Home | Hortensius | Editie van Snellius 1627 | Vertaling

Titel, Staten , Lezer , Gedichten , 1 , Canon , 2 , 2b , 3 , 4 , 4b



WILLEBRORDI SNELLI A ROYEN, R. F.

DOCTRINAE

TRIANGULORUM

CANONICAE

LIBRI QUATUOR,

Quibus CANONIS sinuum, Tangentium,
& secantium constructio,

TRIANGULORUM tam PLANORUM quam
SPHAERICORUM expedita dimensio,
breviter ac perspicuè traditur:
Post mortem Autoris in lucem editi à
MARTINO HORTENSIO Delfensi;
Qui istis Problematum Geodaeticorum & Sphaericorum tractatus
singulos adjunxit, quibus praecipuarum utriusque Trigonometriae
propositionum usus declaratur.

drukkersmerk

LUGDUNI BATAVORUM,
Ex officinâ IOANNIS MAIRE.
M D C XXVII




[ * 2 ] [ v ]
Illustrissimis Potentissimis
DD.   O   R   D   I   N   I   B   U   S
HOLLANDIAE & WEST-FRISIAE.

Amplissimis Prudentissimisque
DD. PRAETORIBUS, CONSULIBUS,
SYNDICIS inclitarum Rerumpublicarum
DORDRACENAE, DELFENSIS, ALCMARIANAE.
Studiorum Mathematicorum Patro-
nis summis.

Illustrissimi, Potentissimi, Prudentissimi Domini
INTER omnes Mathematicae scientiae partes, quae variae sanè sunt ac vastae, nulla aequè jus primum & praerogativum tenet ac Geometria: & huius quidem membra cum duo sint, Dimensio scilicet Planorum & Solidorum, utraque comprehendit ac mensurae certae subiicit, quicquid ullibi in toto Mundo corporeum ac sensibus expositum: sive enim Coelum scandimus & aeternas nobilissimorum corporum periodos, vagas atque in multiplici errore constantes tamen motuum leges mente percurrimus: sive Terram domicilium nostrum, & in eâ omnium rerum pulcherrimum statum ac ordinem intuemur, ubique illud divini Platonis

[ * 2v ] [ v ]
divinum 'akroama; ton theon pantôn malista geometrein'*) in totâ rerum naturâ luculenter deprehendimus. Nec tam Geometria reliquas partes nobilitate antecellit, quin etiam in singulis eluceat adeo oportunus illius usus, ut sine eâ consistere nequeant; & ut ex ungue leonis, unica Triangulorum doctrina quibus non modis iisdem ancillatur? haec mihi Astronomiam, Geographiam, Geodaesiam, Architecturam militarem, Opticam, non tantum ut basis ac fundamentum sustinet, verum etiam plane perficit ac consummat; Astronomiae quidem una pars quae doctrina primi mobilis vulgo dicitur, nonne tota pendet a calculo tripleurorum°) sphaericorum? quibus vera astrorum loca, commodis instructi organis inquirimus, eorumque ortus, occasus, arcus diurnos, nocturnos, ascensiones & descensiones, omni loco & tempore ob oculos ponimus? altera vero quae doctrinae theoricae nomine venit, & circa Planetarum versatur motus, nunquid beneficio Triangulorum planorum constituitur? sagax enim humana mens, cum nullo modo tantam motuum varietatem comprehendere possit, nedum in futurum praedicere; auxiliares ab hoc nostrâ Trigonometriâ petens copias, eousque coelestem illam arcem oppugnat, ut suppositis quibusdam hypothesibus eum tantum non expugnet, verum etiam ita sibi subiiciat, ut ejus meatus & anfractus varios, omnemque supellectilem inspiciat, & in


[ *)  Vergelijk 'ton Theon aei geômetrein', in Hortensius' Oratio de dignitate et utilitate Matheseos, Amst. 1634, p. 9.]
[ °)  Zie p. 114: Prop. V, "Tripleurum sphaericum est quod a tribus maximorum circulorum peripherijs continetur". Gr. 'pleura': zijde.]

[ * 3 ] [ v ]
omne seculum posteritati annumerare sciat quid in ea quovis tempore futurum sit, quae stationes, regressiones, syzygiae, quis corporum situs ac motus, quaeve praecipuarum partium 'schèmata kai diastèmata', ausa hoc pacto tentare rem ut Plnius, etiam Deo improbam.*)

  Nec minus Geographiae principia sua nostra doctrina suppeditat; haec enim rationem Æquatoris ad Parallelos, Climatum latitudines & incrementa, umbrarum rationes, locorum quorumcunque distantias, terrarum descriptiones, accurate tradit; haec Nauticam Geographiae animam per se infirmam sustentat, dum Loxodromiarum affectiones & intricatas rationes planas facit, naviumque quibus tot quotidie divitiae tam vasto Oceano committuntur, directiones secure administrare edocet.

  In Geodaesia vero, qualecunque tandem agrorum dimetiendorum munus incumbit, id omne Trigonometria planorum, adminiculo Tabularum Canonicarum facillime expedit: Tabulae Chorographicae delineandae sunt? haec distantias locorum suppeditat; turrium, montium, aedificiorum altitudo requiritur? ad Triangulum itur; hi gradus, hae scalae, quibus rem alioqui per se inaccessam conscendimus: antiquissimum illud Radij instrumentum, quo facillimo calculo Geometrae terras, maria, flumina, Caelique meatus describunt, nonne meris triangulis rectangulis


[ *)  Hortensius citeert deze woorden van Plinius (Historiae naturales, 2, cap. 26) uitgebreid in 'Candido ac benevolo Lectori', bij zijn vertaling Institutio astronomica De usu Globorum & Sphaerarum (van W. J. Blaeu, Tweevoudigh onderwijs), 1634, p. *4v, "Hipparchus ... ausus (rem etiam Deo improbam) annumerare posteris stellas".]

[ * 3v ] [ v ]
constat? ut vel hinc jure merito dicatur Triangulum Rectangulum Magister est Matheseos: miraculo fuit Thales Milesius quod altitudinem Pyramidum Ægyptiarum per umbram deprehenderit, obsrvato tempore quando umbrae corporibus pares sunt; at nunc eadem praxis facta est expeditior, ut quamvis nubilo coelo, tamen hoc vel alio instrumento exerceri possit per similitudinem angulorum & laterum proportionem.*)

  Quid in re Militari? an non Castrorum metationes, Tormentorum directiones, Munitiones urbium & oppugnationes hac Triangulorum planorum Mechanice absolvuntur? certe nullus hodie Archtectus tam temerarius, qui castra militiamque sequatur; & non modico saltem tabularum Canonicarum instructus sit usu; quanquam non ignorem reperiri quosdam qui non hanc solum partem, verum etiam intima Geometriae adyta penetrarunt, adeo necessariam rebus suis eam iudicantes.

  Denique nobilissima Opticae scientia, quae circa Visum, Lucem, Umbram, & Colores versatur, plane nulla est sine hac Doctrina: haec enim quantitatem reflexionum ac refractionum#) Lucis in speculis & corporibus pellucidis metitur, diversitatem umbrae imaginisve rei explicat, & mirabiles illas specierum apparentias in politis superficiebus corporum, aut tollere docet aut efficere: haec mortalium


[ *)  Op p. 104 noemt Hortensius een eigen meting: de hoogte van een wolk, 8 juli 1627, samen met iemand anders.]
[ °)  Simon Stevin, Castrametatio, dat is Legermeting, Rott. 1617, overzicht.]
[ #)  Snellius had de brekingswet gevonden (ca. 1622, Wreede p. 104), zie Chr. Huygens, 'Over breking' (1653), Oeuvres complètes, T. 13, p. 7.]

[ * 4 ] [ v ]
animos subducit in coelum, & beneficio umbrarum Telluris & Lunae, trium maximarum rerum naturae partium magnitudinem, umbraeque ipsius extensionem in longum & latum detegit.

  Cum ergo tanta sit huius doctrinae utilitas Illustrissimi Ordines, Prudentissimi Consules, quid mirum si inde ab ultima antiquitate praestantissimi Mathematici eam adeo sedulo excoluerunt, semperque ei nova accessio facta sit? multa equidem ac praeclara inventa Hipparchi, Menelai, Ptolemaei, summorum virorum, sed quibus inde a restauratione harum disciplinarum, Recentiorum indefessum studium ac improbus labor longe utilissima ac facillima adiecit: postquam enim in possessionem artis venere Germani, primus Ioh. Regiomontanus*) ignei vir ingenii, universalem Trigonometriam in unum corpus redegit, facilitatem calculi abacis°) induxit, omnem divisionis molestiam ubicunque sinus totus est primo loco declinans: post hunc Georg. Ioachimus Rheticus in vasto illo opere Palatino summam manum eidem imposuisse videri poterat, conditis tabulis ad sinum totum decem circulorum, & ad dena scrupula secunda; sed quid post eum Clavius, Finckius, Pitiscus, aliique praestiterint, facile iudicare possunt ii qui operibus eorum legendis seriam adhibuerunt operam. Itali vero neminem suo Maurolyco Maginoque praeferent, sicut nec Galli magno


[ *)  De triangulis omnimodis libri quinque, Nor. 1533. Zie hierover: Daniel E. Otero, 'Teaching and Learning the Trigonometric Functions through Their Origins: Regiomontanus and the Beginnings of Modern Trigonometry'. Tabellen in De triangulis planis et sphaericis, Bas. 1561, zie noot, p. 30 hierna.]
[ °)  Vergelijk Snellius op p. 6: "Regiomontanus ... Mathematicos Abacos" en p. 62: "nostri abaci".
Later: "Copernicus ... Canonem confecit, sive Abacum, computandis omnibus monetarum generibus", in P. Gassendi, Tychonis Brahei ... vita, Par. 1654, p. 3; en op p. 55: "longitudinum, & latitudinum Abacus".]

[ * 4v ] [ v ]
suo Vietae: subtilia sunt eorum inventa & commodus usus: sed quid de Belgis? impius sim in patriam si non & horum industriae meminero: Ingeniosissimus Adrianus Romanus fundamenta tabularum Canonicarum solida iecit, erutis & vastissimis numeris expressis Polygonorum antea incognitorum lateribus: Reverendus Philippus Lansbergius Trigonometriam Ptolemaei, Regiomontani, Copernici, methodice contrahendo, pluraque e suis adjiciendo, insigne meruit apud omnes candidos eruditionis praeconium; mitto nunc viros praestantissimos S. Stevinum, A. Metium, N. Mulerium, quos omnes idem tetigit propagandae huius doctrinae desiderium:
Verum-enimvero inter tot tantosque ejus instauratores, haud quaquam Spartae suae quam ornandam acceperat, defuit vir Clarissimus D.  W I L L E B R O R D U S   S N E L L I U S: ipse enim annis abhinc aliquot totam Trigonometriam a fonte arcessere, novisque & rarissimis inventis illustrare coepit, jamque opus digesserat & praelo destinarat, cum ecce Deus omnipotens charum caput, decus patriae nostrae, e medio annorum curriculo ad beatas sedes transfert: quanto ea res omnes eius notos ac familiares dolore affecerit, Illustrissimi, Prudentissimi Domini, non est quod multis narrem; illud testor, iniquissimam nobis & hisce studiis fuisse sortem: opus namque confusum, imperfectum, ac magnâ ex parte mutilum reliquit,

[ * 5 ] [ v ]
& fuit metus nunquam id lucem visurum, nisi sedula Typographi obstitisset cura, cuius petitioni refragari, simul & Viro optime quondam de me merito officium hoc qualecunque negare, inhumanum ducebam atque ingratum; subij itaque lubens hoc onus, & in ordinem redactis singulis partibus, additis etiam nonnullis quae desiderari videbantur, foetum istum praecocem nedum perfectum in publicum emisi, futurum sperans, ut omnes illi, quibus Autor ipse plenius satisfacere potuisset, nunc quoque libenter hunc rudiori manu perpolitum, excusatum habituri sint, nec duriori judicii rigore prosecuturi, maioremve perfectionem desideraturi, quam res tempusque ferre potuisse ipsis videbuntur.


  Vobis autem Illustrissimi Ordines, eum offerre non erubui, vobis inquam, quibus ad clavum tantae Reipublicae sedentibus, cuius opes, maximumque decus hisce studiis conservantur, tantus est erga ea affectus, ut inde ab annis bene multis ultro propositis praemiis ad earum cultum quoscunque patriae suae amantes provocare soleatis: confidens fore, ut quam benevolentiam vivo quondam Autori non semel exhibuistis, eâdem nunc monumenta ejus quorum fructus merito ad vos redit, prosequamini.


[ * 5v ] [ v ]
  Vobis etiam Viri Amplissimi D. Consules, vel eâ de causâ quod confidam eam vestram fore humanitatem, ut quas aliquando disciplinas Urbibus vestris splendorem addidisse nostis, eas nunc in clientelam vestram benignissime recipere non dedignemini.


Illustrissimae Potentissimae Magnitudini

Consultissimae Amplitudini vestrae


Subjectissimus          

MARTINUS  HORTENSIUS  D. B.*)    



[ *)  D. B.: Delfensis Batavus / Belga. "Delfensis Batavus" komt enkele malen voor in Album studiosorum Academiae Lugduno Batavae (Den Haag 1875), o.a. p.245: 9 sept. 1632, Ludovicus Heinsius.]

[ * 6 ] [ v ]

LECTORI BENEVOLO.
ANNUS nunc est & quod excurrit, ex quo Clarissimus D. SNELLIUS 'ho makaritès' librum hunc praelo committere coepit; cumque partim per occupationes Typographorum, partim diuturnum ipsius morbum, res lente admodum procederet, factum ut illo praematurâ morte terris erepto*), nihil praeter Canonem Triangulorum typis excusum manserit: ibi tum nos continuo desperare de editione libri, imo de plenaria eius abolutione ambigere, D. IOH. MAIRE angi animo ne opera & impensa perijsse posset: Invento tandem autographo, longo post tempore nescio quo fato potestatem videndi mihi facit, simul operam flagitat in re tam necessaria.
Quid facerem? tenuitatis meae eram conscius, scripta perplexa, confusa, mutila; videbam Atlanti Hercule opus esse ad sustinendum hoc coelum; tempus longum laboresque insuaves exhauriendos; sumpsi tamen animum, & cum officium hoc humanissimo viro negare non possem, rem aggressus editionis curam in me recepi. Vix pedem in vestibulo posueram, cum perlustratis scriptis non pauca deesse viderem ac depravata, quibus medicam qua potui manum adhibendo, tantum effeci, ut integer saltem (etsi non eo forte nitore quo ab ipso Autore erat induendus) prodiret liber: statueram quidem initio, ea quae adjeceram uncis huiusmodi
[ ] includere, sed cum jam bona pars libri primi impressa esset, & Typographus ijs omissis similem omnibus suis membris fecisset textum, ego quoque postea nihil mutandum ratus, speravi lectorem Mathematicum id facile ex diversitate styli animadversurum.
Quod ad calculum attinet, is plane de novo reiterandus mihi fuit ingenti molestiâ, nec tamen eum omnino
'apseudèn' spoponderim, tu amice Lector imitare, & si quicquam peccatum emenda°): usus enim sum tabulis quas hic habes, quibus ut id te


[ *)  Willebrord Snellius was overleden op 30 oktober 1626 (grafschrift in Collectio Monumentorum ... Belgii faederati, Lond. 1695). Hij was 46 jaar.
L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, Utrecht 2007.]

[ °)  Alles narekenen was voor de vertaler teveel, maar enkele foutjes zijn gevonden. Op p. 38 ontbreekt iets; p. 44: 'halve' moet zijn 'hele'; p. 51, tabel: 2 cijfers ontbreken en een kolom is omgedraaid; p. 55: getal dubbel in de tabel; p. 59: 'sinus' moet zijn 'secans'; p. 65: ae verwisseld met ie.]

[ * 6v ] [ v ]
obiter moneam, cave ne nimium confides, cum editae sint vivo etiamnum Autore, cui tantum otij non fuit ut eas relegere, nedum omnia vitia emendare potuerit: subieci quoque utrique Trigonometriae Problematum singulos tractatus, idque in tuum potissimum commodum; & quam vellem id ab ipso Autore praestitum ! habuit scio singularia, tum in hisce tum in alijs quorum ipse mentionem propos. 7 Appendicis facit*); sed ea omnia praeceps eius Fatum nobis abstulit; id culpa si in opere hoc quicquam deprehenderis quod exacti eius judicij limam passum non fuit, aut etiam animi nostri propensionem, quâ omnibus difficultatibus superatis, huc usque rem perduximus: scio non defuturos, qui haec in fastum & arrogantiam dicta interpretabuntur, uti hodie calumnijs potius quam favore agitur, sed eos nihil moror: modo aliqua de Mathematicis bene merendi conceditur occasio, officio meo haud-quaquam deero; sed quid ajo? invidiaene deprecatio mihi speranda, quae ne maximis quidem Viris concessa fuit?
  Quisquis es ex illo Zoïle nomen habes:°)
Tu modo benigne Lector conatibus nostris fave, & haec usui studijsque tuis Mathematicis dicata habeto, ac nos quod plane confidimus constanter amando. VALE.


[ *)  'Appendix de Construct.' vanaf p. 33 ('De constructione et fabrica Canonis sinuum plenior & ulterior commentatio', na Liber I). Prop. 7 staat op p. 58; op p. 60 (eind Prop. 8): "Habeo alia in secantium & tangentium tabulis construendis compendia, verum illa adhuc maturitatem quandam suam expectant".]
[ °)  Ovidius, Remedia Amoris, 366.]

[ * 7 ] [ v ]

Ad Ornatissimum, Doctissimum Iuvenem;
jucundissimum, optimum Amicum;


MARTINUM  HORTENSIUM.
DAmnosa flebam funera SNELLII;
Conquestus in Parcam illachrymabilem,
  Quod saeva Musarum perenne
    Surriperet columen mearum;
Et quod; recludens immerito mori*)
Fatale bustum; tam sapiens caput,
  Quodque Archimedes ipse adoret;
    Ad gelidas traheret catervas.
MARTINE flebam: tu quoque lugubres
Fletus ciebas: at sua SNELLIUS
  Post fata vivet, cum superstes
    Posthumus hic merito libellus
Tuo politus, carior Indico
Auro, refulget marmore purius.
  Sic arte Musam SNELLIANAM
    Ad proprios acuis labores:
Sic Ptolemaei te vigor ingenj
Oblectat: & sic spiritus igneus
  Euclidis. ô MARTINE pergas,
    Nec titulos fugias futuros.

Scribebat

HUGO  BOXEL°),  
L. A. M.#)


[ *)  Horatius, Carmina 3, 2.21: "Virtus, recludens inmeritis mori / caelum, ..."]
[ °)  Hugo Boxel, ca. 1607 (Album stud. Leiden: 17 maart 1623, 16 T) - 1680 (veilngcatalogus), had later een briefwisseling met Spinoza over het bestaan van geesten en spoken, zie: Jonathan I. Israel, Spinoza, Life and Legacy, Oxford 2023, p. 902 e.v. Zie ook:
Wim Klever, 'De spoken van Hugo Boxel', in Bzzletin 22 (1992-93) p. 53-64.
B. de Spinoza, Opera (1677) iv, Epistola LV - LXXII.
In Epistola LXIII (3 jan. 1675):
Praesens mihi indicasti methodum, qua uteris in indagandis necdum cognitis veritatibus. Experior eam Methodum valde esse praecellentem, & tamen valde facilem, quantum ego de ea concepi; & possum affirmare hac unica observatione magnos me in Mathematicis fecisse progressus: optem idciro, ut mihi veram traderes definitionem ideae adaequatae, verae, falsae, fictae, & dubiae.
('Tractatus de intellectus emendatione'.)
Van Hugo Boxel zijn 3 disputaties bekend:
- bij F. Burgersdijck 'De mundo et coelo' en 'De sensu interno ...' (1624),
- 'Disputatio inauguralis, continens assertiones miscellaneas philosphicas' (1626),
alledrie gedrukt door Joh. Cornelisz Wourdanus, die het hierna volgende lofdicht schreef.
En 2 juridische werken: Gorc. 1666 (Gen. 1677, Leiden 1686) en Gorc. 1670.]

[ #)  Liberalium Artium Magister.]

[ * 7v ] [ v ]

IN  TRIGONOMETRIAM
Clarissimi Viri
D:  WILLEBRORDI  SNELLII,
post mortem ejus in lucem editam.
PErdius & pernox manibus dum Circinus errat,
Et vastum Radio metitur
SNELLIUS orbem,
Arte Syracusio Sene non minor, altius omnes
Scrutatur terraeque sinus, ductusque secantes,
Et labyrintheo contortos more recessus.
Mox numeros & verba docet, quadrata rotundis,
Quove modo possis mutare rotunda recurvis.
Nil dubij jam Conus habet, teretesque Cylindri,
Nilque sublimis sese inter nubila condit
Pyramis, & Gnomon meliori limite signat.
Nec satis haec tentasse Viro; mens praepete pennâ
Astra super, primas repetens ab origine sedes,
Evehitur visura Deos, visura Penates
Divûm, atque aeterno labentia sydera motu.
Hic dum Semideis multum miscetur, & ortus
Stellarumque obitus, & quae natura negavit
Visibus humanis, attentius usque revolvit,
Non saturata tamen totum percurrit Olympum,
Extra Anni Solisque vias, facilisque jugales
Phoebus, & auratos axes currusque ministrans,
Ut solet, admissas manibus moderatur habenas.
Interea Terras summo prospectat Olympo,
Cunctaque vel solo cernit concurrere puncto
SNELLIUS, & vanâ delusus imagine rerum,
Spernit humum, & quicquid terrarum amplexibus haeret
Ridet, & insani nimium ludibria Vulgi;
Coelestique locum designat Iupiter arce
Pro meritis operum, spatioque Triangulus amplo

[ * 8 ] [ v ]
Accipit*), indigetemque locat, quâ clarior ignis
Emicat, & trinos vocat in certamina solus.
Iamque Aries cornu, rutiloque notabilis igne,
Flectit iter, limis Taurumque adspectat ocellis:
Cassiopaea sui capitis Diademate cingit,
Submittitque ultro fasces, ac cedit honore
Magnus Abantiades, & dirae Gorgonis orae
Mitius avertit, pedibus dum vincula nectit.
Primus ibi e multis magnâ comitante catervâ
Amplexus ruit in medios, dextrâque salutat,
Et Batavum tanto dignatur Aratus honore,°)
Alphonsusque, caput cinctus Diademate, gressus
Dirigit, & solio Cimbrorum gloria Tycho
Collocat, agnoscens vultum venientis & ora.
Pone tamen luctus tanto viduata Magistro
Patria, nec cessent volitare aplustria Tiphy,
Alter Tiphys adest, Batavam qui diriget Argon.
Iamque, animae pars magna meae, succedit Atlanti
Amphitryoniades#) magnis
HORTENSIUS ausis,
Atque laborantem Vestam, coelumque ruinam
Cum sonitu minitans, supposto vertice fulcit.
Vivant faelices tali rectore Batavi,
Vivant, &
DELPHI tanto laetentur alumno.
At vos faelices animae, quas vivida virtus
Extulit, & patrio pietas asscripsit Olympo,
Gnosiacae Heroi servetis serta Coronae.+)

Ludebat

IOH. CORNELI Wourdanus.)  


[ *)  Vergelijk Caspar Barlaeus, 'In Obitum Clarissimi Viri, & Mathematici incomparabilis, Willebrordi Snellii', Leiden 1628, r. 41 (p. 144, eind):
"spatio majore Triangulus optet / Posse capi".
Nog opvallender is (10 regels hierna) de overeenkomst met r. 47:
"Aratus, / Alphonsusque senex, & Cimbrûm maxima Tycho / Gloria".
Verder, r. 86: "aplustria puppis", en r. 88: "Tiphys abest" (naar W. Snellius, Tiphys Batavus, 1624), hier p. *8: "aplustria Tiphy, Alter Tiphys adest"; r. 92: "Qua radio vastum descripsit gentibus orbem" (p. *7v, begin).
  In het volgende gedicht 'In ejusdem obitum', r. 3: "visura Deos, Divûmque penates" (zoals halverwege p. *7v); en (zoals 6e regel van onder) r. 11: "Quin stupet ipsa suos nusquam se cernere Belgas, / Cunctaque sub puncto regna coire brevi".]

[ °)  Aratus, 'Phaenomena', in ed. Hugo de Groot, Hug. Grotii Batavi Syntagma Arateorum opus, Leiden 1600.]
[ #)  'Amphitryoniades' komt ook voor in een gedicht van D. Heinsius op J. Cats, Sinne- en minnebeelden, 1627.]
[ +)  In Barlaeus' 2e gedicht (zie 1e noot hierboven), r. 20: "Gnosia serta"; bruidskrans van Ariadne, het sterrenbeeld Noorderkroon, zie ook de namen bij 'Corona Borealis', in: R. H. Allen, Star Names, 1899/1963.
Joh. Bayer, Uranometria, 1603, bij Lucida Coronae: "Gnossia seu Gnosia".]

[ )  Van 1622 tot 1630 boekdrukker in Leiden, zie: 'Speuren naar sporen van een 17e-eeuwse rector: Jan Wourdanus, rector van de Latijnse school', Jan Willem Klein, Arjan van 't Riet en Marloes Rijkelijkhuizen, in Tidinge van die Goude, 35-3, aug. 2017, 106-113.
Van Wourdanus staan nog twee lofdichten in Verhandelinghe van Handt-opleggen, Dordr. 1659, voor Joost Vygh en voor zijn oud-leerling Simon van Leeuwen.
Veilingcatalogus: BNF, 9 febr. 1666, met Appendix, 30 nov. 1666; Brill 2015.]

[ 1 ] [ v ]

WILLEBRORDI SNELLI A ROYEN, R. F.

D O C T R I N Æ

T  R  I  A  N  G  V  L  O  R  V  M

C A N O N I C Æ,

LIBER PRIMUS.

De inventione rectarum Circulo adscriptarum.*)

I.  PROPOSITIO.

Adscriptarum doctrina Canonica est, quando e peripheriis adscriptae earundem relativae; & vicissim ex adscriptis peripheriae per numeros inveniuntur.
GEOMETRIA, sive 'stoicheiôsis', quatenus omnia per circinum & regulam perficiunda sibi proponit, & demonstrat, ita similium omnium Triangulorum affectiones sibi explicandas sumit. Atqui cum omnium angulorum ratio inter se, & comparatio, Geometricè & Apodicticè definitè secundum datam mensuram explicari nequeat, Magni Heroës isti, & inter veteres nominis celebritate facile primi, haud difficulter notaverunt, quid peripheriae beneficio & comparatione rectae inscriptae praestari possit. Itaque jam tum, ante annos bismille, & quod excurrit


[ *)  De sinus, tangens, enz. worden beschouwd als lijnstukken. Zie Prop. 2 (met figuur) en Prop. 3 over de naam 'Sinus'. Vergelijk: Simon Stevin, Hypomnemata Mathematica (transl. W, Snellius), Leiden 1608, T. 1, pars 1, lib. 1, 'Doctrinae Triangulorum, De sinuum Canonibus fabricandis', Ned..]

[ 2 ] [ v ]
viri summi, & inter eos princeps Hipparchus eam iniverunt rationem, ut posita semidiametro, particularum quotcumque, inscriptarum quarumcumque quantitas secundum hanc definiretur. Nam ita etiam hodie radium circuli in particulas 100000, 1000000, 10000000, aut 10000000000, tribuimus, & secundum has, descriptas suarum peripheriarum relativas exhibemus per singula scrupula. Neque enim ignotum esse cuiquam potest, qui vel a primo duntaxat limine Geometriam degustaverit, omnem circuli perimetrum in partes 360, quas gradus vocant tributam; ut semicirculo cedant gradus 180; quadranti autem 90. Ad has igitur peripherias, per suos gradus & minuta sive scrupula singula, tanquam minimas particulas quae in usu requiruntur, rectae adscriptae ipsarum relativae referuntur. Et haec quidem Ptolomaeo vocatur 'hè tôn en tôi kuklôi eutheiôn pragmateia'.*) Quam posteri, & maxime hoc seculo viri docti luculentis accessionibus adauxerunt.

  Adscriptas autem non ita stricta notione intelligo, ut Geometrae solent; quibus solae circulo inscriptae, vel tangentes hoc nomine veniunt; sed etiam rectas e centro eductas & peripheriam secantes; quemadmodum ista suis locis sigillatim explicabuntur. Harum rectarum usum aliquem in sua circuli dimensione Archimedes expressit; quod consilium Ptolomaeus quoque libro sexto magni operis est secutus. Sed ejusdem longe amplissimus campus per universam Mathesin se diffundit, cum in Triangulis planis, aut tripleuris sphaericis, ex datis tribus terminis reliqui tres inveniuntur: atque ideo etiam ab usu potissimo Doctrina Triangulorum Canonica appellatur.

  Porro autem cum anguli in centro sint ut peripheriae


[ *)  Ptolemaeus, Almagestum, Ven. 1515, p. 7.  Zie Wikipedia, 'Ptolemy's table of chords'.]

[ 3 ] [ v ]
in quas insistunt, inde factum ut ipsae peripheriae pro angulorum mensura assumantur. Ut rectum 90. gradibus; acutum paucioribus; obtusum pluribus definitum intelligamus. atque ita etiam ipsae adscriptae, non tantum ad suas peripherias, verum ad angulos quoque qui in istas peripherias insistunt pariter referantur. Cum, ut diximus anguli mensura sit peripheria, ex ejus vertice, tanquam centro descripta.

  In peripherijs porro hic & data, & eius complementum saepe in partes vocantur. Nam quod idem de angulis dictum intelligatur. Complementum est datae peripheriae a quadrante, differentia.

  Sive peripheria data maior, sive quadrante sit minor; sed ut angulus omnis duobus rectis est minor, ita data peripheria quoque semicirculo semper minor intelligatur, ut si in diagrammate sequento eo assumatur ut data, ejus complementum erit or. Et si iro peripheria major assumatur, nihilo minus erit eadem or ejus complementum. Idem in angulis locum habet, ut, anguli acuti complementum sit ejus à recto defectus: obtusi, ejusdem supra rectum excessus, quae utique negligenda non sunt.

II.  PROPOSITIO.

Rectae peripheriarum suarum relativae sunt sinus, tangens & secans.

I: cirkel, lijnen UT hic in proposito diagrammate sit a centrum circuli, peripheria oe, radius ae, perpendicularis à termino o in radium ae sit ou, extremae diametro perpendicularis es, & radius per o terminum eductus as. hic ou sinus est peripheriae oe; es tangens ejusdem; & as secans.
[ 4 ] [ v ]
In Geometria quidem tangens [>] & secans [>] infinite dicuntur, neque ulla certa & definita mensura concipiuntur; hic autem propositis peripheris astringuntur, & magnitudinem habent secundum illas definitam. ea igitur amphibolia tollenda, & suarum peripheriarum modulo erat circumscribenda.

III.  PROPOSITIO.

Sinus rectus est recta ab altero peripheriae termino, diametro per reliquum eductae perpendicularis.

SINUS nomen hac quidem notione à Latina lingua est alienum. Et Barbaro illo seculo usurpari coeptum, cum ab Arabibus etiam Graecos scriptores mutuarentur, Arabes enim ut videtur primi pro inscriptis veteri Graeciae usitatis, earum semisses summa cum utilitate adhibuerunt, atque ita a Gebro vertente Gerardo Cremonensi definitur Sinus arcus, medietas chordae peripheriae duplae*), ut hoc nomen a Cremonensi primum in scholas sit illatum, aut cum jam ante receptum esset, ab eo usurpatum.
nisi forte ab Appiano sit substitutum, certe Plato Tiburtinus multo Cremonensi recentior, quique Albategnium convertit aliter longe Gebrum loquentem introducit°). Cum ergo (inquit,) chordam cujuslibet gradus ex his chordis mediatis, per tabulam scire volueris, quaere in tabula mediatarum chordarum, &c. chordam igitur medietatis majores nostri Latine sinum dixerint.
Quamobrem cum usu jam hoc nomen tritum sit & receptum, ob summam brevitatem sane teneatur. Esto jam data peripheria oe, diameter ei, recta a reliquo


[ *)  'Gebri filii Affla Hispalensis, De Astronomia libri IX', in Petrus Apianus, Instrumentum primi mobilis, Norimb. 1534, fol. b.r: "Sinus rectus primus est medietas chordae arcus dupli ad arcum, cuius est sinus, sive dimidium chordae respectu totius arcus.".]
[ °)  Rudimenta astronomica Alfragani, Item Albategnius ... De motu stellarum, Norimb. 1537, 'Liber Mahometi Filij Geber filij Crueni, qui vocatur Albategni, In numeris stellarum, et in locis motuum earum ...', vertaling van Plato Tiburtinus (tussen 1134 en 1138), tijdgenoot van Gerard van Cremona.
Citaat in cap. 3, p. 7 (r. 15), txt. NB: niet van de eerder genoemde Geber.]

[ 5 ] [ v ]
I: cirkel, lijnen termino o huic perpendicularis, ou sinus erit peripheriae oe. Vel si assumatur peripheria oey, quam subtendat recta oy. Atque in eam perpendicularis sit radius ae, iste inscriptam oy & peripheriam oey bisecabit, dimidium itaque hujus inscriptae ou relatum ad dimidiam peripheriam or [oe] ejus sinus est.
Ptolomaeus [<], & aliquot antea seculis Hipparchus, & ante Hipparchum quoque hauddubie & Ægyptij & Babylonij tabulas inscriptarum usurpaverunt. Nos majore cum compendio, inscriptarum semisses, sive sinus adhibemus. Porro etiam peripheriae reliquae or sinus ol, est sinus complementi*) datae peripheriae oe vel oi.   Itaque
Sinus, & peripheriae quadrante minori, & ejus residuo communis est.
  Residuum autem voco datae peripheriae a semicirculo differentiam, vulgo complementum ad semicirculum, verum cum haec circumlocutio sit molesta, & tutius sit res diversas diversis nominibus distingui, complementum, ut supra definivimus [<], nobis tantum erit differentia inter datam peripheriam & quadrantem, residuum autem excessus semicirculi super datam peripheriam, & ideo data semper semicirculo minor intelligatur.
  Ut enim inscripta oy basis est sectioni minori oey, & majori oiy communis; ita semissis inscriptae ou, ad utramque peripheriam oe & ori quoque refertur.


[ *)  De "sinus van het complement" heet tegenwoordig: cosinus.]

IV.  PROPOSITIO.

Sinus versus est segmentum diametri inter sinum rectum peripheriae & eius terminum interiacens.

UT in eodem diagrammate peripheria data sit or [oe], sinus rectus diametro perpendicularis ou,

[ 6 ] [ v ]
versus erit ue. At si peripheria data sit ori, sinus rectus quidem erit eadem ou; sed versus recta ui. Et Vitello hac voce ista notione usus est prop. 12, lib. 5. & 38. l. 9. & ibidem hanc vocat sagittam.*)
        Itaque
Sinus versus datae peripheriae minoris, est sinus complementi eiusdem a radio differentia: majoris autem ejusdem & radij summa.
  Ut hic or complementum est utriusque peripheriae eo & oi, ejus sinus or [ol] vel au: hac radio ae subducta datur ue sinus versus peripheriae oe. Contra si au ad radium ai addas dabitur iu sinus versus peripheriae quadrante majoris oi.


[ *)  Opticae thesaurus, Bas. 1572, met: Vitellonis Thuringopoloni Opticae libri X, p. 197, r.4 (bij bolle spiegel) en 395, r.5-4 van onder (bij brandspiegel).
'Sagitta' ook bij Simon Stevin, in De triangulorum doctrina, fol. 1: "Sinus-sagitta est segmentum diametri a perpendiculo sinus ad peripheriam".]

V.  PROPOSITIO.

Sinus rectus peripheriae & complementi aeque possunt radio.

I: cirkel, lijnen NAM ou & au cui ol aequatur, rectum comprehendunt angulum, cui radius ao subtenditur.

  Ad quantitatem rectarum circulo inscriptarum definiendam Ptolomaeus more veteris Graeciae β, diametrum circuli in 60. partes tributam assumpsit, & singulas partes in sexaginta particulas subdivisit; atque ita porro, idque ut calculus, qui illi aevo lente admodum procedebat, & erat intricatissimus, hac logistica sexagenaria paulo esset expeditior. quae ratio etiam superioribus annis a multis est frequentata°). Interim tamen jure suo & merito obtinuit ea radij partitio, quam Regiomontanus & ejus praeceptor Peurbachius candidae animae in Mathematicos Abacos intulerunt. Ut radius in aliquot millenas partes tanquam continuo decimarum progressu tribueretur. Nempe in 100000,


[ °)  Ook nog door Ph. Lansbergen, zie b.v. Hortensius' Dissertatio de Mercurio in Sole viso (1633), p. 18.]


[ 7 ] [ v ]
10000000, aut alias plures particulas; & secundum istas peripheriarum quarumvis sinus invenirentur. & ne in infinitum res abiret, ac aliquis modus sinuum multitudini poneretur, qui ad omnem usum esset satis, Peripheriae quadrantem eor in 90. gradus, & gradus singulos in 60. particulas, quae scrupula vel minuta vocantur, distribuerunt. Ut tota quadrantis peripheria in 5400, particulas divisa intelligatur, & totidem sinus in Sinuum Canone ordinandi veniant.

  Ad horum porro investigationem, ordinatorum polygonorum latera primam sternunt viam, quae quidem per circinum & regulam ex elementis circulo inscribuntur.

VI.  PROPOSITIO.

Semisses Laterum inscripti Trianguli, quadrati, quinquanguli, sexanguli, decanguli, sunt sinus 60, 45, 36, 30, & 18 graduum.

NAM si totam peripheriam 360 gr. per 3, 4, 5, 6, 10, dividas dabitur numerus graduum a singulis lateribus subtensus, nempe 120, 90, 72, 60, 36. Ut in primo diagrammate si oy sit latus Trianguli ordinati in circulum inscripti peripheria oey erit 120 graduum, ergo dimidia oe 60, & dimidia inscripta ou ejus sinus, atque ita de reliquis.

  Quantitas autem horum laterum ex elementis est repetenda.

  Latus inscripti sexanguli aequatur ejusdem circuli radio, itaque si radius sit 100000000, ejus dimidium 50000000 erit sinus 30 graduum.

  Latus Trianguli potest triplum circularis radii; erit itaque ejus quadratum 30000000000000000,


[ 8 ] [ v ]
& hujus latus 173205081, dimidium 86602540 sinus 60 gr.

  Latus quadrati potest duplum radij, erit igitur 141421356, hujus dimidium 70710678 sinus 45 gr.

  Latus decanguli est majus segmentum radij media & extrema ratione secti*). erit igitur illud 61803399, cujus dimidium 30901699 sinus 18 graduum.

  Latus quinquanguli aeque potest lateri sexanguli & decanguli eidem circulo inscriptorum. Inde igitur nobis quinquanguli latus dabitur 117557050, cujus dimidium 58778525 erit sinus 36 graduum.

  Et quindecangulum quoque, & latera polygonorum ex istis continua bisectione derivatorum, & horum complementa, & quae per compositionem aut subductionem peripheriarum quarum inscriptae dantur inveniri possunt, ad sinuum plurimorum inventionem necessaria sunt; ideoque ad istorum investigationem haec theoremata subjicimus.


[ *)  Wikipedia 'Golden ratio': "The golden ratio was called the extreme and mean ratio by Euclid", Book 6, Def. 3.]

VII.  PROPOSITIO.

Rectangulum sub inscriptae a diametro differentiâ & radio comprehensum, aequatur quadrato inscriptae dimidij residui ad semicirculum. *)

2: halve cirkel, lijnen ID quoque Ptolemaeus Magni operis lib. 1. cap. 9. demonstravit atque adeo ad bisectionem valde est oportunum; & nobis quidem maxime, quod radius in millesimas tributus assumatur, ut ideo multiplicatione opus non sit. Est ab altero diametri termino inscripta ei, eidemque in diametro


[ *)  Dit is propositie I in W. Snellius, Cyclometricus, 1621 (p. 1) en Prop. II daar is hier Prop. VIII; dat werk wordt hierna aangehaald op p. 15.]

[ 9 ] [ v ]
aequalis eu & residua peripheria io bisecta in yo, ajo rectangulum sub ao & ou comprehensum aequari quadrato inscriptae oy. connectantur enim yu ya ye, cum igitur anguli iey uey aequicruri, aequalibus peripherijs insistant habebunt bases iy, uy aequales. Triangulum uoy aequicrurum, Triangulo aequicruro ayo erit simile, quia anguli ad basin inter se aequantur. Atque ideo etiam ao oy ou latera continue proportionalia, & rectangulum extremorum ao ou, aequle quadrato mediae oy. Quod demonstrasse oportuit.

  Ut assumpta ei pro subtensa 36 gr.*) seu latere decanguli 61803399, posita diametro partium 200000000, ejus peripheriae residuum sunt 144 gr. cujus dimidij 72 gr. subtensa quaeratur. latus decanguli de diametro deductum relinquet 138196601, is numerus per radium multiplicatus dabit 13819660100000000 quadratum inscriptae 72 gr. & ideo ipsam subtensam oy 117557050, cujus dimidium 58778525 sinus est 36 gr.

  Si illud quadratum de quadrato diametri subduxisses, reliquum foret quadratum ye nempe 26180339900000000, unde facile liquet, si datam inscriptam ad diametrum addas, & per radium multiplices, dari quadratum inscriptae quae peripheriam e data & dimidia residua compositam subtendat°). Sed id quoque ab ipsa Geometria placet arcessere.


figuur p. 8 met ei = 36 graden[ *)  In de figuur van p. 8 is de genoemde boog ei veel groter.
Om verwarring te voorkomen zie deze tekening:
ei als zijde van een tienhoek, oy van een vijfhoek.]

[ °)  ey onderspant omtrek eiy.
(2 R + ei) R = ey² , want: ey² + oy² = 4 R² , en:
(2 Rei) R = oy² , volgens Prop. 7.]

[ 10 ] [ v ]
VIII.  PROPOSITIO.

Rectangulum sub recta a diametro plus inscripta & radio comprehensum, aequatur quadrato inscriptae quae & datam & dimidium eius residuum ad semicirculum simul subtendit.

3: halve cirkel, lijnen ESTO inscripta ei, residui dimidium iy, subtensa compositae ey, & ipsi ei sit aequalis ou.
Ajo rectangulum ue ea, aequari quadrato ey. sit enim es aequalis ipsi ei. erit itaque sy rectae yo per propositionem antecedentem aequalis. atque ideo anguli ad s, o interni aequales, & propterea externi quoque esy uoy, qui cum aequicruri sint, bases ey uy habebunt aequales. Et Triangulum uey aequicrurum triangulo aequicruro eay erit aequiangulum, quia angulum ad e habent communem. Atque ideo ue ey ea latera continue proportionalia, quadratumque ey rectangulo ue ea erit aequale.

  Sit ei peripheria decima totius circuli pars 36 gr. ejus residuum igitur iyo 144 gr. hujus dimidium iy 72 gr. & detur ei partium 61803399, huc addatur diameter eo, & erit tota eu 261803399, factus ab ue in ea radium 26180339900000000 aequatur quadrato ey, unde ipsa ey datur 161803399,*) subtensa 108 gr. cujus dimidium 80901699 est sinus 54 gr.

  Atque ita haec utraque sectio reciprocari continue poterit, unde inscriptae & sinus plurimarum peripheriarum invenientur, qui ubi in scrupulis integris non terminabuntur, in Canonem sinuum


[ *)  ey = yu = au = R + ei.]

[ 11 ] [ v ]
inferri non debent, quia illi tantum ad gradus & scrupula integra sunt ordinati. Nisi forte ut Magnus ille Rheticus scrupulorum particulas quoque consecteris; qui eos canones ad sextas primorum scrupulorum partes prosecutus est.*)

  Exemplum hoc antecedens continuatum 'kata dichotomian' pro typo subjiciam assumpto radio particularum 100000000.



gr.   min.
Subtensae inscr-
ptae.

gr.   min.
Subtensae inscr-
ptae residui.
72.    0 117557050 108.  0 161803399
36.    0 61803398 144.  0 190211303
18.    0 32186893 162.  0 197537668
  9.    0 15691819 171.  0 199383466
  4.  30 7851968 175. 30 199845807

  Harum inscriptarum semisses erunt sinus, dimidiarum peripheriarum, hoc ordine & modo.

gr.   min. Sinus. gr.   min. Sin. Compl.
36.  0 58778525 54.   0 80901699
18.  0 30901699 72.   0 95105651
  9.  0 15643446 81.   0 98768834
  4.  30 7845909 85.  30 99691733
  2.  15 3925984 87.  45 99922903

  Id autem tibi notandum semper duobus aut tribus, ut minimum circulis, sinum totum initio majorem assumi debere, quam sit ille secundum quem tabulas velis ordinare, ob lubricitatem & calculi varietatem. Ita hic quidem inventus est sinus 2 gr. 15 scr. 3925984, qui tamen revera sit minor nempe


[ *)  G. J. Rheticus, Canon doctrinae triangulorum Lips. 1551: 10 000 000 delen; later, in Opus Palatinum (1596, postuum, ed. Valentinus Otho), fol. b3v: "alium Canonem ... Decades Secundorum ... part. 10 000 000 000", zoals hiervoor genoemd op p.*4.]

[ 12 ] [ v ]
3925981 cum sinus totus ponitur 100000000. ut tantum ad septem circulos ille numerus sit sanus & integer.

  Hujus rei causam quoque aperiemus, ne hic casus videatur fortuitus. cum enim inscripta 171 gr. 199383466 de diametro subducta relinquat 618634, in quo sunt notae tantum sex, numerus iste reliquus per radium multiplicatus non poterit nobis exhibere plures numeros integros & sanos quam sex ut summum. Atqui hic sunt septem: unde efficitur ultimum necessario esse lubricum & a vero alienum; si itaque hoc modo bisecando ulterius velis progredi, radius duabus aut tribus notis major ab initio tibi erat assumendus. Atque ita datorum polygonorum peripherias & quascunque alias bisecando, in infinitum progredi licebit, modo radij quantitatem initio assumas oportunam.

  Sequitur inventio inscriptarum, ubi e datis subtensis earundem peripheriarum, summae aut differentiae subtensa quoque datur.

IX.  PROPOSITIO.

Si quadrilaterum circulo sit inscriptum duo oppositorum laterum rectangula, aequantur rectangulo diagonorum.

4: cirkel, vierhoek E Ptolemaei cap. 9. lib. 1. qui ista ab Hipparcho mutuatus est. Sit in ciculo quadrilaterum inscriptum aeio, cujus diagonij sunto ai & oe.
Ajo rectangulum ai in oe, aequari rectangulis oppositorum laterum ae in oi, & ao in ei.
[ 13 ] [ v ]
nam si latera opposita sint aequalia, tum quidem ex elementis rectangulum diagoniorum, oppositorum laterum rectangulis aequabitur; quadratum enim basis recti anguli, crurum quadratis aequale est. At si opposita latera sint inaequalia, ut hic, tum angulo aoe angulus iou statuatur aequalis: cum igitur oiu, oea in eandem peripheriam ao insistant, ijdem quoque aequales erunt: atque ideo triangulum oiu triangulo oea, aequiangulum lateribus quoque proportionale. Hoc est, ut ae ad eo, ita ui ad io.
Simillime quoque, cum per fabricam aoe angulo iou aequalis sit, & angulus uoe intermedius communis; etiam angulus ioe angulo aou aequalis erit: sed & oau oei in eadem peripheria aequales sunt, & triangulum aou triangulo oei ideo simili. hoc est, ut ao ad au; ita oe ad ei. quare rectangulum ae in oi, rectangulo oe in iu; & ao in ei rectangulo oe in au aequalia erunt. Hoc est duo oppositorum laterum rectangula rectangulo diagonorum aequabuntur. Quod erat demonstrandum. Atque inde Ptolomaeo duos consectaria derivantur.

I.  CONSECTARIUM * 'kata sunthesin'. (* per
compositionem.)

Datis duobus inscriptis, datur inscripta utrique pariter subtensa.

5: cirkel, driehoek over diameter SI enim ai latus quadrati particularum 141421356, quantarum circuli diameter 200000000; & ae latus sexanguli 100000000; & quaeratur subtensa utrique ei; inscripta nempe 60 & 90, hoc est 150 gradibus pariter subtensa.
[ 14 ] [ v ]
sit diameter ao à qua ae ai insriptae in adversas partes discedant: hinc eo io ad diametri terminum eductae cum istis rectum comprehendent angulum: quare ex data ae dabitur quoque eo 173205081, & ex ai ipsa io 141421356.
Dantur itaque quadranguli aeio latera quatuor. atque ideo duo oppositorum laterum rectangula ae in io, & ai in eo, quorum summa rectangulo diagonorum ao in ei aqualis ostensa est: ea igitur per diametrum ao 200000000 divisa, dabit reliquam diagonium ei subtensam 150 grad. 193185165: cujus dimidium 96592582. Sinus est 75 graduum.
Atque eodem in omnibus processu, dabitur inscripta quae duabus datis subtendatur. unde plurimarum peripheriarum sinus dari evidens est.

II.  CONSECTARIUM * 'kata huperochèn'.
(* per differentiam.)

Datis duabus inscriptis, datur inscripta earundem peripheriarum differentiae subtensa.

6: cirkel, driehoek boven diameter ESTO iterum in hoc diagrammate ai latus quadrati, & ae latus sexanguli in semicirculo, ab eadem diametri parte; & quaeratur ei, harum peripheriarum differentiae subtensa, principio igitur, ut ante, dabuntur inscriptae ad semicirculum reliquae eo quidem 173205081, io 141421356. si igitur rectangulum laterum ae in io, à rectangulo diagonorum ai in eo deducas relinquitur rectangulum ao in ei.

[ 15 ] [ v ]
Atqui datur diameter ae [ao] 200000000; dabitur itaque & reliquum latus ei 51763809 inscripta 30 graduum, cujus dimidium 25881904 sinus est graduum 15. atque ita in caeteris analogia consimili. Hinc itaque per compositionem & per differentiam plurimae peripheriae invenientur.

  Sed ad totius canonis absolutam perfectionem ista frustra sunt, nisi etiam sinus unius minuti exhiberi possit. Id autem quam operosum fuerit passim videre est apud eos qui hanc artem 'ouk ek parergou' tractare instituerunt. Sed nos nostras leges secuti expeditissime exhibebimus quae alij operosissime consectantur.

X.  PROPOSITIO.

Datae peripheriae debitam inscriptam verae adeo propinquam in numeris exhibere, quam erit ratio diametri ad totam peripheriam data.

PROPOSITIO est octava & tricesima nostri Cyclometrici*), cum enim ante propositione 31 ejusdem ostendissemus posita diametro 200,00,000 & peripheria 628,31,853,°) tum inde dari sinum unius gradus in ijsdem partibus accurate si octo notarum statuatur diameter sinum dimidij gradus in ijsdem partibus, si tredecim sinum unius scrupuli, si novendecim etiam sinum unius secundi. His inde assumptis nunc diagrammatis rationem & calculum tantum explicabimus. Propositum itaque esto nobis subtensam duorum scrupulorum, vel sinum unius scrupuli invenire.


[ *)  W. Snellius, Cyclometricus, De circuli dimensione secundum Logistarum abacos ..., Leiden 1621. Prop. XXXVIII (p. 76): "Datae cuicunque peripheriae inscriptam verae tam propinquam in numeris exhibere, quam erit ratio diametri ad suam peripheriam data.". De figuur daar op p. 77 geeft hetzelfde (afgezien van het nummer "55.") als die hierna op p. 16.]
[ °)  Op p. 49 (prop. 31): "diametro 100,00000 circumferentia ... 31415926½".. Op p. 54: π (Pi) met 34 decimalen nauwkeurig; op p. 17-18: omtrekken van veelhoeken, 80-, 160-, 320-hoek ..., dat is met tienmaal 2^3, 2^4, 2^5 ... 2^23 hoeken.
Zie over Snellius en Ludolph van Ceulen: L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences (Utrecht 2007), p. 82-83.]

[ 16 ] [ v ]
55: halve cirkel, lijnen   Sit yi peripheria 1 scrupuli & ui tangens, ao radio aequalis; recta itaque ab a per y tangenti occurrens in u absumet rectam ui secundum leges expositas peripheriae yi aequalem*). sinus peripheriae yi sit ys, & in ay sit perpendicularis er.
Cum itaque secundum rationem expositam diametri 20000000000 ad peripheriam 314159.26536 peripheria unius minuti sit 2908882 sed vera pauxillo minor; erit itaque ui quoque tanta. Ex quadratis itaque ai & ui datur quoque quadratum au 30000000141, atque inde proportio ut au 30000000141, ad ui 2908882; ita ae 20000000000 ad er 1939254.
Hujus quadratum de quadrato ae subductum dabit nobis rectam ar 19999999906; & de ey deductum dabit yr 9999999812. unde tota ay datur 29999999718. Et hinc ob similitudinem proportio, ut ae 20000000000 ad er 1939254 ita ay 29999999718, ad ys 2908881.

  Ego in hoc opere secutus sum ubique terminum minorem ideoque hic sinus vero unitate est minor: is enim fuerit 2908882. si ad decem notas sartum voluisses initio terminus ad undecim notas fuisset tibi assumendus.

  Atque hinc jam per 'sunthesin' componendo universam sinuum tabulam perficere licet. Quin adeo si tabulis destitutus sinum postules datae peripheriae quae non sit major 22 grad. 30 scr. ad radium 10000 hac eadem via eum tibi praestabit. Et facilius multo si dato sinui postuletur peripheria debita. Sed nostrum cyclametricum°) adito, ubi ista accuratius sumus prosecuti.

  Sinum unius minuti alij per continuam bisectionem


  [ *)  Dat is een juiste benadering:  

      De omtrek van 1 minuut is:
sin 1' = 0,000 290 888 205,
tan 1' = 0,000 290 888 217,
arc 1' = 0,000 290 888 209 rad.]
[ °)  Cyclometricus, prop. 33: "Lineam datae peripheriae quam libet proxime aequalem exhibere.", p. 58 e.v.]

[ 17 ] [ v ]
& inde per proportionem concludunt; Alij solidius elegantiusque per aequationes analyticas; quorum Choragus Magnus ille Vieta in suo ad Problema Adriani Romani responso*). Eos igitur adeundos tibi censeo. Nos nostra secuti sumus tanquam simpliciora & usui oportuna.

  Atque ista hactenus de inscriptarum operosa per suas regulas inventione dicta sunto, sed & compendia huic negotio oportuna sunt inventa, unde haud difficulter plurimae vel inscriptae, vel sinus inveniri possint.


[ *)  Franciscus Vieta, Ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, Par. 1595.]

XI.  PROPOSITIO.

Si duae peripheriae à circuli triente aequaliter distent, earundem inscriptarum differentia aequabitur inscriptae distantiae.

7: cirkel, lijnen, boogje THeorema expeditum ad sinuum plurimorum inventionem per solam additionem aut subductionem;
Sit enim ai latus trianguli aequilateri; & ab i puncto utrimque iu io peripheriae aequales, ipsis inscriptae a termino diametri ao au; ajo differentiam inscriptarum ao au, aequalem esse inscriptae oi vel iu:
sit enim ipsi ao aequalis ay, & connectatur iy; triangula igitur aio aiy circa angulos ex hypothesi aequales latera habent aequalia, atque ideo sunt aequiangula, & aequilatera; quare oi & iy aequantur:
sed oi & iu quoque aequantur; ideoque yi & iu crura aequabuntur; angulus autem aui insistit in circuli trientem: &

[ 18 ] [ v ]
ideo yui valet 2/3 recti; & angulus iyu eidem aequalis est; & reliquus ideo yiu etiam 2/3 recti implebit. Quare yiu triangulum erit aequilaterum.

  Hinc adeo datis inscriptis omnibus ad gradum usque 120, reliqui usque ad 180 omnes sola additionis via quoque dabuntur.
  Ut si assumatur inscripta 108 graduum 161803399, & quaeratur inscripta 132 gr. distantia utriusque a 120 gradibus est 12. Cujus inscripta 20905692, ea ad inscriptum 108 addita dabit inscriptam 132 graduum 182709092. Cujus dimidium 91354546 fit sinus 66 graduum, posita semidiametro particularum 100000000.

  Et contra data incsripta majore & inscripta distantiae, dabitur inscripta tanto minor, quanto proposita 120 gradibus erat major.
        Itaque
Si duae peripheriae a circuli sextante aequaliter absint, sinus differentiae aequatur sinui distantiae.

  Consectarium protenus ex antecedente proportione est manifestum: quod enim illic de totis inscriptis, id hic de earundem semissibus quoque verum est. Sinus 45 graduum est 70710678, sinus 25 gr. est 25881905, hi compositi dabunt 96592583, qui sinus est 75 gr. Nam 15 & 60 hunc numerum conflant.

  Atque ita Canon sinuum per singula minuta nobis subductus & ordine digestus esto; extra circulum vero etiam considerantur Tangens & Secans.


[ 19 ] [ v ]
XII.  PROPOSITIO.

Tangens est recta peripheriae relativa, eandem in altero termino contingens, & à radio per reliquum terminum educto, intercepta.

IN Geometricis quidem recta infinita circuli peripheriam contingens absque ullo partium respectu ad quas referri soleat, definitur. Hic autem ejus infinitae rectae lineae partes ad certas peripheriae partes alligantur.

I: cirkel, lijnen   In exposita diagrapha sit peripheria data eo, rectaque in e contingens, cui radius ao per reliquum terminum continuatus occurrat in s; tum es tangens refertur ad datam peripheriam eo.

  Sed & eadem tangens ad reliquam semicirculi peripheriam refertur; quia eadem es tangens quoque est peripheriae ori: continuetur enim radius ao in m, erit angulus iao angulo mae; & peripheria ori peripheriae eym ideo aequalis. Cum igitur se cum am continuata, versus m concurrere non possit, quia mae obtusus est, concurret tamen ma versus o in s; & ita secundum positam definitionem es quoque tangens erit peripheriae eym: ut enim sinus majori & minori peripheriae communis est, ita quoque tangens.


[ 20 ] [ v ]
XIII.  PROPOSITIO.

Ut sinus complementi ad sinum datae peripheriae, ita radius ad eiusdem datae tangentem.

REs in eodem diagrammate clara est: cum enim triangula auo aes similia sint, quia ae radius utrique ou & es perpendicularis est; ut au ad uo, ita ae ad es. Sitque data peripheria oe sinus complementi erit ol, vel ei aequalis au.

  Atque inde dato canone sinuum, tangentium quoque canon sola divisione absolvetur. Sit enim oe peripheria sexaginta graduum, or triginta. Erit ut au sinus 50000000 peripheriae or, ad uo 86202540 sinum peripheriae oe, ita radius, seu sinus totus 100000000 ad 173205080 tangentem 60 graduum.
Sed ut is bene legittime constituatur, ad taxationem diametri septem notarum, opus est sinuum tabulas, ut minimum ad novem circulos subduci; nam ut supra monuimus [<], in multiplici compositione, subdivisione, duplicatione, aliquis novissimis notis error objicitur, qui ne etiam in illas notas incidat, quas sartas tectas, & ab omni vitio integras postules, cautio est: certe circa ultimos Canonis limites, in novissimis gradibus, ad undecim aut duodecim circulos sinibus subductis opus erit. In isto autem quod supra posuimus exemplo tangens legittima esset 173205080 76/100. quae fere unum integrum conflant.


[ 21 ] [ v ]
XIV.  PROPOSITIO.

Radius inter tangentem peripheriae & complementi medius proportionalis est.

8: halve cirkel, lijnen IN proposito diagrammate esto data peripheria ey, & tangens ejus ei, complementum autem yo, & tangens ou, erunt igitur latera ou ae, oa ie parallela, & triangula ideo auo aie similia. Quare ut latus uo ad oa, sic ae, hoc est oa ad ei.
Atque hinc quoque sola divisione datis tangentibus ad gradum quintum & quadragesimum omnibus, reliqui majores omnes radij quadrato per istos diviso dabuntur.

XV.  PROPOSITIO.

Duarum inaequalium peripheriarum tangentes, suorum complementorum tangentibus reciproce proportionales sunt.

9: halve cirkel, meer lijnen SUnto enim bis binae peripheriae ey yo, el lo, & harum tangentes er os, ei ou.
Ajo ut er ad ei; sic vicissim ou esse ad os, quia rectangulum er in os, & ei in ou, nempe a tangentibus peripheriarum & tangentibus complementorum, eidem radij quadrato aequalia sunt.

[ 22 ] [ v ]
XVI.  PROPOSITIO.

Duplum tangentis datae peripheriae cum tangente dimidij complementi, aequatur tangenti compositae ex data & eiusdem complementi dimidia.*)

10: halve cirkel, lijnen anders SIT em data peripheria major, ejusque complementum om, harum differentia es, earumque tangentes ei ou es [... ey].
Ajo ei tangentem, tangenti ou & ey bis sumptae aequalem esse:
Continuetur enim ay sibi aequaliter in r, sitque in tangentem ei perpendicularis lr, & connectatur ir; Cum igitur iay angulus, angulo iao ob bisectionem aequalis sit & aiy eidem ob parallelismum rectarum ao & ei; efficitur triangulum aiy ad basin ai aequiangulum, & ideo quoque aequale cruribus ay yi; ac propterea latus iy ipsi yr aequale, quare angulus air rectus erit;
sed & oae rectus est; subducto igitur illinc angulo aie, hinc autem oau, reliquus yir reliquo iae, hoc est angulo oua aequalis erit: sed & triangula aye ryl sunt aequilatera, quia anguli ad verticem y, & recti ad e & l, & latera ay yr aequalia sunt: quare aou rli triangula habentia ao & rl latera aequalia & angulos duos aequales erunt aequilatera; & il igitur ipsi ou aequalis, & le dupla ey. Quare tangens ei tangenti ou, & duplae ey aequalis erit, quod erat demonstrandum.

  Atque hinc adeo datis tangentibus omnibus ad 45 gr. reliqui omnes sola additione conflabuntur. Sit enim nobis inquirenda tangens 45 gr. 1 scr. tanquam pro peripheria em, hujus complementum


[ *)  Deze propositie zegt dus:
2 tan α + tan ½(90 − α) = tan (α + ½(90 − α)). Dit is juist, maar bewezen wordt:
"tangens ei tangenti ou, & duplae ey aequalis erit", q.e.d.
tan α = tan (90 − α) + 2 tan (α − (90 − α)). ]

[ 23 ] [ v ]
44 gr. 59 scr. sit pro peripheria om, differentia utriusque se 0 gr. 2 scr. ejus itaque tangens 58178. duplum autem 116356. id additum ad 9941839 tangentem 44 gr. 59 scr. conflabit 100058195 tangentem 45 gr. 1 scr. ut quaerebatur.

  Secundo sit peripheria em, 75 gr. 3 scr. cujus tangens quaeratur pro peripheria em, hujus complementum est 14 gr. 57 scr. om, differentia autem 60 gr. 6 scr. pro ey, hujus tangens 17390533, duplum 347810660, ad tangentem 14 gr. 57 scr. 26701409 additum, conflabit 374512069 tangentem 75 gr. 3. scr.

  Sed & hinc ordine retrogrado invenientur 'puthmenes' ex quibus tangens optata confletur, atque inde ipsius quantitas justa quoque invenietur. Rem exemplo proposito illustrabo, ut si quaeratur tangens 89 gr. 55. scr. hoc modo primum resolves*)


[ *)  Eerst de linkerkolom, die gaat op p. 24 tot 4° 40'.]

Dehinc ordine inverso ita compones
Ad radium 10000000000.
    —   '      Gr. scr.
    89. 55
Compl.   5
Tang.   4. 40
816292849
2
    89  50
Compl.  10

Tang.  42  40
1632585698
9216968536
    89  40
Compl.  20
Tang.  47  20
10849554234
2
    89  20
Compl.  40

Tang.  21. 20
21699108468
3905540719
    88  40
Compl.  1  20  
Tang.  68. 40
25604649187
2
    87  20
Compl.  2  40  

Tang.  10. 40
51209298374
1883494802

[ 24 ] [ v ]
    84. 40
Compl.  5  20
Tang.  79. 20 
53092793176
2
    79. 20
Compl. 10  40

Tang.   5. 20
106185586352
933540099
    68  40
Compl. 21  20
Tang.  84. 40
107119126451
2
    47  20
Compl. 42  40  

Tang.   2. 40
214238252902
465757485
Differ. 4  40 Tang.  87. 20
214704010387
2

Tang.   1. 20
429408020774
232752583
Tang.  88. 40
429640773357
2

Tang.   0. 40
859281546714
116360535
Tang.  89. 20
859397907249
2

Tang.   0. 20
1718795814498
58178298
Tang.  89. 40
1718853992796
2

Tang.   0. 10
3437707985592
29088903
Tang.  89. 50
3437737074495
2

Tang.   0.   5
6875474148990
14544421
Tang.   89. 55 6875488693411

[ 25 ] [ v ]

  Est itaque tangens  
__
89 55'   6875488693411 , ut
hac via non opus sit majoribus sinuum tabulis, aut sinu toto, quam secundum quem ipsi sinuum canones sunt constituti.

XVII.  PROPOSITIO

Secans est recta suae peripheriae relativa, à centro ad verticem tangentis eiusdem connexa.
8: halve cirkel, lijnen
UT in diagrammate Proposit. 14. Si ey sit data peripheria, tum ei erit ejusdem tangens, & ai secnas. ita ou est tangens peripheriae oy, & au secans.

XVIII.  PROPOSITIO

Radius inter sinum datae peripheriae & secantem complementi medio loco proportionalis est.

IN eodem diagrammate, datae peripheriae ye, sinus yr ad radium ay ita se habet, ut radius ao ad secantem complementi au. Triangula enim ary aou ex definitionibus & constructione similia sunt.

XIX.  PROPOSITIO

Secantes peripheriarum, earundem complementorum sinibus reciproce proportionales sunt.

9: halve cirkel, meer lijnen ID ex praemissa manifestum est: datae sunto in diagrammate Propos. 15. ey. el. dum enim rectangulum sub secante ar, & sinu complementi ny comprehensum radij quadrato aequale sit, & quod sub ai & ml eidem aequetur; erit ut ml ad ny, ita vicissim secans ar ad secantem ai.

[ 26 ] [ v ]
XX.  PROPOSITIO

Ut sinus peripheriae ad tangentem eiusdem, ita tangens complementi ad eiusdem complementi secantem.

RECTANGULUM enim a sinu & secante complementi comprehensum, aequatur radij quadrato; per propositionem antecedentem: at eidem quoque aequatur rectangulum e tangente, & tangente complementi ejusdem; 8: halve cirkel, lijnen
Et ipsae lineae ideo sunt reciproce proportionales, nempe, ut sinus ad tangentem peripheriae datae, ita tangens complementi, ad ejusdem com. secantem; hoc est in apposito diagrammate, si oy sit peripheria data, ut ly ad ou, ita ei ad ia.

  Vel, ut ly ad ou; ita ay, id est, ao ad au, & ita ei ad ia, & ex aequo igitur; ut ly ad ou, ita ei ad ia.

XXI.  PROPOSITIO.

Secans Peripheriae maioris aequatur tangenti complementi plus duplo tangentis differentiae, & tangente dimidij complementi.

10+: cirkeldeel, veel lijnen SIT in schemate proposito, peripheria data me, ejusque complementum mo, secans ai, tangens ie, tangens compl. ou; ajo lineam ai, aequari tangenti ou plus dupla tangente differentiae se, inter datam & ejus

[ 27 ] [ v ]
complementum scilicet ey; & tangente dimidij compl. om, scilicet en:
cum enim Propositio 16. ostensum sit, lineas il & ou aequari, nec non ly & ye tangentem scilicet dimidij complementi; statuatur peripheria eg, aequalis dimidio complementi oam, & proinde en aequalis ipsi ey, tangens nempe peripheriae eg;
Iam quia ly ye simul faciunt duplum tangentis peripheriae es, en autem aequatur tang. dimidij complementi oam, dico totam in toti ia aequalem esse: cum enim in triang. ain, angulus ad i sit complementum anguli ad a, propter parallelismum linearum ie & oa, angulumque ad e rectum, dimittatur perpendicularis it; jam ang. ati rectus & ait complementum erit angulo iat aucto scilicet angulo ean qui dimidius est ipsius oai, ideoque ait erit quoque dimidium oau, & totus ain bisectus, & tin aequalis tia complementum anguli ad n; quocirca in triang. ain anguli ad basin aequales, habebunt quoque crura ai in aequalia, fietque triangulum aequicrurum quod demonstrandum erat.

  Exemplum esto tale, detur tangens peripheriae om (complementi scilicet, my [me] peripheriae majoris cujus quaeritur secans) 25 gr. 30 scr. 4769755, & tangens differentiae se, 39 gr. 0 scr. 8097840, ejusque duplum 16195680; tangens dimidij complementi 12 gr. 45 scr. 2262769: hi tres numeri additi, constituent summam 23228204, pro secante peripheriae me, 64 gr. 30 scr. quae a vera tantum unitae differt, unde patet assumendas esse tangentes majoris radij ne error ultimarum notarum in antecedentes vergat.


[ 28 ] [ v ]
XXII.  PROPOSITIO.

Secans peripheriae cum tangente, aequatur tangenti datae dimidio complemento auctae.

10: halve cirkel, lijnen anders SIT enim in hoc diagrammate peripheria data es tangens ey, complementum eos [os] bisectum in m; ajo tangentem peripheriae em aequari secanti datae ay & tangenti ejusdem ye.
cum enim oam mas anguli aequalibus peripheriis insistentes aequales sint & ob parallelismum, angulus aiy angulo oam, hoc est angulo may: triangulum ayi ideo erit aequicrurum, & ay yi aequabuntur; tota igitur ei, secanti ay & tangenti ye aequalis est.

  Vides itaque hac ratione ex tangente & tangente dimidij complementi, conflari simplici additione unam secantem & unam tangentem aliarum peripheriarum.

  Sit data peripheria ey 15 grad. ejus tangens 26794919. complementi
dimidij  37  30' tangens ou 76732699.

Tang. 37 30 76732699
Tang. 15 26794919
Secans 15 103527618
26794919
Tang. 52 30 130322537
 
  Nam si addas utramque tangentem conflabitur secans peripheriae datae ay. quia ay & iy aequantur per Prop. 16.
  Si iterum addas, dabitur tangens peripheriae ex data & dimidio complemento conflatae ei.

  Magna res est, & tabularum Canonicarum compilatoribus admodum necessaria: Hac enim via


[ 29 ] [ v ]
datis tantum tangentibus ordine ad gr. 45. per singula scrupula, & tangentium tabula porro tota, & secantium, sola additione absolvetur.

  Sed & contra datâ secante aut tangente quacunque majoris peripheriae, quam 45 gr. invenies ordine retrogrado 'puthmenas' ex quibus illi componantur per synthesin, & ita illorum jam in Canonas relatorum 'akribeian' explorare tibi licebit. Cujus rei haud absimile exemplum Propositione 16. exhibuimus, ad ejus analogiam etiam istud haud difficulter explicabis. Potuit etiam huc illud adjici.

XXIII.  PROPOSITIO.

Secans peripheriae aequatur eiusdem tangenti, & tangenti dimidij complementi.

11: halve cirkel, lijnen DETUR in hoc diagrammate peripheria ea, ejusque secans ry, tangens ya; dimidium vero complementum arcus ei seu arcus am, ejusque tangens an; dico lineam ry aequari lineae yn: cum enim irm sit quadrans circuli, & angulus rectus ad r, erit ire compl. anguli yrm, & aequale angulo arm ex structura; similiter ducta perpendiculari ad punctum n; angulus rns, aequalis erit angulo ire, seu arn ob parallelismum linearum ra, sn;
Ergo si untrimque ab angulis rectis irn, yns, aequales angulos ire & snr auferas, erunt residui yrn & ynr aequales ideoque triang. ryn aequicrurum, & ry secans, aequalis ya tangenti & an tangenti dimidij complementi quod erat demonstrandum.

  Hinc jam facili calculo ex datis tangentibus totam


[ 30 ] [ v ]
tabulam secantium deduces addendo simpliciter duas tangentes, cujus rei exemplum unicum ob oculos ponam; esto invenienda secans 25 grad. posito radio 100000,00 particularum, quaero itaque in tabula tangentium ejus tangentem 4663081, deinde tangentem dimidijj complementi 32 grad. 30 scr. 6370702 qua ad priorem addita conflatur 11033783 secans arcus propositi quam quaerebamus.

  Verum enimvero quemadmodum de horum canonum structura compositione & origine abunde a nobis hactenus dictum est; ita nunc deinceps de ordine eorundem non nihil dicendum superest. Regiomontanus qui primus omnium Canonem sinuum initio ad 60000000 inde ad 10000000 putare instituit*), unicum duntaxat sinuum canonem ordinavit, quemadmodum Hipparchus & Prolomaeus subtensas [<]. Inde Canonibus Tangentium & Secantium in abacos & epilogismum illatis, singulis seorsim suus locus est attributus, ut antea sinibus; Inde oportunitas & utilitas omnes tribus se­lidibus conjungere docuit, ad 45 gradum paginâ sinistra descendendo; hinc ordine retrogrado adscendendo reliquos 45 gradus pagina dextra. Cujus oportunitatis autorem ante magnum illum Ioachimum Rheticum nominare habeo neminem.
Porro autem ut paulo accuratius, rationem Canonum nostrorum explicemus, ita habendum est. Cum tabulae ad gradus & graduum scrupula duntaxat sint ordinata, & usu aliquando eveniat, ut etiam ad scrupulorum scrupula, quae secunda vocant sit ob 'akribeian' descendendum; si in hoc casu sinus, tangentes & secantes investiges, nullum unquam invenies scrupulis secundis respondentem, nisi per partem proportionalem inter minorem &


[ *)  Eerst 60-tallig, daarna 10-tallig, zie bij Prop. 5.
Regiomontanus, De triangulis planis et sphaericis libri quinque, Basel 1561, staat eerst de tabel: 'Tabula sinuum ad 60000000 partes', daarna: 'Tabula Sinuum ad 10000000 particulas computata'.]

[ 31 ] [ v ]
majorem terminos in tabulis expressos, his scrupulorum particulis debitam differentiam inquiras, eamque pro datâ peripheria ita numeris in tabula inventis applices, ut sinum, tangentem aut secantem quem quaerebas legittimum exhibeat; verum ut haec commodius intelligantur, docebimus propos. sequenti.

XXIV.  PROPOSITIO.

Datae peripheriae sinum, tangentem, vel secantem è tabulis invenire. Et contra; Dato sinui, tangenti aut secanti debitam peripheriam invenire.

CUM enim in Canonibus nostris sinus, tangentes & secantes ad suas peripherias referantur, & contra ipsae peripheriae ad suos sinus tangentes & secantes; ex altero reliquum inveniri oportet. Et primo quidem, sit propositum ex data peripheria adscriptam invenire, utpote sinum anguli sive peripheriae 36 graduum 40 scr. In fronte tabulae igitur numerum graduum inquires, in pagina sinistra & in margine descendendo scrupula, & in communi concursu invenies numerum 59716. sinum quaesitae peripheriae, vel anguli in eam insistentis. Eadem res est in tangentibus & secantibus.

  Quod si major aliqua peripheria quam 45 graduum proponatur, numerum graduum in pagina dextra & minutorum ibidem quaeres, quibus ut ante sinus respondebit numerus.

  At si propositae peripheriae etiam secunda adhaereant, per partem proportionalem inquiretur sinus ei debitus; ut si quaeratur sinus 36 gr. 40 scr. 30 sec. hic in ipsis tabulis actu non datur, sed sinus 36.


[ 32 ] DOCTR.  TRIANG.  CANON.  LIB. I. [ v ]

gr. 40 scr. 59716, proxime minor, & sinus 36 gr. 41. scr. 59739. proxime major, differentia est 24*), inde proportio ut 1 minutum primum, sive 60 secunda, ad differentiam 24, ita 30 secunda ad 12. qui numerus ad minorem additus, dabit 59728 sinum optatum hoc radio 100000. Ita enim continuo ordine inscriptae sunt comparatae ut earum differentia, cum per singula minuta disiunguntur, secunda legittime exhibeat, ad radium 10000000. Sed ista nunc pluribus persequi supersedeo.

  Si dato sinu, vel tangente, vel secante, peripheria postuletur ei debita, hoc simili analogia inversis terminis praestari, nulli dubium esse potest aut obscurum, qui antecedentia plane intellexerit.


F I N I S   L I B R I   P R I M I.



[ *)  Canon, p. 148:  59715.86, resp. 59739.19.]

[ 33 ] [ v ]

WILLEBRORDI  SNELLI
A ROYEN, R. F.

D E   C O N S T R U C T I O N E

ET  FABRICA  CANONIS  SI-
nuum plenior & ulterior
commentatio.

SINUM unius minuti quidam ut Regiomontanus Rheticusque per continuam peripheriarum bisectionem inveniunt. Nam si ex subtensa 60 gr. quae est latus sexanguli, & subtensa 72 gr. quae est latus quinquanguli; per propos. 9. cons. 2 [<] inveniatur subtensa differentiae, qui sunt gradus 12. & per prop. 7. [<] bisecando subtensa gr. 6, & iterum subtensa 3. gr. & hinc 1 gr. 30 scr. Id quidem certum est & indubitatum, duas subtensas sex graduum, majores esse subtensa graduum 12. trianguli enim duo quaelibet latera reliquo sunt majora; atqui quanto longius procedes tanto tamen propius in posita diametro, hi termini consentient; at si majorem multo radium assumeres, jam differentia statim se proderet. Idem de inscriptarum semissibus, hoc est dimidiarum peripheriarum sinibus Iudicium esto, exemplo posito rem explicabo: statuatur enim sinus totus 100000,00000,00000,

[ 34 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT. [ v ]

Gr.  '   " tum Sinus erunt
  6. 0. 0 10452.84632.67653
  3 0 0 5233.59562.42944
  1 30 0 2617.69483.07873
45 0 1308.95955.71344
22 30 654.49379.67352
11 15 327.24865.06526
5 37 1/2 163.62454.43624
2 48 3/4 81.81229.95607
1 24 3/8 40.90615.32028
42 3/16 20.45307.70292

  In hoc syllabo*) vides sinum 3. gr. bis sumptum majorem esse sinu gr. 6. & duplum sinus 1 gr. 30 scr. majus esse sinu 3 gr. atque ita deinceps in reliquis, sed tamen quanto longius processeris tanto minus illi termini inter se distant; Ita duplum sinus 0 gr. 0 scr. 42 3/16 est
40.90615.40584. & sinus 0 gr. 1 scr. 24 3/8 sec. est
40.90615.32028.
Vides itaque si radium assumas tantum decem notarum tum nihil peccari, si huius sinus dimidium pro illo assumatur, & contra: quamobrem idem ille sinus a sinibus peripheriarum minorum quam duplo, suis peripheriis proportionaliter tantum distabit secundum hunc radium 1.00000.00000. Atque ideo si fiat ut 42 3/16 secunda ad 60 secunda, ita sinus 20.45307.70292, ad 29.08882.06637. qui sinus esset unius scrupuli, sed ut monuimus [<] quinque notae sunt a fine deterendae ut reliquae 2908882. legittimus sint sinus posito radio partium 10000000000, Quamobrem ut condas canonem cujus sinus totus sit octo notarum hic jam satis sit: nam ut jam ante monuimus [<] ob multiplicem calculum paulo major institui debet, ut opere confecto una aut


[ *)  De eerste vier zijn terug te vinden bij Rheticus: Opus Palatinum (ed. Otho, 1596), p. 78, onder 'Perpendicul.' (met bij 1° 30' als laatste cijfer 2, i.p.v. 3).
En de eerste vijf (met 1° 30' zoals hier) in Thesaurus mathematicus: sive: canon sinuum ... (ed. Pitiscus), Ff. 1613.]

[ 35 ] CANONIS  SINUUM  FACILIORI. [ v ]

altera nota a fine dempta, reliqui numeri sani sint & legittimi.

  Alijs etiam Algebraica analysis placuit, ut clarissimis viris Francisco Vietae & Adriano Romano: cum enim possit Geometrice inveniri sinus 3 graduum id enim ante jam est ostensum; non autem possit peripheria Geometrice trisecari ut habeatur sinus unius gradus aut etiam quintusecari: Algebra in partes vocata est, & per compositionem propositionis 9, eo deventum, ut pronunciarent si sinus totus statuatur partis 1, tum tres inscriptas peripheriae subtriplae, multatas ejusdem cubo, aequari inscriptae periheriae triplae: vel in notis algebricis hoc modo 3l−1c.*)
ut si detur latus sexanguli 1, & quaeratur subtensa triplae peripheriae quae hoc casu est ipsa diameter; triplum unitatis sunt 3, cubus ejusdem 1, hic numerus de illo deductus relinquit 2 ipsam diametrum, quemadmodum oportuit.
Esto aliud, detur latus inscripti quadrati √2, ejus triplum √18, ejusdem cubus √8. differentia horum √2. ut oportuit: nam latus quadrati & quadrantem & dodrantem peripheriae pariter subtendit.

  Sed e tabulis nobis numerus assumatur & e subtensa graduum 4 ea est
    697990
10000000
quantarum diameter erit partium 2. illius triplum     2093970
10000000
,
ejusdem cubus           3401
10000000
,  qui de illo deductus relinquet     2090569
10000000

pro subtensa peripheriae 12 gr. atque ideo 1045284 esset sinus gra. 6. qui vere est 1045285. quod inde est quia nimis arctos initio assumpsi numeros ut non sit mirum ultimam notam in lubrico versari.

  At non hoc tam quaeritur, quam ejus conversum, Quomodo ex data subtensa, inveniatur subtensa


[ *)  Ad angularium sectionum analyticen theoremata (ed. Alexander Anderson), Par. 1615; Engl.
3 l − 1 c   is te lezen als: 3 × lijn − 1 × cubus. In genoemd werk, p. 37:
3 N − 1 C   of (p. 26):  1 C − 3 N.]

[ 36 ] [ v ]
peripheriae subtriplae: hic ista aequatio jam ad analysin esset revocanda, quod omnibus non aeque est expeditum: ejus itaque locum alea regulae falsarum positionum*) nobis supplebit, quam etiam in difficillimis aequationibus explicandis, magno cum fructu a magnis viris, tanquam arcanum aliquod adhibitum optime sum conscius; Sed & idem in sua trigonometria peroportune quoque monuit Pitiscus°).
Verum ne longe discedamus; cum inscripta peripheriae subtriplae paulo major sit triente inscriptae triplae peripheriae, primum trientem assumam datae inscriptae, aut potius numerum pauxillo triente majorem. Sit itaque data 6 gr. inscripta 10467191/100000000 & quaeratur inscripta 2 grad. ea fingatur nobis 3491000/100000000 neque enim necesse est omnes numeros significantes primo experiunti assumere. Hujus cubus est 4254/100000000 qui de triplo inscriptae fictae duorum graduum 10473000/100000000 deductus, relinquet 10468746/100000000 pro inscripta 6 gr. atqui ea vera erat 10467191/100000000, igitur fictae positionis excessus est 15555/100000000.

  Assumatur itaque minor numerus pro inscripta 2 gr. 3490000/100000000 hujus cubus 4251/100000000 a triplo inscriptae deductus relinquet 10465749/100000000, minorem vera 6 gr. inscripta 1442/100000000. formula#) haec erit
3491000 + en -, maal 1555   facti   5426950000
3490000 1442 5034022000
2997 10460972000
quia sunt signa diversa fit additio, itaque 10460972000 per 2997 divisus dabit 3490481/100000000 inscriptam duorum graduum; quae ex majoribus tabulis datur accurata 349048128/10000000000. ecce itaque in notis octo veritatem constantem. Quod si iterum libeat eodem


[ *)  Regula falsi. Zie hier bij Simon Stevin, Wweghconst, p. 66: "T'valsche wort toeghelaten, op datmen t'waerachtighe daer duer leere".]
[ °)  Barth. Pitiscus, Trigonometria, Augsburg 1600 (met een 'Tabulae sinuum tangentium et secantium' vanaf p.123); ed. Frankfurt 1612 met 'Regula falsi' op p. 50, bij hetzelfde probleem als hier: "Data subtensa arcus, subtensam tertiae partis illius arcus invenire", en meer in App. lib.5, p. 177.]
[ #)  Het figuurtje met + en − en × werd vaker gebruikt bij de 'Regula falsi', zie: Marjolein Kool, Die conste vanden getale (1999), p. 170, bij 4.4.1, Regel van 'valse positie'.]

[ 37 ] [ v ]
modo experiri ad 13 aut 14 notas pervenies ex hoc invento; Eadem in alijs via: Certitudinem arguet regressus per compositionem secundum consect. 1 prop. 9. vel sane ut jam fecimus ipse cubus a lateris triplo subductus [<]; qui tum inscriptam triplae peripheriae accurate restituet.

  Ad datae peripheriae quintusectionem, hoc est ut data datae peripheriae inscripta, inveniatur inscripta quae ejusdem peripheriae quintae parti subtenditur, ex eodem consectario 1 propos. 9. hanc aequalitatem invenies; ut posita semidiametro partis 1, tum 5l−5c + 1β aequatur inscriptae quintuplae*): Nempe si ad inscriptae datae quintuplum addatur solidus primus ejusdem, & haec summa multetur quintuplo cubi ab eadem inscripta, ille erit numerus debitus inscriptae quintuplae:
Exemplum tale esto subtensa 60 gr. est 1 quaeritur subtensa peripheriae quintuplae nempe 300 gr. quintuplum inscripte datae 5, auctum solido ab eadem 1 est 6, inde quinque ejusdem cubi deducti relinquunt 1, pro subtensa 300 grad. quod omnino verum est, quia inscripta ad utramque peripheriam pariter refertur.

  Verum esto etiam aliud, subtensa 12 grad. est 2090569/100000000 & quaeritur subtensa peripheriae quintuplae, nempe grad 60. dati numeri cubus 91370/100000000, ejus quintuplum 456850/100000000. hinc ipsius inscriptae quintuplum 10452845/100000000, ad ejus solidum primum nempe 3995/100000000 additum, conflabit 10456840/100000000, unde cubi quintuplum subductum relinquet 9999991/100000000 pro inscripta 60 gr. ubi vides ultimam notam ex operis varietate lubricam; oportuit itaque radium una aut altera nota


[ *)  Zie Anderson 1615 (p. 35, noot), p. 26 en 37:   5 N − 5 C + 1 QC.
5l − 5c + 1β   is te lezen als: 5 × lijn − 5 × cubus + 1 × quadrato-cubus.]

[ 38 ] [ v ]
majorem assumi: nam inscripta 60 gr. debuit radio assumpto aequari.

  At contra illud potius quaeritur, quomodo data inscripta peripheriae quintuplae, inscripta peripheriae subquintuplae subtensa inveniatur, Id vero eadem alea qua in trisectione usi sumus tibi erit experiundum:
Sit enim proposita peripheria 85 gr. 20 scr. cujus inscripta detur 135546.39982/100000.00000 & quaeratur inscripta 17 grad. 4 scr. qui sunt datae peripheriae pars quinta. Assumamus itaque terminum hujus quinta majorem, & quidem nunc satis parce, ut quantum hac ratione proficiatur ex ista analogia semper constare possit.
Et primo quidem fingamus subtensam quintae parti esse, 29600000/100000000 ejus cubus 2593433/100000000, hujus quintuplum 12967168/100000000. eiusdem lateris solidus primus erit 227226/100000000 qui ad lateris quintuplum 148000000/100000000 additus conflat 148227226/100000000. inde suprascripti cubi quintuplum deductum relinquit 135260058/100000000, pro inscripta quintuplae peripheriae subtensa; Atqui ea fuit data 135546400/100000000. inventa itaque ab hac deficit 286342/100000000.

  Et secundo eadem inscripta peripheriae subquintuplae subtensa assumatur 29700000/100000000, hujus cubus erit 26198073/100000000 ejusdemque quintuplum 13099036/100000000. Et eiusdem lateris solidus primus 231090/100000000, qui ad quintuplum lateris 148500000/100000000 additus, conflat 148731090/100000000.*) Cujus excessus supra quintuplae peripheriae inscriptam ex hypothesi primo datam, est 85654/100000000: secundum regul falsarum positionum praecepta formula haec erit,

facti
29600000 - en +, schuine lijnen 286342. 8504347400000
29700000 85654. 2535358400000
371996.   11039705800000


[ *)  Hier ontbreekt: "Inde cubi quintuplum deductum: 135632054/100000000".]

[ 39 ] [ v ]
atque hinc peracta divisione*) dabitur inscripta quintae parti subtensa 29676947/100000000, quae esset 29676954/100000000, ut e tribus sanis jam sex sint integri inventi: si ultra pergeres, rursum numerus sanus istius esset duplus, nempe ad minimum ad radium notarum duodecim, tu si libet porro periculum facito. Hinc jam porro continua bisectione inscriptam duobus scrupulis subtensam invenire licet per ea quae supra a nobis exposita sunt praecepta.

  Sed & novum hoc atque perjucundum acroama quoque accipe, ut sinus quoscunque, & quorumcumque polygonorum latera sola additionis via invenire possis: & quidem e numeris fortuitis; ego cum in ista incidi aliud animo agitabam, quemadmodum e solis sinibus mera additione tangentes & secantes aliquot exsculpi possint, sed

    ----- amphora caepit
Institui, currente rota cur urceus exit?
°)

  Profecto commentum mihi perplacet, neque quidquam omnino est causae cur tibi displicere posse existimem. quamobrem animum advorte, & hac tam expedita facilitate tete oblectato, vel in ipso vasto mari, aut remotissima solitudine si ita res exigat: cum ea factio vel puero semper in promptu esse possit.


[ *)  Zie de uitleg onderaan p. 36.]
[ °)  Horatius, Ars Poetica, vs 21.]

40 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT. [ v ]

I.  PROPOSITIO.

Sinus peripheriarum aequali cremento a quadrante decrescentium, ordine proportionales sunt differentijs sinuum, qui pertinent ad peripherias eodem cremento increscentes, quarum prima sit ipsius crementi semissis.

halve cirkel, lijnen
EXPONATUR circuli quadrans eai, & assumantur in eo peripheriae aequales is su ue, & bisecetur eu ultima in y, & compleatur semicirculus ieo, & sunto oc cl le primis aequales, inscriptae igitur lu, cs diametro oi parallelae & ab ea radio erunt bisectae, & cum uy sit dimidia peripheriae eu vel us, erit ea dimidium crementi us vel si, sintque eidem uy aequales ib & cg:
hinc connectantur eu ls ci, quae radio ay perpendiculares, ab eodem bisecantur: & yu ys yi peripheriae vel potius bi, bs, bu, jam pari cremento increscunt; atque harum prima yu est dimidium ipsius crementi in utroque ordine:
Ajo sinus primarum peripheriarum su ey [es eu], quae a quadrante decrescunt, proportionales esse differentiis sinuum qui eodem quidem cremento increscunt, sed ita ut prima sit crementi semissis, quae hic sunt bi bs bu, hoc est, ut sv ad ut, ita mn ad nr*), cum enim rectangula triangula eut flt,


[ *)  Met de bogen is su ue genoemd α (Sum-to-product identity 2):
sin 2 α   =   sin 1½ α − sin  ½ α   =   2 cos  α  sin  ½ α   ,  2 cos α   =   cos  α   .]
sin  α sin 2½ α − sin 1½ α 2 cos 2 α sin  ½ α cos 2 α

[ 41 ] CANONIS  SINUUM  FACILIORI. [ v ]

habeant latera lt tu aequalia, & anguli ad u & l in aequales peripherias insistant erunt similia, & praeterea aequilatera ut et tf ideo aequentur; sic fv & vj aequantur, & ltf fsv triangula sunt similia: erit itaque sv ad tu, ut fv ad te, & ut dupla jf ad duplam fe, sed ut jf ad fe, ita ob parallelismum intersecantium erit mn ad ny [nr], quod erat ostendendum.
Sed numeris idem illustrare libet, sit in exposito diagrammate es 85 gr. eu 80 gr. uy dimidia differentia cui aequator bi 2 gr. 30 scr. bs 7 gr. 30 sc. bu 12 gr. 30 scr.

85 gr.   9961947.   sv 2 gr. 30 scr.     439194. [436194] am.
80 gr.   9848077.   tv [tu] 7 gr. 30 scr.   1305262. an.
  12 gr. 30 scr.   2164396. ar.

erit igitur ut 9961947 ad 9848077, ita differentia inter am & an 869068, ad differentiam inter an & ar 859134. quod omnino verum esse calculus comprobat.

II.  PROPOSITIO.

Ut radius ad sinum dimidii crementi, ita duplum sinus complementi totius crementi, ad differentiam inter sinum dimidij crementi & sesquipli eiusdem. Et ita duplum sinus complementi dupli crementi, ad differentiam inter sinum sesquipli & sinum dupli ac sesquipli crementi. Atque eo porro ordine per unius crementi intervallum continuando.

CUM enim triangula iam, cpm, spn, sint similia, ut jam ante patuit, erit ut ia ad am, hoc

[ 42 ] [ v ]
halve cirkel, lijnen est ut sinus totus ad sinum dimidij crementi in eodem diagrammate, ita cp ad pm, & ita ps ad pn. & propterea per compositionem, ut ia ad am, ita cs ad mn. Sed es est complementum crementi is, ejus sinus vs, cujus duplum cs, atque mn est differentia inter am sinum dimidij crementi bi, & sinum sesquialterius bs, cui debetur sinus an.

  Haud aliter reliqua demonstrabis, esse nempe quemadmodum ia ad am, ita uc [ul] ad nr.

CONSECTARIUM.

          Itaque
Licet hinc datis sinibus quotcunque, à quadrante aequali intervallo decrescentibus, & sinu dimidiae differenntiae, sola multiplicatione & additione invenire sinus, qui ad dictarum differentiarum loca intermedia pertinent.

Dentur enim sinus
expositarum peri-
pheriarum
accolade gr. sinus duplum
84 9945219. 19890438.
78 9781476. 19562952.
72 9510565. 19021130.
66 9135455. 18270910.
60 8660254. 17320508.

  Peripheriae datae increscant continue per gr. 6. cujus dimidium 3 gr. & ejus sinus 523360.

  Fiat itaque ut sinus totus 10000000, ad sinum dimidiae differentiae 3 gr. 523360,
Ita duplum sinus 84 gr. 19890438, ad 1040985 9/10
  & duplum sin. 78 gr. 19562952, ad 1023846 6/10
  & duplum sin. 72 gr. 19021130, ad 995489 8/10
  & duplum sin. 66 gr. 18270910, ad 956226 3/10
  & duplum sin. 60 gr. 17320508, ad 906486 1/10

[ 43 ] [ v ]
qui continue ad sinum dimidij crementi 3 gr. additi, dabunt sinus qui pertinent ad 3 & 6, 3 & 12, 3 & 18, 3 & 24, 3 & 30. hoc est 9 15 21 27 33 graduum hoc modo.

Omnes hi numeri ita ac-
curate congruunt prout
sinit partium symmetria:
nam ultima nota fuit lu-
brica initio a nobis as-
sumpta: itaque mirum
esse non debet sinum 27
gr. 4539908, tantum ad
radium sex notarum o-
mnino esse legittimum.*)
  3 gr.  sinus 523360
1040985 9
  9 gr.   - - - 1564345 9
1023846 6
15 gr. 2588192 5
995489 8
21 gr. 3583682 3
956226 3
27 gr. 4539908 6
906486 1
33 gr. 5446394 7

  Quamobrem ex isto consectario id commodi etiam sinuum canoni accedit, ut singulis multiplicationibus, singuli isti sinus exhibeantur, quos alioquin secundum adscripti quadrilateri affectiones per propos. 9 hujus libri investigare debebas.

  Hac igitur via datis sinibus 225, intervallo 16 scrupul. a quadrante decrescentibus, cum sinu dimidij crementi 8 scr. dabuntur isti quos hic suis peripherijs expressos subjicimus:
nempe si dentur, sinus   —   —   —
Et dato insuper sinu 8 scr. quae sunt di-
midium crementum, dabuntur quoque
89 44'
89 28
89 12
ea methodo qua supra sinus 0 24'
0 40
0 56
1 12
1 18
1.44
88 56
88 40
88 24 &c.


[ *)  Sinus 27° in Canon (1626): 45399.05.]

[ 44 ] [ v ]
  Atque ita porro servato eodem cremento. Iam ex inventis hisce

III.  PROPOSITIO.

Si quotcunque peripheriarum aequali differentia increscentium, radij semissis statuatur sinus dimidij*) crementi, sinus complementi totius crementi illi additus fiet sinus sesquicrementi: & huc sinus complementi dupli crementi aggregatus dabit sinum dupli & sequipli crementi; atque ita eodem porro ordine, cuius radius e complementorum quadratis invenitur.

halve cirkel, lijnen erbuiten
ET ENIM ut ante peripheriae yu ys yi aequali crescant intervallo, & sit yu aequalis crementi dimidio, eidemque statuatur aequalis ib: & sunto inscriptae eodem modo ordinatae ut prius: sed inscriptae eu ls occurrant diametro continuatae in q & d; & cs continuata ipsi eq in h.
Erunt itaque am an ar sinus ib dimidij crementi, bs sesquicrementi, bu dupli & sesquicrementi proportionales, ob parallelismum intersecantium, rectis ai, ad, aq. atqui ai est radius ipse; ad ex radio & cs; aq ex radio ai & cs & lu composita; quare istarum dimidia erunt in ratione sinuum am, an, ar, dimidii nempe crementi & sesquialterius, & dupli sesquialterius. Sed ad


[ *)  Het lijkt hier te gaan om het hele 'crementum' (verschilboog): 30°.
NB. 'semissis': genitief van 'semis', maar als nominatief ook op p. 5 en tweemaal op p. 40.]

[ 45 ] [ v ]
suum radium qui ex complementorum quadratis inveniri debet.

  Sit itaque crementum is 30 gr. & ideo yu vel bi 15 gr. bs 45, bn 75, & erit ordo hujusmodi

assumatur   sin. compl.    dimid. sinus
is   30 gr. 8660254   ai. 5000000 15 gr.
iu   60 gr. 5000000   ad. 8660254 45 gr.
aq. 13660254   75 gr.

radij novi quantitatem habebis ex duplo quadrato 45 grad. vel ex quadratis 15 & 75 grad. Sed esto exemplum paulo luculentius; crementum sit 6 gr. 40 scr. ergo dimidium 3 gr. 20 scr. disponam itaque peripherias a maxima decrescentes, & earum adscribam sinus, inde addendo componam ut habeam omnes dimidiarum, seu impares intermedios. ut hic.*)
__
__ Ex horum
additione ad
dimidium
radium,
existunt
novi sinus
peripheriarum
a dimidio
cremento
eodem, quo
istae intervallo
increscentium:
sed ad
novi radij
aestimationem.
  3 20'   5000000
83 20' 9932384 10   0 14932384
76 40 9730450 16 40 24662838
70   0 9396926 23 20 34059760
63 20 8936327 30   0 42996087
56 40 8354878 36 40 51350965
50   0 7660445 43 20 59011410
43 20 6862417 50   0 65873827
36 40 5971586 56 40 71845413
30   0 5000000 63 20 76845413
23 20 3960799 70   0 80806212
16 40 2868033 76 40 83674245
10   0 1736482 83 20 85410727

  Vides itaque hic secundum demonstrata exhiberi novos sinus ad alium radium comparatos: & quia hic casu incurrimus in trigesimum quoque


[ *)  5000000 + 9932384 = 14932384 ,
14932384 + 9730450 = 24662834 (i.p.v. 24662838) , etc.]

[ 46 ] [ v ]
gradum, sinus ei e regione positus erit radij dimidius 42996087, ut totus sit 85992174 quod si non incurreret in 30 gr. hic ordo, tum ex complementis eum invenires, quae hoc casu nunquam dantur. Quin adeo ex hoc opere adeo accuratus datur omnium numerorum consensus ut longius horum novorum sinuum 'akribeia' producatur, quam ad radium qui ab initio erat assumptus.

  Exemplum in his pauculis nobis unicum duntaxat esto. Cum sinus 30 grad. datur in inventis 42996087. tum sinus totus est 85992174, & sinus 43 grad. 20 scr. 59011410. Itaque si sinus totus sit particularum 10000000000. sinus 43 gr. 20 scr. secundum hanc analogiâ debitus erit 6862416260, ubi nobis tabulae Rhetici [<] suppeditant 6862416379. Vides itaque canones minores 7 notarum hic errare, qui nobis exhibent 6862417. Atqui nostri termini ex illis derivati sunt, & tamen suis aboriginibus sunt saniores & magis integri: Certe hujus factionis consensus adeo est accuratus, ut vix dici queat; causam si quaeras mera hic est terminorum additio; non similitudo aut proportio, quae integritatem suam non potest ultra producere quam rationum termini, qui ab initio erant constituti, at in additione secus est, quod ipsum experientia & usus infra luculentissime conprobabunt. Sequitur theorema ejusdem analogiae & factionis etiam alterum,


[ 47 ] [ v ]
IV.  PROPOSITIO.

Si peripherijs pari cremento auctis ultima quidem quadranti, prima autem cremento aequalis sit, horum sinus eam habebunt rationem, quam sinus peripheriarum, quarum prima maxima sit quadrans minus dimidio cremento, reliquae autem ordine per idem crementum decrescant, donec ultima crementi dimidio sit aequalis.

halve cirkel, lijnen erbuiten
UT in eodem diagrammate quadrans ie in tres aequas partes est tributus, quarum prima sit is, hujus dupla iu, tripla ie. Et cum yb quoque quadrans sit & ib dimidio cremento aequalis, peripheriae secundae erunt yi, ys, yu.
Vides itaque hq inscriptae ci, hu ipsi ls aequari, ob parallelismum: atqui ob parallelas aq, vh, tu, quoque proportionales sunt lineae qh, qu, qe, rectis au [av], at, ae, qui sunt sinus peripheriarum is iu ie. atque ideo qh erit sinus periheriae si; qu ex ci & ls composita, sinus iu: denique qe ipse radius, ad quem illi sinus comparantur.
Quod autem de inscriptis ci, ls, eu, verum est, idem quoque de earundem semissibus hoc est sinibus mi sn ur verum esse constat: additis igitur sinibus theorematis nostri argumentum quoque stabit.

  Atque hinc novus condendi canonis modus ad radium majorem, idque per solam additionem, ex datis sinibus ad taxationem radij minoris. Exemplum primum ex ipso diagrammate petatur, et sit ei 90, es 60, eu 30. Iam yi 75, ys 45, yu 15, hoc modo,


[ 48 ] [ v ]
Gr. sinus Hi additi a
maximo inci-
piendo dabunt
sinus peri-
pheriarum.
yi 15 2588190 90 19318516 qe.
ys 45 7071068 60 16730326 qu
yu 75 9659258 30   9659258 hq

  Hic sinus quadrantis dimidio cremento multati nempe 75 gr. primum fit sinus totius crementi 30 gr. reliqui ordine additi, sinus dupli & tripli crementi existunt, donec totus quadrans expleatur.

  Atque hic quidem si numerus partitionis sive crementi in triginta incurrat, ut hoc loco ubi primus est; ultimus qui pertinet ad nonaginta hujus erit duplus, ut in istis hoc loco inventis 9659258 & 19318516. quare ille est dimidius radius, hic totus ad quem tales sinus comparantur.
Esto exemplum secundum ubi totum crementum assumatur 22 gr. 30 scr. dimidium 11 gr. 15 scr. operis ratio haec erit.

sinus
78 45 9807853 22 30   9807853
56 15 8314696 45   0 18122549
33 45 5555702 67 30 23678251
11 15 1950903 90   0 25629145.

  Hic rursum sinus 78 grad. 45 scr. qui est quadrans dimidio cremento multatus, fit sinus crementi 22 gr. 30 cum radius erit 25629154. hujus radij integritatem licebit experiri e complementorum quadratis.

  Sed esto exemplum paulo luculentius, & assumatur totum crementum 10 gr. dimidium 5, & ista erit operis facies


[ 49 ] [ v ]
Sinus sinus novi
85 9961947 10   9961947
75 9659258 20 19621205
65 9063078 30 28684283
55 8191520 40 36875803
45 7071068 50 43946871
35 5735764 60 49682635
25 4226183 70 53908818
15 2588190 80 56497008
  5   871557 90 57368565.

  Hic ut supra sinus crementi 10 gr. statuitur ille qui est in tabulis sinus 85 gr. hoc est quadrantis semicremento multati; reliqua ut in processu videre est ex antecedentium additione existunt: & sinus 30 graduum hic datur 28684283; sinus 90 seu radius 57368565 duplus antecedentis quemadmodum oportuit.
Sed potest hoc opus saepius continuari, & ita multiplici iteratione e sinibus ad parvum radium constitutis, ijdem in multo majoribus notis inveniri. Exemplum tale esto, crementum sit 15 gr. dimidium itaque 7. gr. 30 scr. unde operis facies surget hujuscemodi

Sinus sinus novi
82  30' 9914449 15   9914449
67  30  9238795 30 19153244
52  30  7933533 45 27086777
37  30  6087614 60 33174391
22  30  3826834 75 37001225
  7  30  1305262 90 38306487

[ 50 ] [ v ]
V.  PROPOSITIO.

Peripheria in partes quotcunque aequales divisa, ita ut haec partitio in 30 gr. quoque incurrat, ex datis sinibus locorum imparium, dabuntur sinus locorum parium ad novum radium. & contra, ex paribus impares.

SCITUM theorema, & quod usum percommodum nobis praestet, ut ex quibusvis numeris, etiam contingentibus tamen legittimi sinus exsculpantur. Sed primum theorematis veritatem in numeris veris secundum demonstrata experiamur.
Exemplo novissimo inventi sunt sinus 15, 30, 45, 60, 75, ad radium 38306487. ubi sinus triginta gr. quoque datur 19153244. hic si statuatur sinus dimidij crementi, reliqui sinus ordine additi secundum propositionis 3 praecepta, fient sinus sesquicrementi, & dupli sesquialterius, atque ita porro per loca imparia ad finem usque progrediendo ut hic vides*).

15   9914449 82  30' 145483330 15 145483330
30 19153244 67  30 135568881 30 281052211
45 27086777 52  30 116415637 45 397467848
60 33174391 37  30   89328860 60 486796708
75 37001225 22  30   56154469 75 542951177
90 38306487   7  30   19153244 90 562104421

  Atque ita porro secundum praecepta propositionis tertiae, & quartae continuando, donec radius tot sit notarum, quot postulabis. Hic ex sinibus notarum septem, tertia additione habemus sinum ad


[ *)  De sinus van 30° in de 2e kolom wordt gelijk gesteld aan de sinus van 7° 30' in de 4e kolom.]

[ 51 ] [ v ]
radium 100000.0000[0]: nam si ut fiat radius 562104421 ad sinum 75 gr. 542951177 ita 10000000000 ad 9659258257 cum sinus verus sit 9659258263; vides itaque ad novem notas hos numeros esse sanos? neque ultra integri esse possunt quia ipse radius novus non habet notas plures: quod si libeat adhuc semel hanc vicissitudinem iterare habebis eos legittimos ad radium notarum decem hoc modo

82  30'  28105221 15 2134803485
67  30  82400338 30 4124123640
52  30 1310800096 45 3532391584
37  30 1708267944 60 7143191680
22  30 1989320155 75 7967195068
  7  30 2134803485 90 8248247279

  Hujus factionis modus adeo verus est, ut licet numeros assumas a veris sinibus quantumvis alienos, modo sinus 30 gradui attributus sit dimidius ejus qui 90 adscribitur, tamen omnes numeri paulatim in ordinem cogantur, & tam sani sinus existant, quam qui ex arte legittime ad datum quemcunque radium derivari possunt; tantus est huius reciprocationis consensus, ut paulatim 'ta notheuonta' excernat, & repudiet. Exemplum esto 'kibdèlon' & sunto sinus fictitij, hoc modo


[ *)  Het eerste getal van de 2e kolom lijkt te zijn de sinus van 30°, 281052211 (vorige tabel, laatste kolom); het tweede zal ook een cijfer meer moeten hebben.
De 2e kolom geeft hier de cosinus (bij omkering de sinus) van de 1e kolom, bij een straal van 215322454.]

[ °)  Voor de duidelijkheid: sin 30° in kolom 2 wordt in de 4e kolom sin 7° 30', waarna daarvan het bovenste getal 360 terugkomt in de 5e kolom als sin 15°.
5e kolom, 2e getal: sin 30° = 696, komt terug in de 6e kolom onderaan, etc.]

[ 52 ] [ v ]
 Periph.    sin.  
  15 0'    24
  30 0    48
  45 0    68
  60 0    82
  75 0    90
  90. 0    96
1
 Periph.  sin.
  82 30'   360  
  67 30   336  
  52 30   288  
  37 30   220  
  22 30   138  
    7 30     48  
2
sin.
   360  
   696  
   984  
 1204  
 1342  
 1390  
3
 
  5282  
  4922  
  4226  
  3242  
  2038  
    696  
4

sin.
   5282  
  10204 
  14430  
  17672  
  19710  
  20406  
5
  77502  
  77220  
  62016  
  47586  
  29914  
  10204  
6
sin.
    77502  
  149722  
  211738  
  259324  
  289238  
  299442  
7
  1137246  
  1059744  
    910022  
    698284  
    438960  
    149722  
8

  1137246  
  2196990  
  3107012  
  3805296  
  4244256  
  4393978  
9
  16687790  
  15550544  
  13353554  
  10246542  
    6441246  
    2196990  
10
  16687790  
  32238334  
  44591893  
  55838435  
  62279681  
  64476671  
11

[ 53 ] [ v ]
  244874467  
  228186677  
  195948343  
  150356450  
    94518015  
    32238334  
12
  244874467  
  473061144  
  669009487  
  819365937  
  913883952  
  946122286  
13

  Atque ita deinceps; operis autem accuratam veritatem, & quatenus ea procedat in sedibus numerorum imparium, prout eos hic exhibemus, (nam a toto cremento, quod per 30 gradus transit, initium fecimus) ostendet consensus sinuum qui ad 90 & 30 gradus pertinent: nam quoad hic duplicatus illum restituit, tantisper omnes notas sanas & legittimas esse tibi sit persuasissimum; ut loco selidis decimaetertiae ultimo sinus totus datur 946122286, sinus autem 30 grad. 473061144, cujus duplum 946122288;
pronuntio itaque tuto ad radium 94612228 omnes notas bene esse accuratas; exemplum sit in 75 gr. cujus sinus in eadem selide datur 913883952; & sit ut 946122288 ad 913883952, ita 10000000000 ad 9659258254, ut duo novissimi tantum peccent, qui sunt 54 pro 63, & in novem notarum radio, vix una unitate abeamus a vero diversi, quod ante monueramus ex consensu sinus 90 & 30 graduum.
Quin adeo haec factio ita accurata & vera est, ut licet omnes sinus ordine inverso statuas, & majores sinus minoribus peripherijs, atque minores majoribus attribuas; tamen post multiplicem additionum vicissitudinem inde integri & legittimi

[ 54 ] [ v ]
existant, modo leges positas sequaris & sinus 30 gr. statuatur dimidius ejus qui ad 90 gr. pertinet, res experiunti erit haud difficilis.

  Quamobrem ad canonis sinuum concenturiationem parata & facilis est nobis via: Nam si prior ordo per scrupulorum paria instituatur, ut 2, 4, 6, 8, 10, alter loca intermedia explebit 1, 3, 5, 7, 9. atque ita porro; res ex antecedenbus manifesta est, ut 2700 additiones reciprocando, tam acccuratos canones exhibere possis quam tibi erit collibitum: atqui cum radius hic alius sit, quam vulgo usitatus, hos sinus ad millesimas vel divisionis vel multiplicationis via reduces.

  Verum enimvero ne adeo vastum pelagus nullo duce, & quasi fortuito ingrediaris, quamvis etiam ita ad portum destinatum occultis legibus necessario proveharis; tamen expediet aliquam adhibere huic operi cynosuram, quo facilius ex his tricymiis*) & undarum agitationibus molestis, navem in portu incolumem constituas. Oportunum itaque erit saltem singulorum graduum, aut etiam quod non improbem semissium, sinus jam ante legittimos ut minimum ad radium quatuor notarum invenisse, atque inde secundum hanc differentiam proportionaliter sinuum quantitatem per bina scrupula ordinare. Hac enim via, secunda additione facile ad radium sex aut septem notarum legittimos sinus exsculpes, & si eandem vicissitudinem secundo iteres, jam ad 10 aut 11 notas facile pervenies; consensum arguet sinus 90 gr. cum sinu 30 gr. comparatus, Sed priusquam hic manum tollam de tabula etiam lateris cujuscunque polygoni inventionem, mihi hac eadem via docendus es: quam utique inter extrema hujus theorematis merita, haud reponendam censeo.


[ *)  Gr. 'trikumia': driedubbele golf, stortvloed. Cynosura: dog's tail.]

[ 55 ] [ v ]
VI.  PROPOSITIO.

Dati cuiuscunque polygoni latus vero tam propinquum invenire, quam cuique erit collibitum.

ET haec mantissa non est negligenda; namque ita vitato intricatissimo aliquando opere, simplicissime ad veritatis adyta nobis aditus aperitur. Sed hoc mihi ante omnia est monendus numerum polygoni & a 3 & a 2 debere esse dividuum. Et a binario quidem ut ejus latus semicirculum accurate obeat, & dimidium lateris sit sinus; hinc a ternario ut peripheria semissi debita in 30 gradum quoque incurrat. Atque ideo aliquando datae figurae sextuplum erit assumendum, aliquando duplum, aliquando triplum, prout numerus laterum hujus sectionis erit capax. Sed exemplis res erit illustrior.

  Sit inveniendum latus dodecanguli, ejus dimidium 6, ergo sinus dodecanguli sextam quadrantis partem subtendit; nempe 15 grad. Atque ideo hujus progressum ita ordinabo per 15 gr. 30 gr. 45 gr. 60 gr. 75 gr. 90 gr. & sinus 15 gr. erit dimidium latus sexanguli, & hoc opus propositiione antecedente a nobis est exhibitum.

  Esto etiam aliud & quaeratur latus nonanguli, cumque numerus 9 non sit a 2 dividuus assumatur eius quadruplum 36. Hujus dimidium 18; erit itaque quadrans in duodeviginti partes tribuendus nempe 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. & reliquas deinceps, quas ideo compendij gratia ita notabo, & pro arbitrio numeros assumam quoscunque*)


[ *)  In de gedrukte versie staat een getal dubbel in kolom nr. 4 (4e getal: 136270); de kolom is even lang als kolom nr. 2, maar de vakjes worden kleiner.]

[ 56 ] [ v ]
Gr.
   1       10  
   2       19  
   3       27  
   4       36  
   5       44  
   6     30       50  
   7       55  
   8       60  
   9       65  
  10       70  
  11       75  
  12     60       79  
  13       83  
  14       87  
  15       92  
  16       95  
  17       98  
  18     90     100  
1
  1095  
  1085  
  1066  
  1039  
  1003  
    959  
    909  
    854  
    794  
    729  
    659  
    584  
    505  
    422  
    335  
    243  
    148  
      50  
2
 
    1095  
    2180  
    3246  
    4285  
    5288  
    6247  
    7156  
    8010  
    8804  
    9533  
  10192  
  10776  
  11281  
  11703  
  12038  
  12281  
  12429  
  12479  
3
  142791  
  141696  
  139516  
  136270  
  131985  
  126697  
  120450  
  113294  
  105284  
    96480  
    86947  
    76755  
    65979  
    54698  
    42995  
    30957  
    18676  
      6247  
4
 
    142791  
    284487  
    424003  
    560273  
    692258  
    818955  
    939005  
  1052699  
  1157983  
  1254463  
  1341410  
  1418165  
  1484144  
  1538842  
  1581837  
  1612794  
  1631470  
  1637717  
5

  Vides hic ex numeris fortuitis*) selide tamen quinta rationem sinuum 90 & 30 graduum esse quae 1637717 ad 818955. Hujus duplum 1637910, ut quinque notae quam proxime sint sanae; atque inde concludes saltem ad radium 10000 ut proxime numeros sanos, sed ad 1000 accuratissime omnia respondere.


[ *)  Zoals:  | 1 |   | 10 |, bij R = 100 (sin 5° = 0,0872);  | 12 | 60 | 79 | (sin 60° = 0,8660).]

[ 57 ] [ v ]
  Sed ante quam id tentemus operae fuerit pretium lineas singulis numeris debitas respondentes definire: numerus primi laterculi in selide quinta 142791, esset dimidium latus sex & trigintanguli; & ideo secundus laterculus 284487 erit dimidum latus duodevigintanguli. Et quartus 560273. dimidium latus nonanguli sive sinus 20 gr. Fiat itaque ut 1637717 ad 560273 ita 100000 ad 34210. Cum verus sinus sit 34202, ut in quarta nota nondum integra unitate peccetur.

  Si iterum hanc vicissitudinem continues, dabuntur sinus 90 & 30 gr. 21518.3370 & 10759.2888, hic quinque numeri sunt omnino sani, & numerus primi laterculi erit 18754934. secundi 37367077, quarti 73598386.

  Si rursum, sinus 90 & 30 gr. erunt 28274206655, & 14137132973, & recisis novissimis quatuor nimium alienis notis dabuntur sinus 1, 2, 4 isti 246426, 490977, 967137, quorum veritas constabit secundum hujus radij notas; ergo facile ad hunc radium 100000 erunt omnes numeri legittimi. Atque ita continuando quantumlibet progredi licebit.

  Unum exemplum insuper adjiciam tantum in typo, tu calculum subducito: sit quaerendum latus septanguli; is igitur numerus cum neque a 3 neque a 2 sit dividuus, assumatur ejus septuplum nempe 42, cujus dimidium 21, sunt latera semicirculo inscripta, & in totidem partes quadrans secandus unde sinus expediantur; numerus septimus incurret in 30 gr. & 14tus in 60 gr.

  Et primus erit dimidium lateris duo & qudragintanguli, tertius quatuordecanguli, sextus quaesiti septanguli: Nam sumpsisti sextuplum septenarij: Ipse opus expedito si libeat, mihi indicavisse satis est.


[ 58 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT. [ v ]

  Ego dum aliud ago & condendis canonibus tangentium atque secantium aliquod compendium quaero praeter ea quae supra [p. 19] suis theorematis & locis sunt exposita, dumque ex alio aliud scrutor, quia satis adhuc in rebus ipsis pervidendis inesse difficultatis existimabam, etiam hanc institi viam, quam in hac appendicula propos. 3. proposui; atque inde exposito diagrammate adverti aq aequari inscriptis lu, cs radio ai, atque ideo

VII.  PROPOSITIO.

Si quadrans ita sit sectus, ut prima peripheria cremento, ultima quadranti sit aequalis, duplum sinuum quadrante minorum radio auctum, erit tangens peripheriae quae dimidio cremento à quadrante deficiat.

halve cirkel, lijnen erbuiten
IN posito diagrammate eu es ei sunto peripheriae propositae, ergo duplum ut, vs, ad radium ai additum dabit aq tangentem anguli aeq, vel ei aequalem yaq, qui insistit in peripheriam iy, & deficit à quadrante ie dimidio cremento ey. In numeris ita sit

[ 59 ] CANONIS  SINUUM  FACILIORI. [ v ]

__   sinus
eu   30. 5000000
vs 60. 8660254
13660254
2
27320508
ai 10000000
37320508   aq tangens 75 gr.
nam dimidium crementum 15 de 90 deductum tantum facit reliqui. Ita additis sinibus 10 gr. ab initio increscendo datur summa 52150260, cujus duplum radio auctum dabit 114300520 tangentem 85 grad. Atque ita porro.

VIII.  PROPOSITIO.

Si quadrans ita sit sectus, ut prima peripheria dimidio cremento, ultima autem quadranti minus dimidio cremento sit aequalis, omnium sinuum duplum erit secans ultimae peripheriae.

IN eodem enim diagrammate recta eq est secans anguli aeq, cui aequalis est yaq. atqui eq componitur ex eu ls ci, & hi sunt dupli sinuum qui pertinent ad peripherias yu ys yi. In numeris erit
__
yu   15. 2588190
ys 45. 7071068
yi 75. 9659258
19318516
2
38637032   eq secans 75 gr.

Eodem modo additis sinibus 5, 15, 25, 35, & caeteris eo ordine, dabitur summa 57368564 cujus dupum 114737128 erit sinus*) 85 gr.


[ *)  Hier zal bedoeld zijn: secans.]

60 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT. [ v ]

  Hinc addita secante hac & tangente ejusdem ex propositione antecedente 114300520, dabitur per propos. 23. lib. 1. tangens 85 gr. plus dimidio complemento, nempe 87 gr. 30 scr. 229037648. differentia autem ejusdem secantis & tangentis erit tangens dimidij complementi 2 grad. 30 scr. 436608. Idem e fictitijs nostris sinibus praestari posset, atque ita etiam tangentes & secantes aliquot hac via inde exsculpi potuere.

  Vides itaque hoc opere aliquot secantes & tangentes, ex sinibus solo additionis & subductionis opere derivari posse; neque adeo in hisce majoribus terminis opus esse, quam qui sint idonei ad sinuum legittimam structuram; hac via etiam invenies tangentem & secantem 89 gr. 58 scr. & denique ex utriusque summa tangentem 89 gr. 59 scr. ex differentia autem tangentem 1 scrupuli: In opere plura occurrent commoda quae usui sint; Et quamvis non omnes secantes aut tangentes inveniri hoc modo possunt, at illi possunt tamen qui quadrantem totum hoc est 5400 scrupula exacte partiuntur, & ex differentia etiam novi.
Dum ego hanc commoditatem in tangentium & secantium factione logistarum abacis conor inducere, ecce 'hè tuchè tès technès hèmin kalliô bouleuetai'*); ita verum est hoc vetus verbum, & in illam quam supra exposui sinuum fabricam expeditissimam & parabilissimam imprudens incurri. Habeo alia in secantium & tangentium tabulis construendis compendia, verum illa adhuc maturitatem quandam suam expectant & accuratiorem manum desiderant.


[ *)  Dit lijkt op: 'Tautomaton hèmôn kalliô bouleuetai' van Menander, waarop Cicero zinspeelt in brief 1.12 aan Atticus (Lat.), Engl. met: "Chance designs better than we ourselves"; ook in Montaigne, Les Essais, Par. 1602, p. 200, met: "La fortune a meilleur advis que nous".
Aelius Aristides, Orationes, T. 3 (ed. Canter, Gen. 1604), p. 420.B: 'chrèsamenon tuchèi tès technès kreittoni'', "fortunam arte potiorem expertum esse".]

61 ] CANONIS  SINUUM  FACILIORI. [ v ]

IX.  PROPOSITIO.
Denique    
Tangens complementi dimidij scrupuli, est dupla summa sinuum per singula scrupula totius quadrantis.
SIT enim ey peripheria unius scrupuli, & eu duorum, angulus itaque aeu erit 89 gr. 59 scr. & ut sinus duorum scrupulorum, sv quatuor, atque ita porro ad ultimum seu 90 gr. omnes igitur sinus binorum scrupulorum, additi & duplicati, addito denique ipso radio aequatur aq tangenti 89 gr. 59 scr.
halve cirkel, lijnen erbuiten
Et rursum duplum sinum 1 scr. 3 scr. 5 scr. ut ru, sn, im, aequatur secanti eq ejusden anguli 89 gr. 59 scr. sunt itaque in his lineis scrupula paria & imparia totius quadrantis, tangens itaque & secans complementi unius scrupuli aequatur summae omnium sinuum e singulis scrupulis. Atqui tangens & secans peripheriae aequatur tangenti datae dimidio complemento auctae, hoc est tangenti 89 gr. 59 scr. 30 sec. Quare tangens complementi dimidij scrupuli est dupla summae omnium sinuum.

  Atque haec quidem de ipsa canonis hypostasi 'kai sunthesei' abunde dicta sufficiant; sequitur usus.


F I N I S.



[ Snellius' Canon van 1626 blijkt niet helemaal foutloos gedrukt; op p. 18 staan bij 4. Grad. 0' de waarden voor 3. Grad. 31' (p. 16): "6133.89   6145.46   100188.65".]

[ 62 ] [ v ]
D O C T R I N Æ

T  R  I  A  N  G  V  L  O  R  V  M

C A N O N I C Æ,

LIBER SECUNDUS.

De TRIANGULIS planis.

USUS Canonis in omnium angulorum vel linearum dimensione versatur, quae latera esse possint trianguli plani vel sphaerici. Nam omne polygonum in sua triangula resolvi e geometria notum est; in his autem Canonibus rectae ad suas peripherias & peripheriae ad suas rectas referuntur: Usus igitur simplissimus & primus in ipsis triangulis versatur; & inde ei quoque nomen, ut Doctrina Triangulorum dicatur. Sed cum triangula in varijs gibbis superficiebus varia esse possint & difformia, nostri abaci ista tantum consectantur, quae vel rectis lineis, vel maximorum circulorum peripherijs in superficie sphaerica continentur.
Et planum quidem rectilineum triangulum nomine generis ab angulis triangulum dicemus, sphaericaum autem a lateribus Tripleuron. ita enim id Hipparchus & Menelaus etiam jam ante Ptolomaei aetatem vocitabant. De planis igitur triangulis primum, cujus definitio ex Elementis primis petatur. Obiter tamen de angulorum amplitudine id nobis nominatim hic adscribendum.

[ 63 ] [ v ]
I.  PROPOSITIO.

Anguli rectilinei amplitudinem mensurat peripheria, e vertice anguli tanquam centro, intervallo quocunque descripta.

ANGULUM in superficie à duabus rectis lineis comprehensum superficiem esse res ipsa & 'logikôtatou' illius P. Rami definitio*) docent. Nam illud in geometria axioma indubitatum est, Magnitudinem secari ab eo, quod una dimensione a secta deficiat; Ita corpus a superficie: superficiem a linea: lineam a puncto secari omnis Mathematicorum & Philosophorum schola personat. Angulus autem in superficie bisecatur, trisecatur, & pro libitu deinceps dividitur a linea, angulus igitur rectilineus superficies est: atque ideo cum anguli comparandi erunt, secundum superficies erunt comparandi;
At si in eiusdem circuli centro plures anguli verticibus componantur, erit ut angulus ad angulum, ita sector ad sectorem; sed ut sector ad sectorem ita peripheria ad peripheriam; ex aequo igitur ut angulus ad angulum ita peripheria ad peripheriam. Ergo 'kata chrèsis' est cum dicimus peripherias angulos mensurare: nam linea nullam superficiem mensurat. Hoc igitur volunt, quemadmodum 90 graduum peripheria rectum subtendit, ita reliquorum angulorum ratio erit talis, quam habent 90 grad. ad peripheriam inter eorum crura interceptam: ut si ea sit 10 graduum, hic angulus fit recti pars nona; si 30 tertia; si 45 dimidia: atque ita porro, secundum eandem analogiam.


[ *)  Petrus Ramus, Arithmeticae libri duo, Geometriae septem et viginti, Bas. 1580, p. 16: "Angulus est lineatum in communi sectione terminorum".]

[ 64 ] [ v ]
Itaque        
Peripheriarum, & angulorum in centro, ijsdem insistentium, sinus tangentes, & secantes sunt ijdem.

II.  PROPOSITIO.

Si trianguli rectanguli, basis recti, fiat radius circuli, crura erunt sinus angulorum oppositorum.

12: driehoek, cirkelsector UT hic vides, si centro a intervallo hypotenusae ai describatur peripheria io, tum ei erit sinus anguli acuti iao. si ex acuto i desribatur peripheria au, tum ae fiet sinus anguli aie. res ex sinuum definitione est manifesta.


III.  PROPOSITIO.
Itaque        
In triangulo rectangulo, data recti base, & angulo adjacente, datur crus oppositum, & contra: data base & crure datur angulus huic oppositus.
SIT enim datum triangulum in praecedenti diagrammate aei. & basis recti ai 17, crus ie 8, & reliquum ideo ae 15. cum igitur ai erit radius, fiet ei sinus peripheriae io, sive anguli iao. Ideoque cum ai radius sit 17, tum ei 8 ob similitudinem fit sinus anguli ad a. si igitur ai statuatur partium 100000, tum ei esset 47059 sinus nempe 28 gr. 4 scr. 21 sec.
Eodem modo concludes quantitatem anguli aie: nam ut 17 ad 15, ita 100000 ad sinum 88235. cui in tabulis cedunt 61 gr. 55 scr. 39 sec. Et uterque

[ 65 ] [ v ]
hic angulus compositus necessario rectum, sive 90 gr. conflabit: secus enim error subesset.

  Et contra: Data basi ai 17 & angulo iae 61 gr. 55 scr. 39 sec. dabitur crus recti huic oppositum: cogito enim in tabulis triangulum huic aequiangulum; basis autem sive sinus totus illic datur 100000, & sinus dati anguli 88235. Itaque ut 100000 ad 88235, ita ai 17 ad ie [ae] 15. Eadem via dabitur quoque ae [ie], partium 8. possent vero & hinc quoque alia derivari; sed id sectamur ut radius sive sinus totus semper sit primo loco: ista vero insuper habebimus, cum his cognitis illa per se sint manifesta. Et nisi ille nobis scopus esset propositus jam sola sinuum tabula omni operi absolvendo foret idonea, quemadmodum olim veteribus canon inscriptarum. Verum Tangentium & Secantium tabulae illi fini sint introductae ut operi commodam facilitatem praestarent, & divisionis labor eo pacto declinaretur: nobis sane istas minutias persequi non est animus.

13: driehoek in cirkel

IV.  PROPOSITIO.

Trianguli latera sinibus oppositorum angulorum sunt proportionalia.

ID vel ex ipsa sinuum adscriptione manifestum est: Sit enim triangulum aei circulo inscriptum, & centro o sunto perpendiculares os or quae & peripherias & inscriptas bisecent, & connectatur ao, angulus igitur soa in centro,


[ 66 ] [ v ]
angulo in peripheria iea in duplam basin insistenti erit aequalis: & aor angulo aie: sunt igitur dimidia latera tanquam sinus, & tota sunt suis dimidiis proportionalia; quare ut latus ae, ad latus ai; ita ay, sinus anguli aoy seu aie, ad au sinum anguli aos, seu aei, quod erat demonstrandum. Haud admodum dispar erit demonstratio in triangulo rectangulo & obtusangulo.


V.  PROPOSITIO.
Itaque            
Datis angulis datur ratio laterum.
SINT anguli dati a 75 gr. 15 scr. e 49 gr. 30 scr. i 55 gr. 15 scr. latera hanc accipient rationem, ei 9670459. ai 7604060. ae 8216469. nempe eandem quam sinus angulorum oppositorum.


VI.  PROPOSITIO.
Et              
Dato latere & angulis duobus, dabuntur latera reliqua.
SIT in eodem diagrammate latus ae, 4103 decempedarum, & angulus e 50 gr. 24 scr. & a 97 gr. 11 scr.*)  & quaerantur latera ai ei. Cum tres anguli trianguli duos rectos aequent: ex duobus a & e datis, tertius quoque ad i dabitur 32 gr. 25 scr. Quare per propositionem antecedentem erit, quemadmodum sinus anguli i 32 gr. 25 scr. 5360724 ad latus oppositum ae 4103 decempedarum: ita sinus anguli e 50 gr. 24 scr. 7705132 ad latus oppositum


Leida, Haga, Gouda[ *)  Deze getallen staan in:
W. Snellius, Eratosthenes Batavus (Leiden 1617), p. 169,
"I Problema. Triangulum AES, Leida Haga Gouda",
met slechts één verschil: 50° 23' (figuur p. 168, detail).
4103 tienvoeten (15,5 km): afstand Leiden - Den Haag (p. 194: torens).
De lijnen lopen rechtsboven naar Alkmaar, linksonder naar Rotterdam.]

[ 67 ] [ v ]
ai 5898 decempedarum; & ita sinus anguli a 97 gr. 11 scr. 9921511 ad latus oppositum ei 7594 decempedarum. Cum igitur ae inter Leidam & Hagam distantia sit 4103 duodecempedarum Rhijnlandicarum; distantia Leidae & Goudae habebit duodecempedas 5898. Hagae & Goudae 7594.

  Posset idem alijs atque alijs absolvi modis; sed hic est simplicissimus, & parabilissimus. Omnia hic persequi non est nostri instituti, & circuitiones omnino declinamus.


VII.  PROPOSITIO.
Et              
Datis lateribus duobus & angulo non ab ipsis comprehenso, dabuntur etiam anguli reliqui.
SED hac lege atque conditione, ut reliqui anguli ad basin species definiatur, idque vel ex datis implicite, ut cum angulus datus erit rectus aut obtusus; tum enim reliquos acutos esse manifestum est. vel alioquin generaliter cum dabitur angulus majori latere oppositus, tum enum reliquum minori lateri dato oppositum, illo minorem esse ex elementis constat
13: driehoek in cirkel Sit igitur in eodem diagrammate ai 5898 decempedarum, ei 7594 & angulus iae 97 gr. 11 scr. & quaeratur angulus e.
Erit itaque per propos. 4, ut latus ei 7594, ad sinum anguli a 9921511; ita latus secundum ai 5898, ad 7705132 sinum anguli e. & cum is sinus respondeat acuto 50 gr. 24 scr. & pariter obtuso 129 gr. 36 scr. latus autem ie majus sit latere ai, angulus quoque e minor erit angulo a, atque ideo angulus aei erit 50 gr. 24 scr. & ex his duobus datur reliquus ad i 32 gr. 25 scr.

[ 68 ] [ v ]
Quod si quartus proportionales radio sit aequalis manifestum est angulum istum esse rectum.


VIII.  PROPOSITIO.

Si in triangulo rectangulo, ex acuti vertice tanquam centro, intervallo cruris recti peripheria describatur, reliquum crus erit tangens; & basis eiusdem anguli secans.

44: rechthoekige driehoek met bogen ET hoc quoque ex primi libri theorematis est perspicuum. Sit aei triangulum rectangulum, ergo si ex angulo a intervallo ae, circulus ey describatur, fiet ei tangens peripheriae eo per prop. 12. l. 1. & ai secans per prop. 17. Haud aliter, si centro i intervallo ie, peripheria eu describatur, tum ae fiet tangens, & ia secans.


IX.  PROPOSITIO.
Itaque              
In triangulo rectangulo datis cruribus, dabuntur anguli obliqui: Et datis angulis obliquis dabitur ratio laterum.
NAM in eodem triangulo si ae sit radius ex centro e [a], ei erit tangens anguli a et ai ejusdem secans: aut si ei sit radius, ae erit tangens anguli i, & ae [ai] ejusdem secans. Sit itaque ae partium 15, ei autem 8; erit ut ei 18 [8] ad ae 15 ita 10000000 ad tangentem anguli i 18750000 61 gr. 55 scr. 39 sec. vel

[ 69 ] [ v ]
ut ae 15 ad ei 8, ita 10000000 ad tangentem anguli a 5333333 28 gr. 4 scr. 21 sec.

  Et vicissim si statuatur angulus i 61 gr. 55 scr. 39 sec.& a 28 gr. 4 scr. 21 sec. dabitur ratio laterum:

  Nam si ae latus datum fiat radius 10000000, ei erit tangens anguli a 5333333, & basis recti ai secans ejusdem 11333333. atque ita data laterum ratione, & latere ae in exposita mensura pedum 15, reliqua quoque per proportionem concludentur, hoc modo
ut ae rad. ad tang. a ita ae ad ei
10000000  5333333 15 8
ut ae rad.  ad sec. a ita ae ad ai
10000000 11333333 15 17.

N   O   T   A.

  Potuit idem ex sinuum tabulis confici: nam si ai fiat radius, ae & ei erunt sinus oppositorum angulorum per propos. 2. videlicet si ai sit 10000000, tum ei foret earundem partium 47058823. & ae 8823529. atque hinc proportio
ut ae sin. i ad ei sin. a ita ae ad ei
8823529  47058823 15 8
ut ae sin. i  ad rad. ai ita ae ad ai
8823529 10000000 15 17
verum ut vides hic divisio est adhibenda; quod opus ut declinarent, tabulae tangentium & secantium a recentioribus in hanc artem sunt introductae. Ideoque haec via Ptolomaeo & veteribus trita, hodie tanquam nimis operosa negligitur; & profecto quis frugibus inventis glandibus vesci malit?

[ 70 ] [ v ]
X.  PROPOSITIO.

Dato Crure recti & angulo acuto dabitur crus reliquum, & basis.
DETUR crus recti anguli ae pedum 15, & angulus alteruter acutus ut puta i 61 gr. 55 scr. 39 sec. hinc jam reliquum acutum ad a, qui ejus complementum sit quoque dari manifestum est, nempe 28 gr. 4 scr. 21 sec. ideoque dato ae, dabitur ei per tangentem anguli a, ai vero per ejusdem anguli secantem.


XI.  PROPOSITIO.

Data base & crure recti dabuntur anguli.
44: rechthoekige driehoek met bogen ID quidem antea per sinuum tabulas absolvimus; at idem nunc etiam per secantium canones praestabimus. Nam in eodem diagrammate si ae sit radius, ai est secans & ei tangens. sit itaque ae 15 ai 17. quare
ut ae ad ai ita rad. ad secantem a
15 17 10000000 11333333
cui cedunt 28 grad. 4 scr. 21 sec. reliquus itaque ad i ejus complementum erit 61 gr. 55 scr. 49 sec.


LEMMA, ad id quod sequitur.

Si semissis differentiae inter quadrata crurum & quadratum basis, per crus alterum dividatur, quotus

[ 71 ] [ v ]
erit in dividente dicti anguli distantia à verticis sui perpendiculari.
COnsectarium est ex elementis [II, 12], ubi de potentia basis acuti & obtusi anguli agitur, derivatum. Itaque demonstrationem inde petendam censeo, nos usum sequemur; sint itaque trianguli aei latera ae 10, ai 21, ei 17.
15: twee driehoeken met loodlijn
& quaeratur quantum perpendicularis eo, distet ab angulo a. quadrata crurum anguli, nempe ex ae & ai addita, conflant 541. quadratum basis ejus ei 289, differentia 252, hujus dimidium 126 per crus ai 21 divisum, dabit 6 pro ao segmento: cumque quadrata crurum simul excedant quadratum basis ei, angulus igitur a acutus erit, & perpendiculum ab a versus i distabit. Eodem modo invenietur oi partium 15.

  Sit iterum triangulum aei, ea 10, ai 9, ei 17. & quaeratur quantum perpendicularis eo distet ab abgulo a, quadrat crurum anguli a, nempe ea ai simul addita conflant 181, quadratum basis ei 289. hoc cum sit majus illorum summâ, arguit angulum oppositum esse obtusum, atque ideo perpendicularem cadere ab a ultra in partem oppositam ab i. differentia autem quadratorum est 108, hujus dimidium 54 per crus ai 9 divisum, dabit ao partium sex, eodem modo invenies io 15. atqui jam perpendicularis eo haud difficulter invenietur.


IDEM  ALITER.

Si factus à summa & differentia crurum, per basin dividatur, quoti & divisoris summae dimidium, est

[ 72 ] [ v ]
in basi distantia perpendicularis à crure maiori: differentiae eorundem dimidium, distantia à minori.
ET hoc ab elementis [III.35] petitum ex duarum inscriptarum mutua sectione; 16: cirkel in driehoek ut hic triangulum esto datum aei: ex angulo a [e], radio cruris majoris ei describatur circulus iys, & continuentur basis ia, & crus minus ae. rectangulum uas, aequatur rectangulo iay, quare ay addita ad ai dabit totam iy, cujus dimidium io, distantia a crure majori. rursum ya ri aequentur, reliquae ar dimidium ao distantia erit a crure minori.
Posset idem lemma alijs arque alijs modis variari, sed nobis non est animus omnia persequi.


XII.  PROPOSITIO.

Datis trianguli lateribus, dantur anguli.
UTRUM rectangulum, obtusangulum, an acutangulum sit id ex eorum legibus constat;


...



[ 73 ] [ v ]


...



[ 89 ] [ v ]
P R O B L E M A T A

G   E   O   D   Æ T   I   C   A. *)


I. PROBLEMA.

Datis trianguli lateribus duobus & angulo ab ipsis comprehenso, perpendicularem ab angulo ignoto in crus oppositum invenire.

...


[ *)  Toegevoegd door Hortensius.]


...



[ 103 ] [ v ]
VII. PROBLEMA.

Altitudinem rei inaccessae dimetiri, concessis duabus stationibus liberis in superficie plana, cui res mensuranda perpeniculariter insistit.



...

stomphoekige driehoek

[ 104 ] [ v ]


...

  Eadem & simili plane praxi, simul & eodem tempore per duos mensores, dimetietur altitudinem alicujus nubis, modo ea lenti motus sit, & evidentem in extremitatibus sortiatur densitatem; nam in medium ejus visus non potest bene dirigi sine errore, quem etiamnum vix effugiet is, qui non omni industriâ & circumspectè rem aggreditur: Exemplum unum addam ob diligentiam fide dignum, 8 Iulij stylo novo anni hujus 1627, vento boreali, observavimus altitudinem nubis cujusdam, ad votum distinctae & lenti motus; fuitque inventus angulus abd 31 gr. 40 scr. acd 38 gr. 30 scr. intervallum autem stationum assumptarum fuit 1680 pedum Rhijnlandicorum in campo plano; ex his igitur dato ang. bac 6 gr. 50 scr. erit per eandem prop.*) lib. 2.
ut sinus bac,
1189816
ad bc,
1680
ita sinus abc,
5249766
ad ac
7412.
& rursus
ut radius,
10000000
ad sinum ang. acd,
6225146
Ita ac
7412
ad ad
4614
Huic si addas altit. cf 6 ped. provenit altitudo nubis 4620 pedum, qualium 12 faciunt decempedam hactenus usurpatam: quod certâ de causâ fecimus;


[ *)  Prop. 6 (p. 66): Dato latere & angulis duobus, dabuntur latera reliqua.]

[ 105 ] [ v ]
cum namque in milliari germanico, quorum 15 uni gradui circ. maximi in terra respondent, sint pedes 22800, assurgit ista altitudo ad 1/5 unius milliaris & paulo amplius; in milliaribus autem Hollandicis cum sint pedes 18000 erit altitudo ista 1/4 mill. & 120 circiter pedum.


...



[ 108 ] [ v ]


...


... optandum mihi restat, ut tu modo benigne Lector tali animo haec excipias, quale a me offeruntur, & studiis nostris juvenilibus favens stimulos addas, ad majora suo tempore Deo dante progrediendi.


F I N I S.



[ 109 ] [ v ]
D O C T R I N Æ

T  R  I  A  N  G  V  L  O  R  V  M

C A N O N I C Æ,

LIBER TERTIUS.

De TRIPLEURIS sphaericis.


...



[ 174 ] [ v ]
C A N O N I C Æ

T  R  I  A  N  G  V  L  O  R  V  M

D O C T R I N Æ,

LIBER QUARTUS.

De
TRIPLEURIS  OMNIBUS  UNIVERSIM,
Absque ulla reductione ad Re-
ctangula
.


...



[ 228 ] [ v ]


...


F I N I S.



[ 229 ] [ v ]
P R O B L E M A T A

S   P   H   Æ   R   I   C   A. *)


PRIMUM PROBLEMA.

Dato Solis loco & maximâ declinatione, eius declinationem & ascensionem rectam, nec non angulum Eclipticae & Meridiani invenire.


...



[ *)  Toegevoegd door Hortensius.]

[ 230 ] [ v ]


...




II. PROBLEMA.

Dato stellae longitudine & latitudine, eius declinationem & ascensionem rectam invenire.

DETUR longitudo & latitudo clarissimae Hyadarum, oculi Tauri, quem Palilitium veteres vulgo vocabant: Plinius l. 18 cap. 26. Hoc est vulgo appellatum sydus Palilitium, quoniam XI Kal. Maji urbis Romae natalis*). Cic. 2 de divinat: Ab ijs Parilibus, quibus eam a Romulo conditam accepimus, diem natalem illius urbis repetebat L. Tarutius Firmanus, imprimis Chaldaïcis rationibus eruditus.°)

  Declinatio igitur ejus & Ascensio recta quaeratur anno 1625.

...


[ *)  C. Plinii Secundi Historiae mundi libri XXXVII, Gen. 1606, p. 425, r.2: met 'Palilicium' (txt: Liber 18, lxvi.247: 'Parilicium').  Zie bij R. H. Allen, Star Names, Taurus, Aldebaran.]
[ °)  Cicero, De divinatione, lib. 2, XLVII, 98: "L. quidem Tarutius Firmanus, familiaris noster, in primis Chaldaicis rationibus eruditus, urbis etiam nostrae natalem diem repetebat ab iis Parilibus, quibus eam a Romulo conditam accepimus".]


...



[ 243 ] [ v ]


...


  Et sic plerasque etiam tripleurorum sphaericorum propositiones ad praxin revocavimus; possent plura addi, & alio atque alio calculo subduci, sed hoc peculiare opus exigeret, & longiorem in singulis moram; quapropter consulat studiosus lector,


[ 244 ] [ v ]
Autores Astronomicos, imprimis ipsum Ptolemaeum, qui
ista libro 2 'megalès suntaxeos'*) fusius prosequitur,
aut potius a nobis favente Deo pleniorem
forte harum exercitationum ali-
quando expectet copiam.


F I N I S.


ornament



 [ *)  Bas. 1538. Almagest, Bas. 1551.]




Home | Hortensius | Editie van Snellius 1627 | Vertaling