 ]

omdat dan de afwijking van een straal die evenwijdig aan de as bij D zou invallen gelijk is aan 9/2 van de dikte van PT (volgens voorstel II.IV), welke afwijking hier maar 7/6 PT is, dat is ongeveer het vierde deel van de andere. En daarom wordt ook de afwijkingshoek NMK dan ongeveer viermaal zo groot bevonden als de nu gevonden waarde van 5'. Maar toch, als het lensje zo omgedraaid is, wordt nauwelijks waargenomen dat er iets afgaat van het scherpe zicht. Daarom kan van deze afwijking een hoek verdragen worden van ongeveer 20', ofschoon er nog bijkomt de hoek van de kleurafwijking, die ongeveer 18' was [<]. Want het is gemakkelijk te begrijpen dat deze afwijking altijd nog toegevoegd wordt aan de andere.   Maar als we bij die kortere microscoop van 4 1/2 duim [<] op dezelfde manier de hoek onderzoeken van de afwijking door de lensvorm, zullen we vinden dat die ook ongeveer 20' is; en deze zal dus ook nauwelijks kunnen schaden, zodat dus het effect van zo'n kijkglas voortreffelijk zal zijn. Maar als we ook nog kortere, en meer vergrotende, bouwen volgens het voorschrift van de bovengevonden regel, zal deze afwijkingshoek steeds toenemen. En zo verhindert deze oorzaak dat we, deze regel volgend, de sterkte van microscopen onbegrensd kunnen vergroten. Maar we zullen aantonen, wat misschien wonderbaarlijk zal lijken, dat er een andere regel voorhanden is, waardoor zo'n onbegrensde vooruitgang toegestaan wordt. We laten evenwel een hulpstelling voorafgaan, als volgt.

[ 567 ]

Hulpstelling 4   Als op een bolle lens stralen evenwijdig aan de as invallen, of stralen die weggaan van een punt op de as dat buiten het brandpunt ligt, geven ze na breking afwijkingshoeken ten gevolge van de lensvorm die ten naaste bij evenredig zijn met de derde macht van de afstanden tot de as van de invalspunten.   Eerst zullen we het aantonen voor evenwijdige stralen.   Van de lens PS zij de as PB, het brandpunt G, namelijk van de stralen evenwijdig met de as die daar heel weinig vandaan zijn. De lensdikte is te verwaarlozen, omdat de hele PS zeer klein gedacht wordt vergeleken met PB. Verder nemen we aan dat een evenwijdige straal die invalt bij het punt D langs DH loopt, en de afwijking GH maakt. Maar die in S evenwijdig invalt, loopt langs SI en maakt de afwijking GI. Als getrokken worden DG en SG zullen GSI en GDH de afwijkingshoeken zijn die we hier bedoelen. En hiervan zeg ik dat ze ten naaste bij de drievoudige verhouding hebben van die van SP tot DP.   Want laat GC loodrecht op de as zijn, gesneden door de verlengden van DH en SI in K en C. De hoeken GSC en KDG worden dus geacht een verhouding te hebben van die van CG tot GK, daar DP en SP heel klein zijn ten opzichte van PG. Nu is de verhouding CG tot KG dezelfde als die, samengesteld uit de verhoudingen CG tot GI, en GI tot GH, en GH tot GK. En hiervan is de eerste verhouding CG tot GI dezelfde als die van SP tot PI, of die van SP tot PG, omdat IG heel klein is ten opzichte van PG. Evenzo is de de andere verhouding GI tot GH dezelfde als die van het vierkant van PS tot het vierkant van PD (volgens voorstel II.VII). En de derde, GH tot GK, is dezelfde als die van HP tot PD, dat is die van GP tot PD, omdat HG heel klein is ten opzichte van GP. Daarom zal de verhouding CG tot KG samengesteld worden uit de verhoudingen SP tot PG, en PG tot PD, en het vierkant van PS tot het vierkant van PD. Maar de eerste twee hiervan geven de verhouding van SP tot PD. Dus zal uit de drie verhoudingen dezelfde komen als die van de kubus van SP tot de kubus van PD. Daarom is aangetoond dat de verhouding van CG tot KG, of van de afwijkingshoek CSG tot KGD, ten naaste bij is als die van kubus SP tot kubus PD, dat is als de drievoudige verhouding van SP tot PD.   We stellen nu dat de stralen die invallen bij D en S komen uit een punt, waarmee verbonden is het punt B, en dat van de straal die in D valt de afwijking BF is; maar van die welke in S valt is de afwijking BL. Daar dus volgens hulpstelling 2 geldt: zoals het vierkant van PG tot het vierkant van PB, zo GH tot BF, en zo ook IG tot LB, zal door verwisseling en omzetting gelden: zoals IG tot GH, zo LB tot BF. Maar IG was tot GH als het vierkant van SP tot het vierkant van DP, dus is ook LB tot BF als het vierkant van SP tot het vierkant van DP.

[ 569 ]

Waarmee nu, zoals eerder over de hoeken GSI en GDH, volgens dezelfde methode aangetoond zal worden dat de hoeken BSL en BDF in dezelfde drievoudige verhouding zijn van de afstanden SP en PD. Want deze hoeken, of BST en BDQ, worden geacht zich te verhouden als BT tot BQ, omdat DP en SP heel klein zijn ten opzichte van BP. Nu is de verhouding BT tot BQ dezelfde als die samengesteld uit de verhoudingen TB tot BL, en BL tot BF, en BF tot BQ. En hiervan is de eerste, TB tot BL, dezelfde als die van SP tot PL, of die van SP tot PB, omdat LB heel klein is ten opzichte van PB. Evenzo is de andere verhouding BL tot BF dezelfde als die van het vierkant van PS tot het vierkant van PD, zoals even hiervoor is aangetoond. En de derde BF tot BQ is dezelfde als die van FD tot PD, dat is die van BP tot PD, omdat FB heel klein is ten opzichte van BP. Daarom zal de verhouding BT tot BQ samengesteld worden uit de verhoudingen SP tot PB, en PB tot PD, en het vierkant van PS tot het vierkant van PD. En daar de eerste twee hiervan de verhouding SP tot PD geven, zal de verhouding BT tot BQ, dat is van hoek BSL tot BDF, zijn die van kubus PS tot kubus PD; wat nog te bewijzen was. Voorstel XVIII   Hoe kortere microscopen te maken zijn, en meer vergrotende, met handhaving van dezelfde helderheid en scherpte, en die toch niet onderhevig zijn aan het genoemde nadeel van een grotere afwijking ten gevolge van de lensvorm. *)   Nu moet herhaald worden de figuur van het vorige onderzoek [<], en alles hetzelfde als daar gelezen wordt, tot aan de woorden: Maar omdat ik nu de halve opening pd = x stel, en niet = fa/b waarna we nu als volgt doorgaan.°)   *)  Ed. de Volder & Fullenius, p. 253 [fig.]; cf. p. 553, n. 4.   °)  "zal gelden volgens de voorafgaande hulpstelling", etc. Deze aanwijzing wordt hier gevolgd [tekst tussen {}-tekens], naar het voorbeeld van de Volder en Fullenius.   { Laat weer twee microscopen gesteld worden, en alles hetzelfde als in het voorstel [XIV], behalve dat onbepaald is, in de kleinste, de verhouding pb tot de halve opening pd; en eveneens onbepaald de brandpunts­afstand ne van de oculairlens. Maar laat al het overige op dezelfde manier geconstrueerd zijn. Verder is in de grootste microscoop de afstand PB = b, waarmee namelijk het lensje P van het object verwijderd is. PN = c; NE = d. Van de halve opening is de breedte PD = a. De lengte van het object is BX = h, NK = n. Verder stellen we dat de afstanden PN en PB van bij elkaar behorende punten een verhouding hebben van groter dan 6 of 7 tot 1, en dat de brandpuntsafstand EN groter is dan de brandpuntsafstand PO. zoals deze in dergelijke microscopen gewoonlijk behoren vastgesteld te worden. Maar in de kleinere microscoop nemen we de afstand pb = f ; en de gezochte halve opening pd = x. Nu zal pn = cf/b zijn omdat we PB, PN en pb, pn evenredig stellen. Maar als zou gelden: zoals BP tot PD, zo bp tot pd, blijkt dat pd = fa/b zou worden, en de afwijkingshoek bdq, van de straal komend uit n naar lens p, zou gelijk worden aan de afwijkingshoek BDQ van de straal komend uit N naar lens P: omdat zoals in het vorige voorstel ook hier geldt: zoals NP tot np, zo PB tot pb, en zo ook de brandpuntsafstand PO tot po. }

[ 571 ]

Maar omdat ik nu de halve opening pd = x stel, en niet = fa/b, zal gelden volgens de voorafgaande hulpstelling [<]: zoals de kubus van fa/b, dat is, zoals f 3a 3/b 3 tot x 3, zo hoek BDQ tot hoek bdq.   Anderzijds, als gelijk waren de hoeken NDK en ndk, zou NK tot nk geacht worden te zijn als PN tot pn. Maar nu wordt de verhouding NK tot nk beschouwd als samengesteld uit PN tot pn, en die van hoek NDK tot ndk; dat is uit de verhoudingen PB tot pb of b tot f , en van hoek BDQ tot bdq; waarvan we gezegd hebben dat die dezelfde is als van f 3a 3/b 3 tot x 3, of van f 3a 3 tot b 3x 3, en daarom zal NK tot nk zijn als bf 3a 3 tot fb 3x 3, dat is als ffa 3 tot bbx 3. En daar NK = n, zal nk = nbbx3/ffa3 zijn. En opdat nu de afwijkingshoek binnen het oog in beide gevallen gelijk wordt, zouden de hoeken KMG en kmg gelijk moeten zijn; maar in plaats hiervan zullen we nemen KMN en kmn, evenals boven met verwaarlozing van de toegevoegde hoeken NMG en nmg, omdat ze zo klein zijn ten opzichte van die, en ook meer dan in het voorgaande onderzoek. Zoals dus NK tot NM of NE, dat is zoals n tot d, zo zal geacht worden te zijn nk tot nm of ne, dat is nbbx3/ffa3 tot ne, welke gelijk zal zijn aan dbbx3/ffa3.   Verder nu, omdat dezelfde lengte van de lijnstukjes BX en bx gezien wordt in de gegeven microscoop onder de hoek EVZ, en in de andere onder hoek evz, moet gelden: zoals EVZ tot evz zo PBD tot pbd. Want zo zal het opgevangen licht in beide microscopen zijn als de schijnbare grootte, en daarom voor beide de helderheid gelijk. Dus door verwisselen: hoek EVZ tot PBD is als evz tot pbd.

[ 573 ]

Nu wordt de verhouding EVZ tot PBD samengesteld uit de verhoudingen van hoek EVZ tot EPZ of BPX, en BPX tot PBD; dat is uit de verhoudingen PE tot EV, of PN tot NE, en BX tot PD; dat is uit de verhoudingen c tot d, en h tot a, en daarom is het die van ch tot da. Dus ook de verhouding van hoek evz tot pbd moet zijn die van ch tot da. En deze verhouding van hoek evz tot pbd wordt samengesteld uit de verhoudingen van hoek evz tot epz of bpx, en bpx tot pbd; dat is uit de verhoudingen pe tot ev, of pn tot ne, en bx tot pd; dat is uit de verhoudingen cf/b tot dbbx3/ffa3, en h tot x: en daarom is het die van hcf/b tot dbbx4/ffa3. Dus is de verhouding ch tot da dezelfde als die van hcf/b tot dbbx4/ffa3. Waaruit komt x4 = f 3a4/b3. En x = a√√(f 3/b3).   Maar als we nu willen dat de gevonden microscoop het geziene twee keer zoveel vergroot als de gegeven microscoop: dan moet (om dezelfde reden die we uiteengezet hebben in het vorige onderzoek) de hoek dbp twee keer zo groot zijn als DBP; en daar BP tot DP is als b tot a, zal moeten gelden bp tot pd, dat is f tot a√√(f 3/b3) als b tot 2a. Waaruit komt f = 1/16 b, en hieruit: x, of a√√(f 3/b3) = 1/8 a. En de brandpuntsafstand en, die was dbbx3/ffa3, wordt 1/2 d.   Volgens deze redenering kan men, uitgaande van onze microscoop (waarvan we de maten hebben aangegeven in het vorige onderzoek [<]), een andere maken die tweemaal zoveel vergroot in diameter (met handhaving van dezelfde helderheid en scherpte), waarin po zal zijn 7/160 duim, en = 1, de afstand np = 7/16 , pb = 7/144 , ev = 23/7 , de halve openingsdiameter pd = 1/160 . En zo kan men verder voortgaan volgens wat deze regel voorschrijft, door de brandpuntsafstand po van het lensje willekeurig klein te maken. Want noch de afwijking ten gevolge van de lensvorm, noch donkerheid zullen ooit schadelijk zijn, ze blijven immers steeds hetzelfde.

[ 575 ]

En ook zal de andere afwijking die ontstaat uit kleurschifting van de straal geen belemmering zijn, aangezien deze voortdurend verkleind wordt. Maar de bundelbreedte naar de pupil zal dezelfde blijven als in onze microscoop, want deze breedte was daar ei = ad/c, zoals boven bewezen is [<]. En hier, omdat zoals np, dat is cf/b, tot pd, dat is a√√f 3 / √√b3, zo ne, dat is d√√f / √√b, tot ei, zal weer gelden ei = ad/c.   Dus is er volgens deze regel een onbegrensde voortgang in het vergroten van de sterkte van de microscoop, als we stellen dat willekeurig kleine lensjes gemaakt kunnen worden.   Maar in deze onderzoekingen hebben we bepaald dat steeds de hand gehouden werd aan dezelfde verhouding van BP tot PN, namelijk die de afstanden hebben van bij elkaar behorende punten tot lens P. Ook zonder dit te doen kunnen we evenwel algemene regels vinden, enigszins verschillend van de vorige, en toch gericht op hetzelfde. Deze zullen we in het kort geheel beschrijven, met weglating van de opsporingsmethode, om niet al te lang hier te blijven steken. Maar ze berusten op dezelfde grondslagen die we al uiteengezet hebben.

[ 577 ]

Propositio XIX   Met herhaling van de figuur van voorstel XIV, als verlangd wordt een microscoop, samengestel uit twee bolle lenzen e en p, die een gegeven brandpunt­safstand e heeft van de oculairlens, en eveneens een gegeven vergroting, en waarin de hoek van de afwijking ten gevolge van kleurschifting van de straal, en ook de helderheid, dezelfde is als in een andere gegeven microscoop, samengesteld uit de lenzen E en P; dan is te vinden de brandpuntsafstand p van de onderste lens, en zijn positie en opening, op de volgende manier.   Laat van de oculairlens e de brandpuntsafstand en gegeven zijn, gelijk aan een lijnstuk d. En laat verlangd worden dat de schijnbare grootte zich verhoudt tot de grootte die men zou zien vanaf een bepaalde afstand, bijvoorbeeld 8 duim [<], (welke afstand genoemd wordt ω) als ω tot een gegeven lijnstuk q. En laat gezocht worden een afwijkingshoek, die we nmk genoemd hebben [<], gelijk aan hoek NMK, in de andere gegeven microscoop; welke hoek we definiëren met de verhouding van lijnstuk KM tot KN, of EN tot KN, en laat deze zijn die van ω tot een gegeven s. Zodat namelijk en tot nk deze zelfde verhouding heeft. Laat tenslotte ook dezelfde helderheid verschaft moeten worden als in de gegeven microscoop, wat zal gebeuren als, bij een gestelde breedte van het object bx = BX, de verhouding van hoek zve tot dbp dezelfde is als van hoek ZVE tot DBP, zoals uit het voorgaande begrepen wordt [<]. En laat deze verhouding zijn die van ω tot g; deze wordt hieruit gevonden dat hij samengesteld is uit de verhoudingen van hoek ZVE tot ZPE of BPX, en BPX tot PBD; dat is, uit de verhoudingen PE tot EV, of PN tot NE (wegens de evenredigheid van PN, PE en PV), en de verhouding BX tot PD. Laat verder BX genoemd worden h; en de gevraagde brandpuntsafstand van het lensje po = y; de afstand tot het object pb = x. En de regel zal zijn als volgt: y = 50.sqqdd / (gh. in qu.(q + d)). Als y dan bekend is zal ook x gevonden worden, en deze zal zijn (qy + dy) / d.

[ 579 ]

En de halve openingsdiameter pd zal zijn 50.dqs / (ωq + ωd). Waarbij te weten is dat het getal 50 daarvandaan komt dat bij deze afwijking, die van kleurschifting komt, altijd gesteld wordt BQ = 1/50 PD, zoals in het voorgaande gezegd is [<]; pn tenslotte zal zijn = (dy + qy) / q. Nu blijkt, omdat hier de waarde y ook zo uitgedrukt kan worden: y = 50.sdd / (gh + 2ghd/q + ghdd/qq), dat hoe kleiner q gesteld wordt, dat is hoe groter de vergrotingsfactor ω tot q, des te groter de deler van deze hoeveelheid zal zijn, en des te kleiner daarom de lengte y, of de brandpuntsafstand po. en dat zo, door het lensje p te verkleinen, de sterkte van de microscoop vermeerderd kan worden zoveel men wil; tenminste voorzover de andere afwijking dat niet in de weg staat, die afhangt van de bolvorm van het oppervlak (hiervoor zullen we straks een andere regel toepassen).   Maar als we stellen dat het lensje p gegeven is, en niet het oculair e, zullen we vinden dat dan de vergroting niet vermeerderd kan worden, of maar weinig. Want als de gegeven brandpuntsafstand po genoemd wordt r, terwijl de overige letters hetzelfde betekenen als eerst, zal gevonden worden: xx = 50.qqrs / hg. Waaruit blijkt: hoe kleiner q gesteld wordt, dat is hoe groter de vergrotingsverhouding ω tot q is, des te kleiner wordt x.

[ 581 ]

Maar toch moet x, of pb, groter zijn dan r, of po. Dus als in een dergelijke microscoop vanaf het begin gesteld wordt: pb kleiner dan tweemaal po (zoals in het algemeen gedaan moet worden, en in de onze, hierboven beschreven [<], is pb tot po maar als 10 tot 9), zal q niet tweemaal zo klein als eerst genomen kunnen worden; dat wil zeggen, de vergroting zal niet verdubbeld kunnen worden, omdat x de helft zal worden van de vorige, en daarom kleiner dan r.   Elke vervolmaking van een dergelijke microscoop moet dus gezocht worden in de kleinheid van het onderste lensje; door te berekenen volgens het voorgeschrevene van de regel zoals die gegeven is, wanneer de afwijking door de lensvorm niet nadelig is, dat is: wanneer de hoek NMK ervan onder 20' blijft [<]. Maar als een grotere vergroting verlangd wordt, moet uit een gegeven microscoop, waarin deze hoek niet groter is dan 20', een andere gevonden worden volgens een regel, die als volgt is: y = 6d4q4s / (7gh3 (q + d)4), waarbij weer zal gelden: x = (qy + dy)/d,  pn = (dy + qy)/q. Maar pd wordt hier = √ 3 (6sqdy2 / 7(ωq + ωd)). En bovendien is te weten dat voor de verhouding ZVE tot DBP in de gegeven microscoop nu gesteld wordt die van √ 3ω tot √ 3g. En op deze manier kan q verminderd (d.w.z. de vergroting vermeerderd) worden zoveel als men wil, terwijl de oculairlens dezelfde blijft, en ook de gezichtsscherpte en de helderheid. Maar de brandpuntsafstand van het kleine lensje zal meer afnemen. Het getal 6/7 nu, dat voor deze grootheid gezet wordt, komt daar vandaan dat we stellen dat het lensje p platbol is, met het platte oppervlak omlaag gericht; daarbij is de afwijking ten gevolge van de vorm voor de uiterste straal die met de as evenwijdig is: 7/6 van zijn dikte, zoals dit eerder is aangetoond [<]. Zo zou, als het lensje p aan weerskanten even bol gesteld werd, het getal ervoor 3/5 zijn, omdat de afwijking van een dergelijke lens 5/3 van zijn dikte uitmaakt [<].

[ 583 ]

Overigens, om van elk van beide regels een voorbeeld te geven, en eerst van de eerste, waarin y = 50.sqqdd / (gh. in qu.(q + d)), het is te weten dat men hiermee moet beginnen, dat de lijnstukken s en g gevonden worden, zo groot als ze in de gegeven microscoop zijn. En wel wordt s = 1/25 duim, omdat daar de verhouding EN of MK tot NK, dat is ω tot s, gevonden was als die van 200 tot 1 [<]. Gesteld wordt immers ω = 8 duim, en zoals 200 tot 1, zo is 8 tot 1/25 . Maar g wordt bevonden = 16/7 , omdat de verhouding ω tot g gezegd werd samengesteld te worden uit de verhoudingen PN tot NE, en BX tot PD; en deze samengestelde komt neer op de enkele verhouding PN tot NE, of 7 tot 2, als BX of h (wat toegestaan is) gelijk gesteld wordt aan PD, die daar was 1/20 ; want zoals 7 tot 2 zo is 8 tot 16/7 . Maar welke waarde men ook geeft aan h, steeds zal de grootheid gh dezelfde zijn, bij een gegeven microscoop. Maar als we nu stellen dat d in de gevraagde microscoop hetzelfde is, als wat hij in de onze was [<], namelijk d = 2; maar dat we willen dat de vergrotingsverhouding ω tot q is van 72 tot 1, dat is tweemaal zo groot als in de onze, zodat q = 1/9 wordt; dan zal hieruit volgens de regel gevonden worden y = 70/361 , en de overige al naar gelang ze bij de uitleg van de regel bepaald zijn. Maar als, met ditzelfde zo gesteld, besloten wordt d = 1 duim te nemen, wordt gevonden y = 7/40 en pd 1/40 , geheel zoals in het eerste onderzoek, waar dezelfde verhouding BP tot PN gehandhaafd werd [<]; en dit bevestigt de juistheid van deze regel.   Met de laatste regel, waarin y = 6d4q4s / (7gh3 (d + q)4), na eerst gezocht te hebben s en g zo groot als ze in de gegeven microscoop zijn, rekening houdend met de afwijking door de lensvorm, wordt echter gevonden s = 1/84 duim, omdat daar de verhouding EN of MK tot NK, dat is ω tot s, gevonden is als die van 672 tot 1 [<]; want zoals 672 tot 1, zo is ω of 8 tot 1/84 .

Maar g wordt bevonden = 64/343 , omdat de verhouding √ 3ω tot √ 3g, dat is de verhouding van hoek ZVE tot DBP, gezegd werd samengesteld te worden uit de verhoudingen PN tot NE en BX tot PD, welke samengestelde neerkomt, zoals even hiervoor, op de enkele verhouding PN tot NE, of 7 tot 2. Zoals nu 7 tot 2 is, zo is √ 3ω of 2, tot 4/7 ; wat dus gelijk is aan √ 3g, en daarom is g = 64/343 . Maar welke waarde men ook geeft aan h, hier zal bij een gegeven microscoop de grootheid gh3 altijd dezelfde zijn. Maar als we nu willen dat d in de gevraagde microscoop hetzelfde is als in onze gegeven microscoop, namelijk d = 2 duim, en de vergrotingsverhouding ω tot q tweemaal de onze, dat wil zeggen die van 72 tot 1; dan zal q = 1/9 zijn; en hieruit zal nu volgens deze tweede regel gevonden worden y = 1/19 ten naaste bij. En de overige zoals ze bepaald zijn in de uiteenzetting van de regel. Maar als, met ditzelfde zo gesteld, besloten wordt d = 1 duim te nemen, zal gevonden worden y = 7/160 en pd = 1/160 , geheel zoals in het tweede bovenstaande onderzoek [<], waarin gehandhaafd werd de verhouding BP tot PN, wat de juistheid van deze laatste regel bevestigt. [ Einde van het derde deel ]