WILLEBRORDI SNELLI A ROYEN, R. F.DOCTRINAETRIANGULORUMCANONICAELIBRI QUATUOR,Quibus CANONIS sinuum, Tangentium,& secantium constructio, |
|
TRIANGULORUM tam PLANORUM quam SPHAERICORUM expedita dimensio, |
|
breviter ac perspicuè traditur: |
|
Post mortem Autoris in lucem editi à MARTINO HORTENSIO Delfensi; |
|
Qui istis Problematum Geodaeticorum & Sphaericorum tractatus singulos adjunxit, quibus praecipuarum utriusque Trigonometriae propositionum usus declaratur.
LUGDUNI BATAVORUM, |
| [ * 2 ] | [ v ] |
|
Illustrissimis Potentissimis DD. O R D I N I B U S HOLLANDIAE & WEST-FRISIAE. Amplissimis Prudentissimisque DD. PRAETORIBUS, CONSULIBUS, SYNDICIS inclitarum Rerumpublicarum |
| DORDRACENAE, DELFENSIS, ALCMARIANAE. Studiorum Mathematicorum Patro- nis summis. Illustrissimi, Potentissimi, Prudentissimi Domini |
| INTER omnes Mathematicae scientiae partes, quae variae sanè sunt ac vastae, nulla aequè jus primum & praerogativum tenet ac Geometria: & huius quidem membra cum duo sint, Dimensio scilicet Planorum & Solidorum, utraque comprehendit ac mensurae certae subiicit, quicquid ullibi in toto Mundo corporeum ac sensibus expositum: sive enim Coelum scandimus & aeternas nobilissimorum corporum periodos, vagas atque in multiplici errore constantes tamen motuum leges mente percurrimus: sive Terram domicilium nostrum, & in eâ omnium rerum pulcherrimum statum ac ordinem intuemur, ubique illud divini Platonis |
| [ * 2v ] | [ v ] |
|
divinum 'akroama; ton theon pantôn malista geometrein'*) in totâ rerum naturâ luculenter deprehendimus. Nec tam Geometria reliquas partes nobilitate antecellit, quin etiam in singulis eluceat adeo oportunus illius usus, ut sine eâ consistere nequeant; & ut ex ungue leonis, unica Triangulorum doctrina quibus non modis iisdem ancillatur? haec mihi Astronomiam, Geographiam, Geodaesiam, Architecturam militarem, Opticam, non tantum ut basis ac fundamentum sustinet, verum etiam plane perficit ac consummat; Astronomiae quidem una pars quae doctrina primi mobilis vulgo dicitur, nonne tota pendet a calculo tripleurorum°) sphaericorum? quibus vera astrorum loca, commodis instructi organis inquirimus, eorumque ortus, occasus, arcus diurnos, nocturnos, ascensiones & descensiones, omni loco & tempore ob oculos ponimus? altera vero quae doctrinae theoricae nomine venit, & circa Planetarum versatur motus, nunquid beneficio Triangulorum planorum constituitur? sagax enim humana mens, cum nullo modo tantam motuum varietatem comprehendere possit, nedum in futurum praedicere; auxiliares ab hoc nostrâ Trigonometriâ petens copias, eousque coelestem illam arcem oppugnat, ut suppositis quibusdam hypothesibus eum tantum non expugnet, verum etiam ita sibi subiiciat, ut ejus meatus & anfractus varios, omnemque supellectilem inspiciat, & in
[ *) Vergelijk 'ton Theon aei geômetrein', in Hortensius' Oratio de dignitate et utilitate Matheseos, Amst. 1634, p. 9.] [ °) Zie p. 114: Prop. V, "Tripleurum sphaericum est quod a tribus maximorum circulorum peripherijs continetur". Gr. 'pleura': zijde.] |
| [ * 3 ] | [ v ] |
|
omne seculum posteritati annumerare sciat quid in ea quovis tempore futurum sit, quae stationes, regressiones, syzygiae, quis corporum situs ac motus, quaeve praecipuarum partium 'schèmata kai diastèmata', ausa hoc pacto tentare rem ut Plnius, etiam Deo improbam.*) Nec minus Geographiae principia sua nostra doctrina suppeditat; haec enim rationem Æquatoris ad Parallelos, Climatum latitudines & incrementa, umbrarum rationes, locorum quorumcunque distantias, terrarum descriptiones, accurate tradit; haec Nauticam Geographiae animam per se infirmam sustentat, dum Loxodromiarum affectiones & intricatas rationes planas facit, naviumque quibus tot quotidie divitiae tam vasto Oceano committuntur, directiones secure administrare edocet. In Geodaesia vero, qualecunque tandem agrorum dimetiendorum munus incumbit, id omne Trigonometria planorum, adminiculo Tabularum Canonicarum facillime expedit: Tabulae Chorographicae delineandae sunt? haec distantias locorum suppeditat; turrium, montium, aedificiorum altitudo requiritur? ad Triangulum itur; hi gradus, hae scalae, quibus rem alioqui per se inaccessam conscendimus: antiquissimum illud Radij instrumentum, quo facillimo calculo Geometrae terras, maria, flumina, Caelique meatus describunt, nonne meris triangulis rectangulis
[ *) Hortensius citeert deze woorden van Plinius (Historiae naturales, 2, cap. 26) uitgebreid in 'Candido ac benevolo Lectori', bij zijn vertaling Institutio astronomica De usu Globorum & Sphaerarum (van W. J. Blaeu, Tweevoudigh onderwijs), 1634, p. *4v, "Hipparchus ... ausus (rem etiam Deo improbam) annumerare posteris stellas".] |
| [ * 3v ] | [ v ] |
|
constat? ut vel hinc jure merito dicatur Triangulum Rectangulum Magister est Matheseos: miraculo fuit Thales Milesius quod altitudinem Pyramidum Ægyptiarum per umbram deprehenderit, obsrvato tempore quando umbrae corporibus pares sunt; at nunc eadem praxis facta est expeditior, ut quamvis nubilo coelo, tamen hoc vel alio instrumento exerceri possit per similitudinem angulorum & laterum proportionem.*) Quid in re Militari? an non Castrorum metationes, Tormentorum directiones, Munitiones urbium & oppugnationes hac Triangulorum planorum Mechanice absolvuntur? certe nullus hodie Archtectus tam temerarius, qui castra militiamque sequatur; & non modico saltem tabularum Canonicarum instructus sit usu; quanquam non ignorem reperiri quosdam qui non hanc solum partem, verum etiam intima Geometriae adyta penetrarunt, adeo necessariam rebus suis eam iudicantes. Denique nobilissima Opticae scientia, quae circa Visum, Lucem, Umbram, & Colores versatur, plane nulla est sine hac Doctrina: haec enim quantitatem reflexionum ac refractionum Lucis in speculis & corporibus pellucidis metitur, diversitatem umbrae imaginisve rei explicat, & mirabiles illas specierum apparentias in politis superficiebus corporum, aut tollere docet aut efficere: haec mortalium [ *) Op p. 104 noemt Hortensius een eigen meting: de hoogte van een wolk, 8 juli 1627, samen met iemand anders.] [ °) Simon Stevin, Castrametatio, dat is Legermeting, Rott. 1617, overzicht.] |
| [ * 4 ] | [ v ] |
|
animos subducit in coelum, & beneficio umbrarum Telluris & Lunae, trium maximarum rerum naturae partium magnitudinem, umbraeque ipsius extensionem in longum & latum detegit. Cum ergo tanta sit huius doctrinae utilitas Illustrissimi Ordines, Prudentissimi Consules, quid mirum si inde ab ultima antiquitate praestantissimi Mathematici eam adeo sedulo excoluerunt, semperque ei nova accessio facta sit? multa equidem ac praeclara inventa Hipparchi, Menelai, Ptolemaei, summorum virorum, sed quibus inde a restauratione harum disciplinarum, Recentiorum indefessum studium ac improbus labor longe utilissima ac facillima adiecit: postquam enim in possessionem artis venere Germani, primus Ioh. Regiomontanus ignei vir ingenii, universalem Trigonometriam in unum corpus redegit, facilitatem calculi abacis*) induxit, omnem divisionis molestiam ubicunque sinus totus est primo loco declinans: post hunc Georg. Ioachimus Rheticus in vasto illo opere Palatino summam manum eidem imposuisse videri poterat, conditis tabulis ad sinum totum decem circulorum, & ad dena scrupula secunda; sed quid post eum Clavius, Finckius, Pitiscus, aliique praestiterint, facile iudicare possunt ii qui operibus eorum legendis seriam adhibuerunt operam. Itali vero neminem suo Maurolyco Maginoque praeferent, sicut nec Galli magno [ *) Vergelijk Snellius op p. 6: "Regiomontanus ... Mathematicos Abacos" en p. 62: "nostri abaci". Later: "Copernicus ... Canonem confecit, sive Abacum, computandis omnibus monetarum generibus", in P. Gassendi, Tychonis Brahei ... vita, Par. 1654, p. 3; en op p. 55: "longitudinum, & latitudinum Abacus".] |
| [ * 4v ] | [ v ] |
|
suo Vietae: subtilia sunt eorum inventa & commodus usus: sed quid de Belgis? impius sim in patriam si non & horum industriae meminero: Ingeniosissimus Adrianus Romanus fundamenta tabularum Canonicarum solida iecit, erutis & vastissimis numeris expressis Polygonorum antea incognitorum lateribus: Reverendus Philippus Lansbergius Trigonometriam Ptolemaei, Regiomontani, Copernici, methodice contrahendo, pluraque e suis adjiciendo, insigne meruit apud omnes candidos eruditionis praeconium; mitto nunc viros praestantissimos S. Stevinum, A. Metium, N. Mulerium, quos omnes idem tetigit propagandae huius doctrinae desiderium: Verum-enimvero inter tot tantosque ejus instauratores, haud quaquam Spartae suae quam ornandam acceperat, defuit vir Clarissimus D. W I L L E B R O R D U S S N E L L I U S: ipse enim annis abhinc aliquot totam Trigonometriam a fonte arcessere, novisque & rarissimis inventis illustrare coepit, jamque opus digesserat & praelo destinarat, cum ecce Deus omnipotens charum caput, decus patriae nostrae, e medio annorum curriculo ad beatas sedes transfert: quanto ea res omnes eius notos ac familiares dolore affecerit, Illustrissimi, Prudentissimi Domini, non est quod multis narrem; illud testor, iniquissimam nobis & hisce studiis fuisse sortem: opus namque confusum, imperfectum, ac magnâ ex parte mutilum reliquit, |
| [ * 5 ] | [ v ] |
|
& fuit metus nunquam id lucem visurum, nisi sedula Typographi obstitisset cura, cuius petitioni refragari, simul & Viro optime quondam de me merito officium hoc qualecunque negare, inhumanum ducebam atque ingratum; subij itaque lubens hoc onus, & in ordinem redactis singulis partibus, additis etiam nonnullis quae desiderari videbantur, foetum istum praecocem nedum perfectum in publicum emisi, futurum sperans, ut omnes illi, quibus Autor ipse plenius satisfacere potuisset, nunc quoque libenter hunc rudiori manu perpolitum, excusatum habituri sint, nec duriori judicii rigore prosecuturi, maioremve perfectionem desideraturi, quam res tempusque ferre potuisse ipsis videbuntur.
|
| [ * 5v ] | [ v ] |
|
Vobis etiam Viri Amplissimi D. Consules, vel eâ de causâ quod confidam eam vestram fore humanitatem, ut quas aliquando disciplinas Urbibus vestris splendorem addidisse nostis, eas nunc in clientelam vestram benignissime recipere non dedignemini.
|
|
Illustrissimae Potentissimae Magnitudini Consultissimae Amplitudini vestrae |
Subjectissimus MARTINUS HORTENSIUS D. B.*)
|
|
[ *) D. B.: Delfensis Batavus / Belga. "Delfensis Batavus" komt enkele malen voor in Album studiosorum Academiae Lugduno Batavae (Den Haag 1875), o.a. p.245: 9 sept. 1632, Ludovicus Heinsius.] |
| [ * 6 ] | [ v ] |
| LECTORI BENEVOLO. |
|
ANNUS nunc est & quod excurrit, ex quo Clarissimus D. SNELLIUS 'ho makaritès' librum hunc praelo committere coepit; cumque partim per occupationes Typographorum, partim diuturnum ipsius morbum, res lente admodum procederet, factum ut illo praematurâ morte terris erepto, nihil praeter Canonem Triangulorum typis excusum manserit: ibi tum nos continuo desperare de editione libri, imo de plenaria eius abolutione ambigere, D. IOH. MAIRE angi animo ne opera & impensa perijsse posset: Invento tandem autographo, longo post tempore nescio quo fato potestatem videndi mihi facit, simul operam flagitat in re tam necessaria. Quid facerem? tenuitatis meae eram conscius, scripta perplexa, confusa, mutila; videbam Atlanti Hercule opus esse ad sustinendum hoc coelum; tempus longum laboresque insuaves exhauriendos; sumpsi tamen animum, & cum officium hoc humanissimo viro negare non possem, rem aggressus editionis curam in me recepi. Vix pedem in vestibulo posueram, cum perlustratis scriptis non pauca deesse viderem ac depravata, quibus medicam qua potui manum adhibendo, tantum effeci, ut integer saltem (etsi non eo forte nitore quo ab ipso Autore erat induendus) prodiret liber: statueram quidem initio, ea quae adjeceram uncis huiusmodi [ ] includere, sed cum jam bona pars libri primi impressa esset, & Typographus ijs omissis similem omnibus suis membris fecisset textum, ego quoque postea nihil mutandum ratus, speravi lectorem Mathematicum id facile ex diversitate styli animadversurum. Quod ad calculum attinet, is plane de novo reiterandus mihi fuit ingenti molestiâ, nec tamen eum omnino 'apseudèn' spoponderim, tu amice Lector imitare, & si quicquam peccatum emenda: usus enim sum tabulis quas hic habes, quibus ut id te |
| [ * 6v ] | [ v ] |
|
obiter moneam, cave ne nimium confides, cum editae sint vivo etiamnum Autore, cui tantum otij non fuit ut eas relegere, nedum omnia vitia emendare potuerit: subieci quoque utrique Trigonometriae Problematum singulos tractatus, idque in tuum potissimum commodum; & quam vellem id ab ipso Autore praestitum ! habuit scio singularia, tum in hisce tum in alijs quorum ipse mentionem propos. 7 Appendicis facit*); sed ea omnia praeceps eius Fatum nobis abstulit; id culpa si in opere hoc quicquam deprehenderis quod exacti eius judicij limam passum non fuit, aut etiam animi nostri propensionem, quâ omnibus difficultatibus superatis, huc usque rem perduximus: scio non defuturos, qui haec in fastum & arrogantiam dicta interpretabuntur, uti hodie calumnijs potius quam favore agitur, sed eos nihil moror: modo aliqua de Mathematicis bene merendi conceditur occasio, officio meo haud-quaquam deero; sed quid ajo? invidiaene deprecatio mihi speranda, quae ne maximis quidem Viris concessa fuit? |
|
Quisquis es ex illo Zoïle nomen habes:°) |
|
Tu modo benigne Lector conatibus nostris fave, & haec usui studijsque tuis Mathematicis dicata habeto, ac nos quod plane confidimus constanter amando. VALE.
[ *) 'Appendix de Construct.' vanaf p. 33 ('De constructione et fabrica Canonis sinuum plenior & ulterior commentatio', na Liber I). Prop. 7 staat op p. 58; op p. 60 (eind Prop. 8): "Habeo alia in secantium & tangentium tabulis construendis compendia, verum illa adhuc maturitatem quandam suam expectant".] [ °) Ovidius, Remedia Amoris, 366.] |
| [ * 7 ] | [ v ] |
jucundissimum, optimum Amicum;
MARTINUM HORTENSIUM.
|
DAmnosa flebam funera SNELLII; Conquestus in Parcam illachrymabilem, Quod saeva Musarum perenne Surriperet columen mearum; Et quod; recludens immerito mori*) Fatale bustum; tam sapiens caput, Quodque Archimedes ipse adoret; Ad gelidas traheret catervas. MARTINE flebam: tu quoque lugubres Fletus ciebas: at sua SNELLIUS Post fata vivet, cum superstes Posthumus hic merito libellus Tuo politus, carior Indico Auro, refulget marmore purius. Sic arte Musam SNELLIANAM Ad proprios acuis labores: Sic Ptolemaei te vigor ingenj Oblectat: & sic spiritus igneus Euclidis. ô MARTINE pergas, Nec titulos fugias futuros. |
Scribebat |
| HUGO BOXEL°), L. A. M.#) |
|
[ *) Horatius, Carmina 3, 2.21: "Virtus, recludens inmeritis mori / caelum, ..."] [ °) Hugo Boxel, ca. 1607 (Album stud. Leiden: 17 maart 1623, 16 T) - 1680 (veilngcatalogus), had later een briefwisseling met Spinoza over het bestaan van geesten en spoken, zie: Jonathan I. Israel, Spinoza, Life and Legacy, Oxford 2023, p. 902 e.v. Zie ook: Wim Klever, 'De spoken van Hugo Boxel', in Bzzletin 22 (1992-93) p. 53-64. B. de Spinoza, Opera (1677) iv, Epistola LV - LXXII. In Epistola LXIII (3 jan. 1675):
- bij F. Burgersdijck 'De mundo et coelo' en 'De sensu interno ...' (1624), - 'Disputatio inauguralis, continens assertiones miscellaneas philosphicas' (1626), alledrie gedrukt door Joh. Cornelisz Wourdanus, die het hierna volgende lofdicht schreef. En 2 juridische werken: Gorc. 1666 (Gen. 1677, Leiden 1686) en Gorc. 1670.] [ #) Liberalium Artium Magister.] |
| [ * 7v ] | [ v ] |
| IN TRIGONOMETRIAM |
| Clarissimi Viri |
| D: WILLEBRORDI SNELLII, |
|
post mortem ejus in lucem editam. |
|
PErdius & pernox manibus dum Circinus errat, Et vastum Radio metitur SNELLIUS orbem, Arte Syracusio Sene non minor, altius omnes Scrutatur terraeque sinus, ductusque secantes, Et labyrintheo contortos more recessus. Mox numeros & verba docet, quadrata rotundis, Quove modo possis mutare rotunda recurvis. Nil dubij jam Conus habet, teretesque Cylindri, Nilque sublimis sese inter nubila condit Pyramis, & Gnomon meliori limite signat. Nec satis haec tentasse Viro; mens praepete pennâ Astra super, primas repetens ab origine sedes, Evehitur visura Deos, visura Penates Divûm, atque aeterno labentia sydera motu. Hic dum Semideis multum miscetur, & ortus Stellarumque obitus, & quae natura negavit Visibus humanis, attentius usque revolvit, Non saturata tamen totum percurrit Olympum, Extra Anni Solisque vias, facilisque jugales Phoebus, & auratos axes currusque ministrans, Ut solet, admissas manibus moderatur habenas. Interea Terras summo prospectat Olympo, Cunctaque vel solo cernit concurrere puncto SNELLIUS, & vanâ delusus imagine rerum, Spernit humum, & quicquid terrarum amplexibus haeret Ridet, & insani nimium ludibria Vulgi; Coelestique locum designat Iupiter arce Pro meritis operum, spatioque Triangulus amplo |
| [ * 8 ] | [ v ] |
|
Accipit*), indigetemque locat, quâ clarior ignis Emicat, & trinos vocat in certamina solus. Iamque Aries cornu, rutiloque notabilis igne, Flectit iter, limis Taurumque adspectat ocellis: Cassiopaea sui capitis Diademate cingit, Submittitque ultro fasces, ac cedit honore Magnus Abantiades, & dirae Gorgonis orae Mitius avertit, pedibus dum vincula nectit. Primus ibi e multis magnâ comitante catervâ Amplexus ruit in medios, dextrâque salutat, Et Batavum tanto dignatur Aratus honore,°) Alphonsusque, caput cinctus Diademate, gressus Dirigit, & solio Cimbrorum gloria Tycho Collocat, agnoscens vultum venientis & ora. Pone tamen luctus tanto viduata Magistro Patria, nec cessent volitare aplustria Tiphy, Alter Tiphys adest, Batavam qui diriget Argon. Iamque, animae pars magna meae, succedit Atlanti Amphitryoniades#) magnis HORTENSIUS ausis, Atque laborantem Vestam, coelumque ruinam Cum sonitu minitans, supposto vertice fulcit. Vivant faelices tali rectore Batavi, Vivant, & DELPHI tanto laetentur alumno. At vos faelices animae, quas vivida virtus Extulit, & patrio pietas asscripsit Olympo, Gnosiacae Heroi servetis serta Coronae.+) |
Ludebat |
| IOH. CORNELI Wourdanus.†) |
|
[ *) Vergelijk Caspar Barlaeus, 'In Obitum Clarissimi Viri, & Mathematici incomparabilis, Willebrordi Snellii', Leiden 1628, r. 41 (p. 144, eind): "spatio majore Triangulus optet / Posse capi". Nog opvallender is (10 regels hierna) de overeenkomst met r. 47: "Aratus, / Alphonsusque senex, & Cimbrûm maxima Tycho / Gloria". Verder, r. 86: "aplustria puppis", en r. 88: "Tiphys abest" (p. *8); r. 92: "Qua radio vastum descripsit gentibus orbem" (p. *7v, begin). In het volgende gedicht 'In ejusdem obitum', r. 3: "visura Deos, Divûmque penates" (zoals halverwege p. *7v); en (zoals 6e regel van onder) r. 11: "Quin stupet ipsa suos nusquam se cernere Belgas, / Cunctaque sub puncto regna coire brevi".] [ °) Aratus, 'Phaenomena', in ed. Hugo de Groot, Hug. Grotii Batavi Syntagma Arateorum opus, Leiden 1600.] [ #) 'Amphitryoniades' komt ook voor in een gedicht van D. Heinsius op J. Cats, Sinne- en minnebeelden, 1627.] [ +) In Barlaeus' 2e gedicht (zie 1e noot hierboven), r. 20: "Gnosia serta"; bruidskrans van Ariadne, het sterrenbeeld Noorderkroon, zie ook de namen bij 'Corona Borealis', in: R. H. Allen, Star Names, 1899/1963. Joh. Bayer, Uranometria, 1603, bij Lucida Coronae: "Gnossia seu Gnosia".] [ †) Van 1622 tot 1630 boekdrukker in Leiden, zie: 'Speuren naar sporen van een 17e-eeuwse rector: Jan Wourdanus, rector van de Latijnse school', Jan Willem Klein, Arjan van 't Riet en Marloes Rijkelijkhuizen, in Tidinge van die Goude, 35-3, aug. 2017, 106-113. Van Wourdanus staan nog twee lofdichten in Verhandelinghe van Handt-opleggen, Dordr. 1659, voor Joost Vygh en voor zijn oud-leerling Simon van Leeuwen. Veilingcatalogus: BNF, 9 febr. 1666, met Appendix, 30 nov. 1666; Brill 2015.] |
| [ 1 ] | [ v ] |
WILLEBRORDI SNELLI A ROYEN, R. F. D O C T R I N Æ T R I A N G V L O R V M C A N O N I C Æ, LIBER PRIMUS.
De inventione rectarum Circulo adscriptarum.*) I. PROPOSITIO. |
| Adscriptarum doctrina Canonica est, quando e peripheriis adscriptae earundem relativae; & vicissim ex adscriptis peripheriae per numeros inveniuntur. |
|
GEOMETRIA, sive 'stoicheiôsis', quatenus omnia per circinum & regulam perficiunda sibi proponit, & demonstrat, ita similium omnium Triangulorum affectiones sibi explicandas sumit. Atqui cum omnium angulorum ratio inter se, & comparatio, Geometricè & Apodicticè definitè secundum datam mensuram explicari nequeat, Magni Heroës isti, & inter veteres nominis celebritate facile primi, haud difficulter notaverunt, quid peripheriae beneficio & comparatione rectae inscriptae praestari possit. Itaque jam tum, ante annos bismille, & quod excurrit
[ *) De sinus, tangens, enz. worden beschouwd als lijnstukken. Zie Prop. 2 (met figuur) en Prop. 3 over de naam 'Sinus'. Vergelijk: Simon Stevin, Hypomnemata Mathematica (transl. W, Snellius), Leiden 1608, T. 1, pars 1, lib. 1, 'Doctrinae Triangulorum, De sinuum Canonibus fabricandis', Ned..] |
| [ 2 ] | [ v ] |
|
viri summi, & inter eos princeps Hipparchus eam iniverunt rationem, ut posita semidiametro, particularum quotcumque, inscriptarum quarumcumque quantitas secundum hanc definiretur. Nam ita etiam hodie radium circuli in particulas 100000, 1000000, 10000000, aut 10000000000, tribuimus, & secundum has, descriptas suarum peripheriarum relativas exhibemus per singula scrupula. Neque enim ignotum esse cuiquam potest, qui vel a primo duntaxat limine Geometriam degustaverit, omnem circuli perimetrum in partes 360, quas gradus vocant tributam; ut semicirculo cedant gradus 180; quadranti autem 90. Ad has igitur peripherias, per suos gradus & minuta sive scrupula singula, tanquam minimas particulas quae in usu requiruntur, rectae adscriptae ipsarum relativae referuntur. Et haec quidem Ptolomaeo vocatur 'hè tôn en tôi kuklôi eutheiôn pragmateia'. Quam posteri, & maxime hoc seculo viri docti luculentis accessionibus adauxerunt. Adscriptas autem non ita stricta notione intelligo, ut Geometrae solent; quibus solae circulo inscriptae, vel tangentes hoc nomine veniunt; sed etiam rectas e centro eductas & peripheriam secantes; quemadmodum ista suis locis sigillatim explicabuntur. Harum rectarum usum aliquem in sua circuli dimensione Archimedes expressit; quod consilium Ptolomaeus quoque libro sexto magni operis est secutus. Sed ejusdem longe amplissimus campus per universam Mathesin se diffundit, cum in Triangulis planis, aut tripleuris sphaericis, ex datis tribus terminis reliqui tres inveniuntur: atque ideo etiam ab usu potissimo Doctrina Triangulorum Canonica appellatur. Porro autem cum anguli in centro sint ut peripheriae |
| [ 3 ] | [ v ] |
|
in quas insistunt, inde factum ut ipsae peripheriae pro angulorum mensura assumantur. Ut rectum 90. gradibus; acutum paucioribus; obtusum pluribus definitum intelligamus. atque ita etiam ipsae adscriptae, non tantum ad suas peripherias, verum ad angulos quoque qui in istas peripherias insistunt pariter referantur. Cum, ut diximus anguli mensura sit peripheria, ex ejus vertice, tanquam centro descripta. In peripherijs porro hic & data, & eius complementum saepe in partes vocantur. Nam quod idem de angulis dictum intelligatur. Complementum est datae peripheriae a quadrante, differentia.
Sive peripheria data maior, sive quadrante sit minor; sed ut angulus omnis duobus rectis est minor, ita data peripheria quoque semicirculo semper minor intelligatur, ut si in diagrammate sequento eo assumatur ut data, ejus complementum erit or. Et si iro peripheria major assumatur, nihilo minus erit eadem or ejus complementum. Idem in angulis locum habet, ut, anguli acuti complementum sit ejus à recto defectus: obtusi, ejusdem supra rectum excessus, quae utique negligenda non sunt.
Rectae peripheriarum suarum relativae sunt sinus, tangens & secans. |
UT hic in proposito diagrammate sit a centrum circuli, peripheria oe, radius ae, perpendicularis à termino o in radium ae sit ou, extremae diametro perpendicularis es, & radius per o terminum eductus as. hic ou sinus est peripheriae oe; es tangens ejusdem; & as secans.
|
| [ 4 ] | [ v ] |
|
In Geometria quidem tangens [>] & secans [>] infinite dicuntur, neque ulla certa & definita mensura concipiuntur; hic autem propositis peripheris astringuntur, & magnitudinem habent secundum illas definitam. ea igitur amphibolia tollenda, & suarum peripheriarum modulo erat circumscribenda.
Sinus rectus est recta ab altero peripheriae termino, diametro per reliquum eductae perpendicularis. |
|
SINUS nomen hac quidem notione à Latina lingua est alienum. Et Barbaro illo seculo usurpari coeptum, cum ab Arabibus etiam Graecos scriptores mutuarentur, Arabes enim ut videtur primi pro inscriptis veteri Graeciae usitatis, earum semisses summa cum utilitate adhibuerunt, atque ita a Gebro vertente Gerardo Cremonensi definitur Sinus arcus, medietas chordae peripheriae duplae*), ut hoc nomen a Cremonensi primum in scholas sit illatum, aut cum jam ante receptum esset, ab eo usurpatum. nisi forte ab Appiano sit substitutum, certe Plato Tiburtinus multo Cremonensi recentior, quique Albategnium convertit aliter longe Gebrum loquentem introducit°). Cum ergo (inquit,) chordam cujuslibet gradus ex his chordis mediatis, per tabulam scire volueris, quaere in tabula mediatarum chordarum, &c. chordam igitur medietatis majores nostri Latine sinum dixerint. Quamobrem cum usu jam hoc nomen tritum sit & receptum, ob summam brevitatem sane teneatur. Esto jam data peripheria oe, diameter ei, recta a reliquo
[ *) 'Gebri filii Affla Hispalensis, De Astronomia libri IX', in Petrus Apianus, Instrumentum primi mobilis, Norimb. 1534, fol. b.r: "Sinus rectus primus est medietas chordae arcus dupli ad arcum, cuius est sinus, sive dimidium chordae respectu totius arcus.".] [ °) Rudimenta astronomica Alfragani, Item Albategnius ... De motu stellarum, Norimb. 1537, 'Liber Mahometi Filij Geber filij Crueni, qui vocatur Albategni, In numeris stellarum, et in locis motuum earum ...', vertaling van Plato Tiburtinus (tussen 1134 en 1138), tijdgenoot van Gerard van Cremona. Citaat in cap. 3, p. 7 (r. 15), txt. NB: niet van de eerder genoemde Geber.] |
| [ 5 ] | [ v ] |
|
termino o huic perpendicularis, ou sinus erit peripheriae oe. Vel si assumatur peripheria oey, quam subtendat recta oy. Atque in eam perpendicularis sit radius ae, iste inscriptam oy & peripheriam oey bisecabit, dimidium itaque hujus inscriptae ou relatum ad dimidiam peripheriam or [oe] ejus sinus est. Ptolomaeus, & aliquot antea seculis Hipparchus, & ante Hipparchum quoque hauddubie & Ægyptij & Babylonij tabulas inscriptarum usurpaverunt. Nos majore cum compendio, inscriptarum semisses, sive sinus adhibemus. Porro etiam peripheriae reliquae or sinus ol, est sinus complementi*) datae peripheriae oe vel oi. Itaque Sinus, & peripheriae quadrante minori, & ejus residuo communis est. Residuum autem voco datae peripheriae a semicirculo differentiam, vulgo complementum ad semicirculum, verum cum haec circumlocutio sit molesta, & tutius sit res diversas diversis nominibus distingui, complementum, ut supra definivimus [<], nobis tantum erit differentia inter datam peripheriam & quadrantem, residuum autem excessus semicirculi super datam peripheriam, & ideo data semper semicirculo minor intelligatur. Ut enim inscripta oy basis est sectioni minori oey, & majori oiy communis; ita semissis inscriptae ou, ad utramque peripheriam oe & ori quoque refertur.
[ *) De "sinus van het complement" heet tegenwoordig: cosinus.]
Sinus versus est segmentum diametri inter sinum rectum peripheriae & eius terminum interiacens. |
| UT in eodem diagrammate peripheria data sit or [oe], sinus rectus diametro perpendicularis ou, |
| [ 6 ] | [ v ] |
|
versus erit ue. At si peripheria data sit ori, sinus rectus quidem erit eadem ou; sed versus recta ui. Et Vitello hac voce ista notione usus est prop. 12, lib. 5. & 38. l. 9. & ibidem hanc vocat sagittam.*) Ut hic or complementum est utriusque peripheriae eo & oi, ejus sinus or [ol] vel au: hac radio ae subducta datur ue sinus versus peripheriae oe. Contra si au ad radium ai addas dabitur iu sinus versus peripheriae quadrante majoris oi.
[ *) Opticae thesaurus, Bas. 1572, met: Vitellonis Thuringopoloni Opticae libri X, p. 197, r.4 (bij bolle spiegel) en 395, r.5-4 van onder (bij brandspiegel). 'Sagitta' ook bij Simon Stevin, in De triangulorum doctrina, fol. 1: "Sinus-sagitta est segmentum diametri a perpendiculo sinus ad peripheriam".]
Sinus rectus peripheriae & complementi aeque possunt radio. |
|
NAM ou & au cui ol aequatur, rectum comprehendunt angulum, cui radius ao subtenditur. Ad quantitatem rectarum circulo inscriptarum definiendam Ptolomaeus more veteris Graeciae β, diametrum circuli in 60. partes tributam assumpsit, & singulas partes in sexaginta particulas subdivisit; atque ita porro, idque ut calculus, qui illi aevo lente admodum procedebat, & erat intricatissimus, hac logistica sexagenaria paulo esset expeditior. quae ratio etiam superioribus annis a multis est frequentata°). Interim tamen jure suo & merito obtinuit ea radij partitio, quam Regiomontanus & ejus praeceptor Peurbachius candidae animae in Mathematicos Abacos intulerunt. Ut radius in aliquot millenas partes tanquam continuo decimarum progressu tribueretur. Nempe in 100000, [ °) Ook nog door Ph. Lansbergen, zie b.v. Hortensius' Dissertatio de Mercurio in Sole viso (1633), p. 18.] |
| [ 7 ] | [ v ] |
|
10000000, aut alias plures particulas; & secundum istas peripheriarum quarumvis sinus invenirentur. & ne in infinitum res abiret, ac aliquis modus sinuum multitudini poneretur, qui ad omnem usum esset satis, Peripheriae quadrantem eor in 90. gradus, & gradus singulos in 60. particulas, quae scrupula vel minuta vocantur, distribuerunt. Ut tota quadrantis peripheria in 5400, particulas divisa intelligatur, & totidem sinus in Sinuum Canone ordinandi veniant.
Ad horum porro investigationem, ordinatorum polygonorum latera primam sternunt viam, quae quidem per circinum & regulam ex elementis circulo inscribuntur.
Semisses Laterum inscripti Trianguli, quadrati, quinquanguli, sexanguli, decanguli, sunt sinus 60, 45, 36, 30, & 18 graduum. |
|
NAM si totam peripheriam 360 gr. per 3, 4, 5, 6, 10, dividas dabitur numerus graduum a singulis lateribus subtensus, nempe 120, 90, 72, 60, 36. Ut in primo diagrammate si oy sit latus Trianguli ordinati in circulum inscripti peripheria oey erit 120 graduum, ergo dimidia oe 60, & dimidia inscripta ou ejus sinus, atque ita de reliquis. Quantitas autem horum laterum ex elementis est repetenda. Latus inscripti sexanguli aequatur ejusdem circuli radio, itaque si radius sit 100000000, ejus dimidium 50000000 erit sinus 30 graduum. Latus Trianguli potest triplum circularis radii; erit itaque ejus quadratum 30000000000000000, |
| [ 8 ] | [ v ] |
|
& hujus latus 173205081, dimidium 86602540 sinus 60 gr. Latus quadrati potest duplum radij, erit igitur 141421356, hujus dimidium 70710678 sinus 45 gr. Latus decanguli est majus segmentum radij media & extrema ratione secti*). erit igitur illud 61803399, cujus dimidium 30901699 sinus 18 graduum. Latus quinquanguli aeque potest lateri sexanguli & decanguli eidem circulo inscriptorum. Inde igitur nobis quinquanguli latus dabitur 117557050, cujus dimidium 58778525 erit sinus 36 graduum. Et quindecangulum quoque, & latera polygonorum ex istis continua bisectione derivatorum, & horum complementa, & quae per compositionem aut subductionem peripheriarum quarum inscriptae dantur inveniri possunt, ad sinuum plurimorum inventionem necessaria sunt; ideoque ad istorum investigationem haec theoremata subjicimus.
[ *) Wikipedia 'Golden ratio': "The golden ratio was called the extreme and mean ratio by Euclid", Book 6, Def. 3.]
Rectangulum sub inscriptae a diametro differentiâ & radio comprehensum, aequatur quadrato inscriptae dimidij residui ad semicirculum. *) |
ID quoque Ptolemaeus Magni operis lib. 1. cap. 9. demonstravit atque adeo ad bisectionem valde est oportunum; & nobis quidem maxime, quod radius in millesimas tributus assumatur, ut ideo multiplicatione opus non sit. Est ab altero diametri termino inscripta ei, eidemque in diametro
[ *) Dit is propositie I in W. Snellius, Cyclometricus, 1621 (p. 1) en Prop. II daar is hier Prop. VIII; dat werk wordt hierna aangehaald op p. 15.] |
| [ 9 ] | [ v ] |
|
aequalis eu & residua peripheria io bisecta in yo, ajo rectangulum sub ao & ou comprehensum aequari quadrato inscriptae oy. connectantur enim yu ya ye, cum igitur anguli iey uey aequicruri, aequalibus peripherijs insistant habebunt bases iy, uy aequales. Triangulum uoy aequicrurum, Triangulo aequicruro ayo erit simile, quia anguli ad basin inter se aequantur. Atque ideo etiam ao oy ou latera continue proportionalia, & rectangulum extremorum ao ou, aequle quadrato mediae oy. Quod demonstrasse oportuit. Ut assumpta ei pro subtensa 36 gr.*) seu latere decanguli 61803399, posita diametro partium 200000000, ejus peripheriae residuum sunt 144 gr. cujus dimidij 72 gr. subtensa quaeratur. latus decanguli de diametro deductum relinquet 138196601, is numerus per radium multiplicatus dabit 13819660100000000 quadratum inscriptae 72 gr. & ideo ipsam subtensam oy 117557050, cujus dimidium 58778525 sinus est 36 gr. Si illud quadratum de quadrato diametri subduxisses, reliquum foret quadratum ye nempe 26180339900000000, unde facile liquet, si datam inscriptam ad diametrum addas, & per radium multiplices, dari quadratum inscriptae quae peripheriam e data & dimidia residua compositam subtendat°). Sed id quoque ab ipsa Geometria placet arcessere. 
[ *) In de figuur van p. 8 is de genoemde boog ei veel groter. Om verwarring te voorkomen zie deze tekening: ei als zijde van een tienhoek, oy van een vijfhoek.] [ °) ey onderspant omtrek eiy. (2 R + ei) R = ey² , want: ey² + oy² = 4 R² , en: (2 R − ei) R = oy² , volgens Prop. 7.] |
| [ 10 ] | [ v ] |
|
Rectangulum sub recta a diametro plus inscripta & radio comprehensum, aequatur quadrato inscriptae quae & datam & dimidium eius residuum ad semicirculum simul subtendit. |
ESTO inscripta ei, residui dimidium iy, subtensa compositae ey, & ipsi ei sit aequalis ou. Ajo rectangulum ue ea, aequari quadrato ey. sit enim es aequalis ipsi ei. erit itaque sy rectae yo per propositionem antecedentem aequalis. atque ideo anguli ad s, o interni aequales, & propterea externi quoque esy uoy, qui cum aequicruri sint, bases ey uy habebunt aequales. Et Triangulum uey aequicrurum triangulo aequicruro eay erit aequiangulum, quia angulum ad e habent communem. Atque ideo ue ey ea latera continue proportionalia, quadratumque ey rectangulo ue ea erit aequale. Sit ei peripheria decima totius circuli pars 36 gr. ejus residuum igitur iyo 144 gr. hujus dimidium iy 72 gr. & detur ei partium 61803399, huc addatur diameter eo, & erit tota eu 261803399, factus ab ue in ea radium 26180339900000000 aequatur quadrato ey, unde ipsa ey datur 161803399,*) subtensa 108 gr. cujus dimidium 80901699 est sinus 54 gr. Atque ita haec utraque sectio reciprocari continue poterit, unde inscriptae & sinus plurimarum peripheriarum invenientur, qui ubi in scrupulis integris non terminabuntur, in Canonem sinuum [ *) ey = yu = au = R + ei.] |
| [ 11 ] | [ v ] |
|
inferri non debent, quia illi tantum ad gradus & scrupula integra sunt ordinati. Nisi forte ut Magnus ille Rheticus scrupulorum particulas quoque consecteris; qui eos canones ad sextas primorum scrupulorum partes prosecutus est.*) Exemplum hoc antecedens continuatum 'kata dichotomian' pro typo subjiciam assumpto radio particularum 100000000. |
gr. min. | Subtensae inscr- ptae. | gr. min. | Subtensae inscr- ptae residui. | ||||||
| 72. 0 | 117557050 | 108. 0 | 161803399 | ||||||
| 36. 0 | 61803398 | 144. 0 | 190211303 | ||||||
| 18. 0 | 32186893 | 162. 0 | 197537668 | ||||||
| 9. 0 | 15691819 | 171. 0 | 199383466 | ||||||
| 4. 30 | 7851968 | 175. 30 | 199845807 | ||||||
| Harum inscriptarum semisses erunt sinus, dimidiarum peripheriarum, hoc ordine & modo. |
| gr. min. | Sinus. | gr. min. | Sin. Compl. | ||||||
| 36. 0 | 58778525 | 54. 0 | 80901699 | ||||||
| 18. 0 | 30901699 | 72. 0 | 95105651 | ||||||
| 9. 0 | 15643446 | 81. 0 | 98768834 | ||||||
| 4. 30 | 7845909 | 85. 30 | 99691733 | ||||||
| 2. 15 | 3925984 | 87. 45 | 99922903 | ||||||
|
Id autem tibi notandum semper duobus aut tribus, ut minimum circulis, sinum totum initio majorem assumi debere, quam sit ille secundum quem tabulas velis ordinare, ob lubricitatem & calculi varietatem. Ita hic quidem inventus est sinus 2 gr. 15 scr. 3925984, qui tamen revera sit minor nempe
[ *) G. J. Rheticus, Canon doctrinae triangulorum Lips. 1551: 10 000 000 delen; later, in Opus Palatinum (1596, postuum, ed. Valentinus Otho), fol. b3v: "alium Canonem ... Decades Secundorum ... part. 10 000 000 000", zoals hiervoor genoemd op p.*4.] |
| [ 12 ] | [ v ] |
|
3925981 cum sinus totus ponitur 100000000. ut tantum ad septem circulos ille numerus sit sanus & integer. Hujus rei causam quoque aperiemus, ne hic casus videatur fortuitus. cum enim inscripta 171 gr. 199383466 de diametro subducta relinquat 618634, in quo sunt notae tantum sex, numerus iste reliquus per radium multiplicatus non poterit nobis exhibere plures numeros integros & sanos quam sex ut summum. Atqui hic sunt septem: unde efficitur ultimum necessario esse lubricum & a vero alienum; si itaque hoc modo bisecando ulterius velis progredi, radius duabus aut tribus notis major ab initio tibi erat assumendus. Atque ita datorum polygonorum peripherias & quascunque alias bisecando, in infinitum progredi licebit, modo radij quantitatem initio assumas oportunam.
Sequitur inventio inscriptarum, ubi e datis subtensis earundem peripheriarum, summae aut differentiae subtensa quoque datur.
Si quadrilaterum circulo sit inscriptum duo oppositorum laterum rectangula, aequantur rectangulo diagonorum. |
E Ptolemaei cap. 9. lib. 1. qui ista ab Hipparcho mutuatus est. Sit in ciculo quadrilaterum inscriptum aeio, cujus diagonij sunto ai & oe. Ajo rectangulum ai in oe, aequari rectangulis oppositorum laterum ae in oi, & ao in ei. |
| [ 13 ] | [ v ] |
|
nam si latera opposita sint aequalia, tum quidem ex elementis rectangulum diagoniorum, oppositorum laterum rectangulis aequabitur; quadratum enim basis recti anguli, crurum quadratis aequale est. At si opposita latera sint inaequalia, ut hic, tum angulo aoe angulus iou statuatur aequalis: cum igitur oiu, oea in eandem peripheriam ao insistant, ijdem quoque aequales erunt: atque ideo triangulum oiu triangulo oea, aequiangulum lateribus quoque proportionale. Hoc est, ut ae ad eo, ita ui ad io. Simillime quoque, cum per fabricam aoe angulo iou aequalis sit, & angulus uoe intermedius communis; etiam angulus ioe angulo aou aequalis erit: sed & oau oei in eadem peripheria aequales sunt, & triangulum aou triangulo oei ideo simili. hoc est, ut ao ad au; ita oe ad ei. quare rectangulum ae in oi, rectangulo oe in iu; & ao in ei rectangulo oe in au aequalia erunt. Hoc est duo oppositorum laterum rectangula rectangulo diagonorum aequabuntur. Quod erat demonstrandum. Atque inde Ptolomaeo duos consectaria derivantur.
compositionem.) Datis duobus inscriptis, datur inscripta utrique pariter subtensa. |
SI enim ai latus quadrati particularum 141421356, quantarum circuli diameter 200000000; & ae latus sexanguli 100000000; & quaeratur subtensa utrique ei; inscripta nempe 60 & 90, hoc est 150 gradibus pariter subtensa.
|
| [ 14 ] | [ v ] |
|
sit diameter ao à qua ae ai insriptae in adversas partes discedant: hinc eo io ad diametri terminum eductae cum istis rectum comprehendent angulum: quare ex data ae dabitur quoque eo 173205081, & ex ai ipsa io 141421356. Dantur itaque quadranguli aeio latera quatuor. atque ideo duo oppositorum laterum rectangula ae in io, & ai in eo, quorum summa rectangulo diagonorum ao in ei aqualis ostensa est: ea igitur per diametrum ao 200000000 divisa, dabit reliquam diagonium ei subtensam 150 grad. 193185165: cujus dimidium 96592582. Sinus est 75 graduum. Atque eodem in omnibus processu, dabitur inscripta quae duabus datis subtendatur. unde plurimarum peripheriarum sinus dari evidens est.
(* per differentiam.) Datis duabus inscriptis, datur inscripta earundem peripheriarum differentiae subtensa. |
ESTO iterum in hoc diagrammate ai latus quadrati, & ae latus sexanguli in semicirculo, ab eadem diametri parte; & quaeratur ei, harum peripheriarum differentiae subtensa, principio igitur, ut ante, dabuntur inscriptae ad semicirculum reliquae eo quidem 173205081, io 141421356. si igitur rectangulum laterum ae in io, à rectangulo diagonorum ai in eo deducas relinquitur rectangulum ao in ei.
|
| [ 15 ] | [ v ] |
|
Atqui datur diameter ae [ao] 200000000; dabitur itaque & reliquum latus ei 51763809 inscripta 30 graduum, cujus dimidium 25881904 sinus est graduum 15. atque ita in caeteris analogia consimili. Hinc itaque per compositionem & per differentiam plurimae peripheriae invenientur.
Sed ad totius canonis absolutam perfectionem ista frustra sunt, nisi etiam sinus unius minuti exhiberi possit. Id autem quam operosum fuerit passim videre est apud eos qui hanc artem 'ouk ek parergou' tractare instituerunt. Sed nos nostras leges secuti expeditissime exhibebimus quae alij operosissime consectantur.
Datae peripheriae debitam inscriptam verae adeo propinquam in numeris exhibere, quam erit ratio diametri ad totam peripheriam data. |
|
PROPOSITIO est octava & tricesima nostri Cyclometrici*), cum enim ante propositione 31 ejusdem ostendissemus posita diametro 200,00,000 & peripheria 628,31,853,°) tum inde dari sinum unius gradus in ijsdem partibus accurate si octo notarum statuatur diameter sinum dimidij gradus in ijsdem partibus, si tredecim sinum unius scrupuli, si novendecim etiam sinum unius secundi. His inde assumptis nunc diagrammatis rationem & calculum tantum explicabimus. Propositum itaque esto nobis subtensam duorum scrupulorum, vel sinum unius scrupuli invenire.
[ *) W. Snellius, Cyclometricus, De circuli dimensione secundum Logistarum abacos ..., Leiden 1621. Prop. XXXVIII (p. 76): "Datae cuicunque peripheriae inscriptam verae tam propinquam in numeris exhibere, quam erit ratio diametri ad suam peripheriam data.". De figuur daar op p. 77 geeft hetzelfde (afgezien van het nummer "55.") als die hierna op p. 16.] [ °) Op p. 49 (prop. 31): "diametro 100,00000 circumferentia ... 31415926½".. Op p. 54: π (Pi) met 34 decimalen nauwkeurig; op p. 17-18: omtrekken van veelhoeken, 80-, 160-, 320-hoek ..., dat is met tienmaal 2^3, 2^4, 2^5 ... 2^23 hoeken. Zie over Snellius en Ludolph van Ceulen: L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences (Utrecht 2007), p. 82-83.] |
| [ 16 ] | [ v ] |
Sit yi peripheria 1 scrupuli & ui tangens, ao radio aequalis; recta itaque ab a per y tangenti occurrens in u absumet rectam ui secundum leges expositas peripheriae yi aequalem*). sinus peripheriae yi sit ys, & in ay sit perpendicularis er. Cum itaque secundum rationem expositam diametri 20000000000 ad peripheriam 314159.26536 peripheria unius minuti sit 2908882 sed vera pauxillo minor; erit itaque ui quoque tanta. Ex quadratis itaque ai & ui datur quoque quadratum au 30000000141, atque inde proportio ut au 30000000141, ad ui 2908882; ita ae 20000000000 ad er 1939254. Hujus quadratum de quadrato ae subductum dabit nobis rectam ar 19999999906; & de ey deductum dabit yr 9999999812. unde tota ay datur 29999999718. Et hinc ob similitudinem proportio, ut ae 20000000000 ad er 1939254 ita ay 29999999718, ad ys 2908881. Ego in hoc opere secutus sum ubique terminum minorem ideoque hic sinus vero unitate est minor: is enim fuerit 2908882. si ad decem notas sartum voluisses initio terminus ad undecim notas fuisset tibi assumendus. Atque hinc jam per 'sunthesin' componendo universam sinuum tabulam perficere licet. Quin adeo si tabulis destitutus sinum postules datae peripheriae quae non sit major 22 grad. 30 scr. ad radium 10000 hac eadem via eum tibi praestabit. Et facilius multo si dato sinui postuletur peripheria debita. Sed nostrum cyclametricum°) adito, ubi ista accuratius sumus prosecuti. Sinum unius minuti alij per continuam bisectionem
|
| [ 17 ] | [ v ] |
|
& inde per proportionem concludunt; Alij solidius elegantiusque per aequationes analyticas; quorum Choragus Magnus ille Vieta in suo ad Problema Adriani Romani responso*). Eos igitur adeundos tibi censeo. Nos nostra secuti sumus tanquam simpliciora & usui oportuna. Atque ista hactenus de inscriptarum operosa per suas regulas inventione dicta sunto, sed & compendia huic negotio oportuna sunt inventa, unde haud difficulter plurimae vel inscriptae, vel sinus inveniri possint.
[ *) Franciscus Vieta, Ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, Par. 1595.]
Si duae peripheriae à circuli triente aequaliter distent, earundem inscriptarum differentia aequabitur inscriptae distantiae. |
THeorema expeditum ad sinuum plurimorum inventionem per solam additionem aut subductionem; Sit enim ai latus trianguli aequilateri; & ab i puncto utrimque iu io peripheriae aequales, ipsis inscriptae a termino diametri ao au; ajo differentiam inscriptarum ao au, aequalem esse inscriptae oi vel iu: sit enim ipsi ao aequalis ay, & connectatur iy; triangula igitur aio aiy circa angulos ex hypothesi aequales latera habent aequalia, atque ideo sunt aequiangula, & aequilatera; quare oi & iy aequantur: sed oi & iu quoque aequantur; ideoque yi & iu crura aequabuntur; angulus autem aui insistit in circuli trientem: & |
| [ 18 ] | [ v ] |
|
ideo yui valet 2/3 recti; & angulus iyu eidem aequalis est; & reliquus ideo yiu etiam 2/3 recti implebit. Quare yiu triangulum erit aequilaterum. Hinc adeo datis inscriptis omnibus ad gradum usque 120, reliqui usque ad 180 omnes sola additionis via quoque dabuntur. Ut si assumatur inscripta 108 graduum 161803399, & quaeratur inscripta 132 gr. distantia utriusque a 120 gradibus est 12. Cujus inscripta 20905692, ea ad inscriptum 108 addita dabit inscriptam 132 graduum 182709092. Cujus dimidium 91354546 fit sinus 66 graduum, posita semidiametro particularum 100000000. Et contra data incsripta majore & inscripta distantiae, dabitur inscripta tanto minor, quanto proposita 120 gradibus erat major. Consectarium protenus ex antecedente proportione est manifestum: quod enim illic de totis inscriptis, id hic de earundem semissibus quoque verum est. Sinus 45 graduum est 70710678, sinus 25 gr. est 25881905, hi compositi dabunt 96592583, qui sinus est 75 gr. Nam 15 & 60 hunc numerum conflant. Atque ita Canon sinuum per singula minuta nobis subductus & ordine digestus esto; extra circulum vero etiam considerantur Tangens & Secans. |
| [ 19 ] | [ v ] |
|
Tangens est recta peripheriae relativa, eandem in altero termino contingens, & à radio per reliquum terminum educto, intercepta. |
|
IN Geometricis quidem recta infinita circuli peripheriam contingens absque ullo partium respectu ad quas referri soleat, definitur. Hic autem ejus infinitae rectae lineae partes ad certas peripheriae partes alligantur.
Sed & eadem tangens ad reliquam semicirculi peripheriam refertur; quia eadem es tangens quoque est peripheriae ori: continuetur enim radius ao in m, erit angulus iao angulo mae; & peripheria ori peripheriae eym ideo aequalis. Cum igitur se cum am continuata, versus m concurrere non possit, quia mae obtusus est, concurret tamen ma versus o in s; & ita secundum positam definitionem es quoque tangens erit peripheriae eym: ut enim sinus majori & minori peripheriae communis est, ita quoque tangens. |
| [ 20 ] | [ v ] |
|
Ut sinus complementi ad sinum datae peripheriae, ita radius ad eiusdem datae tangentem. |
|
REs in eodem diagrammate clara est: cum enim triangula auo aes similia sint, quia ae radius utrique ou & es perpendicularis est; ut au ad uo, ita ae ad es. Sitque data peripheria oe sinus complementi erit ol, vel ei aequalis au.
Atque inde dato canone sinuum, tangentium quoque canon sola divisione absolvetur. Sit enim oe peripheria sexaginta graduum, or triginta. Erit ut au sinus 50000000 peripheriae or, ad uo 86202540 sinum peripheriae oe, ita radius, seu sinus totus 100000000 ad 173205080 tangentem 60 graduum. |
| [ 21 ] | [ v ] |
|
Radius inter tangentem peripheriae & complementi medius proportionalis est. |
IN proposito diagrammate esto data peripheria ey, & tangens ejus ei, complementum autem yo, & tangens ou, erunt igitur latera ou ae, oa ie parallela, & triangula ideo auo aie similia. Quare ut latus uo ad oa, sic ae, hoc est oa ad ei. Atque hinc quoque sola divisione datis tangentibus ad gradum quintum & quadragesimum omnibus, reliqui majores omnes radij quadrato per istos diviso dabuntur.
Duarum inaequalium peripheriarum tangentes, suorum complementorum tangentibus reciproce proportionales sunt. |
SUnto enim bis binae peripheriae ey yo, el lo, & harum tangentes er os, ei ou. Ajo ut er ad ei; sic vicissim ou esse ad os, quia rectangulum er in os, & ei in ou, nempe a tangentibus peripheriarum & tangentibus complementorum, eidem radij quadrato aequalia sunt. |
| [ 22 ] | [ v ] |
|
Duplum tangentis datae peripheriae cum tangente dimidij complementi, aequatur tangenti compositae ex data & eiusdem complementi dimidia.*) |
SIT em data peripheria major, ejusque complementum om, harum differentia es, earumque tangentes ei ou es [... ey]. Ajo ei tangentem, tangenti ou & ey bis sumptae aequalem esse: Continuetur enim ay sibi aequaliter in r, sitque in tangentem ei perpendicularis lr, & connectatur ir; Cum igitur iay angulus, angulo iao ob bisectionem aequalis sit & aiy eidem ob parallelismum rectarum ao & ei; efficitur triangulum aiy ad basin ai aequiangulum, & ideo quoque aequale cruribus ay yi; ac propterea latus iy ipsi yr aequale, quare angulus air rectus erit; sed & oae rectus est; subducto igitur illinc angulo aie, hinc autem oau, reliquus yir reliquo iae, hoc est angulo oua aequalis erit: sed & triangula aye ryl sunt aequilatera, quia anguli ad verticem y, & recti ad e & l, & latera ay yr aequalia sunt: quare aou rli triangula habentia ao & rl latera aequalia & angulos duos aequales erunt aequilatera; & il igitur ipsi ou aequalis, & le dupla ey. Quare tangens ei tangenti ou, & duplae ey aequalis erit, quod erat demonstrandum. Atque hinc adeo datis tangentibus omnibus ad 45 gr. reliqui omnes sola additione conflabuntur. Sit enim nobis inquirenda tangens 45 gr. 1 scr. tanquam pro peripheria em, hujus complementum [ *) Deze propositie zegt dus: 2 tan α + tan ½(90 − α) = tan (α + ½(90 − α)). Dit is juist, maar bewezen wordt: "tangens ei tangenti ou, & duplae ey aequalis erit", q.e.d. tan α = tan (90 − α) + 2 tan (α − (90 − α)). ] |
| [ 23 ] | [ v ] |
|
44 gr. 59 scr. sit pro peripheria om, differentia utriusque se 0 gr. 2 scr. ejus itaque tangens 58178. duplum autem 116356. id additum ad 9941839 tangentem 44 gr. 59 scr. conflabit 100058195 tangentem 45 gr. 1 scr. ut quaerebatur. Secundo sit peripheria em, 75 gr. 3 scr. cujus tangens quaeratur pro peripheria em, hujus complementum est 14 gr. 57 scr. om, differentia autem 60 gr. 6 scr. pro ey, hujus tangens 17390533, duplum 347810660, ad tangentem 14 gr. 57 scr. 26701409 additum, conflabit 374512069 tangentem 75 gr. 3. scr. Sed & hinc ordine retrogrado invenientur 'puthmenes' ex quibus tangens optata confletur, atque inde ipsius quantitas justa quoque invenietur. Rem exemplo proposito illustrabo, ut si quaeratur tangens 89 gr. 55. scr. hoc modo primum resolves*) [ *) Eerst de linkerkolom, die gaat op p. 24 tot 4° 40'.] |
| Dehinc ordine inverso ita compones Ad radium 10000000000. | ||||||
| — ' | Gr. scr. | |||||
| 89. 55 Compl. 5 | Tang. 4. 40 | 816292849 2 | ||||
| 89 50 Compl. 10 | Tang. 42 40 | 1632585698 9216968536 | ||||
| 89 40 Compl. 20 | Tang. 47 20 | 10849554234 2 | ||||
| 89 20 Compl. 40 | Tang. 21. 20 | 21699108468 3905540719 | ||||
| 88 40 Compl. 1 20 | Tang. 68. 40 | 25604649187 2 | ||||
| 87 20 Compl. 2 40 | Tang. 10. 40 | 51209298374 1883494802 | ||||
| [ 24 ] | [ v ] |
| 84. 40 Compl. 5 20 | Tang. 79. 20 | 53092793176 2 | ||||
| 79. 20 Compl. 10 40 | Tang. 5. 20 | 106185586352 933540099 | ||||
| 68 40 Compl. 21 20 | Tang. 84. 40 | 107119126451 2 | ||||
| 47 20 Compl. 42 40 | Tang. 2. 40 | 214238252902 465757485 | ||||
| Differ. 4 40 | Tang. 87. 20 | 214704010387 2 | ||||
| Tang. 1. 20 | 429408020774 232752583 | |||||
| Tang. 88. 40 | 429640773357 2 | |||||
| Tang. 0. 40 | 859281546714 116360535 | |||||
| Tang. 89. 20 | 859397907249 2 | |||||
| Tang. 0. 20 | 1718795814498 58178298 | |||||
| Tang. 89. 40 | 1718853992796 2 | |||||
| Tang. 0. 10 | 3437707985592 29088903 | |||||
| Tang. 89. 50 | 3437737074495 2 | |||||
| Tang. 0. 5 | 6875474148990 14544421 | |||||
| Tang. 89. 55 | 6875488693411 |
| [ 25 ] | [ v ] |
Secans est recta suae peripheriae relativa, à centro ad verticem tangentis eiusdem connexa.
Radius inter sinum datae peripheriae & secantem complementi medio loco proportionalis est. | ||
|
IN eodem diagrammate, datae peripheriae ye, sinus yr ad radium ay ita se habet, ut radius ao ad secantem complementi au. Triangula enim ary aou ex definitionibus & constructione similia sunt.
Secantes peripheriarum, earundem complementorum sinibus reciproce proportionales sunt. | ||
|
ID ex praemissa manifestum est: datae sunto in diagrammate Propos. 15. ey. el. dum enim rectangulum sub secante ar, & sinu complementi ny comprehensum radij quadrato aequale sit, & quod sub ai & ml eidem aequetur; erit ut ml ad ny, ita vicissim secans ar ad secantem ai.
|
| [ 26 ] | [ v ] |
|
Ut sinus peripheriae ad tangentem eiusdem, ita tangens complementi ad eiusdem complementi secantem. |
|
RECTANGULUM enim a sinu & secante complementi comprehensum, aequatur radij quadrato; per propositionem antecedentem: at eidem quoque aequatur rectangulum e tangente, & tangente complementi ejusdem;
|
|
| [ 27 ] | [ v ] |
|
|
| [ 33 ] | [ v ] |
|
WILLEBRORDI SNELLI A ROYEN, R. F. D E C O N S T R U C T I O N E
ET FABRICA CANONIS SI- |
|
|
| [ 60 ] | [ v ] |
|
|
| [ 61 ] | [ v ] |
|
|
| [ 62 ] | [ v ] |
|
D O C T R I N Æ T R I A N G V L O R V M C A N O N I C Æ, LIBER SECUNDUS. De TRIANGULIS planis. |
|
USUS Canonis in omnium angulorum vel linearum dimensione versatur, quae latera esse possint trianguli plani vel sphaerici. Nam omne polygonum in sua triangula resolvi e geometria notum est; in his autem Canonibus rectae ad suas peripherias & peripheriae ad suas rectas referuntur: Usus igitur simplissimus & primus in ipsis triangulis versatur; & inde ei quoque nomen, ut Doctrina Triangulorum dicatur. Sed cum triangula in varijs gibbis superficiebus varia esse possint & difformia, nostri abaci ista tantum consectantur, quae vel rectis lineis, vel maximorum circulorum peripherijs in superficie sphaerica continentur. Et planum quidem rectilineum triangulum nomine generis ab angulis triangulum dicemus, sphaericaum autem a lateribus Tripleuron. ita enim id Hipparchus & Menelaus etiam jam ante Ptolomaei aetatem vocitabant. De planis igitur triangulis primum, cujus definitio ex Elementis primis petatur. Obiter tamen de angulorum amplitudine id nobis nominatum hic adscribendum. |
| [ 63 ] | [ v ] |
|
Anguli rectilinei amplitudinem mensurat peripheria, e vertice anguli tanquam centro, intervallo quocunque descripta. |
|
|
| [ 89 ] | [ v ] |
|
P R O B L E M A T A G E O D Æ T I C A. *) |
Datis trianguli lateribus duobus & angulo ab ipsis comprehenso, perpendicularem ab angulo ignoto in crus oppositum invenire. |
|
...
[ *) Toegevoegd door Hortensius.]
|
| [ 103 ] | [ v ] |
|
Altitudinem rei inaccessae dimetiri, concessis duabus stationibus liberis in superficie plana, cui res mensuranda perpeniculariter insistit. |
|
... 
|
| [ 104 ] | [ v ] |
|
... Eadem & simili plane praxi, simul & eodem tempore per duos mensores, dimetietur altitudinem alicujus nubis, modo ea lenti motus sit, & evidentem in extremitatibus sortiatur densitatem; nam in medium ejus visus non potest bene dirigi sine errore, quem etiamnum vix effugiet is, qui non omni industriâ & circumspectè rem aggreditur: Exemplum unum addam ob diligentiam fide dignum, 8 Iulij stylo novo anni hujus 1627, vento boreali, observavimus altitudinem nubis cujusdam, ad votum distinctae & lenti motus; fuitque inventus angulus abd 31 gr. 40 scr. acd 38 gr. 30 scr. intervallum autem stationum assumptarum fuit 1680 pedum Rhijnlandicorum in campo plano; ex his igitur dato ang. bac 6 gr. 50 scr. erit per eandem prop.*) lib. 2.
[ *) Prop. 6 (p. 66): Dato latere & angulis duobus, dabuntur latera reliqua.] |
| [ 105 ] | [ v ] |
|
cum namque in milliari germanico, quorum 15 uni gradui circ. maximi in terra respondent, sint pedes 22800, assurgit ista altitudo ad 1/5 unius milliaris & paulo amplius; in milliaribus autem Hollandicis cum sint pedes 18000 erit altitudo ista 1/4 mill. & 120 circiter pedum.
|
| [ 108 ] | [ v ] |
|
|
| [ 109 ] | [ v ] |
|
D O C T R I N Æ T R I A N G V L O R V M C A N O N I C Æ, LIBER TERTIUS. De TRIPLEURIS sphaericis. |
|
|
| [ 174 ] | [ v ] |
|
C A N O N I C Æ T R I A N G V L O R V M D O C T R I N Æ, LIBER QUARTUS.
De |
|
|
| [ 228 ] | [ v ] |
|
|
| [ 229 ] | [ v ] |
|
P R O B L E M A T A S P H Æ R I C A. *) |
Dato Solis loco & maximâ declinatione, eius declinationem & ascensionem rectam, nec non angulum Eclipticae & Meridiani invenire. |
|
[ *) Toegevoegd door Hortensius.] |
| [ 230 ] | [ v ] |
|
Dato stellae longitudine & latitudine, eius declinationem & ascensionem rectam invenire. |
|
DETUR longitudo & latitudo clarissimae Hyadarum, oculi Tauri, quem Palilitium veteres vulgo vocabant: Plinius l. 18 cap. 26. Hoc est vulgo appellatum sydus Palilitium, quoniam XI Kal. Maji urbis Romae natalis*). Cic. 2 de divinat: Ab ijs Parilibus, quibus eam a Romulo conditam accepimus, diem natalem illius urbis repetebat L. Tarutius Firmanus, imprimis Chaldaïcis rationibus eruditus.°) Declinatio igitur ejus & Ascensio recta quaeratur anno 1625. ...
[ *) C. Plinii Secundi Historiae mundi libri XXXVII, Gen. 1606, p. 425, r.2: met 'Palilicium' (txt: Liber 18, lxvi.247: 'Parilicium'). Zie bij R. H. Allen, Star Names, Taurus, Aldebaran.] [ °) Cicero, De divinatione, lib. 2, XLVII, 98: "L. quidem Tarutius Firmanus, familiaris noster, in primis Chaldaicis rationibus eruditus, urbis etiam nostrae natalem diem repetebat ab iis Parilibus, quibus eam a Romulo conditam accepimus".]
|
| [ 243 ] | [ v ] |
|
|
| [ 244 ] | [ v ] |
|
Autores Astronomicos, imprimis ipsum Ptolemaeum, qui ista libro 2 'megalès suntaxeos'*) fusius prosequitur, aut potius a nobis favente Deo pleniorem forte harum exercitationum ali- quando expectet copiam.
[ *) Bas. 1538. Almagest, Bas. 1551.] |
