Titel, Staten , Lezer , Gedichten , 1 , Canon , 2 , 2b , 3 , 4 , 4b
WILLEBRORDI SNELLI
D O C T R I N Æ |
|
TRIANGVLORVM tam PLANORVM quam SPHÆRICORVM expedita dimensio, |
|
breviter ac perspicuè traditur: |
|
Post mortem Autoris in lucem editi à MARTINO HORTENSIO Delfensi; |
|
Qui istis Problematum Geodaeticorum & Sphaericorum tractatus singulos adjunxit, quibus praecipuarum utriusque Trigonometriae propositionum usus declaratur.
LUGDUNI BATAVORUM, |
| [ * 2 ] | [ v ] |
|
Illustrissimis Potentissimis DD. O R D I N I B U S HOLLANDIAE & WEST-FRISIAE. Amplissimis Prudentissimisque DD. PRAETORIBUS, CONSULIBUS, SYNDICIS inclitarum Rerumpublicarum |
| DORDRACENAE, DELFENSIS, ALCMARIANAE. Studiorum Mathematicorum Patro- nis summis. Illustrissimi, Potentissimi, Prudentissimi Domini |
| INTER omnes Mathematicae scientiae partes, quae variae sanè sunt ac vastae, nulla aequè jus primum & praerogativum tenet ac Geometria: & huius quidem membra cum duo sint, Dimensio scilicet Planorum & Solidorum, utraque comprehendit ac mensurae certae subiicit, quicquid ullibi in toto Mundo corporeum ac sensibus expositum: sive enim Coelum scandimus & aeternas nobilissimorum corporum periodos, vagas atque in multiplici errore constantes tamen motuum leges mente percurrimus: sive Terram domicilium nostrum, & in eâ omnium rerum pulcherrimum statum ac ordinem intuemur, ubique illud divini Platonis |
| [ * 2v ] | [ v ] |
|
divinum 'akroama; ton theon pantôn malista geometrein'*) in totâ rerum naturâ luculenter deprehendimus. Nec tam Geometria reliquas partes nobilitate antecellit, quin etiam in singulis eluceat adeo oportunus illius usus, ut sine eâ consistere nequeant; & ut ex ungue leonis, unica Triangulorum doctrina quibus non modis iisdem ancillatur? haec mihi Astronomiam, Geographiam, Geodaesiam, Architecturam militarem, Opticam, non tantum ut basis ac fundamentum sustinet, verum etiam plane perficit ac consummat; Astronomiae quidem una pars quae doctrina primi mobilis vulgo dicitur, nonne tota pendet a calculo tripleurorum°) sphaericorum? quibus vera astrorum loca, commodis instructi organis inquirimus, eorumque ortus, occasus, arcus diurnos, nocturnos, ascensiones & descensiones, omni loco & tempore ob oculos ponimus? altera vero quae doctrinae theoricae nomine venit, & circa Planetarum versatur motus, nunquid beneficio Triangulorum planorum constituitur? sagax enim humana mens, cum nullo modo tantam motuum varietatem comprehendere possit, nedum in futurum praedicere; auxiliares ab hoc nostrâ Trigonometriâ petens copias, eousque coelestem illam arcem oppugnat, ut suppositis quibusdam hypothesibus eum tantum non expugnet, verum etiam ita sibi subiiciat, ut ejus meatus & anfractus varios, omnemque supellectilem inspiciat, & in
[ *) Vergelijk 'ton Theon aei geômetrein', in Hortensius' Oratio de dignitate et utilitate Matheseos, Amst. 1634, p. 9.] [ °) Zie p. 114: Prop. V, "Tripleurum sphaericum est quod a tribus maximorum circulorum peripherijs continetur". Gr. 'pleura': zijde.] |
| [ * 3 ] | [ v ] |
|
omne seculum posteritati annumerare sciat quid in ea quovis tempore futurum sit, quae stationes, regressiones, syzygiae, quis corporum situs ac motus, quaeve praecipuarum partium 'schèmata kai diastèmata', ausa hoc pacto tentare rem ut Plnius, etiam Deo improbam.*) Nec minus Geographiae principia sua nostra doctrina suppeditat; haec enim rationem Æquatoris ad Parallelos, Climatum latitudines & incrementa, umbrarum rationes, locorum quorumcunque distantias, terrarum descriptiones, accurate tradit; haec Nauticam Geographiae animam per se infirmam sustentat, dum Loxodromiarum affectiones & intricatas rationes planas facit, naviumque quibus tot quotidie divitiae tam vasto Oceano committuntur, directiones secure administrare edocet. In Geodaesia vero, qualecunque tandem agrorum dimetiendorum munus incumbit, id omne Trigonometria planorum, adminiculo Tabularum Canonicarum facillime expedit: Tabulae Chorographicae delineandae sunt? haec distantias locorum suppeditat; turrium, montium, aedificiorum altitudo requiritur? ad Triangulum itur; hi gradus, hae scalae, quibus rem alioqui per se inaccessam conscendimus: antiquissimum illud Radij instrumentum, quo facillimo calculo Geometrae terras, maria, flumina, Caelique meatus describunt, nonne meris triangulis rectangulis
[ *) Hortensius citeert deze woorden van Plinius (Historiae naturales, 2, cap. 26) uitgebreid in 'Candido ac benevolo Lectori', bij zijn vertaling Institutio astronomica De usu Globorum & Sphaerarum (van W. J. Blaeu, Tweevoudigh onderwijs), 1634, p. *4v, "Hipparchus ... ausus (rem etiam Deo improbam) annumerare posteris stellas".] |
| [ * 3v ] | [ v ] |
|
constat? ut vel hinc jure merito dicatur Triangulum Rectangulum Magister est Matheseos: miraculo fuit Thales Milesius quod altitudinem Pyramidum Ægyptiarum per umbram deprehenderit, obsrvato tempore quando umbrae corporibus pares sunt; at nunc eadem praxis facta est expeditior, ut quamvis nubilo coelo, tamen hoc vel alio instrumento exerceri possit per similitudinem angulorum & laterum proportionem.*) Quid in re Militari? an non Castrorum metationes, Tormentorum directiones, Munitiones urbium & oppugnationes hac Triangulorum planorum Mechanice absolvuntur? certe nullus hodie Archtectus tam temerarius, qui castra militiamque sequatur; & non modico saltem tabularum Canonicarum instructus sit usu; quanquam non ignorem reperiri quosdam qui non hanc solum partem, verum etiam intima Geometriae adyta penetrarunt, adeo necessariam rebus suis eam iudicantes. Denique nobilissima Opticae scientia, quae circa Visum, Lucem, Umbram, & Colores versatur, plane nulla est sine hac Doctrina: haec enim quantitatem reflexionum ac refractionum#) Lucis in speculis & corporibus pellucidis metitur, diversitatem umbrae imaginisve rei explicat, & mirabiles illas specierum apparentias in politis superficiebus corporum, aut tollere docet aut efficere: haec mortalium [ *) Op p. 104 noemt Hortensius een eigen meting: de hoogte van een wolk, 8 juli 1627, samen met iemand anders.] [ °) Simon Stevin, Castrametatio, dat is Legermeting, Rott. 1617, overzicht.] [ #) Snellius had de brekingswet gevonden (ca. 1622, Wreede p. 104), zie Chr. Huygens, 'Over breking' (1653), Oeuvres complètes, T. 13, p. 7.] |
| [ * 4 ] | [ v ] |
|
animos subducit in coelum, & beneficio umbrarum Telluris & Lunae, trium maximarum rerum naturae partium magnitudinem, umbraeque ipsius extensionem in longum & latum detegit. Cum ergo tanta sit huius doctrinae utilitas Illustrissimi Ordines, Prudentissimi Consules, quid mirum si inde ab ultima antiquitate praestantissimi Mathematici eam adeo sedulo excoluerunt, semperque ei nova accessio facta sit? multa equidem ac praeclara inventa Hipparchi, Menelai, Ptolemaei, summorum virorum, sed quibus inde a restauratione harum disciplinarum, Recentiorum indefessum studium ac improbus labor longe utilissima ac facillima adiecit: postquam enim in possessionem artis venere Germani, primus Ioh. Regiomontanus*) ignei vir ingenii, universalem Trigonometriam in unum corpus redegit, facilitatem calculi abacis°) induxit, omnem divisionis molestiam ubicunque sinus totus est primo loco declinans: post hunc Georg. Ioachimus Rheticus in vasto illo opere Palatino summam manum eidem imposuisse videri poterat, conditis tabulis ad sinum totum decem circulorum, & ad dena scrupula secunda; sed quid post eum Clavius, Finckius, Pitiscus, aliique praestiterint, facile iudicare possunt ii qui operibus eorum legendis seriam adhibuerunt operam. Itali vero neminem suo Maurolyco Maginoque praeferent, sicut nec Galli magno [ *) De triangulis omnimodis libri quinque, Nor. 1533. Zie hierover: Daniel E. Otero, 'Teaching and Learning the Trigonometric Functions through Their Origins: Regiomontanus and the Beginnings of Modern Trigonometry'. Tabellen in De triangulis planis et sphaericis, Bas. 1561, zie noot, p. 30 hierna.] [ °) Vergelijk Snellius op p. 6: "Regiomontanus ... Mathematicos Abacos" en p. 62: "nostri abaci". Later: "Copernicus ... Canonem confecit, sive Abacum, computandis omnibus monetarum generibus", in P. Gassendi, Tychonis Brahei ... vita, Par. 1654, p. 3; en op p. 55: "longitudinum, & latitudinum Abacus".] |
| [ * 4v ] | [ v ] |
|
suo Vietae: subtilia sunt eorum inventa & commodus usus: sed quid de Belgis? impius sim in patriam si non & horum industriae meminero: Ingeniosissimus Adrianus Romanus fundamenta tabularum Canonicarum solida iecit, erutis & vastissimis numeris expressis Polygonorum antea incognitorum lateribus: Reverendus Philippus Lansbergius Trigonometriam Ptolemaei, Regiomontani, Copernici, methodice contrahendo, pluraque e suis adjiciendo, insigne meruit apud omnes candidos eruditionis praeconium; mitto nunc viros praestantissimos S. Stevinum, A. Metium, N. Mulerium, quos omnes idem tetigit propagandae huius doctrinae desiderium: Verum-enimvero inter tot tantosque ejus instauratores, haud quaquam Spartae suae quam ornandam acceperat, defuit vir Clarissimus D. W I L L E B R O R D U S S N E L L I U S: ipse enim annis abhinc aliquot totam Trigonometriam a fonte arcessere, novisque & rarissimis inventis illustrare coepit, jamque opus digesserat & praelo destinarat, cum ecce Deus omnipotens charum caput, decus patriae nostrae, e medio annorum curriculo ad beatas sedes transfert: quanto ea res omnes eius notos ac familiares dolore affecerit, Illustrissimi, Prudentissimi Domini, non est quod multis narrem; illud testor, iniquissimam nobis & hisce studiis fuisse sortem: opus namque confusum, imperfectum, ac magnâ ex parte mutilum reliquit, |
| [ * 5 ] | [ v ] |
|
& fuit metus nunquam id lucem visurum, nisi sedula Typographi obstitisset cura, cuius petitioni refragari, simul & Viro optime quondam de me merito officium hoc qualecunque negare, inhumanum ducebam atque ingratum; subij itaque lubens hoc onus, & in ordinem redactis singulis partibus, additis etiam nonnullis quae desiderari videbantur, foetum istum praecocem nedum perfectum in publicum emisi, futurum sperans, ut omnes illi, quibus Autor ipse plenius satisfacere potuisset, nunc quoque libenter hunc rudiori manu perpolitum, excusatum habituri sint, nec duriori judicii rigore prosecuturi, maioremve perfectionem desideraturi, quam res tempusque ferre potuisse ipsis videbuntur.
|
| [ * 5v ] | [ v ] |
|
Vobis etiam Viri Amplissimi D. Consules, vel eâ de causâ quod confidam eam vestram fore humanitatem, ut quas aliquando disciplinas Urbibus vestris splendorem addidisse nostis, eas nunc in clientelam vestram benignissime recipere non dedignemini.
|
|
Illustrissimae Potentissimae Magnitudini Consultissimae Amplitudini vestrae |
Subjectissimus MARTINUS HORTENSIUS D. B.*)
|
|
[ *) D. B.: Delfensis Batavus / Belga. "Delfensis Batavus" komt enkele malen voor in Album studiosorum Academiae Lugduno Batavae (Den Haag 1875), o.a. p.245: 9 sept. 1632, Ludovicus Heinsius.] |
| [ * 6 ] | [ v ] |
| LECTORI BENEVOLO. |
|
ANNUS nunc est & quod excurrit, ex quo Clarissimus D. SNELLIUS 'ho makaritès' librum hunc praelo committere coepit; cumque partim per occupationes Typographorum, partim diuturnum ipsius morbum, res lente admodum procederet, factum ut illo praematurâ morte terris erepto*), nihil praeter Canonem Triangulorum typis excusum manserit: ibi tum nos continuo desperare de editione libri, imo de plenaria eius abolutione ambigere, D. IOH. MAIRE angi animo ne opera & impensa perijsse posset: Invento tandem autographo, longo post tempore nescio quo fato potestatem videndi mihi facit, simul operam flagitat in re tam necessaria. Quid facerem? tenuitatis meae eram conscius, scripta perplexa, confusa, mutila; videbam Atlanti Hercule opus esse ad sustinendum hoc coelum; tempus longum laboresque insuaves exhauriendos; sumpsi tamen animum, & cum officium hoc humanissimo viro negare non possem, rem aggressus editionis curam in me recepi. Vix pedem in vestibulo posueram, cum perlustratis scriptis non pauca deesse viderem ac depravata, quibus medicam qua potui manum adhibendo, tantum effeci, ut integer saltem (etsi non eo forte nitore quo ab ipso Autore erat induendus) prodiret liber: statueram quidem initio, ea quae adjeceram uncis huiusmodi [ ] includere, sed cum jam bona pars libri primi impressa esset, & Typographus ijs omissis similem omnibus suis membris fecisset textum, ego quoque postea nihil mutandum ratus, speravi lectorem Mathematicum id facile ex diversitate styli animadversurum. Quod ad calculum attinet, is plane de novo reiterandus mihi fuit ingenti molestiâ, nec tamen eum omnino 'apseudèn' spoponderim, tu amice Lector imitare, & si quicquam peccatum emenda°): usus enim sum tabulis quas hic habes, quibus ut id te
[ *) Willebrord Snellius was overleden op 30 oktober 1626 (grafschrift in Collectio Monumentorum ... Belgii faederati, Lond. 1695). Hij was 46 jaar. L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, Utrecht 2007.] [ °) Alles narekenen was voor de vertaler teveel, maar enkele foutjes zijn gevonden. Op p. 38 ontbreekt iets; p. 44: 'halve' moet zijn 'hele'; p. 51, tabel: 2 cijfers ontbreken en een kolom is omgedraaid; p. 55: getal dubbel in de tabel; p. 59: 'sinus' moet zijn 'secans'; p. 65: ae verwisseld met ie.] |
| [ * 6v ] | [ v ] |
|
obiter moneam, cave ne nimium confides, cum editae sint vivo etiamnum Autore, cui tantum otij non fuit ut eas relegere, nedum omnia vitia emendare potuerit: subieci quoque utrique Trigonometriae Problematum singulos tractatus, idque in tuum potissimum commodum; & quam vellem id ab ipso Autore praestitum ! habuit scio singularia, tum in hisce tum in alijs quorum ipse mentionem propos. 7 Appendicis facit*); sed ea omnia praeceps eius Fatum nobis abstulit; id culpa si in opere hoc quicquam deprehenderis quod exacti eius judicij limam passum non fuit, aut etiam animi nostri propensionem, quâ omnibus difficultatibus superatis, huc usque rem perduximus: scio non defuturos, qui haec in fastum & arrogantiam dicta interpretabuntur, uti hodie calumnijs potius quam favore agitur, sed eos nihil moror: modo aliqua de Mathematicis bene merendi conceditur occasio, officio meo haud-quaquam deero; sed quid ajo? invidiaene deprecatio mihi speranda, quae ne maximis quidem Viris concessa fuit? |
|
Quisquis es ex illo Zoïle nomen habes:°) |
|
Tu modo benigne Lector conatibus nostris fave, & haec usui studijsque tuis Mathematicis dicata habeto, ac nos quod plane confidimus constanter amando. VALE.
[ *) 'Appendix de Construct.' vanaf p. 33 ('De constructione et fabrica Canonis sinuum plenior & ulterior commentatio', na Liber I). Prop. 7 staat op p. 58; op p. 60 (eind Prop. 8): "Habeo alia in secantium & tangentium tabulis construendis compendia, verum illa adhuc maturitatem quandam suam expectant".] [ °) Ovidius, Remedia Amoris, 366.] |
| [ * 7 ] | [ v ] |
|
DAmnosa flebam funera SNELLII; Conquestus in Parcam illachrymabilem, Quod saeva Musarum perenne Surriperet columen mearum; Et quod; recludens immerito mori*) Fatale bustum; tam sapiens caput, Quodque Archimedes ipse adoret; Ad gelidas traheret catervas. MARTINE flebam: tu quoque lugubres Fletus ciebas: at sua SNELLIUS Post fata vivet, cum superstes Posthumus hic merito libellus Tuo politus, carior Indico Auro, refulget marmore purius. Sic arte Musam SNELLIANAM Ad proprios acuis labores: Sic Ptolemaei te vigor ingenj Oblectat: & sic spiritus igneus Euclidis. ô MARTINE pergas, Nec titulos fugias futuros. |
Scribebat |
| HUGO BOXEL°), L. A. M.#) |
|
[ *) Horatius, Carmina 3, 2.21: "Virtus, recludens inmeritis mori / caelum, ..."] [ °) Hugo Boxel, ca. 1607 (Album stud. Leiden: 17 maart 1623, 16 T) - 1680 (veilngcatalogus), had later een briefwisseling met Spinoza over het bestaan van geesten en spoken, zie: Jonathan I. Israel, Spinoza, Life and Legacy, Oxford 2023, p. 902 e.v. Zie ook: Wim Klever, 'De spoken van Hugo Boxel', in Bzzletin 22 (1992-93) p. 53-64. B. de Spinoza, Opera (1677) iv, Epistola LV - LXXII. In Epistola LXIII (3 jan. 1675):
- bij F. Burgersdijck 'De mundo et coelo' en 'De sensu interno ...' (1624), - 'Disputatio inauguralis, continens assertiones miscellaneas philosphicas' (1626), alledrie gedrukt door Joh. Cornelisz Wourdanus, die het hierna volgende lofdicht schreef. En 2 juridische werken: Gorc. 1666 (Gen. 1677, Leiden 1686) en Gorc. 1670.] [ #) Liberalium Artium Magister.] |
| [ * 7v ] | [ v ] |
| IN TRIGONOMETRIAM |
| Clarissimi Viri |
| D: WILLEBRORDI SNELLII, |
|
post mortem ejus in lucem editam. |
|
PErdius & pernox manibus dum Circinus errat, Et vastum Radio metitur SNELLIUS orbem, Arte Syracusio Sene non minor, altius omnes Scrutatur terraeque sinus, ductusque secantes, Et labyrintheo contortos more recessus. Mox numeros & verba docet, quadrata rotundis, Quove modo possis mutare rotunda recurvis. Nil dubij jam Conus habet, teretesque Cylindri, Nilque sublimis sese inter nubila condit Pyramis, & Gnomon meliori limite signat. Nec satis haec tentasse Viro; mens praepete pennâ Astra super, primas repetens ab origine sedes, Evehitur visura Deos, visura Penates Divûm, atque aeterno labentia sydera motu. Hic dum Semideis multum miscetur, & ortus Stellarumque obitus, & quae natura negavit Visibus humanis, attentius usque revolvit, Non saturata tamen totum percurrit Olympum, Extra Anni Solisque vias, facilisque jugales Phoebus, & auratos axes currusque ministrans, Ut solet, admissas manibus moderatur habenas. Interea Terras summo prospectat Olympo, Cunctaque vel solo cernit concurrere puncto SNELLIUS, & vanâ delusus imagine rerum, Spernit humum, & quicquid terrarum amplexibus haeret Ridet, & insani nimium ludibria Vulgi; Coelestique locum designat Iupiter arce Pro meritis operum, spatioque Triangulus amplo |
| [ * 8 ] | [ v ] |
|
Accipit*), indigetemque locat, quâ clarior ignis Emicat, & trinos vocat in certamina solus. Iamque Aries cornu, rutiloque notabilis igne, Flectit iter, limis Taurumque adspectat ocellis: Cassiopaea sui capitis Diademate cingit, Submittitque ultro fasces, ac cedit honore Magnus Abantiades, & dirae Gorgonis orae Mitius avertit, pedibus dum vincula nectit. Primus ibi e multis magnâ comitante catervâ Amplexus ruit in medios, dextrâque salutat, Et Batavum tanto dignatur Aratus honore,°) Alphonsusque, caput cinctus Diademate, gressus Dirigit, & solio Cimbrorum gloria Tycho Collocat, agnoscens vultum venientis & ora. Pone tamen luctus tanto viduata Magistro Patria, nec cessent volitare aplustria Tiphy, Alter Tiphys adest, Batavam qui diriget Argon. Iamque, animae pars magna meae, succedit Atlanti Amphitryoniades#) magnis HORTENSIUS ausis, Atque laborantem Vestam, coelumque ruinam Cum sonitu minitans, supposto vertice fulcit. Vivant faelices tali rectore Batavi, Vivant, & DELPHI tanto laetentur alumno. At vos faelices animae, quas vivida virtus Extulit, & patrio pietas asscripsit Olympo, Gnosiacae Heroi servetis serta Coronae.+) |
Ludebat |
| IOH. CORNELI Wourdanus.†) |
|
[ *) Vergelijk Caspar Barlaeus, 'In Obitum Clarissimi Viri, & Mathematici incomparabilis, Willebrordi Snellii', Leiden 1628, r. 41 (p. 144, eind): "spatio majore Triangulus optet / Posse capi". Nog opvallender is (10 regels hierna) de overeenkomst met r. 47: "Aratus, / Alphonsusque senex, & Cimbrûm maxima Tycho / Gloria". Verder, r. 86: "aplustria puppis", en r. 88: "Tiphys abest" (naar W. Snellius, Tiphys Batavus, 1624), hier p. *8: "aplustria Tiphy, Alter Tiphys adest"; r. 92: "Qua radio vastum descripsit gentibus orbem" (p. *7v, begin). In het volgende gedicht 'In ejusdem obitum', r. 3: "visura Deos, Divûmque penates" (zoals halverwege p. *7v); en (zoals 6e regel van onder) r. 11: "Quin stupet ipsa suos nusquam se cernere Belgas, / Cunctaque sub puncto regna coire brevi".] [ °) Aratus, 'Phaenomena', in ed. Hugo de Groot, Hug. Grotii Batavi Syntagma Arateorum opus, Leiden 1600.] [ #) 'Amphitryoniades' komt ook voor in een gedicht van D. Heinsius op J. Cats, Sinne- en minnebeelden, 1627.] [ +) In Barlaeus' 2e gedicht (zie 1e noot hierboven), r. 20: "Gnosia serta"; bruidskrans van Ariadne, het sterrenbeeld Noorderkroon, zie ook de namen bij 'Corona Borealis', in: R. H. Allen, Star Names, 1899/1963. Joh. Bayer, Uranometria, 1603, bij Lucida Coronae: "Gnossia seu Gnosia".] [ †) Van 1622 tot 1630 boekdrukker in Leiden, zie: 'Speuren naar sporen van een 17e-eeuwse rector: Jan Wourdanus, rector van de Latijnse school', Jan Willem Klein, Arjan van 't Riet en Marloes Rijkelijkhuizen, in Tidinge van die Goude, 35-3, aug. 2017, 106-113. Van Wourdanus staan nog twee lofdichten in Verhandelinghe van Handt-opleggen, Dordr. 1659, voor Joost Vygh en voor zijn oud-leerling Simon van Leeuwen. Veilingcatalogus: BNF, 9 febr. 1666, met Appendix, 30 nov. 1666; Brill 2015.] |
| [ 1 ] | [ v ] |
WILLEBRORDI SNELLI A ROYEN, R. F. D O C T R I N Æ T R I A N G V L O R V M C A N O N I C Æ, LIBER PRIMVS.
De inventione rectarum Circulo I. PROPOSITIO. |
| Adscriptarum doctrina Canonica est, quando e peripheriis adscriptae earundem relativae; & vicissim ex adscriptis peripheriae per numeros inveniuntur. |
|
GEOMETRIA, sive 'stoicheiôsis', quatenus omnia per circinum & regulam perficiunda sibi proponit, & demonstrat, ita similium omnium Triangulorum affectiones sibi explicandas sumit. Atqui cum omnium angulorum ratio inter se, & comparatio, Geometricè & Apodicticè definitè secundum datam mensuram explicari nequeat, Magni Heroës isti, & inter veteres nominis celebritate facile primi, haud difficulter notaverunt, quid peripheriae beneficio & comparatione rectae inscriptae praestari possit. Itaque jam tum, ante annos bismille, & quod excurrit
[ *) De sinus, tangens, enz. worden beschouwd als lijnstukken. Zie Prop. 2 (met figuur) en Prop. 3 over de naam 'Sinus'. Vergelijk: Simon Stevin, Hypomnemata Mathematica (transl. W, Snellius), Leiden 1608, T. 1, pars 1, lib. 1, 'Doctrinae Triangulorum, De sinuum Canonibus fabricandis', Ned..] |
| [ 2 ] | [ v ] |
|
viri summi, & inter eos princeps Hipparchus eam iniverunt rationem, ut posita semidiametro, particularum quotcumque, inscriptarum quarumcumque quantitas secundum hanc definiretur. Nam ita etiam hodie radium circuli in particulas 100000, 1000000, 10000000, aut 10000000000, tribuimus, & secundum has, descriptas suarum peripheriarum relativas exhibemus per singula scrupula. Neque enim ignotum esse cuiquam potest, qui vel a primo duntaxat limine Geometriam degustaverit, omnem circuli perimetrum in partes 360, quas gradus vocant tributam; ut semicirculo cedant gradus 180; quadranti autem 90. Ad has igitur peripherias, per suos gradus & minuta sive scrupula singula, tanquam minimas particulas quae in usu requiruntur, rectae adscriptae ipsarum relativae referuntur. Et haec quidem Ptolomaeo vocatur 'hè tôn en tôi kuklôi eutheiôn pragmateia'.*) Quam posteri, & maxime hoc seculo viri docti luculentis accessionibus adauxerunt. Adscriptas autem non ita stricta notione intelligo, ut Geometrae solent; quibus solae circulo inscriptae, vel tangentes hoc nomine veniunt; sed etiam rectas e centro eductas & peripheriam secantes; quemadmodum ista suis locis sigillatim explicabuntur. Harum rectarum usum aliquem in sua circuli dimensione Archimedes expressit; quod consilium Ptolomaeus quoque libro sexto magni operis est secutus. Sed ejusdem longe amplissimus campus per universam Mathesin se diffundit, cum in Triangulis planis, aut tripleuris sphaericis, ex datis tribus terminis reliqui tres inveniuntur: atque ideo etiam ab usu potissimo Doctrina Triangulorum Canonica appellatur. Porro autem cum anguli in centro sint ut peripheriae [ *) Ptolemaeus, Almagestum, Ven. 1515, p. 7. Zie Wikipedia, 'Ptolemy's table of chords'.] |
| [ 3 ] | [ v ] |
|
in quas insistunt, inde factum ut ipsae peripheriae pro angulorum mensura assumantur. Ut rectum 90. gradibus; acutum paucioribus; obtusum pluribus definitum intelligamus. atque ita etiam ipsae adscriptae, non tantum ad suas peripherias, verum ad angulos quoque qui in istas peripherias insistunt pariter referantur. Cum, ut diximus anguli mensura sit peripheria, ex ejus vertice, tanquam centro descripta. In peripherijs porro hic & data, & eius complementum saepe in partes vocantur. Nam quod idem de angulis dictum intelligatur. Complementum est datae peripheriae a quadrante, differentia.
Sive peripheria data maior, sive quadrante sit minor; sed ut angulus omnis duobus rectis est minor, ita data peripheria quoque semicirculo semper minor intelligatur, ut si in diagrammate sequento eo assumatur ut data, ejus complementum erit or. Et si iro peripheria major assumatur, nihilo minus erit eadem or ejus complementum. Idem in angulis locum habet, ut, anguli acuti complementum sit ejus à recto defectus: obtusi, ejusdem supra rectum excessus, quae utique negligenda non sunt.
Rectae peripheriarum suarum relativae sunt sinus, tangens & secans. |
UT hic in proposito diagrammate sit a centrum circuli, peripheria oe, radius ae, perpendicularis à termino o in radium ae sit ou, extremae diametro perpendicularis es, & radius per o terminum eductus as. hic ou sinus est peripheriae oe; es tangens ejusdem; & as secans.
|
| [ 4 ] | [ v ] |
|
In Geometria quidem tangens [>] & secans [>] infinite dicuntur, neque ulla certa & definita mensura concipiuntur; hic autem propositis peripheris astringuntur, & magnitudinem habent secundum illas definitam. ea igitur amphibolia tollenda, & suarum peripheriarum modulo erat circumscribenda.
Sinus rectus est recta ab altero peripheriae termino, diametro per reliquum eductae perpendicularis. |
|
SINUS nomen hac quidem notione à Latina lingua est alienum. Et Barbaro illo seculo usurpari coeptum, cum ab Arabibus etiam Graecos scriptores mutuarentur, Arabes enim ut videtur primi pro inscriptis veteri Graeciae usitatis, earum semisses summa cum utilitate adhibuerunt, atque ita a Gebro vertente Gerardo Cremonensi definitur Sinus arcus, medietas chordae peripheriae duplae*), ut hoc nomen a Cremonensi primum in scholas sit illatum, aut cum jam ante receptum esset, ab eo usurpatum. nisi forte ab Appiano sit substitutum, certe Plato Tiburtinus multo Cremonensi recentior, quique Albategnium convertit aliter longe Gebrum loquentem introducit°). Cum ergo (inquit,) chordam cujuslibet gradus ex his chordis mediatis, per tabulam scire volueris, quaere in tabula mediatarum chordarum, &c. chordam igitur medietatis majores nostri Latine sinum dixerint. Quamobrem cum usu jam hoc nomen tritum sit & receptum, ob summam brevitatem sane teneatur. Esto jam data peripheria oe, diameter ei, recta a reliquo
[ *) 'Gebri filii Affla Hispalensis, De Astronomia libri IX', in Petrus Apianus, Instrumentum primi mobilis, Norimb. 1534, fol. b.r: "Sinus rectus primus est medietas chordae arcus dupli ad arcum, cuius est sinus, sive dimidium chordae respectu totius arcus.".] [ °) Rudimenta astronomica Alfragani, Item Albategnius ... De motu stellarum, Norimb. 1537, 'Liber Mahometi Filij Geber filij Crueni, qui vocatur Albategni, In numeris stellarum, et in locis motuum earum ...', vertaling van Plato Tiburtinus (tussen 1134 en 1138), tijdgenoot van Gerard van Cremona. Citaat in cap. 3, p. 7 (r. 15), txt. NB: niet van de eerder genoemde Geber.] |
| [ 5 ] | [ v ] |
|
termino o huic perpendicularis, ou sinus erit peripheriae oe. Vel si assumatur peripheria oey, quam subtendat recta oy. Atque in eam perpendicularis sit radius ae, iste inscriptam oy & peripheriam oey bisecabit, dimidium itaque hujus inscriptae ou relatum ad dimidiam peripheriam or [oe] ejus sinus est. Ptolomaeus [<], & aliquot antea seculis Hipparchus, & ante Hipparchum quoque hauddubie & Ægyptij & Babylonij tabulas inscriptarum usurpaverunt. Nos majore cum compendio, inscriptarum semisses, sive sinus adhibemus. Porro etiam peripheriae reliquae or sinus ol, est sinus complementi*) datae peripheriae oe vel oi. Itaque Sinus, & peripheriae quadrante minori, & ejus residuo communis est. Residuum autem voco datae peripheriae a semicirculo differentiam, vulgo complementum ad semicirculum, verum cum haec circumlocutio sit molesta, & tutius sit res diversas diversis nominibus distingui, complementum, ut supra definivimus [<], nobis tantum erit differentia inter datam peripheriam & quadrantem, residuum autem excessus semicirculi super datam peripheriam, & ideo data semper semicirculo minor intelligatur. Ut enim inscripta oy basis est sectioni minori oey, & majori oiy communis; ita semissis inscriptae ou, ad utramque peripheriam oe & ori quoque refertur.
[ *) De "sinus van het complement" heet tegenwoordig: cosinus.]
Sinus versus est segmentum diametri inter sinum rectum peripheriae & eius terminum interiacens. |
| UT in eodem diagrammate peripheria data sit or [oe], sinus rectus diametro perpendicularis ou, |
| [ 6 ] | [ v ] |
|
versus erit ue. At si peripheria data sit ori, sinus rectus quidem erit eadem ou; sed versus recta ui. Et Vitello hac voce ista notione usus est prop. 12, lib. 5. & 38. l. 9. & ibidem hanc vocat sagittam.*) Ut hic or complementum est utriusque peripheriae eo & oi, ejus sinus or [ol] vel au: hac radio ae subducta datur ue sinus versus peripheriae oe. Contra si au ad radium ai addas dabitur iu sinus versus peripheriae quadrante majoris oi.
[ *) Opticae thesaurus, Bas. 1572, met: Vitellonis Thuringopoloni Opticae libri X, p. 197, r.4 (bij bolle spiegel) en 395, r.5-4 van onder (bij brandspiegel). 'Sagitta' ook bij Simon Stevin, in De triangulorum doctrina, fol. 1: "Sinus-sagitta est segmentum diametri a perpendiculo sinus ad peripheriam".]
Sinus rectus peripheriae & complementi aeque possunt radio. |
|
NAM ou & au cui ol aequatur, rectum comprehendunt angulum, cui radius ao subtenditur. Ad quantitatem rectarum circulo inscriptarum definiendam Ptolomaeus more veteris Graeciae β, diametrum circuli in 60. partes tributam assumpsit, & singulas partes in sexaginta particulas subdivisit; atque ita porro, idque ut calculus, qui illi aevo lente admodum procedebat, & erat intricatissimus, hac logistica sexagenaria paulo esset expeditior. quae ratio etiam superioribus annis a multis est frequentata°). Interim tamen jure suo & merito obtinuit ea radij partitio, quam Regiomontanus & ejus praeceptor Peurbachius candidae animae in Mathematicos Abacos intulerunt. Ut radius in aliquot millenas partes tanquam continuo decimarum progressu tribueretur. Nempe in 100000, [ °) Ook nog door Ph. Lansbergen, zie b.v. Hortensius' Dissertatio de Mercurio in Sole viso (1633), p. 18.] |
| [ 7 ] | [ v ] |
|
10000000, aut alias plures particulas; & secundum istas peripheriarum quarumvis sinus invenirentur. & ne in infinitum res abiret, ac aliquis modus sinuum multitudini poneretur, qui ad omnem usum esset satis, Peripheriae quadrantem eor in 90. gradus, & gradus singulos in 60. particulas, quae scrupula vel minuta vocantur, distribuerunt. Ut tota quadrantis peripheria in 5400, particulas divisa intelligatur, & totidem sinus in Sinuum Canone ordinandi veniant.
Ad horum porro investigationem, ordinatorum polygonorum latera primam sternunt viam, quae quidem per circinum & regulam ex elementis circulo inscribuntur.
Semisses Laterum inscripti Trianguli, quadrati, quinquanguli, sexanguli, decanguli, sunt sinus 60, 45, 36, 30, & 18 graduum. |
|
NAM si totam peripheriam 360 gr. per 3, 4, 5, 6, 10, dividas dabitur numerus graduum a singulis lateribus subtensus, nempe 120, 90, 72, 60, 36. Ut in primo diagrammate si oy sit latus Trianguli ordinati in circulum inscripti peripheria oey erit 120 graduum, ergo dimidia oe 60, & dimidia inscripta ou ejus sinus, atque ita de reliquis. Quantitas autem horum laterum ex elementis est repetenda. Latus inscripti sexanguli aequatur ejusdem circuli radio, itaque si radius sit 100000000, ejus dimidium 50000000 erit sinus 30 graduum. Latus Trianguli potest triplum circularis radii; erit itaque ejus quadratum 30000000000000000, |
| [ 8 ] | [ v ] |
|
& hujus latus 173205081, dimidium 86602540 sinus 60 gr. Latus quadrati potest duplum radij, erit igitur 141421356, hujus dimidium 70710678 sinus 45 gr. Latus decanguli est majus segmentum radij media & extrema ratione secti*). erit igitur illud 61803399, cujus dimidium 30901699 sinus 18 graduum. Latus quinquanguli aeque potest lateri sexanguli & decanguli eidem circulo inscriptorum. Inde igitur nobis quinquanguli latus dabitur 117557050, cujus dimidium 58778525 erit sinus 36 graduum. Et quindecangulum quoque, & latera polygonorum ex istis continua bisectione derivatorum, & horum complementa, & quae per compositionem aut subductionem peripheriarum quarum inscriptae dantur inveniri possunt, ad sinuum plurimorum inventionem necessaria sunt; ideoque ad istorum investigationem haec theoremata subjicimus.
[ *) Wikipedia 'Golden ratio': "The golden ratio was called the extreme and mean ratio by Euclid", Book 6, Def. 3.]
Rectangulum sub inscriptae a diametro differentiâ & radio comprehensum, aequatur quadrato inscriptae dimidij residui ad semicirculum. *) |
ID quoque Ptolemaeus Magni operis lib. 1. cap. 9. demonstravit atque adeo ad bisectionem valde est oportunum; & nobis quidem maxime, quod radius in millesimas tributus assumatur, ut ideo multiplicatione opus non sit. Est ab altero diametri termino inscripta ei, eidemque in diametro
[ *) Dit is propositie I in W. Snellius, Cyclometricus, 1621 (p. 1) en Prop. II daar is hier Prop. VIII; dat werk wordt hierna aangehaald op p. 15.] |
| [ 9 ] | [ v ] |
|
aequalis eu & residua peripheria io bisecta in yo, ajo rectangulum sub ao & ou comprehensum aequari quadrato inscriptae oy. connectantur enim yu ya ye, cum igitur anguli iey uey aequicruri, aequalibus peripherijs insistant habebunt bases iy, uy aequales. Triangulum uoy aequicrurum, Triangulo aequicruro ayo erit simile, quia anguli ad basin inter se aequantur. Atque ideo etiam ao oy ou latera continue proportionalia, & rectangulum extremorum ao ou, aequle quadrato mediae oy. Quod demonstrasse oportuit. Ut assumpta ei pro subtensa 36 gr.*) seu latere decanguli 61803399, posita diametro partium 200000000, ejus peripheriae residuum sunt 144 gr. cujus dimidij 72 gr. subtensa quaeratur. latus decanguli de diametro deductum relinquet 138196601, is numerus per radium multiplicatus dabit 13819660100000000 quadratum inscriptae 72 gr. & ideo ipsam subtensam oy 117557050, cujus dimidium 58778525 sinus est 36 gr. Si illud quadratum de quadrato diametri subduxisses, reliquum foret quadratum ye nempe 26180339900000000, unde facile liquet, si datam inscriptam ad diametrum addas, & per radium multiplices, dari quadratum inscriptae quae peripheriam e data & dimidia residua compositam subtendat°). Sed id quoque ab ipsa Geometria placet arcessere. 
[ *) In de figuur van p. 8 is de genoemde boog ei veel groter. Om verwarring te voorkomen zie deze tekening: ei als zijde van een tienhoek, oy van een vijfhoek.] [ °) ey onderspant omtrek eiy. (2 R + ei) R = ey² , want: ey² + oy² = 4 R² , en: (2 R − ei) R = oy² , volgens Prop. 7.] |
| [ 10 ] | [ v ] |
|
Rectangulum sub recta a diametro plus inscripta & radio comprehensum, aequatur quadrato inscriptae quae & datam & dimidium eius residuum ad semicirculum simul subtendit. |
ESTO inscripta ei, residui dimidium iy, subtensa compositae ey, & ipsi ei sit aequalis ou. Ajo rectangulum ue ea, aequari quadrato ey. sit enim es aequalis ipsi ei. erit itaque sy rectae yo per propositionem antecedentem aequalis. atque ideo anguli ad s, o interni aequales, & propterea externi quoque esy uoy, qui cum aequicruri sint, bases ey uy habebunt aequales. Et Triangulum uey aequicrurum triangulo aequicruro eay erit aequiangulum, quia angulum ad e habent communem. Atque ideo ue ey ea latera continue proportionalia, quadratumque ey rectangulo ue ea erit aequale. Sit ei peripheria decima totius circuli pars 36 gr. ejus residuum igitur iyo 144 gr. hujus dimidium iy 72 gr. & detur ei partium 61803399, huc addatur diameter eo, & erit tota eu 261803399, factus ab ue in ea radium 26180339900000000 aequatur quadrato ey, unde ipsa ey datur 161803399,*) subtensa 108 gr. cujus dimidium 80901699 est sinus 54 gr. Atque ita haec utraque sectio reciprocari continue poterit, unde inscriptae & sinus plurimarum peripheriarum invenientur, qui ubi in scrupulis integris non terminabuntur, in Canonem sinuum [ *) ey = yu = au = R + ei.] |
| [ 11 ] | [ v ] |
|
inferri non debent, quia illi tantum ad gradus & scrupula integra sunt ordinati. Nisi forte ut Magnus ille Rheticus scrupulorum particulas quoque consecteris; qui eos canones ad sextas primorum scrupulorum partes prosecutus est.*) Exemplum hoc antecedens continuatum 'kata dichotomian' pro typo subjiciam assumpto radio particularum 100000000. |
gr. min. | Subtensae inscr- ptae. | gr. min. | Subtensae inscr- ptae residui. | ||||||
| 72. 0 | 117557050 | 108. 0 | 161803399 | ||||||
| 36. 0 | 61803398 | 144. 0 | 190211303 | ||||||
| 18. 0 | 32186893 | 162. 0 | 197537668 | ||||||
| 9. 0 | 15691819 | 171. 0 | 199383466 | ||||||
| 4. 30 | 7851968 | 175. 30 | 199845807 | ||||||
| Harum inscriptarum semisses erunt sinus, dimidiarum peripheriarum, hoc ordine & modo. |
| gr. min. | Sinus. | gr. min. | Sin. Compl. | ||||||
| 36. 0 | 58778525 | 54. 0 | 80901699 | ||||||
| 18. 0 | 30901699 | 72. 0 | 95105651 | ||||||
| 9. 0 | 15643446 | 81. 0 | 98768834 | ||||||
| 4. 30 | 7845909 | 85. 30 | 99691733 | ||||||
| 2. 15 | 3925984 | 87. 45 | 99922903 | ||||||
|
Id autem tibi notandum semper duobus aut tribus, ut minimum circulis, sinum totum initio majorem assumi debere, quam sit ille secundum quem tabulas velis ordinare, ob lubricitatem & calculi varietatem. Ita hic quidem inventus est sinus 2 gr. 15 scr. 3925984, qui tamen revera sit minor nempe
[ *) G. J. Rheticus, Canon doctrinae triangulorum Lips. 1551: 10 000 000 delen; later, in Opus Palatinum (1596, postuum, ed. Valentinus Otho), fol. b3v: "alium Canonem ... Decades Secundorum ... part. 10 000 000 000", zoals hiervoor genoemd op p.*4.] |
| [ 12 ] | [ v ] |
|
3925981 cum sinus totus ponitur 100000000. ut tantum ad septem circulos ille numerus sit sanus & integer. Hujus rei causam quoque aperiemus, ne hic casus videatur fortuitus. cum enim inscripta 171 gr. 199383466 de diametro subducta relinquat 618634, in quo sunt notae tantum sex, numerus iste reliquus per radium multiplicatus non poterit nobis exhibere plures numeros integros & sanos quam sex ut summum. Atqui hic sunt septem: unde efficitur ultimum necessario esse lubricum & a vero alienum; si itaque hoc modo bisecando ulterius velis progredi, radius duabus aut tribus notis major ab initio tibi erat assumendus. Atque ita datorum polygonorum peripherias & quascunque alias bisecando, in infinitum progredi licebit, modo radij quantitatem initio assumas oportunam.
Sequitur inventio inscriptarum, ubi e datis subtensis earundem peripheriarum, summae aut differentiae subtensa quoque datur.
Si quadrilaterum circulo sit inscriptum duo oppositorum laterum rectangula, aequantur rectangulo diagonorum. |
E Ptolemaei cap. 9. lib. 1. qui ista ab Hipparcho mutuatus est. Sit in ciculo quadrilaterum inscriptum aeio, cujus diagonij sunto ai & oe. Ajo rectangulum ai in oe, aequari rectangulis oppositorum laterum ae in oi, & ao in ei. |
| [ 13 ] | [ v ] |
|
nam si latera opposita sint aequalia, tum quidem ex elementis rectangulum diagoniorum, oppositorum laterum rectangulis aequabitur; quadratum enim basis recti anguli, crurum quadratis aequale est. At si opposita latera sint inaequalia, ut hic, tum angulo aoe angulus iou statuatur aequalis: cum igitur oiu, oea in eandem peripheriam ao insistant, ijdem quoque aequales erunt: atque ideo triangulum oiu triangulo oea, aequiangulum lateribus quoque proportionale. Hoc est, ut ae ad eo, ita ui ad io. Simillime quoque, cum per fabricam aoe angulo iou aequalis sit, & angulus uoe intermedius communis; etiam angulus ioe angulo aou aequalis erit: sed & oau oei in eadem peripheria aequales sunt, & triangulum aou triangulo oei ideo simili. hoc est, ut ao ad au; ita oe ad ei. quare rectangulum ae in oi, rectangulo oe in iu; & ao in ei rectangulo oe in au aequalia erunt. Hoc est duo oppositorum laterum rectangula rectangulo diagonorum aequabuntur. Quod erat demonstrandum. Atque inde Ptolomaeo duos consectaria derivantur.
compositionem.) Datis duobus inscriptis, datur inscripta utrique pariter subtensa. |
SI enim ai latus quadrati particularum 141421356, quantarum circuli diameter 200000000; & ae latus sexanguli 100000000; & quaeratur subtensa utrique ei; inscripta nempe 60 & 90, hoc est 150 gradibus pariter subtensa.
|
| [ 14 ] | [ v ] |
|
sit diameter ao à qua ae ai insriptae in adversas partes discedant: hinc eo io ad diametri terminum eductae cum istis rectum comprehendent angulum: quare ex data ae dabitur quoque eo 173205081, & ex ai ipsa io 141421356. Dantur itaque quadranguli aeio latera quatuor. atque ideo duo oppositorum laterum rectangula ae in io, & ai in eo, quorum summa rectangulo diagonorum ao in ei aqualis ostensa est: ea igitur per diametrum ao 200000000 divisa, dabit reliquam diagonium ei subtensam 150 grad. 193185165: cujus dimidium 96592582. Sinus est 75 graduum. Atque eodem in omnibus processu, dabitur inscripta quae duabus datis subtendatur. unde plurimarum peripheriarum sinus dari evidens est.
(* per differentiam.) Datis duabus inscriptis, datur inscripta earundem peripheriarum differentiae subtensa. |
ESTO iterum in hoc diagrammate ai latus quadrati, & ae latus sexanguli in semicirculo, ab eadem diametri parte; & quaeratur ei, harum peripheriarum differentiae subtensa, principio igitur, ut ante, dabuntur inscriptae ad semicirculum reliquae eo quidem 173205081, io 141421356. si igitur rectangulum laterum ae in io, à rectangulo diagonorum ai in eo deducas relinquitur rectangulum ao in ei.
|
| [ 15 ] | [ v ] |
|
Atqui datur diameter ae [ao] 200000000; dabitur itaque & reliquum latus ei 51763809 inscripta 30 graduum, cujus dimidium 25881904 sinus est graduum 15. atque ita in caeteris analogia consimili. Hinc itaque per compositionem & per differentiam plurimae peripheriae invenientur.
Sed ad totius canonis absolutam perfectionem ista frustra sunt, nisi etiam sinus unius minuti exhiberi possit. Id autem quam operosum fuerit passim videre est apud eos qui hanc artem 'ouk ek parergou' tractare instituerunt. Sed nos nostras leges secuti expeditissime exhibebimus quae alij operosissime consectantur.
Datae peripheriae debitam inscriptam verae adeo propinquam in numeris exhibere, quam erit ratio diametri ad totam peripheriam data. |
|
PROPOSITIO est octava & tricesima nostri Cyclometrici*), cum enim ante propositione 31 ejusdem ostendissemus posita diametro 200,00,000 & peripheria 628,31,853,°) tum inde dari sinum unius gradus in ijsdem partibus accurate si octo notarum statuatur diameter sinum dimidij gradus in ijsdem partibus, si tredecim sinum unius scrupuli, si novendecim etiam sinum unius secundi. His inde assumptis nunc diagrammatis rationem & calculum tantum explicabimus. Propositum itaque esto nobis subtensam duorum scrupulorum, vel sinum unius scrupuli invenire.
[ *) W. Snellius, Cyclometricus, De circuli dimensione secundum Logistarum abacos ..., Leiden 1621. Prop. XXXVIII (p. 76): "Datae cuicunque peripheriae inscriptam verae tam propinquam in numeris exhibere, quam erit ratio diametri ad suam peripheriam data.". De figuur daar op p. 77 geeft hetzelfde (afgezien van het nummer "55.") als die hierna op p. 16.] [ °) Op p. 49 (prop. 31): "diametro 100,00000 circumferentia ... 31415926½".. Op p. 54: π (Pi) met 34 decimalen nauwkeurig; op p. 17-18: omtrekken van veelhoeken, 80-, 160-, 320-hoek ..., dat is met tienmaal 2^3, 2^4, 2^5 ... 2^23 hoeken. Zie over Snellius en Ludolph van Ceulen: L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences (Utrecht 2007), p. 82-83.] |
| [ 16 ] | [ v ] |
Sit yi peripheria 1 scrupuli & ui tangens, ao radio aequalis; recta itaque ab a per y tangenti occurrens in u absumet rectam ui secundum leges expositas peripheriae yi aequalem*). sinus peripheriae yi sit ys, & in ay sit perpendicularis er. Cum itaque secundum rationem expositam diametri 20000000000 ad peripheriam 314159.26536 peripheria unius minuti sit 2908882 sed vera pauxillo minor; erit itaque ui quoque tanta. Ex quadratis itaque ai & ui datur quoque quadratum au 30000000141, atque inde proportio ut au 30000000141, ad ui 2908882; ita ae 20000000000 ad er 1939254. Hujus quadratum de quadrato ae subductum dabit nobis rectam ar 19999999906; & de ey deductum dabit yr 9999999812. unde tota ay datur 29999999718. Et hinc ob similitudinem proportio, ut ae 20000000000 ad er 1939254 ita ay 29999999718, ad ys 2908881. Ego in hoc opere secutus sum ubique terminum minorem ideoque hic sinus vero unitate est minor: is enim fuerit 2908882. si ad decem notas sartum voluisses initio terminus ad undecim notas fuisset tibi assumendus. Atque hinc jam per 'sunthesin' componendo universam sinuum tabulam perficere licet. Quin adeo si tabulis destitutus sinum postules datae peripheriae quae non sit major 22 grad. 30 scr. ad radium 10000 hac eadem via eum tibi praestabit. Et facilius multo si dato sinui postuletur peripheria debita. Sed nostrum cyclametricum°) adito, ubi ista accuratius sumus prosecuti. Sinum unius minuti alij per continuam bisectionem
|
| [ 17 ] | [ v ] |
|
& inde per proportionem concludunt; Alij solidius elegantiusque per aequationes analyticas; quorum Choragus Magnus ille Vieta in suo ad Problema Adriani Romani responso*). Eos igitur adeundos tibi censeo. Nos nostra secuti sumus tanquam simpliciora & usui oportuna. Atque ista hactenus de inscriptarum operosa per suas regulas inventione dicta sunto, sed & compendia huic negotio oportuna sunt inventa, unde haud difficulter plurimae vel inscriptae, vel sinus inveniri possint.
[ *) Franciscus Vieta, Ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, Par. 1595.]
Si duae peripheriae à circuli triente aequaliter distent, earundem inscriptarum differentia aequabitur inscriptae distantiae. |
THeorema expeditum ad sinuum plurimorum inventionem per solam additionem aut subductionem; Sit enim ai latus trianguli aequilateri; & ab i puncto utrimque iu io peripheriae aequales, ipsis inscriptae a termino diametri ao au; ajo differentiam inscriptarum ao au, aequalem esse inscriptae oi vel iu: sit enim ipsi ao aequalis ay, & connectatur iy; triangula igitur aio aiy circa angulos ex hypothesi aequales latera habent aequalia, atque ideo sunt aequiangula, & aequilatera; quare oi & iy aequantur: sed oi & iu quoque aequantur; ideoque yi & iu crura aequabuntur; angulus autem aui insistit in circuli trientem: & |
| [ 18 ] | [ v ] |
|
ideo yui valet 2/3 recti; & angulus iyu eidem aequalis est; & reliquus ideo yiu etiam 2/3 recti implebit. Quare yiu triangulum erit aequilaterum. Hinc adeo datis inscriptis omnibus ad gradum usque 120, reliqui usque ad 180 omnes sola additionis via quoque dabuntur. Ut si assumatur inscripta 108 graduum 161803399, & quaeratur inscripta 132 gr. distantia utriusque a 120 gradibus est 12. Cujus inscripta 20905692, ea ad inscriptum 108 addita dabit inscriptam 132 graduum 182709092. Cujus dimidium 91354546 fit sinus 66 graduum, posita semidiametro particularum 100000000. Et contra data incsripta majore & inscripta distantiae, dabitur inscripta tanto minor, quanto proposita 120 gradibus erat major. Consectarium protenus ex antecedente proportione est manifestum: quod enim illic de totis inscriptis, id hic de earundem semissibus quoque verum est. Sinus 45 graduum est 70710678, sinus 25 gr. est 25881905, hi compositi dabunt 96592583, qui sinus est 75 gr. Nam 15 & 60 hunc numerum conflant. Atque ita Canon sinuum per singula minuta nobis subductus & ordine digestus esto; extra circulum vero etiam considerantur Tangens & Secans. |
| [ 19 ] | [ v ] |
|
Tangens est recta peripheriae relativa, eandem in altero termino contingens, & à radio per reliquum terminum educto, intercepta. |
|
IN Geometricis quidem recta infinita circuli peripheriam contingens absque ullo partium respectu ad quas referri soleat, definitur. Hic autem ejus infinitae rectae lineae partes ad certas peripheriae partes alligantur.
Sed & eadem tangens ad reliquam semicirculi peripheriam refertur; quia eadem es tangens quoque est peripheriae ori: continuetur enim radius ao in m, erit angulus iao angulo mae; & peripheria ori peripheriae eym ideo aequalis. Cum igitur se cum am continuata, versus m concurrere non possit, quia mae obtusus est, concurret tamen ma versus o in s; & ita secundum positam definitionem es quoque tangens erit peripheriae eym: ut enim sinus majori & minori peripheriae communis est, ita quoque tangens. |
| [ 20 ] | [ v ] |
|
Ut sinus complementi ad sinum datae peripheriae, ita radius ad eiusdem datae tangentem. |
|
REs in eodem diagrammate clara est: cum enim triangula auo aes similia sint, quia ae radius utrique ou & es perpendicularis est; ut au ad uo, ita ae ad es. Sitque data peripheria oe sinus complementi erit ol, vel ei aequalis au.
Atque inde dato canone sinuum, tangentium quoque canon sola divisione absolvetur. Sit enim oe peripheria sexaginta graduum, or triginta. Erit ut au sinus 50000000 peripheriae or, ad uo 86202540 sinum peripheriae oe, ita radius, seu sinus totus 100000000 ad 173205080 tangentem 60 graduum. |
| [ 21 ] | [ v ] |
|
Radius inter tangentem peripheriae & complementi medius proportionalis est. |
IN proposito diagrammate esto data peripheria ey, & tangens ejus ei, complementum autem yo, & tangens ou, erunt igitur latera ou ae, oa ie parallela, & triangula ideo auo aie similia. Quare ut latus uo ad oa, sic ae, hoc est oa ad ei. Atque hinc quoque sola divisione datis tangentibus ad gradum quintum & quadragesimum omnibus, reliqui majores omnes radij quadrato per istos diviso dabuntur.
Duarum inaequalium peripheriarum tangentes, suorum complementorum tangentibus reciproce proportionales sunt. |
SUnto enim bis binae peripheriae ey yo, el lo, & harum tangentes er os, ei ou. Ajo ut er ad ei; sic vicissim ou esse ad os, quia rectangulum er in os, & ei in ou, nempe a tangentibus peripheriarum & tangentibus complementorum, eidem radij quadrato aequalia sunt. |
| [ 22 ] | [ v ] |
|
Duplum tangentis datae peripheriae cum tangente dimidij complementi, aequatur tangenti compositae ex data & eiusdem complementi dimidia.*) |
SIT em data peripheria major, ejusque complementum om, harum differentia es, earumque tangentes ei ou es [... ey]. Ajo ei tangentem, tangenti ou & ey bis sumptae aequalem esse: Continuetur enim ay sibi aequaliter in r, sitque in tangentem ei perpendicularis lr, & connectatur ir; Cum igitur iay angulus, angulo iao ob bisectionem aequalis sit & aiy eidem ob parallelismum rectarum ao & ei; efficitur triangulum aiy ad basin ai aequiangulum, & ideo quoque aequale cruribus ay yi; ac propterea latus iy ipsi yr aequale, quare angulus air rectus erit; sed & oae rectus est; subducto igitur illinc angulo aie, hinc autem oau, reliquus yir reliquo iae, hoc est angulo oua aequalis erit: sed & triangula aye ryl sunt aequilatera, quia anguli ad verticem y, & recti ad e & l, & latera ay yr aequalia sunt: quare aou rli triangula habentia ao & rl latera aequalia & angulos duos aequales erunt aequilatera; & il igitur ipsi ou aequalis, & le dupla ey. Quare tangens ei tangenti ou, & duplae ey aequalis erit, quod erat demonstrandum. Atque hinc adeo datis tangentibus omnibus ad 45 gr. reliqui omnes sola additione conflabuntur. Sit enim nobis inquirenda tangens 45 gr. 1 scr. tanquam pro peripheria em, hujus complementum [ *) Deze propositie zegt dus: 2 tan α + tan ½(90 − α) = tan (α + ½(90 − α)). Dit is juist, maar bewezen wordt: "tangens ei tangenti ou, & duplae ey aequalis erit", q.e.d. tan α = tan (90 − α) + 2 tan (α − (90 − α)). ] |
| [ 23 ] | [ v ] |
|
44 gr. 59 scr. sit pro peripheria om, differentia utriusque se 0 gr. 2 scr. ejus itaque tangens 58178. duplum autem 116356. id additum ad 9941839 tangentem 44 gr. 59 scr. conflabit 100058195 tangentem 45 gr. 1 scr. ut quaerebatur. Secundo sit peripheria em, 75 gr. 3 scr. cujus tangens quaeratur pro peripheria em, hujus complementum est 14 gr. 57 scr. om, differentia autem 60 gr. 6 scr. pro ey, hujus tangens 17390533, duplum 347810660, ad tangentem 14 gr. 57 scr. 26701409 additum, conflabit 374512069 tangentem 75 gr. 3. scr. Sed & hinc ordine retrogrado invenientur 'puthmenes' ex quibus tangens optata confletur, atque inde ipsius quantitas justa quoque invenietur. Rem exemplo proposito illustrabo, ut si quaeratur tangens 89 gr. 55. scr. hoc modo primum resolves*) [ *) Eerst de linkerkolom, die gaat op p. 24 tot 4° 40'.] |
| Dehinc ordine inverso ita compones Ad radium 10000000000. | ||||||
| — ' | Gr. scr. | |||||
| 89. 55 Compl. 5 | Tang. 4. 40 | 816292849 2 | ||||
| 89 50 Compl. 10 | Tang. 42 40 | 1632585698 9216968536 | ||||
| 89 40 Compl. 20 | Tang. 47 20 | 10849554234 2 | ||||
| 89 20 Compl. 40 | Tang. 21. 20 | 21699108468 3905540719 | ||||
| 88 40 Compl. 1 20 | Tang. 68. 40 | 25604649187 2 | ||||
| 87 20 Compl. 2 40 | Tang. 10. 40 | 51209298374 1883494802 | ||||
| [ 24 ] | [ v ] |
| 84. 40 Compl. 5 20 | Tang. 79. 20 | 53092793176 2 | ||||
| 79. 20 Compl. 10 40 | Tang. 5. 20 | 106185586352 933540099 | ||||
| 68 40 Compl. 21 20 | Tang. 84. 40 | 107119126451 2 | ||||
| 47 20 Compl. 42 40 | Tang. 2. 40 | 214238252902 465757485 | ||||
| Differ. 4 40 | Tang. 87. 20 | 214704010387 2 | ||||
| Tang. 1. 20 | 429408020774 232752583 | |||||
| Tang. 88. 40 | 429640773357 2 | |||||
| Tang. 0. 40 | 859281546714 116360535 | |||||
| Tang. 89. 20 | 859397907249 2 | |||||
| Tang. 0. 20 | 1718795814498 58178298 | |||||
| Tang. 89. 40 | 1718853992796 2 | |||||
| Tang. 0. 10 | 3437707985592 29088903 | |||||
| Tang. 89. 50 | 3437737074495 2 | |||||
| Tang. 0. 5 | 6875474148990 14544421 | |||||
| Tang. 89. 55 | 6875488693411 |
| [ 25 ] | [ v ] |
Secans est recta suae peripheriae relativa, à centro ad verticem tangentis eiusdem connexa.
Radius inter sinum datae peripheriae & secantem complementi medio loco proportionalis est. | ||
|
IN eodem diagrammate, datae peripheriae ye, sinus yr ad radium ay ita se habet, ut radius ao ad secantem complementi au. Triangula enim ary aou ex definitionibus & constructione similia sunt.
Secantes peripheriarum, earundem complementorum sinibus reciproce proportionales sunt. | ||
|
ID ex praemissa manifestum est: datae sunto in diagrammate Propos. 15. ey. el. dum enim rectangulum sub secante ar, & sinu complementi ny comprehensum radij quadrato aequale sit, & quod sub ai & ml eidem aequetur; erit ut ml ad ny, ita vicissim secans ar ad secantem ai.
|
| [ 26 ] | [ v ] |
|
Ut sinus peripheriae ad tangentem eiusdem, ita tangens complementi ad eiusdem complementi secantem. |
|
RECTANGULUM enim a sinu & secante complementi comprehensum, aequatur radij quadrato; per propositionem antecedentem: at eidem quoque aequatur rectangulum e tangente, & tangente complementi ejusdem;
Et ipsae lineae ideo sunt reciproce proportionales, nempe, ut sinus ad tangentem peripheriae datae, ita tangens complementi, ad ejusdem com. secantem; hoc est in apposito diagrammate, si oy sit peripheria data, ut ly ad ou, ita ei ad ia.
Vel, ut ly ad ou; ita ay, id est, ao ad au, & ita ei ad ia, & ex aequo igitur; ut ly ad ou, ita ei ad ia.
Secans Peripheriae maioris aequatur tangenti complementi plus duplo tangentis differentiae, & tangente dimidij complementi. |
SIT in schemate proposito, peripheria data me, ejusque complementum mo, secans ai, tangens ie, tangens compl. ou; ajo lineam ai, aequari tangenti ou plus dupla tangente differentiae se, inter datam & ejus
|
| [ 27 ] | [ v ] |
|
complementum scilicet ey; & tangente dimidij compl. om, scilicet en:
cum enim Propositio 16. ostensum sit, lineas il & ou aequari, nec non ly & ye tangentem scilicet dimidij complementi; statuatur peripheria eg, aequalis dimidio complementi oam, & proinde en aequalis ipsi ey, tangens nempe peripheriae eg; Iam quia ly ye simul faciunt duplum tangentis peripheriae es, en autem aequatur tang. dimidij complementi oam, dico totam in toti ia aequalem esse: cum enim in triang. ain, angulus ad i sit complementum anguli ad a, propter parallelismum linearum ie & oa, angulumque ad e rectum, dimittatur perpendicularis it; jam ang. ati rectus & ait complementum erit angulo iat aucto scilicet angulo ean qui dimidius est ipsius oai, ideoque ait erit quoque dimidium oau, & totus ain bisectus, & tin aequalis tia complementum anguli ad n; quocirca in triang. ain anguli ad basin aequales, habebunt quoque crura ai in aequalia, fietque triangulum aequicrurum quod demonstrandum erat. Exemplum esto tale, detur tangens peripheriae om (complementi scilicet, my [me] peripheriae majoris cujus quaeritur secans) 25 gr. 30 scr. 4769755, & tangens differentiae se, 39 gr. 0 scr. 8097840, ejusque duplum 16195680; tangens dimidij complementi 12 gr. 45 scr. 2262769: hi tres numeri additi, constituent summam 23228204, pro secante peripheriae me, 64 gr. 30 scr. quae a vera tantum unitae differt, unde patet assumendas esse tangentes majoris radij ne error ultimarum notarum in antecedentes vergat. |
| [ 28 ] | [ v ] |
|
Secans peripheriae cum tangente, aequatur tangenti datae dimidio complemento auctae. | ||||||||||||||||||||||||||
|
SIT enim in hoc diagrammate peripheria data es tangens ey, complementum eos [os] bisectum in m; ajo tangentem peripheriae em aequari secanti datae ay & tangenti ejusdem ye. cum enim oam mas anguli aequalibus peripheriis insistentes aequales sint & ob parallelismum, angulus aiy angulo oam, hoc est angulo may: triangulum ayi ideo erit aequicrurum, & ay yi aequabuntur; tota igitur ei, secanti ay & tangenti ye aequalis est. Vides itaque hac ratione ex tangente & tangente dimidij complementi, conflari simplici additione unam secantem & unam tangentem aliarum peripheriarum. Sit data peripheria ey 15 grad. ejus tangens 26794919. complementi
Si iterum addas, dabitur tangens peripheriae ex data & dimidio complemento conflatae ei. Magna res est, & tabularum Canonicarum compilatoribus admodum necessaria: Hac enim via | ||||||||||||||||||||||||||
| [ 29 ] | [ v ] |
|
datis tantum tangentibus ordine ad gr. 45. per singula scrupula, & tangentium tabula porro tota, & secantium, sola additione absolvetur.
Sed & contra datâ secante aut tangente quacunque majoris peripheriae, quam 45 gr. invenies ordine retrogrado 'puthmenas' ex quibus illi componantur per synthesin, & ita illorum jam in Canonas relatorum 'akribeian' explorare tibi licebit. Cujus rei haud absimile exemplum Propositione 16. exhibuimus, ad ejus analogiam etiam istud haud difficulter explicabis. Potuit etiam huc illud adjici.
Secans peripheriae aequatur eiusdem tangenti, & tangenti dimidij complementi. |
DETUR in hoc diagrammate peripheria ea, ejusque secans ry, tangens ya; dimidium vero complementum arcus ei seu arcus am, ejusque tangens an; dico lineam ry aequari lineae yn: cum enim irm sit quadrans circuli, & angulus rectus ad r, erit ire compl. anguli yrm, & aequale angulo arm ex structura; similiter ducta perpendiculari ad punctum n; angulus rns, aequalis erit angulo ire, seu arn ob parallelismum linearum ra, sn; Ergo si untrimque ab angulis rectis irn, yns, aequales angulos ire & snr auferas, erunt residui yrn & ynr aequales ideoque triang. ryn aequicrurum, & ry secans, aequalis ya tangenti & an tangenti dimidij complementi quod erat demonstrandum. Hinc jam facili calculo ex datis tangentibus totam |
| [ 30 ] | [ v ] |
|
tabulam secantium deduces addendo simpliciter duas tangentes, cujus rei exemplum unicum ob oculos ponam; esto invenienda secans 25 grad. posito radio 100000,00 particularum, quaero itaque in tabula tangentium ejus tangentem 4663081, deinde tangentem dimidijj complementi 32 grad. 30 scr. 6370702 qua ad priorem addita conflatur 11033783 secans arcus propositi quam quaerebamus.
Verum enimvero quemadmodum de horum canonum structura compositione & origine abunde a nobis hactenus dictum est; ita nunc deinceps de ordine eorundem non nihil dicendum superest. Regiomontanus qui primus omnium Canonem sinuum initio ad 60000000 inde ad 10000000 putare instituit*), unicum duntaxat sinuum canonem ordinavit, quemadmodum Hipparchus & Prolomaeus subtensas [<]. Inde Canonibus Tangentium & Secantium in abacos & epilogismum illatis, singulis seorsim suus locus est attributus, ut antea sinibus; Inde oportunitas & utilitas omnes tribus selidibus conjungere docuit, ad 45 gradum paginâ sinistra descendendo; hinc ordine retrogrado adscendendo reliquos 45 gradus pagina dextra. Cujus oportunitatis autorem ante magnum illum Ioachimum Rheticum nominare habeo neminem. [ *) Eerst 60-tallig, daarna 10-tallig, zie bij Prop. 5. Regiomontanus, De triangulis planis et sphaericis libri quinque, Basel 1561, staat eerst de tabel: 'Tabula sinuum ad 60000000 partes', daarna: 'Tabula Sinuum ad 10000000 particulas computata'.] |
| [ 31 ] | [ v ] |
|
majorem terminos in tabulis expressos, his scrupulorum particulis debitam differentiam inquiras, eamque pro datâ peripheria ita numeris in tabula inventis applices, ut sinum, tangentem aut secantem quem quaerebas legittimum exhibeat; verum ut haec commodius intelligantur, docebimus propos. sequenti.
Datae peripheriae sinum, tangentem, vel secantem è tabulis invenire. Et contra; Dato sinui, tangenti aut secanti debitam peripheriam invenire. |
|
CUM enim in Canonibus nostris sinus, tangentes & secantes ad suas peripherias referantur, & contra ipsae peripheriae ad suos sinus tangentes & secantes; ex altero reliquum inveniri oportet. Et primo quidem, sit propositum ex data peripheria adscriptam invenire, utpote sinum anguli sive peripheriae 36 graduum 40 scr. In fronte tabulae igitur numerum graduum inquires, in pagina sinistra & in margine descendendo scrupula, & in communi concursu invenies numerum 59716. sinum quaesitae peripheriae, vel anguli in eam insistentis. Eadem res est in tangentibus & secantibus. Quod si major aliqua peripheria quam 45 graduum proponatur, numerum graduum in pagina dextra & minutorum ibidem quaeres, quibus ut ante sinus respondebit numerus. At si propositae peripheriae etiam secunda adhaereant, per partem proportionalem inquiretur sinus ei debitus; ut si quaeratur sinus 36 gr. 40 scr. 30 sec. hic in ipsis tabulis actu non datur, sed sinus 36. |
| [ 32 ] | DOCTR. TRIANG. CANON. LIB. I. | [ v ] |
|
gr. 40 scr. 59716, proxime minor, & sinus 36 gr. 41. scr. 59739. proxime major, differentia est 24*), inde proportio ut 1 minutum primum, sive 60 secunda, ad differentiam 24, ita 30 secunda ad 12. qui numerus ad minorem additus, dabit 59728 sinum optatum hoc radio 100000. Ita enim continuo ordine inscriptae sunt comparatae ut earum differentia, cum per singula minuta disiunguntur, secunda legittime exhibeat, ad radium 10000000. Sed ista nunc pluribus persequi supersedeo. Si dato sinu, vel tangente, vel secante, peripheria postuletur ei debita, hoc simili analogia inversis terminis praestari, nulli dubium esse potest aut obscurum, qui antecedentia plane intellexerit.
[ *) Canon, p. 148: 59715.86, resp. 59739.19.] |
| [ 33 ] | [ v ] |
WILLEBRORDI SNELLI A ROYEN, R. F. D E C O N S T R U C T I O N E
ET FABRICA CANONIS SI- |
| SINUM unius minuti quidam ut Regiomontanus Rheticusque per continuam peripheriarum bisectionem inveniunt. Nam si ex subtensa 60 gr. quae est latus sexanguli, & subtensa 72 gr. quae est latus quinquanguli; per propos. 9. cons. 2 [<] inveniatur subtensa differentiae, qui sunt gradus 12. & per prop. 7. [<] bisecando subtensa gr. 6, & iterum subtensa 3. gr. & hinc 1 gr. 30 scr. Id quidem certum est & indubitatum, duas subtensas sex graduum, majores esse subtensa graduum 12. trianguli enim duo quaelibet latera reliquo sunt majora; atqui quanto longius procedes tanto tamen propius in posita diametro, hi termini consentient; at si majorem multo radium assumeres, jam differentia statim se proderet. Idem de inscriptarum semissibus, hoc est dimidiarum peripheriarum sinibus Iudicium esto, exemplo posito rem explicabo: statuatur enim sinus totus 100000,00000,00000, |
| [ 34 ] | APPENDIX DE CONSTRUCT. | [ v ] |
In hoc syllabo*) vides sinum 3. gr. bis sumptum majorem esse sinu gr. 6. & duplum sinus 1 gr. 30 scr. majus esse sinu 3 gr. atque ita deinceps in reliquis, sed tamen quanto longius processeris tanto minus illi termini inter se distant; Ita duplum sinus 0 gr. 0 scr. 42 3/16 est 40.90615.40584. & sinus 0 gr. 1 scr. 24 3/8 sec. est 40.90615.32028. Vides itaque si radium assumas tantum decem notarum tum nihil peccari, si huius sinus dimidium pro illo assumatur, & contra: quamobrem idem ille sinus a sinibus peripheriarum minorum quam duplo, suis peripheriis proportionaliter tantum distabit secundum hunc radium 1.00000.00000. Atque ideo si fiat ut 42 3/16 secunda ad 60 secunda, ita sinus 20.45307.70292, ad 29.08882.06637. qui sinus esset unius scrupuli, sed ut monuimus [<] quinque notae sunt a fine deterendae ut reliquae 2908882. legittimus sint sinus posito radio partium 10000000000, Quamobrem ut condas canonem cujus sinus totus sit octo notarum hic jam satis sit: nam ut jam ante monuimus [<] ob multiplicem calculum paulo major institui debet, ut opere confecto una aut
[ *) De eerste vier zijn terug te vinden bij Rheticus: Opus Palatinum (ed. Otho, 1596), p. 78, onder 'Perpendicul.' (met bij 1° 30' als laatste cijfer 2, i.p.v. 3). En de eerste vijf (met 1° 30' zoals hier) in Thesaurus mathematicus: sive: canon sinuum ... (ed. Pitiscus), Ff. 1613.] |
| [ 35 ] | CANONIS SINUUM FACILIORI. | [ v ] |
|
altera nota a fine dempta, reliqui numeri sani sint & legittimi.
Alijs etiam Algebraica analysis placuit, ut clarissimis viris Francisco Vietae & Adriano Romano: cum enim possit Geometrice inveniri sinus 3 graduum id enim ante jam est ostensum; non autem possit peripheria Geometrice trisecari ut habeatur sinus unius gradus aut etiam quintusecari: Algebra in partes vocata est, & per compositionem propositionis 9, eo deventum, ut pronunciarent si sinus totus statuatur partis 1, tum tres inscriptas peripheriae subtriplae, multatas ejusdem cubo, aequari inscriptae periheriae triplae: vel in notis algebricis hoc modo 3l−1c.*)
Sed e tabulis nobis numerus assumatur & e subtensa graduum 4 ea est
pro subtensa peripheriae 12 gr. atque ideo 1045284 esset sinus gra. 6. qui vere est 1045285. quod inde est quia nimis arctos initio assumpsi numeros ut non sit mirum ultimam notam in lubrico versari. At non hoc tam quaeritur, quam ejus conversum, Quomodo ex data subtensa, inveniatur subtensa [ *) Ad angularium sectionum analyticen theoremata (ed. Alexander Anderson), Par. 1615; Engl. 3 l − 1 c is te lezen als: 3 × lijn − 1 × cubus. In genoemd werk, p. 37: 3 N − 1 C of (p. 26): 1 C − 3 N.] |
| [ 36 ] | [ v ] |
|
peripheriae subtriplae: hic ista aequatio jam ad analysin esset revocanda, quod omnibus non aeque est expeditum: ejus itaque locum alea regulae falsarum positionum*) nobis supplebit, quam etiam in difficillimis aequationibus explicandis, magno cum fructu a magnis viris, tanquam arcanum aliquod adhibitum optime sum conscius; Sed & idem in sua trigonometria peroportune quoque monuit Pitiscus°). Verum ne longe discedamus; cum inscripta peripheriae subtriplae paulo major sit triente inscriptae triplae peripheriae, primum trientem assumam datae inscriptae, aut potius numerum pauxillo triente majorem. Sit itaque data 6 gr. inscripta 10467191/100000000 & quaeratur inscripta 2 grad. ea fingatur nobis 3491000/100000000 neque enim necesse est omnes numeros significantes primo experiunti assumere. Hujus cubus est 4254/100000000 qui de triplo inscriptae fictae duorum graduum 10473000/100000000 deductus, relinquet 10468746/100000000 pro inscripta 6 gr. atqui ea vera erat 10467191/100000000, igitur fictae positionis excessus est 15555/100000000. Assumatur itaque minor numerus pro inscripta 2 gr. 3490000/100000000 hujus cubus 4251/100000000 a triplo inscriptae deductus relinquet 10465749/100000000, minorem vera 6 gr. inscripta 1442/100000000. formula#) haec erit |
| 3491000 |  | 1555 | facti | 5426950000 |
| 3490000 | 1442 | 5034022000 | ||
| 2997 | 10460972000 | |||
|
quia sunt signa diversa fit additio, itaque 10460972000 per 2997 divisus dabit 3490481/100000000 inscriptam duorum graduum; quae ex majoribus tabulis datur accurata 349048128/10000000000. ecce itaque in notis octo veritatem constantem. Quod si iterum libeat eodem
[ *) Regula falsi. Zie hier bij Simon Stevin, Wweghconst, p. 66: "T'valsche wort toeghelaten, op datmen t'waerachtighe daer duer leere".] [ °) Barth. Pitiscus, Trigonometria, Augsburg 1600 (met een 'Tabulae sinuum tangentium et secantium' vanaf p.123); ed. Frankfurt 1612 met 'Regula falsi' op p. 50, bij hetzelfde probleem als hier: "Data subtensa arcus, subtensam tertiae partis illius arcus invenire", en meer in App. lib.5, p. 177.] [ #) Het figuurtje met + en − en × werd vaker gebruikt bij de 'Regula falsi', zie: Marjolein Kool, Die conste vanden getale (1999), p. 170, bij 4.4.1, Regel van 'valse positie'.] |
| [ 37 ] | [ v ] |
|
modo experiri ad 13 aut 14 notas pervenies ex hoc invento; Eadem in alijs via: Certitudinem arguet regressus per compositionem secundum consect. 1 prop. 9. vel sane ut jam fecimus ipse cubus a lateris triplo subductus [<]; qui tum inscriptam triplae peripheriae accurate restituet.
Ad datae peripheriae quintusectionem, hoc est ut data datae peripheriae inscripta, inveniatur inscripta quae ejusdem peripheriae quintae parti subtenditur, ex eodem consectario 1 propos. 9. hanc aequalitatem invenies; ut posita semidiametro partis 1, tum 5l−5c + 1β aequatur inscriptae quintuplae*): Nempe si ad inscriptae datae quintuplum addatur solidus primus ejusdem, & haec summa multetur quintuplo cubi ab eadem inscripta, ille erit numerus debitus inscriptae quintuplae: Verum esto etiam aliud, subtensa 12 grad. est 2090569/100000000 & quaeritur subtensa peripheriae quintuplae, nempe grad 60. dati numeri cubus 91370/100000000, ejus quintuplum 456850/100000000. hinc ipsius inscriptae quintuplum 10452845/100000000, ad ejus solidum primum nempe 3995/100000000 additum, conflabit 10456840/100000000, unde cubi quintuplum subductum relinquet 9999991/100000000 pro inscripta 60 gr. ubi vides ultimam notam ex operis varietate lubricam; oportuit itaque radium una aut altera nota [ *) Zie Anderson 1615 (p. 35, noot), p. 26 en 37: 5 N − 5 C + 1 QC. 5l − 5c + 1β is te lezen als: 5 × lijn − 5 × cubus + 1 × quadrato-cubus.] |
| [ 38 ] | [ v ] |
|
majorem assumi: nam inscripta 60 gr. debuit radio assumpto aequari.
At contra illud potius quaeritur, quomodo data inscripta peripheriae quintuplae, inscripta peripheriae subquintuplae subtensa inveniatur, Id vero eadem alea qua in trisectione usi sumus tibi erit experiundum: |
| facti | |||
| 29600000 |  | 286342. | 8504347400000 |
| 29700000 | 85654. | 2535358400000 | |
| 371996. | 11039705800000 | ||
|
[ *) Hier ontbreekt: "Inde cubi quintuplum deductum: 135632054/100000000".] |
| [ 39 ] | [ v ] |
|
atque hinc peracta divisione*) dabitur inscripta quintae parti subtensa 29676947/100000000, quae esset 29676954/100000000, ut e tribus sanis jam sex sint integri inventi: si ultra pergeres, rursum numerus sanus istius esset duplus, nempe ad minimum ad radium notarum duodecim, tu si libet porro periculum facito. Hinc jam porro continua bisectione inscriptam duobus scrupulis subtensam invenire licet per ea quae supra a nobis exposita sunt praecepta. Sed & novum hoc atque perjucundum acroama quoque accipe, ut sinus quoscunque, & quorumcumque polygonorum latera sola additionis via invenire possis: & quidem e numeris fortuitis; ego cum in ista incidi aliud animo agitabam, quemadmodum e solis sinibus mera additione tangentes & secantes aliquot exsculpi possint, sed
Institui, currente rota cur urceus exit? °) Profecto commentum mihi perplacet, neque quidquam omnino est causae cur tibi displicere posse existimem. quamobrem animum advorte, & hac tam expedita facilitate tete oblectato, vel in ipso vasto mari, aut remotissima solitudine si ita res exigat: cum ea factio vel puero semper in promptu esse possit. [ *) Zie de uitleg onderaan p. 36.] [ °) Horatius, Ars Poetica, vs 21.] |
| [ 40 ] | APPENDIX DE CONSTRUCT. | [ v ] |
|
Sinus peripheriarum aequali cremento a quadrante decrescentium, ordine proportionales sunt differentijs sinuum, qui pertinent ad peripherias eodem cremento increscentes, quarum prima sit ipsius crementi semissis. |
|
EXPONATUR circuli quadrans eai, & assumantur in eo peripheriae aequales is su ue, & bisecetur eu ultima in y, & compleatur semicirculus ieo, & sunto oc cl le primis aequales, inscriptae igitur lu, cs diametro oi parallelae & ab ea radio erunt bisectae, & cum uy sit dimidia peripheriae eu vel us, erit ea dimidium crementi us vel si, sintque eidem uy aequales ib & cg: hinc connectantur eu ls ci, quae radio ay perpendiculares, ab eodem bisecantur: & yu ys yi peripheriae vel potius bi, bs, bu, jam pari cremento increscunt; atque harum prima yu est dimidium ipsius crementi in utroque ordine: Ajo sinus primarum peripheriarum su ey [es eu], quae a quadrante decrescunt, proportionales esse differentiis sinuum qui eodem quidem cremento increscunt, sed ita ut prima sit crementi semissis, quae hic sunt bi bs bu, hoc est, ut sv ad ut, ita mn ad nr*), cum enim rectangula triangula eut flt,
[ *) Met de bogen is su ue genoemd α (Sum-to-product identity 2):
|
| [ 41 ] | CANONIS SINUUM FACILIORI. | [ v ] |
|
habeant latera lt tu aequalia, & anguli ad u & l in aequales peripherias insistant erunt similia, & praeterea aequilatera ut et tf ideo aequentur; sic fv & vj aequantur, & ltf fsv triangula sunt similia: erit itaque sv ad tu, ut fv ad te, & ut dupla jf ad duplam fe, sed ut jf ad fe, ita ob parallelismum intersecantium erit mn ad ny [nr], quod erat ostendendum. Sed numeris idem illustrare libet, sit in exposito diagrammate es 85 gr. eu 80 gr. uy dimidia differentia cui aequator bi 2 gr. 30 scr. bs 7 gr. 30 sc. bu 12 gr. 30 scr.
erit igitur ut 9961947 ad 9848077, ita differentia inter am & an 869068, ad differentiam inter an & ar 859134. quod omnino verum esse calculus comprobat.
Ut radius ad sinum dimidii crementi, ita duplum sinus complementi totius crementi, ad differentiam inter sinum dimidij crementi & sesquipli eiusdem. Et ita duplum sinus complementi dupli crementi, ad differentiam inter sinum sesquipli & sinum dupli ac sesquipli crementi. Atque eo porro ordine per unius crementi intervallum continuando. | |||||||||||||||||
| CUM enim triangula iam, cpm, spn, sint similia, ut jam ante patuit, erit ut ia ad am, hoc | |||||||||||||||||
| [ 42 ] | [ v ] |
|
est ut sinus totus ad sinum dimidij crementi in eodem diagrammate, ita cp ad pm, & ita ps ad pn. & propterea per compositionem, ut ia ad am, ita cs ad mn. Sed es est complementum crementi is, ejus sinus vs, cujus duplum cs, atque mn est differentia inter am sinum dimidij crementi bi, & sinum sesquialterius bs, cui debetur sinus an.
Haud aliter reliqua demonstrabis, esse nempe quemadmodum ia ad am, ita uc [ul] ad nr.
Peripheriae datae increscant continue per gr. 6. cujus dimidium 3 gr. & ejus sinus 523360. Fiat itaque ut sinus totus 10000000, ad sinum dimidiae differentiae 3 gr. 523360,
|
| [ 43 ] | [ v ] |
qui continue ad sinum dimidij crementi 3 gr. additi, dabunt sinus qui pertinent ad 3 & 6, 3 & 12, 3 & 18, 3 & 24, 3 & 30. hoc est 9 15 21 27 33 graduum hoc modo.
Quamobrem ex isto consectario id commodi etiam sinuum canoni accedit, ut singulis multiplicationibus, singuli isti sinus exhibeantur, quos alioquin secundum adscripti quadrilateri affectiones per propos. 9 hujus libri investigare debebas.
Hac igitur via datis sinibus 225, intervallo 16 scrupul. a quadrante decrescentibus, cum sinu dimidij crementi 8 scr. dabuntur isti quos hic suis peripherijs expressos subjicimus:
[ *) Sinus 27° in Canon (1626): 45399.05.] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [ 44 ] | [ v ] |
|
Atque ita porro servato eodem cremento. Iam ex inventis hisce
Si quotcunque peripheriarum aequali differentia increscentium, radij semissis statuatur sinus dimidij*) crementi, sinus complementi totius crementi illi additus fiet sinus sesquicrementi: & huc sinus complementi dupli crementi aggregatus dabit sinum dupli & sequipli crementi; atque ita eodem porro ordine, cuius radius e complementorum quadratis invenitur. |
|
ET ENIM ut ante peripheriae yu ys yi aequali crescant intervallo, & sit yu aequalis crementi dimidio, eidemque statuatur aequalis ib: & sunto inscriptae eodem modo ordinatae ut prius: sed inscriptae eu ls occurrant diametro continuatae in q & d; & cs continuata ipsi eq in h. Erunt itaque am an ar sinus ib dimidij crementi, bs sesquicrementi, bu dupli & sesquicrementi proportionales, ob parallelismum intersecantium, rectis ai, ad, aq. atqui ai est radius ipse; ad ex radio & cs; aq ex radio ai & cs & lu composita; quare istarum dimidia erunt in ratione sinuum am, an, ar, dimidii nempe crementi & sesquialterius, & dupli sesquialterius. Sed ad
[ *) Het lijkt hier te gaan om het hele 'crementum' (verschilboog): 30°. NB. 'semissis': genitief van 'semis', maar als nominatief ook op p. 5 en tweemaal op p. 40.] |
| [ 45 ] | [ v ] |
|
suum radium qui ex complementorum quadratis inveniri debet. Sit itaque crementum is 30 gr. & ideo yu vel bi 15 gr. bs 45, bn 75, & erit ordo hujusmodi
radij novi quantitatem habebis ex duplo quadrato 45 grad. vel ex quadratis 15 & 75 grad. Sed esto exemplum paulo luculentius; crementum sit 6 gr. 40 scr. ergo dimidium 3 gr. 20 scr. disponam itaque peripherias a maxima decrescentes, & earum adscribam sinus, inde addendo componam ut habeam omnes dimidiarum, seu impares intermedios. ut hic.*) |
| __ | ||||||||||||||||||||
| __ | Ex horum additione ad dimidium radium, existunt novi sinus peripheriarum a dimidio cremento eodem, quo istae intervallo increscentium: sed ad novi radij aestimationem. | 3 20' | 5000000 | |||||||||||||||||
| 83 20' | 9932384 | 10 0 | 14932384 | |||||||||||||||||
| 76 40 | 9730450 | 16 40 | 24662838 | |||||||||||||||||
| 70 0 | 9396926 | 23 20 | 34059760 | |||||||||||||||||
| 63 20 | 8936327 | 30 0 | 42996087 | |||||||||||||||||
| 56 40 | 8354878 | 36 40 | 51350965 | |||||||||||||||||
| 50 0 | 7660445 | 43 20 | 59011410 | |||||||||||||||||
| 43 20 | 6862417 | 50 0 | 65873827 | |||||||||||||||||
| 36 40 | 5971586 | 56 40 | 71845413 | |||||||||||||||||
| 30 0 | 5000000 | 63 20 | 76845413 | |||||||||||||||||
| 23 20 | 3960799 | 70 0 | 80806212 | |||||||||||||||||
| 16 40 | 2868033 | 76 40 | 83674245 | |||||||||||||||||
| 10 0 | 1736482 | 83 20 | 85410727 | |||||||||||||||||
|
Vides itaque hic secundum demonstrata exhiberi novos sinus ad alium radium comparatos: & quia hic casu incurrimus in trigesimum quoque
[ *) 5000000 + 9932384 = 14932384 , 14932384 + 9730450 = 24662834 (i.p.v. 24662838) , etc.] |
| [ 46 ] | [ v ] |
|
gradum, sinus ei e regione positus erit radij dimidius 42996087, ut totus sit 85992174 quod si non incurreret in 30 gr. hic ordo, tum ex complementis eum invenires, quae hoc casu nunquam dantur. Quin adeo ex hoc opere adeo accuratus datur omnium numerorum consensus ut longius horum novorum sinuum 'akribeia' producatur, quam ad radium qui ab initio erat assumptus. Exemplum in his pauculis nobis unicum duntaxat esto. Cum sinus 30 grad. datur in inventis 42996087. tum sinus totus est 85992174, & sinus 43 grad. 20 scr. 59011410. Itaque si sinus totus sit particularum 10000000000. sinus 43 gr. 20 scr. secundum hanc analogiâ debitus erit 6862416260, ubi nobis tabulae Rhetici [<] suppeditant 6862416379. Vides itaque canones minores 7 notarum hic errare, qui nobis exhibent 6862417. Atqui nostri termini ex illis derivati sunt, & tamen suis aboriginibus sunt saniores & magis integri: Certe hujus factionis consensus adeo est accuratus, ut vix dici queat; causam si quaeras mera hic est terminorum additio; non similitudo aut proportio, quae integritatem suam non potest ultra producere quam rationum termini, qui ab initio erant constituti, at in additione secus est, quod ipsum experientia & usus infra luculentissime comprobabunt. Sequitur theorema ejusdem analogiae & factionis etiam alterum, |
| [ 47 ] | [ v ] |
|
Si peripherijs pari cremento auctis ultima quidem quadranti, prima autem cremento aequalis sit, horum sinus eam habebunt rationem, quam sinus peripheriarum, quarum prima maxima sit quadrans minus dimidio cremento, reliquae autem ordine per idem crementum decrescant, donec ultima crementi dimidio sit aequalis. |
|
UT in eodem diagrammate quadrans ie in tres aequas partes est tributus, quarum prima sit is, hujus dupla iu, tripla ie. Et cum yb quoque quadrans sit & ib dimidio cremento aequalis, peripheriae secundae erunt yi, ys, yu. Vides itaque hq inscriptae ci, hu ipsi ls aequari, ob parallelismum: atqui ob parallelas aq, vh, tu, quoque proportionales sunt lineae qh, qu, qe, rectis au [av], at, ae, qui sunt sinus peripheriarum is iu ie. atque ideo qh erit sinus periheriae si; qu ex ci & ls composita, sinus iu: denique qe ipse radius, ad quem illi sinus comparantur. Quod autem de inscriptis ci, ls, eu, verum est, idem quoque de earundem semissibus hoc est sinibus mi sn ur verum esse constat: additis igitur sinibus theorematis nostri argumentum quoque stabit. Atque hinc novus condendi canonis modus ad radium majorem, idque per solam additionem, ex datis sinibus ad taxationem radij minoris. Exemplum primum ex ipso diagrammate petatur, et sit ei 90, es 60, eu 30. Iam yi 75, ys 45, yu 15, hoc modo, |
| [ 48 ] | [ v ] |
| Gr. | sinus | Hi additi a maximo inci- piendo dabunt sinus peri- pheriarum. | ||||||||||||||||||
| yi 15 | 2588190 | 90 | 19318516 | qe. | ||||||||||||||||
| ys 45 | 7071068 | 60 | 16730326 | qu | ||||||||||||||||
| yu 75 | 9659258 | 30 | 9659258 | hq |
|
Hic sinus quadrantis dimidio cremento multati nempe 75 gr. primum fit sinus totius crementi 30 gr. reliqui ordine additi, sinus dupli & tripli crementi existunt, donec totus quadrans expleatur.
Atque hic quidem si numerus partitionis sive crementi in triginta incurrat, ut hoc loco ubi primus est; ultimus qui pertinet ad nonaginta hujus erit duplus, ut in istis hoc loco inventis 9659258 & 19318516. quare ille est dimidius radius, hic totus ad quem tales sinus comparantur. |
| sinus | ||||||||||||||||
| 78 45 | 9807853 | 22 30 | 9807853 | |||||||||||||
| 56 15 | 8314696 | 45 0 | 18122549 | |||||||||||||
| 33 45 | 5555702 | 67 30 | 23678251 | |||||||||||||
| 11 15 | 1950903 | 90 0 | 25629145. | |||||||||||||
|
Hic rursum sinus 78 grad. 45 scr. qui est quadrans dimidio cremento multatus, fit sinus crementi 22 gr. 30 cum radius erit 25629154. hujus radij integritatem licebit experiri e complementorum quadratis. Sed esto exemplum paulo luculentius, & assumatur totum crementum 10 gr. dimidium 5, & ista erit operis facies |
| [ 49 ] | [ v ] |
| Sinus | sinus novi | |||||||||||||
| 85 | 9961947 | 10 | 9961947 | |||||||||||
| 75 | 9659258 | 20 | 19621205 | |||||||||||
| 65 | 9063078 | 30 | 28684283 | |||||||||||
| 55 | 8191520 | 40 | 36875803 | |||||||||||
| 45 | 7071068 | 50 | 43946871 | |||||||||||
| 35 | 5735764 | 60 | 49682635 | |||||||||||
| 25 | 4226183 | 70 | 53908818 | |||||||||||
| 15 | 2588190 | 80 | 56497008 | |||||||||||
| 5 | 871557 | 90 | 57368565. | |||||||||||
|
Hic ut supra sinus crementi 10 gr. statuitur ille qui est in tabulis sinus 85 gr. hoc est quadrantis semicremento multati; reliqua ut in processu videre est ex antecedentium additione existunt: & sinus 30 graduum hic datur 28684283; sinus 90 seu radius 57368565 duplus antecedentis quemadmodum oportuit. Sed potest hoc opus saepius continuari, & ita multiplici iteratione e sinibus ad parvum radium constitutis, ijdem in multo majoribus notis inveniri. Exemplum tale esto, crementum sit 15 gr. dimidium itaque 7. gr. 30 scr. unde operis facies surget hujuscemodi |
| Sinus | sinus novi | ||||||||||||||
| 82 | 30' | 9914449 | 15 | 9914449 | |||||||||||
| 67 | 30 | 9238795 | 30 | 19153244 | |||||||||||
| 52 | 30 | 7933533 | 45 | 27086777 | |||||||||||
| 37 | 30 | 6087614 | 60 | 33174391 | |||||||||||
| 22 | 30 | 3826834 | 75 | 37001225 | |||||||||||
| 7 | 30 | 1305262 | 90 | 38306487 | |||||||||||
| [ 50 ] | [ v ] |
|
Peripheria in partes quotcunque aequales divisa, ita ut haec partitio in 30 gr. quoque incurrat, ex datis sinibus locorum imparium, dabuntur sinus locorum parium ad novum radium. & contra, ex paribus impares. |
|
SCITUM theorema, & quod usum percommodum nobis praestet, ut ex quibusvis numeris, etiam contingentibus tamen legittimi sinus exsculpantur. Sed primum theorematis veritatem in numeris veris secundum demonstrata experiamur. Exemplo novissimo inventi sunt sinus 15, 30, 45, 60, 75, ad radium 38306487. ubi sinus triginta gr. quoque datur 19153244. hic si statuatur sinus dimidij crementi, reliqui sinus ordine additi secundum propositionis 3 praecepta, fient sinus sesquicrementi, & dupli sesquialterius, atque ita porro per loca imparia ad finem usque progrediendo ut hic vides*). |
| 15 | 9914449 | 82 | 30' | 145483330 | 15 | 145483330 | |||||||||||||||||
| 30 | 19153244 | 67 | 30 | 135568881 | 30 | 281052211 | |||||||||||||||||
| 45 | 27086777 | 52 | 30 | 116415637 | 45 | 397467848 | |||||||||||||||||
| 60 | 33174391 | 37 | 30 | 89328860 | 60 | 486796708 | |||||||||||||||||
| 75 | 37001225 | 22 | 30 | 56154469 | 75 | 542951177 | |||||||||||||||||
| 90 | 38306487 | 7 | 30 | 19153244 | 90 | 562104421 | |||||||||||||||||
|
Atque ita porro secundum praecepta propositionis tertiae, & quartae continuando, donec radius tot sit notarum, quot postulabis. Hic ex sinibus notarum septem, tertia additione habemus sinum ad
[ *) De sinus van 30° in de 2e kolom wordt gelijk gesteld aan de sinus van 7° 30' in de 4e kolom.] |
| [ 51 ] | [ v ] |
| radium 100000.0000[0]: nam si ut fiat radius 562104421 ad sinum 75 gr. 542951177 ita 10000000000 ad 9659258257 cum sinus verus sit 9659258263; vides itaque ad novem notas hos numeros esse sanos? neque ultra integri esse possunt quia ipse radius novus non habet notas plures: quod si libeat adhuc semel hanc vicissitudinem iterare habebis eos legittimos ad radium notarum decem hoc modo |
| 82 | 30' | 28105221 | 15 | 2134803485 | |||||||||||
| 67 | 30 | 82400338 | 30 | 4124123640 | |||||||||||
| 52 | 30 | 1310800096 | 45 | 3532391584 | |||||||||||
| 37 | 30 | 1708267944 | 60 | 7143191680 | |||||||||||
| 22 | 30 | 1989320155 | 75 | 7967195068 | |||||||||||
| 7 | 30 | 2134803485 | 90 | 8248247279 | |||||||||||
| [ 52 ] | [ v ] |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [ 53 ] | [ v ] |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Atque ita deinceps; operis autem accuratam veritatem, & quatenus ea procedat in sedibus numerorum imparium, prout eos hic exhibemus, (nam a toto cremento, quod per 30 gradus transit, initium fecimus) ostendet consensus sinuum qui ad 90 & 30 gradus pertinent: nam quoad hic duplicatus illum restituit, tantisper omnes notas sanas & legittimas esse tibi sit persuasissimum; ut loco selidis decimaetertiae ultimo sinus totus datur 946122286, sinus autem 30 grad. 473061144, cujus duplum 946122288; pronuntio itaque tuto ad radium 94612228 omnes notas bene esse accuratas; exemplum sit in 75 gr. cujus sinus in eadem selide datur 913883952; & sit ut 946122288 ad 913883952, ita 10000000000 ad 9659258254, ut duo novissimi tantum peccent, qui sunt 54 pro 63, & in novem notarum radio, vix una unitate abeamus a vero diversi, quod ante monueramus ex consensu sinus 90 & 30 graduum. Quin adeo haec factio ita accurata & vera est, ut licet omnes sinus ordine inverso statuas, & majores sinus minoribus peripherijs, atque minores majoribus attribuas; tamen post multiplicem additionum vicissitudinem inde integri & legittimi |
| [ 54 ] | [ v ] |
|
existant, modo leges positas sequaris & sinus 30 gr. statuatur dimidius ejus qui ad 90 gr. pertinet, res experiunti erit haud difficilis. Quamobrem ad canonis sinuum concenturiationem parata & facilis est nobis via: Nam si prior ordo per scrupulorum paria instituatur, ut 2, 4, 6, 8, 10, alter loca intermedia explebit 1, 3, 5, 7, 9. atque ita porro; res ex antecedenbus manifesta est, ut 2700 additiones reciprocando, tam acccuratos canones exhibere possis quam tibi erit collibitum: atqui cum radius hic alius sit, quam vulgo usitatus, hos sinus ad millesimas vel divisionis vel multiplicationis via reduces. Verum enimvero ne adeo vastum pelagus nullo duce, & quasi fortuito ingrediaris, quamvis etiam ita ad portum destinatum occultis legibus necessario proveharis; tamen expediet aliquam adhibere huic operi cynosuram, quo facilius ex his tricymiis*) & undarum agitationibus molestis, navem in portu incolumem constituas. Oportunum itaque erit saltem singulorum graduum, aut etiam quod non improbem semissium, sinus jam ante legittimos ut minimum ad radium quatuor notarum invenisse, atque inde secundum hanc differentiam proportionaliter sinuum quantitatem per bina scrupula ordinare. Hac enim via, secunda additione facile ad radium sex aut septem notarum legittimos sinus exsculpes, & si eandem vicissitudinem secundo iteres, jam ad 10 aut 11 notas facile pervenies; consensum arguet sinus 90 gr. cum sinu 30 gr. comparatus, Sed priusquam hic manum tollam de tabula etiam lateris cujuscunque polygoni inventionem, mihi hac eadem via docendus es: quam utique inter extrema hujus theorematis merita, haud reponendam censeo. [ *) Gr. 'trikumia': driedubbele golf, stortvloed. Cynosura: dog's tail.] |
| [ 55 ] | [ v ] |
| [ 56 ] | [ v ] |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vides hic ex numeris fortuitis*) selide tamen quinta rationem sinuum 90 & 30 graduum esse quae 1637717 ad 818955. Hujus duplum 1637910, ut quinque notae quam proxime sint sanae; atque inde concludes saltem ad radium 10000 ut proxime numeros sanos, sed ad 1000 accuratissime omnia respondere.
[ *) Zoals: | 1 | | 10 |, bij R = 100 (sin 5° = 0,0872); | 12 | 60 | 79 | (sin 60° = 0,8660).] |
| [ 57 ] | [ v ] |
|
Sed ante quam id tentemus operae fuerit pretium lineas singulis numeris debitas respondentes definire: numerus primi laterculi in selide quinta 142791, esset dimidium latus sex & trigintanguli; & ideo secundus laterculus 284487 erit dimidum latus duodevigintanguli. Et quartus 560273. dimidium latus nonanguli sive sinus 20 gr. Fiat itaque ut 1637717 ad 560273 ita 100000 ad 34210. Cum verus sinus sit 34202, ut in quarta nota nondum integra unitate peccetur. Si iterum hanc vicissitudinem continues, dabuntur sinus 90 & 30 gr. 21518.3370 & 10759.2888, hic quinque numeri sunt omnino sani, & numerus primi laterculi erit 18754934. secundi 37367077, quarti 73598386. Si rursum, sinus 90 & 30 gr. erunt 28274206655, & 14137132973, & recisis novissimis quatuor nimium alienis notis dabuntur sinus 1, 2, 4 isti 246426, 490977, 967137, quorum veritas constabit secundum hujus radij notas; ergo facile ad hunc radium 100000 erunt omnes numeri legittimi. Atque ita continuando quantumlibet progredi licebit. Unum exemplum insuper adjiciam tantum in typo, tu calculum subducito: sit quaerendum latus septanguli; is igitur numerus cum neque a 3 neque a 2 sit dividuus, assumatur ejus septuplum nempe 42, cujus dimidium 21, sunt latera semicirculo inscripta, & in totidem partes quadrans secandus unde sinus expediantur; numerus septimus incurret in 30 gr. & 14tus in 60 gr. Et primus erit dimidium lateris duo & qudragintanguli, tertius quatuordecanguli, sextus quaesiti septanguli: Nam sumpsisti sextuplum septenarij: Ipse opus expedito si libeat, mihi indicavisse satis est. |
| [ 58 ] | APPENDIX DE CONSTRUCT. | [ v ] |
|
Ego dum aliud ago & condendis canonibus tangentium atque secantium aliquod compendium quaero praeter ea quae supra [p. 19] suis theorematis & locis sunt exposita, dumque ex alio aliud scrutor, quia satis adhuc in rebus ipsis pervidendis inesse difficultatis existimabam, etiam hanc institi viam, quam in hac appendicula propos. 3. proposui; atque inde exposito diagrammate adverti aq aequari inscriptis lu, cs radio ai, atque ideo
Si quadrans ita sit sectus, ut prima peripheria cremento, ultima quadranti sit aequalis, duplum sinuum quadrante minorum radio auctum, erit tangens peripheriae quae dimidio cremento à quadrante deficiat. |
| IN posito diagrammate eu es ei sunto peripheriae propositae, ergo duplum ut, vs, ad radium ai additum dabit aq tangentem anguli aeq, vel ei aequalem yaq, qui insistit in peripheriam iy, & deficit à quadrante ie dimidio cremento ey. In numeris ita sit |
| [ 59 ] | CANONIS SINUUM FACILIORI. | [ v ] |
| __ | sinus | |||
| eu | 30. | 5000000 | ||
| vs | 60. | 8660254 | ||
| 13660254 | ||||
| 2 | ||||
| 27320508 | ||||
| ai | 10000000 | |||
| 37320508 | aq tangens 75 gr. | |||
|
nam dimidium crementum 15 de 90 deductum tantum facit reliqui. Ita additis sinibus 10 gr. ab initio increscendo datur summa 52150260, cujus duplum radio auctum dabit 114300520 tangentem 85 grad. Atque ita porro.
Si quadrans ita sit sectus, ut prima peripheria dimidio cremento, ultima autem quadranti minus dimidio cremento sit aequalis, omnium sinuum duplum erit secans ultimae peripheriae. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
IN eodem enim diagrammate recta eq est secans anguli aeq, cui aequalis est yaq. atqui eq componitur ex eu ls ci, & hi sunt dupli sinuum qui pertinent ad peripherias yu ys yi. In numeris erit
Eodem modo additis sinibus 5, 15, 25, 35, & caeteris eo ordine, dabitur summa 57368564 cujus dupum 114737128 erit sinus*) 85 gr.
[ *) Hier zal bedoeld zijn: secans.] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [ 60 ] | APPENDIX DE CONSTRUCT. | [ v ] |
|
Hinc addita secante hac & tangente ejusdem ex propositione antecedente 114300520, dabitur per propos. 23. lib. 1. tangens 85 gr. plus dimidio complemento, nempe 87 gr. 30 scr. 229037648. differentia autem ejusdem secantis & tangentis erit tangens dimidij complementi 2 grad. 30 scr. 436608. Idem e fictitijs nostris sinibus praestari posset, atque ita etiam tangentes & secantes aliquot hac via inde exsculpi potuere.
Vides itaque hoc opere aliquot secantes & tangentes, ex sinibus solo additionis & subductionis opere derivari posse; neque adeo in hisce majoribus terminis opus esse, quam qui sint idonei ad sinuum legittimam structuram; hac via etiam invenies tangentem & secantem 89 gr. 58 scr. & denique ex utriusque summa tangentem 89 gr. 59 scr. ex differentia autem tangentem 1 scrupuli: In opere plura occurrent commoda quae usui sint; Et quamvis non omnes secantes aut tangentes inveniri hoc modo possunt, at illi possunt tamen qui quadrantem totum hoc est 5400 scrupula exacte partiuntur, & ex differentia etiam novi. [ *) Dit lijkt op: 'Tautomaton hèmôn kalliô bouleuetai' van Menander, waarop Cicero zinspeelt in brief 1.12 aan Atticus (Lat.), Engl. met: "Chance designs better than we ourselves"; ook in Montaigne, Les Essais, Par. 1602, p. 200, met: "La fortune a meilleur advis que nous". Aelius Aristides, Orationes, T. 3 (ed. Canter, Gen. 1604), p. 420.B: 'chrèsamenon tuchèi tès technès kreittoni'', "fortunam arte potiorem expertum esse".] |
| [ 61 ] | CANONIS SINUUM FACILIORI. | [ v ] |
| IX. PROPOSITIO. |
| Denique |
| Tangens complementi dimidij scrupuli, est dupla summa sinuum per singula scrupula totius quadrantis. |
| SIT enim ey peripheria unius scrupuli, & eu duorum, angulus itaque aeu erit 89 gr. 59 scr. & ut sinus duorum scrupulorum, sv quatuor, atque ita porro ad ultimum seu 90 gr. omnes igitur sinus binorum scrupulorum, additi & duplicati, addito denique ipso radio aequatur aq tangenti 89 gr. 59 scr. |
|
Et rursum duplum sinum 1 scr. 3 scr. 5 scr. ut ru, sn, im, aequatur secanti eq ejusden anguli 89 gr. 59 scr. sunt itaque in his lineis scrupula paria & imparia totius quadrantis, tangens itaque & secans complementi unius scrupuli aequatur summae omnium sinuum e singulis scrupulis. Atqui tangens & secans peripheriae aequatur tangenti datae dimidio complemento auctae, hoc est tangenti 89 gr. 59 scr. 30 sec. Quare tangens complementi dimidij scrupuli est dupla summae omnium sinuum. Atque haec quidem de ipsa canonis hypostasi 'kai sunthesei' abunde dicta sufficiant; sequitur usus.
[ Snellius' Canon van 1626 blijkt niet helemaal foutloos gedrukt; op p. 18 staan bij 4. Grad. 0' de waarden voor 3. Grad. 31' (p. 16): "6133.89 6145.46 100188.65".] |
| [ 62 ] | [ v ] |
|
D O C T R I N Æ T R I A N G V L O R V M C A N O N I C Æ, LIBER SECUNDUS. De TRIANGULIS planis. |
|
USUS Canonis in omnium angulorum vel linearum dimensione versatur, quae latera esse possint trianguli plani vel sphaerici. Nam omne polygonum in sua triangula resolvi e geometria notum est; in his autem Canonibus rectae ad suas peripherias & peripheriae ad suas rectas referuntur: Usus igitur simplissimus & primus in ipsis triangulis versatur; & inde ei quoque nomen, ut Doctrina Triangulorum dicatur. Sed cum triangula in varijs gibbis superficiebus varia esse possint & difformia, nostri abaci ista tantum consectantur, quae vel rectis lineis, vel maximorum circulorum peripherijs in superficie sphaerica continentur. Et planum quidem rectilineum triangulum nomine generis ab angulis triangulum dicemus, sphaericaum autem a lateribus Tripleuron. ita enim id Hipparchus & Menelaus etiam jam ante Ptolomaei aetatem vocitabant. De planis igitur triangulis primum, cujus definitio ex Elementis primis petatur. Obiter tamen de angulorum amplitudine id nobis nominatim hic adscribendum. |
| [ 63 ] | [ v ] |
|
Anguli rectilinei amplitudinem mensurat peripheria, e vertice anguli tanquam centro, intervallo quocunque descripta. |
|
ANGULUM in superficie à duabus rectis lineis comprehensum superficiem esse res ipsa & 'logikôtatou' illius P. Rami definitio*) docent. Nam illud in geometria axioma indubitatum est, Magnitudinem secari ab eo, quod una dimensione a secta deficiat; Ita corpus a superficie: superficiem a linea: lineam a puncto secari omnis Mathematicorum & Philosophorum schola personat. Angulus autem in superficie bisecatur, trisecatur, & pro libitu deinceps dividitur a linea, angulus igitur rectilineus superficies est: atque ideo cum anguli comparandi erunt, secundum superficies erunt comparandi; At si in eiusdem circuli centro plures anguli verticibus componantur, erit ut angulus ad angulum, ita sector ad sectorem; sed ut sector ad sectorem ita peripheria ad peripheriam; ex aequo igitur ut angulus ad angulum ita peripheria ad peripheriam. Ergo 'kata chrèsis' est cum dicimus peripherias angulos mensurare: nam linea nullam superficiem mensurat. Hoc igitur volunt, quemadmodum 90 graduum peripheria rectum subtendit, ita reliquorum angulorum ratio erit talis, quam habent 90 grad. ad peripheriam inter eorum crura interceptam: ut si ea sit 10 graduum, hic angulus fit recti pars nona; si 30 tertia; si 45 dimidia: atque ita porro, secundum eandem analogiam.
[ *) Petrus Ramus, Arithmeticae libri duo, Geometriae septem et viginti, Bas. 1580, p. 16: "Angulus est lineatum in communi sectione terminorum".] |
| [ 64 ] | [ v ] |
| Itaque |
|
Peripheriarum, & angulorum in centro, ijsdem insistentium, sinus tangentes, & secantes sunt ijdem.
Si trianguli rectanguli, basis recti, fiat radius circuli, crura erunt sinus angulorum oppositorum. |
UT hic vides, si centro a intervallo hypotenusae ai describatur peripheria io, tum ei erit sinus anguli acuti iao. si ex acuto i desribatur peripheria au, tum ae fiet sinus anguli aie. res ex sinuum definitione est manifesta. |
| Itaque |
| In triangulo rectangulo, data recti base, & angulo adjacente, datur crus oppositum, & contra: data base & crure datur angulus huic oppositus. |
|
SIT enim datum triangulum in praecedenti diagrammate aei. & basis recti ai 17, crus ie 8, & reliquum ideo ae 15. cum igitur ai erit radius, fiet ei sinus peripheriae io, sive anguli iao. Ideoque cum ai radius sit 17, tum ei 8 ob similitudinem fit sinus anguli ad a. si igitur ai statuatur partium 100000, tum ei esset 47059 sinus nempe 28 gr. 4 scr. 21 sec. Eodem modo concludes quantitatem anguli aie: nam ut 17 ad 15, ita 100000 ad sinum 88235. cui in tabulis cedunt 61 gr. 55 scr. 39 sec. Et uterque |
| [ 65 ] | [ v ] |
|
hic angulus compositus necessario rectum, sive 90 gr. conflabit: secus enim error subesset.
Et contra: Data basi ai 17 & angulo iae 61 gr. 55 scr. 39 sec. dabitur crus recti huic oppositum: cogito enim in tabulis triangulum huic aequiangulum; basis autem sive sinus totus illic datur 100000, & sinus dati anguli 88235. Itaque ut 100000 ad 88235, ita ai 17 ad ie [ae] 15. Eadem via dabitur quoque ae [ie], partium 8. possent vero & hinc quoque alia derivari; sed id sectamur ut radius sive sinus totus semper sit primo loco: ista vero insuper habebimus, cum his cognitis illa per se sint manifesta. Et nisi ille nobis scopus esset propositus jam sola sinuum tabula omni operi absolvendo foret idonea, quemadmodum olim veteribus canon inscriptarum. Verum Tangentium & Secantium tabulae illi fini sint introductae ut operi commodam facilitatem praestarent, & divisionis labor eo pacto declinaretur: nobis sane istas minutias persequi non est animus.
Trianguli latera sinibus oppositorum angulorum sunt proportionalia. ID vel ex ipsa sinuum adscriptione manifestum est: Sit enim triangulum aei circulo inscriptum, & centro o sunto perpendiculares os or quae & peripherias & inscriptas bisecent, & connectatur ao, angulus igitur soa in centro, |
| [ 66 ] | [ v ] |
|
angulo in peripheria iea in duplam basin insistenti erit aequalis: & aor angulo aie: sunt igitur dimidia latera tanquam sinus, & tota sunt suis dimidiis proportionalia; quare ut latus ae, ad latus ai; ita ay, sinus anguli aoy seu aie, ad au sinum anguli aos, seu aei, quod erat demonstrandum. Haud admodum dispar erit demonstratio in triangulo rectangulo & obtusangulo. |
| Itaque |
| Datis angulis datur ratio laterum. |
|
SINT anguli dati a 75 gr. 15 scr. e 49 gr. 30 scr. i 55 gr. 15 scr. latera hanc accipient rationem, ei 9670459. ai 7604060. ae 8216469. nempe eandem quam sinus angulorum oppositorum. |
| Et |
| Dato latere & angulis duobus, dabuntur latera reliqua. |
|
SIT in eodem diagrammate latus ae, 4103 decempedarum, & angulus e 50 gr. 24 scr. & a 97 gr. 11 scr.*) & quaerantur latera ai ei. Cum tres anguli trianguli duos rectos aequent: ex duobus a & e datis, tertius quoque ad i dabitur 32 gr. 25 scr. Quare per propositionem antecedentem erit, quemadmodum sinus anguli i 32 gr. 25 scr. 5360724 ad latus oppositum ae 4103 decempedarum: ita sinus anguli e 50 gr. 24 scr. 7705132 ad latus oppositum
[ *) Deze getallen staan in: W. Snellius, Eratosthenes Batavus (Leiden 1617), p. 169, "I Problema. Triangulum AES, Leida Haga Gouda", met slechts één verschil: 50° 23' (figuur p. 168, detail). 4103 tienvoeten (15,5 km): afstand Leiden - Den Haag (p. 194: torens). De lijnen lopen rechtsboven naar Alkmaar, linksonder naar Rotterdam.] |
| [ 67 ] | [ v ] |
|
ai 5898 decempedarum; & ita sinus anguli a 97 gr. 11 scr. 9921511 ad latus oppositum ei 7594 decempedarum. Cum igitur ae inter Leidam & Hagam distantia sit 4103 duodecempedarum Rhijnlandicarum; distantia Leidae & Goudae habebit duodecempedas 5898. Hagae & Goudae 7594. Posset idem alijs atque alijs absolvi modis; sed hic est simplicissimus, & parabilissimus. Omnia hic persequi non est nostri instituti, & circuitiones omnino declinamus. |
| Et |
| Datis lateribus duobus & angulo non ab ipsis comprehenso, dabuntur etiam anguli reliqui. |
SED hac lege atque conditione, ut reliqui anguli ad basin species definiatur, idque vel ex datis implicite, ut cum angulus datus erit rectus aut obtusus; tum enim reliquos acutos esse manifestum est. vel alioquin generaliter cum dabitur angulus majori latere oppositus, tum enum reliquum minori lateri dato oppositum, illo minorem esse ex elementis constat 
Sit igitur in eodem diagrammate ai 5898 decempedarum, ei 7594 & angulus iae 97 gr. 11 scr. & quaeratur angulus e. Erit itaque per propos. 4, ut latus ei 7594, ad sinum anguli a 9921511; ita latus secundum ai 5898, ad 7705132 sinum anguli e. & cum is sinus respondeat acuto 50 gr. 24 scr. & pariter obtuso 129 gr. 36 scr. latus autem ie majus sit latere ai, angulus quoque e minor erit angulo a, atque ideo angulus aei erit 50 gr. 24 scr. & ex his duobus datur reliquus ad i 32 gr. 25 scr. |
| [ 68 ] | [ v ] |
|
Quod si quartus proportionales radio sit aequalis manifestum est angulum istum esse rectum. Si in triangulo rectangulo, ex acuti vertice tanquam centro, intervallo cruris recti peripheria describatur, reliquum crus erit tangens; & basis eiusdem anguli secans. |
ET hoc quoque ex primi libri theorematis est perspicuum. Sit aei triangulum rectangulum, ergo si ex angulo a intervallo ae, circulus ey describatur, fiet ei tangens peripheriae eo per prop. 12. l. 1. & ai secans per prop. 17. Haud aliter, si centro i intervallo ie, peripheria eu describatur, tum ae fiet tangens, & ia secans. |
| Itaque |
| In triangulo rectangulo datis cruribus, dabuntur anguli obliqui: Et datis angulis obliquis dabitur ratio laterum. |
| NAM in eodem triangulo si ae sit radius ex centro e [a], ei erit tangens anguli a et ai ejusdem secans: aut si ei sit radius, ae erit tangens anguli i, & ae [ai] ejusdem secans. Sit itaque ae partium 15, ei autem 8; erit ut ei 18 [8] ad ae 15 ita 10000000 ad tangentem anguli i 18750000 61 gr. 55 scr. 39 sec. vel |
| [ 69 ] | [ v ] |
|
ut ae 15 ad ei 8, ita 10000000 ad tangentem anguli a 5333333 28 gr. 4 scr. 21 sec. Et vicissim si statuatur angulus i 61 gr. 55 scr. 39 sec.& a 28 gr. 4 scr. 21 sec. dabitur ratio laterum: Nam si ae latus datum fiat radius 10000000, ei erit tangens anguli a 5333333, & basis recti ai secans ejusdem 11333333. atque ita data laterum ratione, & latere ae in exposita mensura pedum 15, reliqua quoque per proportionem concludentur, hoc modo
Potuit idem ex sinuum tabulis confici: nam si ai fiat radius, ae & ei erunt sinus oppositorum angulorum per propos. 2. videlicet si ai sit 10000000, tum ei foret earundem partium 47058823. & ae 8823529. atque hinc proportio
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [ 70 ] | [ v ] |
|
Dato Crure recti & angulo acuto dabitur crus reliquum, & basis. | |||||||||||
|
DETUR crus recti anguli ae pedum 15, & angulus alteruter acutus ut puta i 61 gr. 55 scr. 39 sec. hinc jam reliquum acutum ad a, qui ejus complementum sit quoque dari manifestum est, nempe 28 gr. 4 scr. 21 sec. ideoque dato ae, dabitur ei per tangentem anguli a, ai vero per ejusdem anguli secantem. Data base & crure recti dabuntur anguli. | |||||||||||
ID quidem antea per sinuum tabulas absolvimus; at idem nunc etiam per secantium canones praestabimus. Nam in eodem diagrammate si ae sit radius, ai est secans & ei tangens. sit itaque ae 15 ai 17. quare
Si semissis differentiae inter quadrata crurum & quadratum basis, per crus alterum dividatur, quotus |
| [ 71 ] | [ v ] |
| erit in dividente dicti anguli distantia à verticis sui perpendiculari. |
|
COnsectarium est ex elementis [II, 13], ubi de potentia basis acuti & obtusi anguli agitur, derivatum. Itaque demonstrationem inde petendam censeo, nos usum sequemur; sint itaque trianguli aei latera ae 10, ai 21, ei 17. |
|
& quaeratur quantum perpendicularis eo, distet ab angulo a. quadrata crurum anguli, nempe ex ae & ai addita, conflant 541. quadratum basis ejus ei 289, differentia 252, hujus dimidium 126 per crus ai 21 divisum, dabit 6 pro ao segmento: cumque quadrata crurum simul excedant quadratum basis ei, angulus igitur a acutus erit, & perpendiculum ab a versus i distabit. Eodem modo invenietur oi partium 15. Sit iterum triangulum aei, ea 10, ai 9, ei 17. & quaeratur quantum perpendicularis eo distet ab angulo a, quadrata crurum anguli a, nempe ea ai simul addita conflant 181, quadratum basis ei 289. hoc cum sit majus illorum summâ, arguit angulum oppositum esse obtusum, atque ideo perpendicularem cadere ab a ultra in partem oppositam ab i. differentia autem quadratorum est 108, hujus dimidium 54 per crus ai 9 divisum, dabit ao partium sex, eodem modo invenies io 15. atqui jam perpendicularis eo haud difficulter invenietur. Si factus à summa & differentia crurum, per basin dividatur, quoti & divisoris summae dimidium, est |
| [ 72 ] | [ v ] |
| in basi distantia perpendicularis à crure maiori: differentiae eorundem dimidium, distantia à minori. |
ET hoc ab elementis [III.35] petitum ex duarum inscriptarum mutua sectione;
ut hic triangulum esto datum aei: ex angulo a [e], radio cruris majoris ei describatur circulus iys, & continuentur basis ia, & crus minus ae. rectangulum uas, aequatur rectangulo iay, quare ay addita ad ai dabit totam iy, cujus dimidium io, distantia a crure majori. rursum ya ri aequentur, reliquae ar dimidium ao distantia erit a crure minori. Porro si summae dimidium sit majus basi ut io in triangulo eri, argumento est angulum ad basin minori cruri adjacentem, nempe eri obtusum esse; si minor sit basi acutum. Posset idem lemma alijs arque alijs modis variari, sed nobis non est animus omnia persequi. Datis trianguli lateribus, dantur anguli. |
| UTRUM rectangulum, obtusangulum, an acutangulum sit id ex eorum legibus constat; de rectangulo supra dictum est; obliquangula autem per lemma antecedens in duo rectangula demissa perpendiculari dividantur. ut in praemisso diagrammate aei sit ae 10, ei 17, ai 21, segmenta basis ao 6, oi 15; hinc jam si ae ex e tanquam centro fiat radius, erit ao sinus anguli aeo, & ideo ipse angulus |
| [ 73 ] | [ v ] |
36 gr. 52 scr. 12 sec. & reliquus igitur acutus eao 53 gr. 7 scr. 48 sec. qui tamen per se ex secantibus inveniri possit per propos. 11. si nempe crus ao fiat radius, ae erit secans anguli eao;
Ut duplum facti à cruribus anguli quaesiti, ad differentiam inter quadrata crurm & quadratum basis: Ita sinus totus, ad sinum complementi eiusdem. |
|
PROPOSUIT Vieta, nos ita demonstramus. Sit in utroque hoc diagrammate angulus quaesitus a, latera data ut ante. Itaque differentia inter quadrata crurum ae ai, & quadratum basis ei, erit duplum rectangulum iao, per 12 & 13 prop. sec. Euclidis. Sed ut ae ad ao, sic assumpta communi altitudine ai, rectangulum eai ad rectangulum iao, & ita quoque duplum eai ad duplum eao [iao]; sed ut ea ad ao, ita sinus totus ad sinum anguli aeo, qui complementum est anguli quaesiti eao; & ex aequo igitur ut duplum rectangulum |
| [ 74 ] | [ v ] |
|
eai ad duplum eao [iao], ita sinus totus, ad sinum complementi anguli eai, quod demonstrasse oportuit. In eodem igitur triangulo priori, assumptis lateribus ijsdem 21, 10, 17, quaerantur hoc modo singuli anguli sigillatim. Et primo quidem angulus a, cujus crura sunt ea ai, erit itaque
Secundo quaeratur in eodem diagrammate aei, angulus e; duplum facti a cruribus ae ei erit 340, differentia inter crurum quadrata ae ei 389, & quadratum basis ai 441, nempe 52 (& quia basis quadratum, quadrata crurum excedit, angulus ad e erit obtusus, secundum ea quae superiori lemmate exposuimus.) Fiat itaque ut 340 ad 52 ita 10000000 ad sinum complementi quaesiti anguli e, 1529410; peripheria huic debita est 8 gr. 47 scr. 51 sec. complementum anguli e: & cum is ob ea quae supra retulimus sit obtusus, erit igitur 98 gr. 47 scr. 51 sec. quantum eum jam ante invenimus. Sed ut ista quoque determinatio in promptu sit, eam hic adnotare utile visum est. Namque si quadrata crurum cedant quadrato basis, angulus ab ijs comprehensus est obtusus; si excedent, acutus; si aequentur rectus: quae ex elementis [II.12] suam veritatem facillime comprobabunt. Basis trianguli plus potest quam crurum differentia, duplici rectangulo ex altero crure atque huius apotomes |
| [ 75 ] | [ v ] |
| & reliqui cruris summa, si angulus sit obtusus; aut differentia, si secus. |
APOTOMEN voco eam partem quam Regiomontanus casum perpendicularis*) dicit. 
Sit igitur triangulum aei, & anguli a basis ei. perpendicularis à vertice eo, apotome ao, & ay, au sint cruri ae aequales, connexis ye eu angulus yeu in semicirculo rectus erit: hinc sit il parallela contra ae, & triangulum ideo liu aequicrurum, cujus basis lu à perpendiculari is bisecetur in s. hinc ab angulo recto o recta om bisecet inscriptam eu, quae ideo ipsi bisegmento mu aequalis erit, & triangula eua oum similia. his ita constitutis, erit ut le ad ai, sic eu ad au, & sic quoque ou ad um, quare erit ut le ad ai, sic ou ad um. rectangulaque ideo le in um, & ia in ou erunt aequalia, & dupla duplis, nempe le in eu ipsi ia in ou bis; sed ia est crus unum, ou est in obtuso a composita ex crure reliquo ae vel au. & apotome prioris ao: in acuto ad a ex differentia au ao. denique leu rectangulum aequatur differentiae quadratorum basis ei & segmenti ui: nam differentia potentiarum ei & iu aequatur differentiae quadratorum ab es & su ob communem perpendicularem is. atqui horum differentia est oblongum leu; cum enim lu sit bisecta in s, & continuata in e; oblongum è continuata le & continuatione ue, cum quadrato bisegmenti us vel ls aequatur quadrato es,°) quamobrem, si de quadrato es subducatur
[ *) Regiomontanus, De triangulis planis et sphaericis libri quinque, Basel 1561, 'Diffinitiones', p. 1: "Casus perpendicularis vocatur portio basis, perpendiculari & alterutro laterum intercepta".] [ °) Volgens Euclides, Elementen, boek II, Prop. 6.] |
| [ 76 ] | [ v ] |
|
quadratum us, reliquum erit oblongum leu, hoc est ut ostendimus ia in ou bis. Itaque, Si quadratum differentiae crurum subducatur de quadrato basis, & reliquum sit major duplo crurum rectangulo, angulus ab ijs comprehensus erit obtusus; si minus, acutus; si aequale, rectus: & horum differentiae dimidio per crus alterum diviso, quotus erit ejus apotome quaesita. Ut si ea sit 12, ai 17, & basis ei 25
Datis Lateribus angulum invenire;
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
IN praemissis diagrammatis angulus ad a sit quaesitus, sinus versus*) uae est ou. sinus totus ae vel au. Erit igitur assumpta communi altitudine bis ai; ai
[ *) De 'sinus versus' is gedefinieerd in boek 1, p. 5, Prop. IV.] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [ 77 ] | [ v ] |
|
in au bis ad ai in ou bis, ut au ad ou. Sed ai in au bis est duplum rectangulum sub cruribus ai & ae; ai in ou bis est aequalis excessui quo quadratum basis ei quadratum differentiae crurum ui exsuperat; Id enim praemisso lemmate ostendimus. Sit ut ante ae 12, ai 17, ei 25, & quaeratur angulus a. Fiat ut 408 ad 600, ita 10000000 ad 14705882 sinum versum anguli a, & quia is major est radio, argumentum angulum qui quaeritur esse obtusum, nempe
Si de dimidio collectorum laterum dati trianguli, latera sigillatim subducantur, erit ut latus facti à dimidio in differentiam lateris quaerendo angulo oppositi, ad factum à reliquorum laterum differentia, Ita sinus totus, ad tangentem dimidij anguli qaesiti. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| SInt latera eadem quae prius [<] ae 10, ei 17, ai 21. Et quaeratur angulus a. collecta latera conflant 48, dimidium 24, latus angulo a oppositum est ei 17, differentia 7, factus a 7 & 24 168, factus à reliquis differentiis 3 & 14 est 42, 168 ad 42 sunt in ratione 4 ad 1, horum radices 2 & 1. Itaque ut 2 ad 1, ita sinus totus 10000000 ad 5000000 tangentem dimidij anguli a, nempe 26 gr. 33 scr. 54 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [ 78 ] | [ v ] |
|
sec. cujus duplum 53 gr. 7 scr. 48 sec. pro angulo quaesito. Potuit etiam hoc modo poni,
Porro autem cum duae peripheriae dantur quarum sinus datam habeant rationem; sit autem neutra major semicirculo, cujusmodi duo anguli sunt in triangulo plano; aut duo latera vel anguli in tripleuro sphaerico, Erit 
Ut summa sinuum, ad differentiam eorundem, ita tangens dimidiae summae peripheriarum, ad tangentem dimidiae, earundem differentiae. SUnto expositarum peripheriarum oi ie, sinus ou ey, subtensa utrique pariter oe, secta à communi radio ai in r, & perpendicularis in eam sit as; & rectae sr aequalis sl. erit igitur ras angulo sal aequalis; & lae dato oar. quare ral angulus differentiae inter lae hoc est, oar & rae, bisectus est ab as. & tangens dimidiae |
| [ 79 ] | [ v ] |
|
summae es si radius assumatur as; & dimidiae differentiae sr. Cum igitur triangula our eyr ob sinus parallelos sint similia, erit ou ad ey; ut or ad re. Ergo etiam componendo & dividendo ut summa sinuum ou ye ad differentiam eorundem, ita or & re id est oe ad rl earundem differentiam, & ita quoque harum dimidia es ad sl. Erit igitur ut oe ad rl, hoc est ut summa sinuum ad differentiam, ita tangens dimidiae summae, ad tangentem dimidiae differentiae. Si periheriae ambae simul majores sint semicirculo singulae autem semicirculo minores, res eadem erit: nam sinus tam ad majorem quam minorem peripheriam pariter refertur. |
| Itaque |
|
|
| Data ratione sinuum, & vel summa vel differentia peripheriarum, dantur singulae. |
|
QUod enim in ipsis sinibus verum est, hoc in eorundem homologis terminis quoque verum erit: ita si ratio sinuum sit ut 9 ad 5, peripheria autem tota 94 gr. 9 scr. Fiat igitur ut 14 ad 5, ita tangens dimidiae peripheriae 94 gr. 9 scr. hoc est 47 gr. 4 scr. 30 sec. 10751870 ad 3071963 tangentem dimidiae differentiae 17 gr. 4 scr. 30 sec. quae peripheriia ad suprascriptum dimidium addita & ab eodem deducta, dabit peripheriam majorem 64 gr. 9 scr. minorem 30 gr. 0 scr. Quod si sinuum ratione data, differentia peripheriarum esset data, ut manente eadem ratione 9 ad 5, sit differentia 34 gr. 9 sc. Ut igitur 4 ad 14, ita tangens dimidiae differentiae 17 gr. 4 scr. 30 sec. 3071963 ad tangentem summae peripheriarum dimidiae. 10751870 cui cedunt 47 gr. 4 scr. 30 sec. |
| [ 80 ] | [ v ] |
|
pro summa dimidia, huc dimidia differentia & addita & dempta, dabit peripherias quaesitas 64 gr. 9 scr. & 30 gr. 0 scr. Datis duobus trianguli lateribus, & angulo ab ipsis comprehenso, dantur anguli reliqui. |
|
NAM datis cruribus trianguli, datur ratio sinuum qui ad angulos oppositos pertinent per propos. 4.
Sit enim in triangulo aei propos. 12. angulus a 53 gr. 7 scr. 48 sec.
& crus ae 10, ai 21, hinc reliqui anguli nobis sint inquirendi: si datus angulus de duobus rectis subducatur, datur summa angulorum e & i nempe 126 gr. 52 scr. 12 sec. Hujus semissis 63 gr. 26 scr. 6 sec. tangens 200000044 [20000044], ut igitur summa crurum 31, ad differentiam eorundem 11, ita tangens 20000044 ad 7016789 tangentem dimidiae differentiae 35 gr. 21 scr. 45 sec. haec peripheria ad summae dimidium addita, dabit angulum e majori lateri ai subtensum 98 gr. 47 scr. 51 sec. & ab eodem dimidio subducta, dabit reliquum angulum i minori lateri subtensum 28 gr. 4 scr. 21 sec. |
| SED idem etiam aliter reductione ad rectangula praestari potest, si cui id arrideat: nam si ab alterutro reliquorum angulorum, perpendicularis demittatur eo in triangulo rectangulo eao dantur ae basis recti cum angulo. itaque per propos. 2. dabitur ao & eo. ex differentia autem ao & ai, dabitur oi. quare in triangulo rectangulo eoi datis cruribus |
| [ 81 ] | [ v ] |
|
per propos. 9. dabitur angulus i quaesitus, atque ita quoque reliquus ad e, quem tamen è duobus aeo ieo conflare licet ut tanquam examen sit tui operis. Hinc jam ex utraque hac factione, basin anguli dati haud difficulter investigabis: nam si priorem modum sequaris adhibenda est propositio 5. si posteriorem vel ex quadratis eo oi dabitur quadratum ei; vel invento angulo i per propos. 10. Sed & basis datis cruribus cum angulo ab ipsis comprehenso, per se absque ulla circuitione inveniri poterit hoc modo Ut sinus totus, ad sinum complementi dati anguli; ita duplex rectangulum sub cruribus, ad differentiam inter quadrata crurum & quadratum basis. |
|
ET si quidem angulus datus acutus existat dematur à crurum quadratis, sin obtusus ijsdem addatur, & numerus hinc existens erit quadratum basis, Hujus theorematis veritas ita potest demonstrari: |
|
detur angulus a cum cruribus ea ai. & ab e perpendicularis eo. erit ergo ut sinus totus ad sinum anguli aeo, ita ae, ad ao, atque ita, assumpta communi altitudine ai, rectangulum ea in ai, ad ao in ai. atque ita duplum rectangulum eai ad duplum oai: sed duplum rectangulum sub oa & ai aequatur differentiae inter quadrata crurum ae & ai simul, & quadratum basis ei. cum autem angulus acutus est, crurum quadrata |
| [ 82 ] | [ v ] |
|
tanto sunt majora; at cum obtusus tanto minora quam quadratum basis; hoc enim ex elementis [II.12] planum est. atque ita dabitur basis quadratum, & inde basis ipsa. In numeris exemplum esto tale. Sit ae 10, ai 21, angulus eai 53 gr. 7 scr. 48 sec. sinus complementi est 5999992. duplum rectangulum sub cruribus ae & ai 420.
Ut sinus totus ad sinum versum anguli dati, ita duplex rectangulum crurum, ad excessum quo quadratum basis superat quadratum differentiae crurum. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VEritas hujus è lemmate casus tertij propositonis 12 est manifesta, itaque inde repetatur. Sit ae 12, ai 17, & angulus eai 118 gr. 4' 21" & quaeratur basis ei.*)
Sed ad extremum etiam hanc mantissam accipito:
[ *) In de gedrukte tekst staat boven het getal 118 een streep, hier weergegeven als "118 gr.".] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [ 83 ] | [ v ] |
|
Quomodo datis trianguli rectanguli lateribus ejusdem anguli absque his canonicis Sinuum, Tangentium aut Secantium tabulis inveniri possint. Ut duplum basis anguli recti crure maiore auctum ad crus minus, ita sinus totius triplum, ad peripheriam angulo minori cruri opposito congruam. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
HUIUS veritatem & demonstrationem pete è cyclometrico nostro*) propositione 28 & 31. nos solo usu nunc erimus contenti, si plura requiras istinc ea tibi erunt arcessenda. Exemplum tale esto,
Sit in exposito triangulo rectangulo esy, basis ey 25, crus recti majus es 24, & ys 7. & fiat ut dupla ey & es, hoc est as 74 ad sy 7, ita triplum sinus totius tanquam ea esset ai 300000.000 ad iu 28378.378, cui ut in cyclometricis ostensum est peripheria yi ut proxime aequatur, sed tamen aliquo minimo ipsam iu excedit. Si ita scire expetas quot gradibus & minutis ea recta, vel yi peripheria respondeat, proportione concludes: Cum enim ad istam diametri taxationem 200000000, peripheria circuli sit 628318531. Erit itaque ut 628138531 ad numerum inventum 28378378, ita 360 grad. ad 16 grad. 15 scr. 34 sec. 37 ter. #)
[ *) W. Snellius, Cyclometricus, Leiden 1621; eerder genoemd bij Prop. 10 van boek 1; daar dezelfde figuur (met: ao = oe). En met vrijwel dezelfde schatting (628,31,853) van 2π.] [ #) Zie de tabellen hierna:
|
| [ 84 ] | [ v ] |
| Gr. | Peripheriae | Gr. | Peripheriae | Gr. | Peripheriae | |||||||||
| 1 2 3 4 5 | 1745.329 3490.658 5235.988 6981.317 8726.646 | 31 32 33 34 35 | 54105.207 55850.536 57595.865 59341.195 61086.524 | 61 62 63 64 65 | 106465.084 108210.414 109955.743 111701.072 113446.401 | |||||||||
| 6 7 8 9 10 | 10471.976 12217.305 13962.634 15707.963 17453.293 | 36 37 38 39 40 | 62831.853 64577.182 66322.512 68067.841 69813.170 | 66 67 68 69 70 | 115191.731 116937.060 118682.389 120427.718 122173.048 | |||||||||
| 11 12 13 14 15 | 19198.622 20943.951 22689.280 24434.610 26179.939 | 41 42 43 44 45 | 71558.499 73303.829 75049.158 76794.487 78539.816 | 71 72 73 74 75 | 123918.377 125663.706 127409.035 129154.365 130899.694 | |||||||||
| 16 17 18 19 20 | 27925.268 29670.597 31415.927 53161.256 34906.585 | 46 47 48 49 50 | 80285.146 82030.475 83775.804 85521.133 87266.463 | 76 77 78 79 80 | 132645.023 134390.352 136135.682 137881.011 139626.340 | |||||||||
| 21 22 23 24 25 | 36651.914 38397.244 40142.573 41887.902 43633.231 | 51 52 53 54 55 | 89011.792 90757.121 92502.450 94247.780 95993.109 | 81 82 83 84 85 | 141371.669 143116.999 144862.328 146607.657 148352.986 | |||||||||
| 26 27 28 29 30 | 45378.561 47123.890 48869.219 50614.548 52359.877 | 56 57 58 59 60 | 97738.138 99483.767 101229.097 102974.426 104719.755 | 86 87 88 89 90 | 150098.316 151843.645 153588.974 155334.303 157079.633 | |||||||||
| [ 85 ] | [ v ] |
| Scr. pri. | Peripheriae | pri. | Peripheriae | Sec. | Peripher. | Sec. | Peripher. | ||||||||||||
| 1 2 3 4 5 | 29.089 58.178 87.266 116.355 145.444 | 31 32 33 34 35 | 901.752 930.842 959.931 989.020 1018.109 | 1 2 3 4 5 | 485 970 1.454 1.939 2.424 | 31 32 33 34 35 | 15.029 15.514 15.999 16.484 16.968 | ||||||||||||
| 6 7 8 9 10 | 174.533 230.622 232.711 261.799 290.888 | 36 37 38 39 40 | 1047.198 1076.286 1105.375 1134.464 1163.553 | 6 7 8 9 10 | 2.909 3.394 3.878 4.363 4.848 | 36 37 38 39 40 | 17.453 17.938 18.423 18.908 19.393 | ||||||||||||
| 11 12 13 14 15 | 319.977 349.066 378.155 407.243 436.332 | 41 42 43 44 45 | 1192.642 1221.730 1250.819 1279.908 1308.997 | 11 12 13 14 15 | 5.333 5.818 6.303 6.787 7.272 | 41 42 43 44 45 | 19.877 20.362 20.847 21.332 21.817 | ||||||||||||
| 16 17 18 19 20 | 465.421 494.510 523.599 552.688 581.776 | 46 47 48 49 50 | 1338.086 1367.175 1396.263 1425.352 1454.441 | 16 17 18 19 20 | 7.757 8.842 8.727 9.211 9.696 | 46 47 48 49 50 | 22.301 22.786 23.271 23.756 24.241 | ||||||||||||
| 21 22 23 24 25 | 610.865 639.954 669.043 698.132 727.221 | 51 52 53 54 55 | 1483.530 1512.619 1541.707 1570.796 1599.885 | 21 22 23 24 25 | 10.181 10.666 11.151 11.635 12.120 | 51 52 53 54 55 | 24.725 25.210 25.695 26.180 26.665 | ||||||||||||
| 26 27 28 29 30 | 756.309 785.398 814.487 843.576 872.665 | 56 57 58 59 60 | 1628.974 1658.063 1687.152 1716.240 1745.329 | 26 27 28 29 30 | 12.605 13.090 13.575 14.060 14.544 | 56 57 58 59 60 | 27.150 27.634 28.119 28.640 29.089 | ||||||||||||
| Canonica ista facile ipse concenturiabis ubi ubi locorum verseris, modo rationem diametri ad peripheriam memoriae infixam serves. Nam cum diameter erit 1.00000.00000.00000 tum peripheria, erit 3.14159.62535.89793 atque hinc facile est invenire quantum uni gradui, quantum denis aut vicenis cedat: & similiter quantum uni scrupulo primo, secundo, tertio, & quantum denis, unde sola additione tabellae istae conflantur. |
| [ 86 ] | [ v ] |
|
Sed quia istud perquam molestum & operosum est, tabellam construxi in qua songulorum totius quadrantis graduum quantitas ad radium 10000000 sit subdaucta; & inde singulorum scrupulorum, atque adeo secundorum quoque. Cujus usus hic est, ut ex dato numero statim ipsius quantitas in gradibus ac minutis, & contra inveniri possit: Id enim in eodem numero 28378.378, experieris hoc modo
unde efficitur angulum quaesitum yes, esse 16 grad. 15 scr. 34 sec. 37 ter. ut supra. quem è tabulis sinuum invenies 16 gr. 15 scr. 36 sec. 44 tert. ut ille à nobis hac via inventus 2 sec. 7 ter. istoc tantum sit minor. Sed non opus erat ad tabulas provocare quin adeo nostra factio a seipsa suae veritatis 'pistôsin' & fidejussorem accipiet. Verum hoc mihi ante monendus es, si basi anguli recti (ut in hoc diagrammate aei) | ||||||||||||||||||||||||
|
nempe ai, statuam oa aequalem, angulum ioe dimidium esse ipsius iae, quia iae externus duobus aoi aio inter se aequalibus, est aequalis, eandem ob causam si oi & ou aequentur, angulus eui erit dimidius ipsius eoi, & quadrans anguli eai. Sit igitur ae 7, ei 24, ai 25, & cum majori errori |
| [ 87 ] | [ v ] |
|
obnoxium hoc sit, quando duplum basis minori cruri adjicitur & inde proportio instituitur; inveniantur latera trianguli oei. & ei quidem erit semper eadem; oe autem ex ea & ai composita, erit 32 partium, & è quadratis oe & ei, dabitur oi 40. Fiat itaque ut in theoremate est expressum, quemadmodum oe 32 & oi bis, hoc est 112, ad ei 24, ita 300000000 ad 64285714 peripheriam angulo o debitam, cui ut vides respondent 36. 49' 59". qui tamen vere debebat esse 36. 52' 12" ut error sit 2¼'. ergo in duplo 73. 39'. 58" deficerent 4½'. Hoc ideo moneo ut videas terminos qui operi tuo & & accuratae diligentiae, quam postulabis, sint satis. quare iteretur bisectio, & oi 40 cum oe 32, composita conflent nobis eu 72, inde quadrata ie & ue dabunt basin ui 75 894660/1000000. Atque hinc proportio ut eu cum dupla ui 223 789320/1000000 ad ei 24, ita triplum sinus totius 300000000 ad 32173117 pro peripheria debita angulo u, cui ex canonio apposito cedunt 18. 26'. 1". 50'". cum debeant, fuisse 18. 26' 6". 49'" ut differentia sit tantum 5". Porro quadruplum inventae peripheriae nempe 73. 44' 7" 20'" definiet angulum iae, qui additus ad supra inventum aie, 16. 15'. 34". 37'". conflat 89 gr. 59'. 41". 37'". ut differentia à recto tantum sit 18". Quod si utrumque iterum libuisset bisecare, jam error demum in scrupula tertia incurreret, quod experiunti manifestum erit: Atque ita continuando vel in ipsis quartis, quintis, & ultra, accurata veritas extorqueri posset. Porro autem, ut tuo usui hic locus opportune serviat, isti limites erunt tibi notandi. I. Cum crura anguli recti erunt aequalia, tum |
| [ 88 ] | [ v ] |
|
directe hac via tantum 6 scrupulis infra verum consistes. II. Cum ratio majoris cruris ad minus ea erit quae 4 ad 3, tum tantum 2'½ scrupulis a vero deficiet. III. Cum ea erit quae 24 ad 7, tum anguli minoris acuti quantitas a vero deficiet tantum ½ secundis. Et hinc adeo tibi facile est pervidere, quousque bisecando velis progredi, & quatenus ulterior operis & calculi tui 'periergeia' debeat procedere. atque ita hic planorum triangulorum, & Libri secundi simul F I N I S esto. |
| [ 89 ] | [ v ] |
|
P R O B L E M A T A *) G E O D Æ T I C A. |
Datis trianguli lateribus duobus & angulo ab ipsis comprehenso, perpendicularem ab angulo ignoto in crus oppositum invenire. |
|
...
[ *) Toegevoegd door Hortensius.]
|
| [ 103 ] | [ v ] |
|
Altitudinem rei inaccessae dimetiri, concessis duabus stationibus liberis in superficie plana, cui res mensuranda perpeniculariter insistit. |
|
... 
|
| [ 104 ] | [ v ] |
|
... Eadem & simili plane praxi, simul & eodem tempore per duos mensores, dimetietur altitudinem alicujus nubis, modo ea lenti motus sit, & evidentem in extremitatibus sortiatur densitatem; nam in medium ejus visus non potest bene dirigi sine errore, quem etiamnum vix effugiet is, qui non omni industriâ & circumspectè rem aggreditur: Exemplum unum addam ob diligentiam fide dignum, 8 Iulij stylo novo anni hujus 1627, vento boreali, observavimus altitudinem nubis cujusdam, ad votum distinctae & lenti motus; fuitque inventus angulus abd 31 gr. 40 scr. acd 38 gr. 30 scr. intervallum autem stationum assumptarum fuit 1680 pedum Rhijnlandicorum in campo plano; ex his igitur dato ang. bac 6 gr. 50 scr. erit per eandem prop.*) lib. 2.
[ *) Prop. 6 (p. 66): Dato latere & angulis duobus, dabuntur latera reliqua.] |
| [ 105 ] | [ v ] |
|
cum namque in milliari germanico, quorum 15 uni gradui circ. maximi in terra respondent, sint pedes 22800, assurgit ista altitudo ad 1/5 unius milliaris & paulo amplius; in milliaribus autem Hollandicis cum sint pedes 18000 erit altitudo ista 1/4 mill. & 120 circiter pedum.
|
| [ 108 ] | [ v ] |
|
|
| [ 109 ] | [ v ] |
|
D O C T R I N Æ T R I A N G V L O R V M C A N O N I C Æ, LIBER TERTIUS. De TRIPLEURIS sphaericis. |
|
|
| [ 174 ] | [ v ] |
|
C A N O N I C Æ T R I A N G V L O R V M D O C T R I N Æ, LIBER QUARTUS.
De |
|
|
| [ 228 ] | [ v ] |
|
|
| [ 229 ] | [ v ] |
|
P R O B L E M A T A *) S P H Æ R I C A. |
Dato Solis loco & maximâ declinatione, eius declinationem & ascensionem rectam, nec non angulum Eclipticae & Meridiani invenire. |
|
[ *) Toegevoegd door Hortensius.] |
| [ 230 ] | [ v ] |
|
Dato stellae longitudine & latitudine, eius declinationem & ascensionem rectam invenire. |
|
DETUR longitudo & latitudo clarissimae Hyadarum, oculi Tauri, quem Palilitium veteres vulgo vocabant: Plinius l. 18 cap. 26. Hoc est vulgo appellatum sydus Palilitium, quoniam XI Kal. Maji urbis Romae natalis*). Cic. 2 de divinat: Ab ijs Parilibus, quibus eam a Romulo conditam accepimus, diem natalem illius urbis repetebat L. Tarutius Firmanus, imprimis Chaldaïcis rationibus eruditus.°) Declinatio igitur ejus & Ascensio recta quaeratur anno 1625. ...
[ *) C. Plinii Secundi Historiae mundi libri XXXVII, Gen. 1606, p. 425, r.2: met 'Palilicium' (txt: Liber 18, lxvi.247: 'Parilicium'). Zie bij R. H. Allen, Star Names, Taurus, Aldebaran.] [ °) Cicero, De divinatione, lib. 2, XLVII, 98: "L. quidem Tarutius Firmanus, familiaris noster, in primis Chaldaicis rationibus eruditus, urbis etiam nostrae natalem diem repetebat ab iis Parilibus, quibus eam a Romulo conditam accepimus".]
|
| [ 243 ] | [ v ] |
|
|
| [ 244 ] | [ v ] |
|
Autores Astronomicos, imprimis ipsum Ptolemaeum, qui ista libro 2 'megalès suntaxeos'*) fusius prosequitur, aut potius a nobis favente Deo pleniorem forte harum exercitationum ali- quando expectet copiam.
[ *) Bas. 1538. Almagest, Bas. 1551.] |
