Vertaling uit: Doctrinae triangulorum canonicae libri quatuor, Leiden 1627.

waarop ze staan, is daarvan gekomen dat de omtrekken zelf als maat voor de hoeken genomen kunnen worden. Zodat we kunnen begrijpen dat een rechte hoek bepaald wordt door 90 graden, een scherpe door minder, een stompe door meer. En zo kunnen dan ook die bij­beschrevenen niet alleen betrekking hebben op hun omtrekken, maar ook evenzeer op de hoeken die op die omtrekken staan. Aangezien, zoals we hebben gezegd, de maat voor een hoek de omtrek is, beschreven vanuit de top ervan als middelpunt.   Verder worden bij omtrekken hier zowel een gegeven omtrek, als het complement ervan dikwijls als gedeelten genoemd. Want want het is hetzelfde gezegde als over hoeken wordt verstaan: Complement is het verschil van een gegeven omtrek met het kwadrant.   Of een gegeven omtrek nu groter is dan een kwadrant of kleiner; maar zoals elke hoek kleiner is dan de twee rechten, zo is een gegeven omtrek ook altijd kleiner dan de halve cirkel, zoals wanneer in de volgende tekening eo als gegeven wordt genomen, dan zal het complement ervan zijn or. En als de omtrek iro groter wordt genomen, zal niettemin or het complement ervan zijn. Hetzelfde is er bij hoeken, zoals: het complement van een scherpe hoek moet zijn het tekort ervan ten opzichte van een rechte hoek; van een stompe hoek het overschot ervan boven een rechte hoek, als ze tenminste niet te verwaarlozen zijn. PROPOSITIE  II.   Rechten met betrekking tot hun omtrekken zijn sinus, tangens en secans.

ZOALS hier in de getoonde tekening: laat a het middelpunt zijn van een cirkel, de omtrek oe, de straal ae, de loodlijn vanuit het einde o op de straal ae zij ou, de loodlijn op de diameter in het uiteinde es, en de door het einde o doorgetrokken straal as. Hier is ou de sinus van omtrek oe; es de tangens ervan; en as de secans.

uiteinde o die hierop loodrecht staat, ou, zal zijn de sinus van omtrek oe. Of als genomen wordt de omtrek oey, onderspannen door de rechte oy, en als de straal ae hier loodrecht op staat, dan zal die de ingeschrevene oy en de omtrek oey doormidden delen; dus de helft ou van deze ingeschrevene, die behoort bij de halve omtrek oe, is de siinus ervan. Ptolemaeus [<], en enige eeuwen eerder Hipparchus, en voor Hipparchus ongetwijfeld ook zowel Egyptenaren als Babyloniërs, hebben gebruik gemaakt van tabellen van ingeschreven rechten. Wij nemen langs kortere weg de helft van de ingeschrevenen, oftewel de sinus. Verder is ook van de andere omtrek or de sinus ol, dat is de sinus van het complement*) van de gegeven omtrek oe, of van oi.   Dus:   De Sinus is gemeenschappelijk voor een omtrek kleiner dan een kwadrant, en voor het supplement ervan.   Supplement°) noem ik nu het verschil van de gegeven omtrek met de halve cirkel, gewoonlijk complement tot de halve cirkel; maar aangezien deze omschrijving lastig is, en het veiliger is verschillende dingen te onderscheiden met verschillende namen, zal voor ons het complement, zoals we het hierboven hebben gedefinieerd [<], alleen zijn het verschil tussen een gegeven omtrek en een kwadrant, doch het supplement het overschot van een halve cirkel boven een gegeven omtrek, en daarom moet een gegeven omtrek steeds begrepen worden als kleiner dan een halve cirkel.   Zoals immers de ingeschreven oy de gemeenschappelijke basis is voor het kleinere gedeelte oey, en het grotere oiy, zo wordt het ook gezegd van de helft ou van de ingeschrevene, ten opzichte van de beide omtrekken oe en ori.   [ *)  De "sinus van het complement" heet tegenwoordig: cosinus, zie 'History of Trigonometry'.]   [ °)  Lat.: 'residuum'.] PROPOSITIE  IV.   Sinus versus is het gedeelte van de diameter tussen de sinus rectus van de omtrek en het tussenliggende einde ervan.

ZOALS in dezelfde tekening bij gegeven omtrek oe, de sinus rectus zal zijn ou, loodrecht op de diameter, en de sinus versus ue.

Maar als de gegeven omtrek ori is, zal de sinus rectus wel dezelfde ou zijn; doch de sinus versus de rechte ui. En Vitello heeft deze naam met die betekenis gebruikt in prop. 12 van lib. 5 en 38 van lib. 9, en daar noemt hij hem 'pijl'.*)         Dus:   De sinus versus van de kleinere gegeven omtrek, is het verschil tussen de sinus van het complement ervan en de straal; en van de grotere de som daarvan en de straal.   Zoals hier or het complement is van elk van beide omtrekken eo en oi, de sinus ervan ol of au; als deze wordt afgetrokken van de straal ae wordt gegeven de sinus versus ue van de omtrek oe. Als je daarentegen ou optelt bij de straal ai zal gegeven worden de sinus versus iu van de omtrek oi die groter is dan het kwadrant.   [ *)  Opticae thesaurus, Bas. 1572, met: Vitellonis Thuringopoloni Opticae libri X, p. 197, r.4 (bij bolle spiegel) en 395, r.5-4 van onder (bij brandspiegel). 'Pijl' ook bij Simon Stevin, in Driehouckhandel, fol. 1: "Houckmaetpyl is deel der middellijn tusschen t'uyterste des houckmaets en des omtrecx".] PROPOSITIE  V.   De sinus rectus van een omtrek en die van het complement maken gelijkelijk gebruik van de straal.

WANT ou en au waaraan ol gelijk is, omvatten een rechte hoek, onderspannen door de straal ao.   Om van in de cirkel ingeschreven rechten de grootte te bepalen heeft Ptolemaeus, volgens de gewoonte in het oude Griekenland, de diameter van de cirkel genomen met een verdeling in 60 delen. en de afzonderlijke delen verdeelde hij in zestig deeltjes; en zo voorts, en wel aangezien de berekening, die in die tijd zeer langzaam verliep, en heel ingewikkeld was, met dit zestigtallig stelsel enigszins vlotter zou gaan; en deze manier is ook in latere jaren door velen dikwijls gebruikt°). Toch heeft intussen die verdeling van de straal zich gehandhaafd, met recht en verdiend, die Regiomontanus en zijn leermeester Peuerbach, zuivere geesten, in Wiskundige Tabellen hebben ingevoerd. Zodat een straal verdeeld werd in een aantal duizenden delen als met een continue voortgang van tienden. Namelijk in 100000,   [ °)  Ook nog door Ph. Lansbergen, zie b.v. Hortensius' Dissertatio de Mercurio in Sole viso (1633), p. 18.]

en van deze zijde 173 205 081, zal de helft 86 602 540 de sinus van 60° zijn.   Het kwadraat van de vierkantszijde is tweemaal het kwadraat van de straal, dus die zal zijn 141 421 356, en de helft 70 710 678 ervan de sinus van 45°.   De tienhoekszijde is het grootste gedeelte van de straal, verdeeld in uiterste en middelste reden*). Die zal dus zijn 61 803 399, en de helft 30 901 699 ervan de sinus van 18°.   Het kwadraat van de vijfhoekszijde is gelijk aan de som van de kwadraten van zeshoekszijde en tienhoekszijde, ingeschreven in dezelfde cirkel. Hiermee zal ons dus de vijfhoekszijde gegeven worden als 117 557 050, waarvan de helft 58 778 525 de sinus van 36° zal zijn. [>]   En ook de vijftienhoek, en de zijden van veelhoeken, afgeleid uit de vorige door voortdurende tweedeling, en de complementen ervan, en die welke gevonden kunnen worden door optelling of aftrekking van de omtrekken waarvan de ingeschrevenen gegeven worden, zijn noodzakelijk voor het vinden van de meeste sinussen; en daarom zetten we voor het opsporen ervan de volgende theorema's hier onder.   [ *)  Wikipedia 'Gulden snede', Engl.: "The golden ratio was called the extreme and mean ratio by Euclid", Book 6, Def. 3.] PROPOSITIE  VII.   De rechthoek, bevat onder het verschil van een ingeschrevene met de diameter, en de straal, is gelijk aan het vierkant op de ingeschrevene van de helft van het supplement.*)

DIT heeft Ptolemaeus ook bewezen in boek 1, cap. 9 van zijn Grote werk, en het is zo geschikt voor tweedeling, en wel het meest voor ons, omdat de straal wordt genomen met een verdeling in duizendsten, zodat vermenigvuldiging daarom niet nodig is. Vanaf het ene einde van de diameter is ingeschreven ei, en op de diameter daaraan   [ *)  Dit is propositie I in W. Snellius, Cyclometricus, 1621 (p. 1) en Prop. II daar is hier Prop. VIII; dat werk wordt hierna aangehaald op p. 15.]

gelijk is eu en het supplement io van de omtrek is doormidden gedeeld in yo. Ik zeg dat de rechthoek bevat onder ao en ou gelijk is aan het vierkant op de ingeschrevene oy. Laat namelijk verbonden worden yu, ya en ye, aangezien dan de hoeken iey en uey, met gelijke benen, staan op gelijke omtrekken, zullen ze de basissen iy en uy gelijk hebben. De driehoek uoy is gelijkbenig. En hij zal gelijkvormig zijn met de gelijkbenige driehoek aoy, omdat de hoeken bij de basis onderling gelijk zijn. En daarom zullen de zijden ao, oy en ou ook continu evenredig zijn, en zal de rechthoek op de uitersten ao en ou gelijk zijn aan het vierkant op de middelste oy. Wat bewezen moest worden.   Zoals wanneer genomen wordt ei voor de koorde van 36°,*) of de zijde van een tienhoek, 61 803 399, en gesteld dat de diameter 200 000 000 deeltjes heeft, dan is het supplement van de omtrek daarvan 144°; en van de helft 72° hiervan wordt de koorde gezocht. De zijde van de tienhoek wordt afgetrokken van de diameter, wat 138 196 601 overlaat; dit getal vermenigvuldigd met de straal zal geven 138 196 601 00 000 000, het kwadraat van de ingeschrevene van 72° en daarom is de koorde oy zelf 117 557 050, waarvan de helft 58 778 525 de sinus is van 36°. [<]   Als je dat kwadraat zou aftrekken van het kwadraat van de diameter, zou wat overblijft zijn het kwadraat van ye, namelijk 26 180 339 900 000 000, waaruit gemakkelijk blijkt: als je de gegeven ingeschrevene optelt bij de diameter, en dan vermenigvuldigt met de straal, geeft dit het kwadraat van de ingeschrevene onder de omtrek, samengesteld uit de gegeven omtrek en de helft van het complement°). Maar dit kan ook al uit de Meetkunde zelf worden gehaald.   [ *)  In de figuur van p. 8 is de genoemde boog ei veel groter. Om verwarring te voorkomen zie deze tekening: ei als zijde van een tienhoek, oy van een vijfhoek.]   [ °)  ey onderspant (is koorde van) omtrek eiy. (2 R + ei) R = ey² , want: ey² + oy² = 4 R² , en: (2 R − ei) R = oy² , volgens Prop. 7.]

PROPOSITIE  VIII.   De rechthoek, bevat onder de rechte vanaf de diameter plus een ingeschrevene, en de straal, is gelijk aan het vierkant op de ingeschrevene die zowel de gegeven ingeschrevene als de helft van het supplement onderspant.

LAAT de ingeschrevene zijn ei, de helft van het supplement iy, de samen­gestelde koorde ey, en laat aan ei gelijk zijn ou. Ik zeg dat de rechthoek ue bij ea, gelijk is aan het vierkant op ey. Want laat es gelijk zijn aan die ei, dan zal sy gelijk zijn aan de rechte yo, volgens de voorgaande propositie. En daarom zijn ook de inwendige hoeken bij s en o gelijk, en derhalve ook de uitwendige esy en uoy, en daar ze gelijke benen hebben, zullen ze gelijke bases ey en uy hebben. En de gelijkbenige Driehoek uey zal gelijke hoeken hebben met de gelijkbenige driehoek eay, omdat ze hoek e gemeenschappelijk hebben. En daarom zijn dan de zijden ue, ey en ea continu evenredig, en zal het vierkant op ey gelijk zijn aan de rechthoek ue bij ea.   Laat de omtrek ei een tiende deel zijn van de hele cirkel, 36°, het supplement iyo dus 144°, de helft hiervan iy is dan 72°. En laat gegeven zijn dat ei van 61 803 399 delen is; hierbij opgeteld de diameter eo geeft voor de gehele eu 261 803 399, het product van ue met de straal ea, 26 180 339 900 000 000, is gelijk aan het kwadraat van ey; hieruit volgt ey zelf als 161 803 399,*) de koorde van 108°, waarvan de helft 80 901 699 de sinus van 54° is.   En zo zal dan elk van deze beide sneden voortdurend om en om genomen kunnen worden, waarmee ingeschrevenen en sinussen van zeer veel omtrekken te vinden zijn, die als ze niet eindigen op hele minuten, niet in de Canon van sinussen   [ *)  De uitkomst hoeft niet verrassend te zijn: ey = yu = au = R + ei.]

Van deze ingeschrevenen zullen de helften zijn de sinussen van de halve omtrekken, in deze volgorde en op deze manier.

	gr.   min.		Sinus.			gr.   min.		Sin. Compl.
	36.   0		58778525			54.   0		80901699
	18.   0		30901699			72.   0		95105651
	9.   0		15643446			81.   0		98768834
	4.  30		7845909			85.  30		99691733
	2.  15		3925984			87.  45		99922903

Nu moet je er op letten dat de sinus totus in het begin altijd minstens twee of drie cirkels goter genomen moet worden, dan die volgens welke je de tabellen wilt opstellen, wegens de onzekerheid en de verscheidenheid van berekening. Zo is hier de sinus van 2° 15' wel gevonden als 3925984, maar in werkelijkheid is die toch kleiner, namelijk 3925981,   [ *)  G. J. Rheticus, Canon doctrinae triangulorum Lips. 1551: 10 000 000 delen; later, in Opus Palatinum (1596, postuum, ed. Valentinus Otho), fol. b3v: "alium Canonem ... Decades Secundorum ... part. 10 000 000 000", zoals hiervoor genoemd op p.*4.]

[ 12 ]

aangezien de sinus totus wordt gesteld op 100 000 000, zodat dat getal slechts tot zeven cirkels helemaal goed kan zijn.   De oorzaak hiervan zullen we ook laten zien, opdat dit geval niet toevallig lijkt. Daar nameijk de ingeschrevene van 171°, 199383466, afgetrokken van de diameter, overlaat 618634, met slechts zes cijfers, zal dit overblijvende getal, vermenigvuldigd met de straal, ons niet meer dan hoogstens zes helemaal goede cijfers geven. Maar hier zijn er zeven; waardoor veroorzaakt wordt dat het laatste cijfer noodzakelijk onzeker is en afwijkend van de waarheid; als je dus op deze manier verder wilt gaan met tweedeling, was het nodig geweest vanaf het begin de straal met twee of drie cijfers groter te nemen. En door dan zo omtrekken van veelhoeken doormidden te delen, en welke andere dan ook, zal het mogelijk zijn tot in het oneindige verder te gaan, als je maar de grootte van de straal in het begin geschikt neemt.   Volgt het vinden van ingeschrevenen, wanneer uit gegeven koorden van hun omtrekken ook de koorde van de som of van het verschil wordt gegeven. PROPOSITIE  IX.   Als een vierhoek is ingeschreven in een cirkel, zijn de twee rechthoeken van tegenover elkaar liggende zijden, samen gelijk aan de rechthoek van de diagonalen.

UIT Ptolemaeus cap. 9 van lib. 1, die deze aan Hipparchus heeft ontleend. Laat in een cirkel zijn ingeschreven de vierhoek aeio, waarvan de diagonalen zijn ai en oe. Ik zeg dat de rechthoek ai op oe gelijk is aan de rechthoeken van de tegenover­liggende zijden, ae op oi, en ao op ei.

[ 13 ]

Want als de tegenover elkaar liggende zijden gelijk zijn, dan zal inderdaad volgens de Elementen de rechthoek van de diagonalen, gelijk zijn aan de rechthoeken van de tegenover elkaar liggende zijden; want het kwadraat van de basis van een rechte hoek is gelijk aan de kwadraten van de benen. Maar als de tegenover elkaar liggende zijden ongelijk zijn, zoals hier, dan wordt aan de hoek aoe gelijkgesteld een hoek iou. Aangezien dan oiu en oea op dezelfde omtrek staan, zullen deze ook gelijk zijn; en daarom zal driehoek oiu met driehoek oea de hoeken gelijk hebben en de zijden evenredig. Dat wil zeggen: zoals ae tot eo, zo staat ui tot io. Precies evenzo, aangezien volgens de constructie aoe gelijk is aan hoek iou en hoek uoe er gemeenschappelijk in zit, zal ook hoek ioe gelijk zijn aan hoek aou. Maar ook oau en oei zijn op dezelfde omtrek gelijk, en driehoek aou is daarom gelijkvormig met driehoek oei. Dat wil zeggen: zoals ao tot au, zo staat oe tot ei. En daarom zullen gelijk zijn de rechthoek ae op oi aan de rechthoek oe op iu, en de rechthoek ao op ei aan de rechthoek oe op au. Dat wil zeggen dat de twee rechthoeken van tegenover elkaar liggende zijden samen gelijk zullen zijn aan de rechthoek van de diagonalen. Wat te bewijzen was. En door Ptolemaeus worden hieruit twee gevolgtrekkingen afgeleid. GEVOLGTREKKING  I. * 'kata sunthesin'. (* door samenstelling.)   Als twee ingeschrevenen gegeven zijn, wordt gegeven de ingeschrevene die beide onderspant.

ALS namelijk ai een zijde is van een vierkant, van 141421356 deeltjes, zoals waarvan de diameter van de cirkel er 200000000 heeft; en ae de zijde van een zeshoek, 100000000; en gevraagd wordt ei die beide onderspant; te weten die 60 en 90, dat is 150 graden tegelijk onderspannend:

[ 14 ]

Laat de diameter zijn ao, waarvan de ingeschrevenen ae en ai weggaan naar tegengestelde kanten; met deze twee zullen dan de naar het eind van de diameter getrokken eo en io een rechte hoek omvatten. En daarom zal uit de gegeven ae ook gegeven worden eo, 173205081, en uit ai die io, 141421356. Van de vierhoek aeio worden dus de vier zijden gegeven, en daarom ook de twee rechthoeken van de zijden tegenover elkaar, ae op io, en ai op eo, waarvan aangetoond is dat de som gelijk is aan de rechthoek van de diagonalen, ao op ei; deze gedeeld door de diameter ao, 200000000, zal de andere diagonaal ei geven de koorde van 150 graden, 193185165; waarvan de helft is 96592582. Het is de sinus van 75 graden. En met dezelfde procedure bij allemaal, zal de ingeschrevene gegeven worden die twee gegeven ingeschrevenen onderspant; waarmee duidelijk is dat de sinus van zeer veel omtrekken te geven is. GEVOLGTREKKING  II. * 'kata huperochèn'. (* door verschil.)   Als twee ingeschrevenen gegeven zijn, wordt gegeven de ingeschrevene die het verschil van de omtrekken ervan onderspant.

IN deze tekening moet ai weer de zijde van een vierkant zijn, en ae de zijde van een zeshoek in een halve cirkel, aan dezelfde kant van de diameter; en gevraagd wordt ei, de koorde van het verschil van hun omtrekken. In het begin zullen dus, zoals hiervoor, gegeven zijn de overige ingeschrevenen aan de halve cirkel eo, en wel 173205081, en io 141421356. Als je dus de rechthoek van de zijden ae op io, aftrekt van de rechthoek van de diagonalen ai op eo, blijft over de rechthoek ao op ei.

[ 15 ]

Maar nu wordt de diameter ao gegeven als 200000000; dus kan ook gegeven worden de andere zijde ei, 51763809, de ingeschrevene van 30 graden, waarvan de helft 25881904 de sinus is van 15 graden. En dan zo bij andere, volkomen overeenstemmend. Hiermee zijn dus heel veel omtrekken te vinden, door samenstelling en door verschil.   Maar voor absolute vervolmaking van de gehele Canon is dit niet toereikend, als niet ook de sinus van één minuut kan worden geleverd. En hoe bewerkelijk dit is geweest is overal te zien bij degenen die besloten hebben deze kunst niet als bijzaak te behandelen. Maar wij zullen, onze regels volgend, heel vlot leveren wat anderen op een heel bewerkelijke manier najagen. PROPOSITIE  X.   Van een juiste omtrek de bijbehorende ingeschrevene met getallen even dicht te benaderen, als de gegeven verhouding van de diameter tot de hele omtrek is.

DE propositie is de achtendertigste van onze Cyclometricus*), aangezien we namelijk vóór propositie 31 daarvan hadden laten zien dat, als de diameter gesteld is op 20 000 000 en de omtrek op 62 831 853,°), daarmee dan de sinus gegeven wordt van één graad in dezelfde delen; nauwkeurig als de diameter van acht cijfers gesteld wordt de sinus van een halve graad in dezelfde delen, als het dertien cijfers zijn de sinus van één minuut, als het er negentien zijn ook de sinus van één seconde. Met deze dingen daarvan aangenomen zullen we nu de manier en berekening van de tekening uitleggen. Laat dus ons voornemen zijn, de koorde van twee minuten, of de sinus van één minuut te vinden.   [ *)  W. Snellius, Cyclometricus, De circuli dimensione secundum Logistarum abacos ..., Leiden 1621. Prop. XXXVIII (p. 76). De figuur daar op p. 77 geeft hetzelfde (afgezien van het nummer "55.") als die hierna op p. 16.]   [ °)  Op p. 49 (prop. 31): "met diameter 100,00000 is de omtrek ... 31415926½".. Op p. 54: π (Pi) met 34 decimalen nauwkeurig; op p. 17-18: omtrekken van veelhoeken, 80-, 160-, 320-hoek ..., dat is met tienmaal 2^3, 2^4, 2^5 ... 2^23 hoeken. Zie over Snellius en Ludolph van Ceulen: L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences (Utrecht 2007), p. 82-83.]

[ 16 ]

Laat yi de omtrek zijn van 1 minuut en ui de raaklijn, ao gelijk aan de straal; de rechte vanuit a door y die de raaklijn ontmoet in u zal dus de rechte ui afsnijden, die volgens de uiteengezette bepalingen aan de omtrek yi gelijk is*). Laat de sinus van omtrek yi zijn ys, en op ay loodrecht er. Aangezien dus volgens de uiteengezette verhouding van de diameter 20 000 000 000 tot de omtrek 31 415 926 536 de omtrek van één minuut 2 908 882 is, maar een heel klein beetje kleiner, zal dus ui ook zo groot zijn. Dus uit de kwadraten van ai en ui wordt ook gegeven het kwadraat van au 30 000 000 141, en dan daarmee deze verhouding: zoals au 30 000 000 141, tot ui 2 908 882, zo is ae 20 000 000 000 tot er 1 939 254. Het kwadraat hiervan afgetrokken van het kwadraat van ae zal ons geven de rechte ar 19 999 999 906; en van ey afgetrokken zal het geven yr 9 999 999 812. Waaruit de hele ay wordt gegeven als 29 999 999 718. En hieruit volgt wegens gelijkheid de verhouding: zoals ae 20 000 000 000 tot er 1 939 254, zo is ay 29 999 999 718, tot ys 2 908 881.   Ik heb in dit werk overal de ondergrens gevolgd en daarom is deze sinus een eenheid te klein; die moest namelijk zijn 2908882. Als je hem tot tien cijfers goed had willen hebben had je de grens in het begin tot elf cijfers moeten nemen.   En hiermee is dan de gehele sinustabel te voltooien door een samenstelling te maken. Ja zelfs als je een sinus verlangt, terwijl je geen tabellen hebt, voor een gegeven omtrek die niet groter is dan 22° 30' bij een straal van 10000, dan zal deze zelfde weg je die opleveren. En nog veel gemakkelijker als bij een gegeven sinus de bijbehorende omtrek wordt verlangd. Maar ga naar onze Cyclometricus°), waar we dit zorgvuldiger hebben behandeld.   Anderen benaderen de sinus van één minuut met voortdurende tweedeling   [ *)  Dat is een juiste benadering:         De omtrek van 1 minuut is: sin 1' = 0,000 290 888 205, tan 1' = 0,000 290 888 217, arc 1' = 0,000 290 888 209 rad.]   [ °)  Cyclometricus, prop. 33: "Een lijn te geven die een gegeven omtrek zo dicht benadert als men wil.", p. 58 e.v.]

[ 17 ]

en daarna een verhouding. Weer anderen doen het degelijker en eleganter met analytische vergelijkingen; onder wie die Grote Koorleider Viète in zijn antwoord*) op het Probleem van Adrianus Romanus. Ik denk dus dat je daar naartoe moet gaan. Wij hebben gevolgd wat we zelf hadden, als eenvoudiger en geschikt voor gebruik.   En laat dit tot hiertoe gezegd zijn over het bewerkelijke vinden van ingeschrevenen volgens hun eigen regels, maar er zijn ook geschikte bekortingen gevonden voor dit werk, waarmee zeer veel ingeschrevenen of sinussen niet moeilijk te vinden zijn.   [ *)  Franciscus Vieta, Ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, Par. 1595.] PROPOSITIE  XI.   Als twee omtrekken even ver af zijn van een derde deel van de cirkel, zal het verschil van hun ingeschrevenen gelijk zijn aan de ingeschrevene van de afstand.

EEn theorema dat handig is voor het vinden van heel veel sinussen door alleen optellen of aftrekken. Want laat ai een zijde van een gelijkzijdige driehoek zijn; en Vanaf punt i de omtrekken iu en io aan weerskanten gelijk; daarbij ingeschreven ao en au vanaf een uiteinde van de diameter. Ik zeg dat het verschil van de ingeschrevenen ao en au gelijk is aan de ingeschrevene oi of iu. Want laat aan die ao gelijk zijn ay, en verbing i met y; dan hebben de driehoeken aio en aiy, om hoeken die volgens hypothese gelijk zijn, de zijden gelijk, en daarom zijn ze gelijkhoekig, en gelijkzijdig; zodat oi en iy gelijk zijn. Maar oi en iu zijn ook gelijk; en daarom zullen de benen yi en iu gelijk zijn. En de hoek aui staat op een derde van de cirkel; en

[ 18 ]

daarom is yui gelijk aan 2/3 van een rechte hoek; en hoek iyu is daaraan gelijk; en de overblijvende yiu zal daarom ook 2/3 van een rechte hoek vullen. Zodat driehoek yiu gelijkzijdig zal zijn.   Hiermee zullen zelfs bij alle gegeven ingeschrevenen tot 120°, alle overige tot 180° ook te geven zijn door middel van optelling alleen.   Zoals wanneer genomen wordt de ingeschrevene van 108°, 161803399, en gezocht wordt de ingeschrevene van 132°, de afstand van beide tot 120° is 12°. De ingeschrevene hiervan is 20905692, deze opgeteld bij de ingeschrevene van 108° zal de ingeschrevene van 132° geven: 182709092. Waarvan de helft 91354546 de sinus van 66° maakt, als de halve diameter gesteld is van 100000000 deeltjes.   En andersom: als de grotere ingeschrevene is gegeven, en de ingeschrevene van het verschil, zal de ingeschrevene worden gegeven die evenveel kleiner is, als de voorgestelde groter was dan 120°.         Dus   Als twee omtrekken even ver af zijn van een zesde deel van de cirkel, is de sinus van het verschil gelijk aan de sinus van de afstand.   De gevolgtrekking is onmiddelijk duidelijk uit de voorgaande propositie: want wat daar waar is over hele ingeschrevenen, is het hier ook over de helften ervan. De sinus van 45° is 70710678, de sinus van 25° is 25881905, deze samen zullen geven 96592583, wat de sinus is van 75°. Want 15 en 60 maken samen dit getal.   En zo moet dan de Canon van sinussen volgens afzonderlijke minuten door ons opgemaakt en in volgorde verwerkt worden; maar buiten de cirkel moeten ook de Tangens en de Secans worden beschouwd.

[ 19 ]

PROPOSITIE  XII.   De Tangens is een rechte met betrekking tot een omtrek, aan deze rakend in het ene eind, en onderschept door de straal getrokken door het andere eind.

IN Meetkundige zaken wordt een oneindige rechte die aan een cirkelomtrek raakt weliswaar gedefinieerd zonder enige betrekking tot de delen waaraan gewoonlijk wordt afgemeten. Doch hier worden van deze oneindige rechte lijn delen verbonden met bepaalde delen van de omtrek.   Laat in de getoonde tekening de gegeven omtrek zijn eo, en de rechte in e de raaklijn, die de verlengde straal ao door het andere einde ontmoet in s; dan wordt es de tangens genoemd bij de gegeven omtrek eo   Maar die wordt ook de tangens genoemd bij de rest van de omtrek van de halve cirkel; omdat dezelfde es ook de tangens is van de omtrek ori. Laat namelijk de straal ao verlengd worden naar m, dan zal de hoek iao aan de hoek mae, en daarom de omtrek ori aan de omtrek eym gelijk zijn. Terwijl dus se met de verlengde am niet kan samenkomen in de richting van m, omdat mae stomp is, zal toch ma ermee samenkomen in de richting van o, in s; en zo zal es volgens de gestelde definitie ook de tangens zijn van omtrek eym; zoals namelijk de sinus gemeen­schappelijk is voor een grotere en een kleinere omtrek, zo is het ook met de tangens.

[ 20 ]

PROPOSITIE  XIII.   Zoals de sinus van het complement tot de sinus van de gegeven omtrek, zo is de straal tot de tangens van dezelfde gegeven omtrek.

DE zaak is duidelijk in dezelfde tekening; aangezien immers de driehoeken auo en aes gelijkvormig zijn, omdat de straal ae loodrecht staat op zowel ou als op es, geldt: zoals au tot uo, zo is ae tot es. En als de gegeven omtrek oe is, zal de sinus van het complement zijn ol, of daaraan gelijk au.   En zo zal dan met een gegeven canon van sinussen, ook een canon van tangensen met alleen deling voltooid worden. Want laat oe een omtrek zijn van zestig graden, or van dertig. Dan zal gelden: zoals au 50000000 de sinus van omtrek or, tot uo 86202540 de sinus van omtrek oe, zo is de straal, of de sinus totus 100000000, tot 173205080 de tangens van 60 graden. Maar om deze naar behoren op te stellen, bij een schatting van de diameter van zeven cijfers, is het nodig dat de sinustabellen worden opgemaakt met minstens negen cirkels; want zoals we hierboven [<] hebben opgemerkt, bij veelvoudige samenstelling, deling, verdubbeling, doet zich een fout voor in de laatste cijfers die, als je niet oppast, ook voorkomt in die cijfers die je helemaal goed wilt hebben en zonder enig gebrek. Zeker bij de uiterste grenzen van de Canon, bij de laatste graden, zal het nodig zijn dat de sinussen zijn opgemaakt met tot wel elf of twaalf cirkels. En in dit voorbeeld dat we hierboven hebben gezet, zou de tangens naar behoren moeten zijn 173205080 76/100, wat bijna een hele eenheid uitmaakt.

[ 21 ]

PROPOSITIE  XIV.   De straal is middelevenredig tussen de tangens van een omtrek en die van het complement.

LAat in de voorgestelde tekening de gegeven omtrek zijn ey, en de tangens ervan ei; het complement yo, en de tangens ou; dan zullen evenwijdig zijn de zijden ou met ae, en oa met ie, en daarom gelijkvormig zijn de driehoeken auo en aie. Zodat geldt: zoals uo tot oa, zo is ae (dat is oa) tot ei. En hiermee zullen dan ook met alleen deling, als alle tangensen tot de vijf­enveertigste graad gegeven zijn, alle overige grotere gegeven worden bij deling van het kwadraat van de straal daardoor. PROPOSITIE  XV.   Van twee ongelijke omtrekken zijn de tangensen omgekeerd evenredig met de tangensen van hun complementen.

LAat namelijk gegeven zijn tweemaal twee omtrekken ey, yo en el, lo, en de tangensen ervan er, os en ei, ou. Ik zeg: zoals er tot ei, zo is omgekeerd ou tot os, omdat de rechthoek van er op os, en die van ei op ou, namelijk van de tangensen van de omtrekken en de tangensen van de complementen, aan hetzelfde quadraat van de straal gelijk zijn.

[ 22 ]

PROPOSITIE  XVI.   Het dubbele van de tangens van een gegeven omtrek met de tangens van de helft van het complement, is gelijk aan de tangens samengesteld uit de gegeven omtrek en de halve omtrek van het complement ervan.*)

LAat em een grotere gegeven omtrek zijn, en het complement ervan om, hun verschil es, en de tangensen ervan ei, ou en ey. Ik zeg dat de tangens ei gelijk is aan de tangens ou en ey tweemaal genomen. Laat namelijk ay met zichzelf verlengd worden tot r, en loodrecht op tangens ei staan lr, en i met r verbonden worden. Aangezien dan de hoek iay gelijk is aan de hoek iao, wegens tweedeling, en aiy gelijk aan dezelfde, wegens evenwijdigheid van de rechten ao en ei. Dat maakt de driehoek aiy bij de basis ai gelijkhoekig, en daarom ook gelijkbenig in ay en yi; en derhalve is de zijde yi gelijk aan die yr, zodat hoek air recht zal zijn. Maar ook oae is recht; als dus daar afgetrokken wordt de hoek aie en hier oau, zal de overblijvende yir gelijk zijn aan de overblijvende iae, dat is hoek oua. Maar ook de driehoeken aye en ryl hebben gelijke zijden, omdat de hoeken bij de top y, en de rechte hoeken bij e en l, en de zijden ay en yr gelijk zijn. Zodat aou en rli, die de zijden ao en rl gelijk hebben en twee hoeken gelijk, gelijke zijden hebben. En il is dus gelijk aan ou, en le is tweemaal ey. Daarom zal de tangens ei gelijk zijn aan de tangens ou en tweemaal ey, wat te bewijzen was.   En vandaar dan dat zo, als alle tangensen tot 45° gegeven zijn, alle overige door alleen optelling gemaakt zullen worden. Want laat door ons gezocht moeten worden de tangens van 45° 1', als voor de omtrek em, waarvan het complement   [ *)  Deze propositie zegt dus: 2 tan α + tan ½(90 − α) = tan (α + ½(90 − α)). Dit is juist, maar bewezen wordt: "De tangens van een gegeven omtrek is gelijk aan: de tangens van het complement plus tweemaal de tangens van het verschil". Dus: tan α = tan (90 − α) + 2 tan (α − (90 − α)). ]

[ 23 ]

44° 59; staat voor de omtrek om, het verschil van beide voor se 0° 2', de tangens dus hiervan is 58178, en het dubbele 116356; dit opgeteld bij 9941839, de tangens van 44° 59', zal maken 100058195, de tangens van 45° 1', zoals gezocht werd.   Laat ten tweede de omtrek em zijn 75° 3', waarvan de tangens gezocht wordt voor de omtrek em; het complement hiervan is 14°57', om, en het verschil 60° 6' voor ey, de tangens hiervan is 17390533, het dubbele 347810660, opgeteld bij de tangens van 14° 57', zal maken 374512069, de tangens van 75° 3'.   Maar hieruit zullen in omgekeerde volgorde ook grondslagen worden gevonden waaruit een gewenste tangens kan worden gemaakt, en de juiste grootte ervan zal dan daaruit gevonden worden. Ik zal de zaak toelichten met het volgende voorbeeld, zoals wanneer de tangens van 89° 55' wordt gezocht, dat los je het eerste op deze manier op:   [ *)  Eerst de linkerkolom, die gaat op p. 24 tot 4° 40'.]

				Dan van onder naar boven zo Bij straal 10000000000.
—   '				Gr. min.
89. 55 Compl.   5				Tang.   4. 40		816292849 2
89  50 Compl.  10				Tang.  42  40		1632585698 9216968536
89  40 Compl.  20				Tang.  47  20		10849554234 2
89  20 Compl.  40				Tang.  21. 20		21699108468 3905540719
88  40 Compl.  1  20				Tang.  68. 40		25604649187 2
87  20 Compl.  2  40				Tang.  10. 40		51209298374 1883494802

[ 24 ]

84. 40 Compl.  5  20				Tang.  79. 20		53092793176 2
79. 20 Compl. 10  40				Tang.   5. 20		106185586352 933540099
68  40 Compl. 21  20				Tang.  84. 40		107119126451 2
47  20 Compl. 42  40				Tang.   2. 40		214238252902 465757485
Differ. 4  40				Tang.  87. 20		214704010387 2
				Tang.   1. 20		429408020774 232752583
				Tang.  88. 40		429640773357 2
				Tang.   0. 40		859281546714 116360535
				Tang.  89. 20		859397907249 2
				Tang.   0. 20		1718795814498 58178298
				Tang.  89. 40		1718853992796 2
				Tang.   0. 10		3437707985592 29088903
				Tang.  89. 50		3437737074495 2
				Tang.   0.   5		6875474148990 14544421
				Tang.   89. 55		6875488693411

[ 25 ]

De tangens van 89° 55' is dus 6875488693411, zodat langs deze weg geen behoefte is aan grotere sinus­tabellen, of aan een grotere sinus totus, dan volgens welke de canons van sinussen zijn opgesteld. PROPOSITIE  XVII.   De Secans is een rechte met betrekking tot zijn omtrek, vanaf het middelpunt tot de top van de raaklijn ermee verbonden. ZOals in de tekening van Propositie 14. Als ey de gegeven omtrek is, dan zal ei de tangens ervan zijn, en ai de secnas. Zo is ou de tangens van omtrek oy, en au de secans. PROPOSITIE  XVIII.   De straal is tussen de sinus van een gegeven omtrek en de secans van het complement de middelevenredige.

IN dezelfde tekening, met de gegeven omtrek ye, verhoudt de sinus yr zich tot de straal ay, zoals straal ao tot de secans van het complement au. De driehoeken ary en aou zijn immers volgens definities en constructie gelijkvormig. PROPOSITIE  XIX.   De secansen van omtrekken zijn omgekeerd evenredig met de sinussen van hun complementen.

DIt is duidelijk uit het vooropgestelde: laat de omtrekken zijn, in de tekening van Propositie 15, ey en el; wanneer nu de rechthoek op secans ar en sinus ny van het comlement, gelijk is aan het vierkant van de straal, en die op ai en ml daaraan gelijk is, zal gelden: zoals ml tot ny zo is omgekeerd de secans ar tot de secans ai.

[ 26 ]

PROPOSITIE  XX.   Zoals de sinus van een omtrek tot de tangens ervan, zo is de tangens van het complement tot de secans van hetzelfde complement.

DE rechthoek namelijk, bevat door de sinus en de secans van het complement, is gelijk aan het vierkant van de straal; volgens de voorgaande propositie. Maar daaraan is ook gelijk de rechthoek op de tangens, en de tangens van het complement ervan. En daarom zijn de lijnen zelf omgekeerd evenredig, namelijk: zoals de sinus tot de tangens van de gegeven omtrek, zo is de tangens van het complement, tot de secans van hetzelfde complement; dat wil zeggen in de bij­geplaatste tekening, als oy de gegeven omtrek is, geldt: zoals ly tot ou, zo is ei tot ia.   Of: zoals ly tot ou; zo is ay, dat is ao, tot au, en zo is ei tot ia, en dus eveneens: zoals ly tot ou, zo is ei tot ia. PROPOSITIE  XXI.   De secans van de grotere omtrek is gelijk aan de tangens van het complement plus het dubbele van de tangens van het verschil, en de tangens van de helft van het complement.

LAAT in de voorgestelde tekening de gegeven omtrek zijn me, en het complement ervan mo, de secans ai, de tangens ie, de tangens van het complement ou. Ik zeg dat de lijn ai gelijk is aan de tangens ou plus de dubbele tangens van het verschil se, tussen de gegeven omtrek en het

[ 27 ]

complement ervan, namelijk ey, en de tangens van de helft van het complement om, namelijk en. Want aangezien in Propositie 16 is aangetoond, dat de lijnen il en ou gelijk zijn, en ook ly en ye, te weten de tangens van de helft van het complement. Laat gesteld worden dat omtrek eg is gelijk aan de helft van het complement oam, dan is dus en gelijk aan die ey, de tangens namelijk van omtrek eg. Omdat nu ly en ye samen uitmaken het dubbele van de tangens van omtrek es, en en gelijk is aan de tangens van de helft van het complement oam, zeg ik dat de hele in gelijk is aan de hele ia. Terwijl immers in de driehoek ain, de hoek bij i het complement is van de hoek bij a, wegens evenwijdigheid van de lijnen ie en oa, en de hoek bij e recht is, kan neergelaten worden de loodlijn it; nu is hoek ati recht en ait zal het complement zijn van hoek iat, hoek ean is namelijk toegevoegd, die de helft is van die oai. En daarom zal ait ook de helft zijn van oau, de hele ain doormidden gedeeld, en tin gelijk aan tia, complement van de hoek bij n. Daarom zullen in driehoek ain de hoeken gelijk zijn, en zullen ze ook de benen ai en in gelijk hebben, en zal het een gelijkbenige driehoek zijn, wat te bewijzen was.   Laat een voorbeeld zijn als volgt: gegeven de tangens van de omtrek om (te weten van het complement vande grotere omtrek me, waarvan de secans gevraagd wordt) 25° 30', die is 4769755, en de tangens van het verschil se, 39° 0', is 8097840, en het dubbele ervan 16195680; de tangens van de helft van het complement 12° 45' is 2262769. Deze drie getallen opgeteld maken de som 23228204, voor de tangens van omtrek me, 64 ° 30', die van de ware slechts een eenheid verschilt, waaruit blijkt datde tangensen met een grotere straal genomen moeten worden opdat er in de voorgaande niet een fout van de laatste cijfers komt.

[ 28 ]

PROPOSITIE  XXII.   De secans van een omtrek, met de tangens, is gelijk aan de tangens van de gegeven omtrek vermeerderd met de helft van het complement.

LAAT namelijk in deze tekening de gegeven omtrek zijn es, de tangens ey, het complement os, doormidden gedeeld in m. Ik zeg dat de tangens van omtrek em gelijk is aan de secans ay van de gegeven omtrek en de tangens ye van dezelfde. Aangezien immers oam en mas, hoeken die op gelijke omtrekken staan, gelijk zijn en wegens evenwijdigheid hoek aiy aan hoek oam, dat is aan hoek may; zal de driehoek ayi daarom gelijkbenig zijn, en zullen ay en yi gelijk zijn. Dus is de hele ei gelijk aan de secans ay en de tangens ye.   Je ziet dus dat op deze manier uit een tangens en de tangens van de helft van het complement, met eenvoudig optellen gemaakt worden één secans en één tangens van andere omtrekken.   Laat de gegeven omtrek ey zijn 15°, zijn tangens is 26794919. Het complement van de helft 37° 30', de tangens ou 76732699. Tang. 37 30 76732699 Tang. 15 26794919 Secans 15 103527618 26794919 Tang. 52 30 130322537     Want als je beide tangensen optelt zal gemaakt worden de secans van de gegeven omtrek ay. Omdat ay en iy gelijk zijn volgens Prop. 16.   Als je nog eens optelt, zal gegeven worden de tangens ei van de omtrek gemaakt van de gegeven omtrek en de helft van het complement.   Het is een grote zaak, en zeer noodzakelijk voor de opstellers van tabellen van de Canon. Langss deze weg immers

[ 29 ]

kan bij gegeven tangensen in volgorde tot 45° met afzonderlijke minuten, verder een hele tabel van tangensen, en secansen, met alleen optelling worden voltooid.   Maar ook andersom: bij gegeven secans of tangens van een of andere omtrek groter dan 45°, zul je in omgekeerde volgorde grondslagen vinden waaruit die door synthese zijn samen te stellen, en zo zul je de nauwkeurigheid van de ermee verbonden rechten in de Canons kunnen nagaan. Waarvan we een dergelijk voorbeeld hebben gegeven in Propositie 16, naar analogie waarvan je dit ook zonder moeite zult kunnen verklaren. Het had hier ook bijgezet kunnen worden. PROPOSITIE  XXIII.   De secans van een omtrek is gelijk aan de tangens ervan, en de tangens van de helft van het complement.

LAAT in deze tekening gegeven zijn de omtrek ea, de secans ry ervan, de tangens ya; en het halve complement van boog ei of boog am, en de tangens daarvan an. Ik zeg dat de lijn ry gelijk is aan de lijn yn: aangezien immers irm een cirkelkwadrant is, en de hoek bij r recht, zal ire zijn het complement van hoek yrm, en gelijk aan hoek arm volgens de opbouw. Evenzo, als een loodlijn is getrokken op n, zal hoek rns gelijk zijn aan hoek ire, of arn wegens evenwijdigheid van de lijnen ra en sn. Dus als je aan beide kanten van de hoeken irn en yns, de gelijke hoeken ire en snr aftrekt, zullen de overblijvende yrn en ynr gelijk zijn, en daarom is driehoek ryn gelijkbenig, en de secans ry gelijk aan de tangens ya en de tangens an van het halve complement, wat te bewijzen was.   Hieruit kun je nu met een gemakkelijke berekening uit gegeven tangensen een hele tabel

[ 30 ]

van secansen afleiden door eenvoudig twee tangensen op te tellen; laat ik een enkel voorbeeld ervan voor ogen stellen. Laat gevonden moeten worden de secans van 25 graden, als de straal gesteld is van 10 000 000 deeltjes, dan zoek ik in de tangens­tabel de tangens daarvan, 4663081, daarna de tangens van het halve complement 32° 30', 6370702, waarmee, als deze bij de vorige wordt opgeteld, gemaakt wordt 11033783, de secans van de voorgestelde boog die we zochten.   Maar toch, zoals over de bouw, samenstelling en oorsprong van deze Canons door ons tot hiertoe uitvoerig is gesproken, nu is er weer het enige te zeggen over de volgorde ervan. Regiomontanus, die als eerste van allen heeft ondernomen een Canon van sinussen te berekenen tot 60 000 000, daarna tot 10 000 000*), heeft slechts één enkele Canon van sinussen opgesteld, zoals Hipparchus en Ptolemaeus hadden gedaan met de koorden [<]. Toen daarna Canons van Tangensen en Secansen in tabellen en een opsomming waren gebracht is aan elk afzonderlijk zijn plaats toegekend, zoals eerder aan de sinussen. Daarna heeft geschiktheid en nut geleerd alle in drie kolommen met elkaar te verbinden, door tot 45 graden op de linker pagina naar beneden te gaan, en dan in omgekeerde volgorde de overige 45 graden naar boven te gaan op de rechter pagina. Niemand vóór die grote Joachim Rheticus houd ik voor de bedenker van de geschiktheid hiervan. En verder, om de methode van onze Canons wat nauwkeuriger uit te leggen, die is als volgt te bevatten. Terwijl de tabellen slechts zijn opgemaakt tot graden en minuten, en het soms nodig kan worden, dat voor de nauwkeurigheid ook verder gegaan wordt tot de deeltjes van minuten die seconden heten: als je in dit geval sinussen, tangensen en secansen te weten wilt komen, zul je er nooit een vinden die met seconden overeenkomt, als je niet een evenredig deel tussen kleinere en   [ *)  Eerst 60-tallig, daarna 10-tallig, zie bij Prop. 5. Regiomontanus, De triangulis planis et sphaericis libri quinque, Basel 1561, staat eerst de tabel: 'Tabula sinuum ad 60000000 partes', daarna: 'Tabula Sinuum ad 10000000 particulas computata'.]

[ 31 ]

grotere termen die in de tabellen staan, voor deze deeltjes van seconden het juiste verschil onderzoekt, en dit voor de gegeven omtrek zodanig toepast op de in de tabel gevonden getallen, dat het de sinus, tangens of secans die je zocht naar behoren oplevert. Maar hoe dit makkelijker begrepen kan worden, zullen we uiteenzetten in de volgende propositie. PROPOSITIE  XXIV.   Van een gegeven omtrek de sinus, tangens, of secans te vinden in tabellen. En andersom: Bij een gegeven sinus, tangens of secans de bijbehorende omtrek te vinden.

AANGEZIEN namelijk in onze Canons de sinussen, tangensen en secansen worden vermeld volgens hun omtrekken, en andersom de omtrekken zelf volgens hun sinussen tangensen en secansen, moet uit de ene de andere te vinden zijn. En wel ten eerste, laat voorgenomen zijn uit een gegeven omtrek een bijbeschreven rechte te vinden, zoals de sinus van een hoek of van een omtrek van 36° 40'. Bovenaan de tabel zoek je dus het aantal graden, op de linker pagina, en in de kantlijn afdalend de minuten, en op de plaats van samenkomst vind je het getal 59176, de sinus van de gevraagd omtrek, of van de hoek die er op staat. Zo gaat het ook bij tangensen en secansen.   En als een omtrek groter dan 45° wordt voorgesteld, neem je het aantal graden op de rechter pagina en zoek je daar het aantal minuten, waarmee zoals tevoren de sinus zal overeenkomen.   Maar als bij de voorgestelde omtrek ook seconden staan, moet de daarbij behorende sinus gezocht worden met een evenredig deel. Zoals wanneer de sinus van 36° 40' 30" wordt gevraagd, die wordt hier niet echt gegeven; maar wel de sinus van 36° 40',

[ 32 ]

59716, de dichtstbijzijnde kleinere, en de sinus van 36° 41', 59739, de dichtst­bijzijnde grotere; het verschil is 24*); neem daarvan de verhouding: zoals 1 minuut, of 60 seconden, tot het verschil 24, zo is 30 seconden tot 12; en als dit getal wordt opgeteld bij de kleinere zal het geven 59728, de gewenste sinus bij deze straal van 100 000. De in aanhoudende volgorde ingeschreven rechten zijn namelijk zo bij elkaar geplaatst, dat hun verschil, terwijl ze met afzonderlijke minuten zijn gescheiden, de seconden naar behoren aangeeft, tot een straal van 10 000 000. Maar ik ga er nu aan voorbij dit verder uit te werken.   Als bij een gegeven sinus, of tangens, of secans, de omtrek verlangd wordt die daarbij hoort, kan er geen twijfel zijn, noch iets onduidelijks, voor iemand die het voorgaande goed begrepen heeft, hoe dit gedaan wordt met een dergelijke analogie met omgekeerde termen. E I N D E   van  het   E E R S T E   B O E K.   [ *)  Canon, p. 148:  59715.86, resp. 59739.19.]

[ 33 ]

WILLEBRORD  SNELLIUS VAN  ROYEN,  R.zn O V E R   C O N S T R U C T I E EN  MAAKSEL  van de  CANON  van Sinussen, vollediger en laatste commentaar.

DE sinus van één minuut vinden sommigen zoals Regiomontanus en Rheticus door aanhoudende tweedeling van omtrekken. Want als uit de koorde van 60 graden, die de zijde is van een zeshoek, en de koorde van 72°, die de zijde van een vijfhoek is; volgens propos. 9, Gevolgtrekking 2 [<] wordt gevonden de koorde van het verschil, dat is van 12 graden, wordt ook volgens prop. 7 [<] door tweedeling gevonden de koorde van 6°, en ook nog de koorde van 3° en hieruit van 1° 30'. Zeker en onbetwijfelbaar is wel, dat twee koorden van zes graden, groter zijn dan de koorde van 12 graden. Van een driehoek zijn immers twee zijden, welke dan ook, groter dan de overige zijde. Maar hoe langer je doorgaat, hoe dichter deze termen toch bij elkaar komen, bij de gestelde diameter; en als je een veel grotere straal zou nemen, dan zou het verschil terstond zichtbaar worden. Hetzelfde oordeel moet er zijn over de helften van ingeschrevenen, dat wil zeggen over de sinussen van de halve omtrekken; met een gesteld voorbeeld zal ik het uitleggen: Stel namelijk de sinus totus op 1 00000 00000 00000,

[ 34 ]

APPENDIX  DE  CONSTRUCT.

Gr.  '   "   dan worden de Sinussen   6. 0. 0 10452.84632.67653   3 0 0 5233.59562.42944   1 30 0 2617.69483.07873 45 0 1308.95955.71344 22 30 654.49379.67352 11 15 327.24865.06526 5 37 1/2 163.62454.43624 2 48 3/4 81.81229.95607 1 24 3/8 40.90615.32028 42 3/16 20.45307.70292   In deze lijst*) zie je dat de sinus van 3° tweemaal genomen groter is dan de sinus van 6°,; en dat tweemaal de sinus van 1° 30' groter is dan de sinus van 3°, en zo opnieuw bij de overige; maar toch, hoe verder je bent voortgegaan, des te minder zijn die termen van elkaar af. Zo is tweemaal de sinus van 0° 0' 42 3/16 40.90615.40584, en de sinus van 0° 1' 24 3/8 " is 40.90615.32028. Je ziet dus dat, als je de straal neemt van slechts tien cijfers, er dan geen fout wordt gemaakt, als je de helft van deze sinus neemt voor die vorige, en andersom; derhalve zal diezelfde sinus van de sinussen van omtrekken kleiner dan de dubbele, met hun omtrekken alleen evenredig verschillen volgens deze straal 1.00000.00000. En daarom, als we zeggen: zoals 42 3/16 seconden tot 60 seconden, zo is de sinus 20.45307.70292, tot 29.08882.06637, dan zou dit de sinus zijn van één minuut, maar zoals we hebben vermald [<] moeten de vijf cijfers aan het eind worden geschrapt, zodat de overige 2908882 de juiste sinus zijn als de straal van 10 000 000 000 delen is gesteld. Derhalve, om een canon vast te stellen waarvan de sinus totus van acht cijfers is, is dit al voldoende; want zoals we hiervoor al hebben vermeld [<] moet deze wegens de veelvuldige berekening in het begin wat groter zijn, opdat bij voltooid werk, met één of   [ *)  De eerste vier zijn terug te vinden bij Rheticus: Opus Palatinum (ed. Otho, 1596), p. 78, onder 'Perpendicul.' (met bij 1° 30' als laatste cijfer 2, i.p.v. 3). En de eerste vijf (met 1° 30' zoals hier) in Thesaurus mathematicus: sive: canon sinuum ... (ed. Pitiscus), Ff. 1613.]

[ 35 ]

CANONIS  SINUUM  FACILIORI.

nog een cijfer een het eind weggelaten, de overige getallen goed zijn en naar behoren.   Aan anderen is ook de Algebraïsche analyse bevallen, zoals aan de zeergeleerde heren François Viète en Adrianus Romanus. Want hoewel de sinus van 3 graden Meetkundig kan worden gevonden, zoals immers hiervoor al is aangetoond, zou een omtrek toch niet Meetkundig in drieën kunnen worden gedeeld om de sinus van één graad te krijgen, of ook in vijven gedeeld. De Algebra is te hulp geroepen. en met de samenstelling van propositie 9 is het zover gekomen, dat ze de uitspraak deden: Als de sinus totus wordt gesteld op 1 deel, dan zijn drie ingeschrevenen van een derde van een omtrek, tot de derde macht ervan, gelijk aan de ingeschrevene van de drievoudige omtrek; of in algebraïsche notatie op deze manier: 3l−1c.*) Zodat als de zijde van de zeshoek gegeven is als 1, en gezocht wordt de koorde van driemaal de omtrek (die in dit geval de diameter zelf is), dan geldt: driemaal de eenheid is 3, de derde macht ervan is 1, dit getal afgetrokken van het vorige laat over 2, de diameter zelf, zoals het behoorde. Laat een ander voorbeeld zijn: gegeven de zijde van een ingeschreven vierkant als √2, het drievoudige ervan is √18, de derde macht ervan is √8, het verschil van deze twee is √2, zoals het behoorde; want de zijde van een vierkant onderspant zowel een kwadrant als driekwart kwadrant van de omtrek.   Maar laat een getal door ons genomen worden uit tabellen en bij de koorde van 4 graden is dat     697990 10000000   bij een diameter van 2 delen, het drievoud ervan     2093970 10000000 , derde macht ervan           3401 10000000 ,  die daarvan afgetrokken, blijft     2090569 10000000 voor de koorde van een omtrek van 12°, en daarom zou 1045284 de sinus van 6° zijn, die in werkelijkheid is 1045285; wat komt omdat ik in het begin de getallen te beperkt heb genomen, zodat het niet verwonderlijk is dat het laatste cijfer onzeker is.   Maar dit is niet zozeer wat gezocht wordt, als wel het omgekeerde ervan: Hoe uit een gegeven koorde gevonden wordt de koorde van   [ *)  Ad angularium sectionum analyticen theoremata (ed. Alexander Anderson), Par. 1615; Engl. 3 l − 1 c   is te lezen als: 3 × lijn − 1 × cubus. In genoemd werk, p. 37: 3 N − 1 C   of (p. 26):  1 C − 3 N.]

[ 36 ]

een derde van de omtrek. Hier zou die vergelijking nu in analyse moeten worden genomen, wat niet voor iedereen even voorhanden ligt. De plaats ervan zal ons dus geleverd worden met de dobbelsteen van de regel van valse posities*), die ook bij het ontwarren van de moeilijkste vergelijkingen door de grote mannen met veel profijt is toegepast, als iets geheimzinnigs, daarvan ben ik me heel goed bewust. Maar ditzelfde heeft ook Pitiscus heel passend vermeld in zijn Trigonometrie°). Maar laten we niet langer uitweiden; daar de ingeschrevene van een derde van een omtrek iets groter is dan een derde van de ingeschrevene van de drievoudige omtrek, kan ik eerst een derde van de gegeven omtrek nemen, of liever een getal dat een klein beetje groter is dan een derde. Laat dus gegeven zijn de ingeschrevene van 6°, 10467191/100000000 en gezocht worden de ingeschrevene van 2°. Die wordt door ons verzonnen als 3491000/100000000 waarbij het immers niet nodig is, alle significante getallen te nemen als je voor het eerst probeert. De derde macht hiervan is 4254/100000000 die, afgetrokken van het drievoud van de verzonnen ingeschrevene van twee graden 10473000/100000000 over zal laten 10468746/100000000 voor de ingeschrevene van 6°. Deze was echter in werkelijkheid 10467191/100000000, dus het teveel van de verzonnen positie is 15555/100000000.   Laat daarom een kleiner getal worden genomen voor de ingeschrevene van 2°, 3490000/100000000, waarvan de derde macht 4251/100000000 afgetrokken van het drievoudige van de ingeschrevene zal overlaten 10465749/100000000, kleiner dan de ware ingeschrevene van 6°, met 1442/100000000. De formule#) zal zijn als volgt:

3491000		1555	vermenigvuldigd:	5426950000
3490000		1442		5034022000
		2997		10460972000

omdat de tekens verschillend zijn komt er optelling, dus 10460972000 gedeeld door 2997 zal geven 3490481/100000000 voor de ingeschrevene van twee graden; die volgens grotere tabellen nauwkeurig wordt gegeven als 349048128/10000000000. Ziehier dus in acht cijfers een constante waarheid.   [ *)  Regula falsi. Zie hier bij Simon Stevin, Wweghconst, p. 66: "T'valsche wort toeghelaten, op datmen t'waerachtighe daer duer leere".]   [ °)  Barth. Pitiscus, Trigonometria, Augsburg 1600 (met een 'Tabulae sinuum tangentium et secantium' vanaf p.123); ed. Frankfurt 1612 met 'Regula falsi' op p. 50, bij hetzelfde probleem als hier: "Gegeven de koorde van een boog, te vinden de koorde van een derde deel van die boog", en meer in App. lib.5, p. 177.]   [ #)  Het figuurtje met + en − en × werd vaker gebruikt bij de 'Regula falsi', zie: Marjolein Kool, Die conste vanden getale (1999), p. 170, bij 4.4.1, Regel van 'valse positie'.]

[ 37 ]

En als je het nog eens op dezelfde manier wilt proberen, zul je met deze vondst tot 13 of 14 cijfers komen. Het zelfde gaat het bij andere. Zekerheid zal worden bewezen door terugkeer naar de samenstelling volgens gevolgtrekking 1 van prop. 9. Of naturrlijk zoals we zelf al hebben gedaan met de derde macht afgetrokken van het drievoud van de zijde [<]; die dan nauwkeurig de ingeschrevene van de drievoudige omtrek zal geven.   Voor de vijfdeling van een gegeven omtrek, dat wil zeggen dat bij een gegeven ingeschrevene van een gegeven omtrek, wordt gevonden de ingeschrevene die een vijfde deel van dezelfde omtrek onderspant, zul je uit dezelfde gevolgtrekking van propositie 9, deze gelijkheid vinden: als de halve diameter van 1 deel is gesteld, dan is 5l−5c + lβ gelijk aan de vijfvoudige ingeschrevene*). Als namelijk bij het vijfvoud van de gegeven ingeschrevene wordt opgeteld de vijfde macht ervan en deze som wordt verminderd met vijfmaal de derde macht van dezelfde ingeschrevene, zal die zijn het vereiste getal voor de vijfvoudige ingeschrevene. Een voorbeeld kan als volgt zijn: de koorde van 60° is 1, gevraagd wordt de koorde van de vijfvoudige omtrek namelijk 300°. Het vijfvoud van de gegeven ingeschrevene is 5, vermeerderd met de vijfde macht 1 ervan is 6, daarvan afgetrokken vijf derde machten van dezelfde geeft 1, voor de koorde van 300°, wat geheel en al waar is, omdat de ingeschrevene bij beide omtrekken behoort.   Maar laat er ook een ander voorbeeld zijn: de koorde van 12° is 2090569/100000000 en gezocht wordt de koorde van de vijfvoudige omtrek, namelijk van 60°. De derde macht van het gegeven getal is 91370/100000000, het vijfvoud ervan 456850/100000000. Vervolgens zal het vijfvoud van de ingeschrevene zelf 10452845/100000000, opgeteld bij de vijfde macht ervan, namelijk 3995/100000000, geven 10456840/100000000, waarvan na aftrekking van het vijfvoud van de derde macht zal overblijven 9999991/100000000 voor de ingeschrevene van 60°, waarbij je ziet dat het laatste cijfer onzeker is wegens de verscheidenhed van het werk; het was dus nodig geweest de straal met een of meer cijfers   [ *)  Zie Anderson 1615 (p. 35, noot), p. 26 en 37:   5 N − 5 C + 1 QC. 5l − 5c + 1β   is te lezen als: 5 × lijn − 5 × cubus + 1 × quadrato-cubus.]

[ 38 ]

groter te nemen. Want de ingeschrevene van 60° had gelijk moeten zijn aan de straal.   No wordt daarentegen veeleer dit gevraagd: hoe bij een gegeven ingeschrevene van de vijfvoudige omtrek, gevonden wordt de ingeschreven koorde van een vijfde van de omtrek. En dit moet je proberen met dezelfde dobbelsteen die we bij de driedeling hebben gebruikt. Laat namelijk een omtrek voorgesteld worden van 85° 20', waarvan de ingeschrevene gegeven wordt als 135546.39982/100000.00000 en gevraagd wordt de ingeschrevene van 17° 4', dat is een vijfde deel van de gegeven omtrek. We nemen dan een bovengrens, groter dan het vijfde deel ervan, en nu wel voldoende krap, opdat voor altijd kan vaststaan hoeveel we op deze manier opschieten met deze evenredigheid. En dan verzinnen we ten eerste dat de koorde van het vijfde deel is 29600000/100000000, de derde macht ervan is 2593433/100000000, het vijfvoud hiervan 12967168/100000000. De vijfde macht van dezelfde zijde zal zijn 227226/100000000 en opgeteld bij het vijfvoud van de zijde 148000000/100000000 maakt 148227226/100000000. Daarvan afgetrokken het boven­genoemde vijfvoud van de derde macht blijft over 135260058/100000000, voor de ingeschreven koorde van de vijfvoudige omtrek. Maar deze was gegeven als 135546400/100000000; de gevondene komt dus hierbij 286342/100000000 tekort.   En ten tweede wordt dezelfde ingeschreven koorde van een vijfde van de omtrek genomen als 29700000/100000000, waarvan de derde macht zal zijn 26198073/100000000 en het vijfvoud ervan 13099036/100000000. En van dezelfde zijde is de vijfde macht 231090/100000000, die opgeteld bij het vijfvoud van de zijde 148500000/100000000 maakt 148731090/100000000.*) Waarvan het teveel boven de ingeschrevene van de vijfvoudige omtrek volgens de hypothese gegeven in het begin, is 85654/100000000. Volgens de regel van valse posities zal de formule zijn:

			vermenigvuldigd
29600000		286342.	8504347400000
29700000		85654.	2535358400000
		371996.	11039705800000

[ *)  Hier ontbreekt: "Ervan af 5× de 3e macht geeft 135632054/100000000".]

[ 39 ]

En als hiermee de deling is uitgevoerd*) zal gegeven worden de koorde, ingeschreven bij het vijfde deel, als 29676947/100000000, en deze zou moeten zijn 29676954/100000000. Zodat nu uit drie goede cijfers zes onbedorven cijfers zijn gevonden; als je verder zou gaan, zou het aantal goede cijfers hiervan nog eens verdubbeld worden, namelijk bij minstens twaalf cijfers voor de straal; probeer het verder zelf maar als je er zin in hebt. Vervolgens is nu verder door voortdurende tweedeling een ingeschreve te vinden die twee minuten onderspant, met de voorschriften die hierboven door ons uiteengezet zijn.   Maar neem ook dit nieuwe en zeer aangename verhaal op, zodat je sinussen en zijden van veelhoeken, welke dan ook, langs de weg van alleen optelling kunt vinden; en wel op grond van toevalsgetallen. Ikzelf was toen ik hierop terechtkwam met iets anders bezig, hoe uit enkel sinussen, zuiver door optelling, een aantal tangensen en secansen kunnen worden gebeiteld, maar     ... een grote kruik was toch het plan, waarom geeft 't draaiend wiel een kleine pot? °)   Inderdaad, de inval bevalt me zeer, en er is volstrekt geen reden om te denken dat deze je niet kan bevallen. Daarom, besteed er aandacht aan, en geniet van dit zo handige gemak, zelfs op de wijde zee, of in de verst verwijderde verlatenheid als de zaak erom vraagt; daar die vermenigvuldiging zelfs voor een kind altijd te doen kan zijn.   [ *)  Zie de uitleg onderaan p. 36.]   [ °)  Horatius, Ars Poetica, vs 21.  Joost van den Vondel, Quintus Horatius Flaccus Lierzangen en Dichtkunst, Amst. 1654, p. 228, p. 229 vertaling: "Ghy hebt een groote kruick beginnen te draeien; waerom komt het op een klein pottken uit?".]

[ 40 ]

APPENDIX  DE  CONSTRUCT.  CANONIS  SINUUM  FACILIORI.

PROPOSITIE  I.   Sinussen van omtrekken die met een gelijke verschilboog afnemen van een kwadrant, zijn in volgorde evenredig met de verschillen van de sinussen, die behoren bij omtrekken die met dezelfde verschilboog toenemen, waarvan de eerste de helft is van die verschilboog.

dat wil zeggen zoals de sinus totus tot de sinus van de halve verschilboog in dezelfde tekening, zo is cp tot pm, en zo is ps tot pn. En daarom door samenstelling: zoals ia tot am, zo is cs tot mn. Maar es is het complement van de verschilboog is, de sinus ervan vs, waarvan het dubbele cs is, en mn is het verschil tussen am, de sinus van de halve verschilboog bi, en de sinus van de anderhalve bs, waarbij hoort de sinus an.   Niet anders zul je het overige bewijzen, namelijk: zoals ia is tot am, zo is uc [ul] tot nr. GEVOLGTREKKING.         Dus:   Hiermee zijn bij een aantal gegeven sinussen, die met een gelijk interval afnemen van een kwadrant, en de sinus van de helft van het verschil, met alleen vermenivuldiging en optelling sinussen te vinden, die betrekking hebben op de plaatsen tussen de genoemde verschillen.   Want laat gegeven zijn de sinussen van de gestelde omtrekken gr. sinus dubbel 84 9945219. 19890438. 78 9781476. 19562952. 72 9510565. 19021130. 66 9135455. 18270910. 60 8660254. 17320508.   De gegeven omtrekken nemen voortdurend toe met 6°, waarvan de helft is 3°, en hiervan is de sinus 523360.   Er moet dus gelden: zoals de sinus totus 10000000, is tot de sinus van het halve verschil 3°, 523360, Zo is tweemaal de sinus van 84° 19890438, tot 1040985 9/10  en tweemaal de sinus van 78° 19562952, tot 1023846 6/10  en tweemaal de sinus van 72° 19021130, tot 995489 8/10  en tweemaal de sinus van 66° 18270910, tot 956226 3/10  en tweemaal de sinus van 60° 17320508, tot 906486 1/10

Dus:

Van omtrekken, en hoeken in het middelpunt, die daarop staan, zijn de sinussen, tangensen, en secansen dezelfde. PROPOSITIE  II.   Als van een rechthoekige driehoek de basis van de rechte hoek de straal van een cirkel wordt, zullen de benen de sinussen zijn van de hoeken er tegenover.

ZOALS je hier ziet, als met middelpunt a en het interval van de hypotenusa ai de omtrek io wordt beschreven, dan zal ei de sinus zijn van de scherpe hoek iao. Als uit de scherpe hoek i de omtrek au beschreven wordt, dan zal ae worden de sinus van de hoek aie. De zaak is duidelijk uit de definitie van de sinus. PROPOSITIE  III.

Dus:

In een rechthoekige driehoek, met gegeven basis van de rechte hoek, en een aanliggende hoek, wordt gegeven het been er tegenover, en andersom: bij gegeven basis en been wordt gegeven de hoek hier tegenover.

WANT laat gegeven zijn de driehoek aei in de voorgaande tekening, en de basis ai van de rechte hoek als 17, het been ie als 8, en het andere ae daarom 15; wanneer dus ai de straal zal zijn, zal ei worden de sinus van omtrek io, of hoek iao. En daarom, aangezien de straal ai 17 is, wordt dan ei 8, wegens gelijkheid, de sinus van de hoek bij a. Als dus ai wordt gesteld van 100000 delen, dan zou ei van 47059 zijn, namelijk de sinus van 28° 4' 21". Op dezelfde manier kun je concluderen de grootte van de hoek aie; want zoals 17 tot 15, zo is 100000 tot de sinus 88235, waarvoor in de tabellen wordt gegeven 61° 55' 39". En als beide

gelijk zijn aan de hoek iea op de omtrek die op de dubbele basis staat; en aor gelijk aan hoek aie. De halve zijden zijn dus als sinussen, en de hele zijn evenredig met de halve; en daarom geldt: zoals de zijde ae tot de zijde ai, zo is ay, de sinus van hoek aoy of aie tot de sinus van hoek aos of aei, wat te bewijzen was. Niet heel anders zal het bewijs zijn bij een rechthoekige en een stomphoekige driehoek. PROPOSITIE  V.

Dus:

Bij gegeven hoeken wordt gegeven de verhouding van de zijden.

LAAT de gegeven hoeken zijn a 75° 15', e 49° 30', i 55° 15'. De zijden zullen deze verhouding krijgen: ei 9670459, ai 7604060, ae 8216469, namelijk dezelfde als de sinussen van de overstaande hoeken. PROPOSITIE.  VI.

En:

Bij gegeven zijde en twee hoeken, zullen de overige zijden gegeven worden.

LAAT in dezelfde tekening de zijde ae zijn van 4103 tienvoet [decempeda], en de hoek e 50° 24' en a 97° 11',*)  en gevraagd worden de zijden ai ei. Daar de drie hoeken van een driehoek gelijk zijn aan twee rechte, zal uit de gegeven a en e ook de derde bij i gegeven worden: 32° 25'. En daarom zal volgens de voorgaande propositie gelden: zoals de sinus van hoek i 32° 25', 5360724, tot de overstaande zijde ae van 4103 tienvoet, zo is de sinus van hoek e 50° 24', 7705132, tot de overstaande zijde   [ *)  Deze getallen staan in: W. Snellius, Eratosthenes Batavus (Leiden 1617), p. 169, "I Problema. Triangulum AES, Leida Haga Gouda", met slechts één verschil: 50° 23' (figuur p. 168, detail). 4103 tienvoeten (15,5 km): afstand Leiden - Den Haag (p. 194: torens). De lijnen lopen rechtsboven naar Alkmaar, linksonder naar Rotterdam.]

ai van 5898 tienvoet; en zo is de sinus van hoek a 97° 11', 9921511, tot de overstaande zijde ei van 7594 tienvoet. Daar dus ae, de afstand tussen Leiden en Den Haag, 4103 Rijnlandse twaalfvoet is, zal de afstand van Leiden tot Gouda 5898 twaalfvoet bedragen, van Den Haag tot Gouda 7594.   Hetzelfde zou op steeds weer andere manieren kunnen worden afgedaan; maar deze is de eenvoudigste, en gemakkelijkste. Het is niet ons voornemen hier alles te behandelen, en omwegen wijzen we volstrekt af. PROPOSITIE.  VII.

En:

Als gegeven zijn twee zijden en een hoek die hierdoor niet wordt omvat, zullen ook de overige hoeken gegeven worden.

MAAR met deze bepaling en voorwaarde, dat van de andere hoek bij de basis de soort wordt voorgeschreven, en wel impliciet met de gegevens, zoals: wanneer de gegeven hoek recht of stomp is, dan is immers duidelijk dat de overige scherp zijn. Of anders in het algemeen wanneer de hoek tegenover de grotere zijde gegeven wordt, dan staat immers vast uit de Elementen dat de andere, tegenover de kleinere zijde, kleiner is dan de eerste. Laat dus in dezelfde tekening ai zijn van 5898 tienvoeten, ei van 7594 en hoek iae 97° 11', en gevraagd worden hoek e. Dan zal gelden volgens propos. 4: zoals zijde ei 7594, tot de sinus van hoek a, 9921511, zo is de tweede zijde ai, 5898, tot 7705132, de sinus van hoek e. En daar deze sinus overeenkomt met een hoek van 50° 24', en evenzo met de stompe 129° 36', en de zijde ie groter is dan de zijde ai, zal ook hoek e kleiner zijn dan hoek a, en daarom zal hoek aei zijn 50° 24', en uit deze twee wordt de andere bij i gegeven als 32° 25'.

Maar als de vierde evenredige gelijk is aan de straal, is duidelijk dat die hoek recht is. PROPOSITIE  VIII.   Als in een rechthoekige driehoek, vanuit een scherpe top, een omtrek wordt beschreven met het interval van een been van de rechte hoek, zal het andere been de tangens zijn; en de basis de secans van dezelfde hoek.

EN dit is ook te doorzien in een theorema van het eerste boek. Laat aei de rechthoekige driehoek zijn, als dus vanuit de hoek a met interval ae, de cirkel ey wordt beschreven, zal ei de tangens worden van de omtrek eo volgens prop. 12 van boek 1, en ai de secans volgens prop. 17. Evenzo, als met middelpunt i en interval ie, de omtrek eu wordt beschreven, dan zal ae worden de tangens, en ia de secans. PROPOSITIE  IX.

Dus:

Als in een rechthoekige driehoek de benen gegeven zijn, zullen de schuine hoeken gegeven worden. En bij gegeven schuine hoeken zal de verhouding van de zijden gegeven worden.

WANT, in dezelfde driehoek: als ae de straal is uit het middelpunt a, zal ei de tangens van hoek a zijn en ai de secans ervan; of als ei de straal is, zal ae de tangens van hoek i zijn, en ai de secans ervan. Laat dus ae van 15 delen zijn, en ei van 8, dan zal gelden: zoals ei 8 tot ae 15, zo is 100000000 tot de tangens van hoek i, 18750000, 61° 55' 39"; of

PROPOSITIE  X.   Bij gegeven been van een rechte hoek en een scherpe hoek, wordt gegeven het andere been, en de basis.

LAAT gegeven zijn een been ae van 15 voet van een rechte hoek en een van beide scherpe hoeken, zoals i 61° 55' 39". Dat hiermee nu ook de andere scherpe hoek bij a wordt gegeven die het complement ervan is, namelijk als 28° 4' 21", is duidelijk. En daarom bij gegeven ae, wordt gegeven ei met de tangens van hoek a, en ai met de secans van dezelfde hoek. PROPOSITIE  XI.   Bij gegeven basis en een been van een rechte hoek, worden de hoeken gegeven.

DIT hebben we wel hiervoor opgelost met sinus­tabellen; maar hetzelfde zullen we nu ook doen met canons van secansen. Want in dezelfde tekening, als ae de straal is, is ai de secans en ei de tangens. Laat dus ae 15 zijn en ai 17. Dan geldt: zoals ae tot ai zo straal tot secans a 15 17 10000000 11333333 Wat geeft 28° 4' 21". De andere bij i zal dus het complement ervan zijn: 61° 55' 49". HULPSTELLING, bij wat volgt.   Als de helft van het verschil tussen de kwadraten van de benen en het kwadraat van de basis, gedeeld wordt door een van beide benen, zal het quotiënt

de afstand op de basis van de loodlijn tot het grootste been; de helft van het verschil ervan is de afstand tot het kleinste.

EN dit is gehaald uit de Elementen [III.35], uit de onderlinge snijding van twee ingeschrevenen. Zoals hier een driehoek aei gegeven kan worden: laat vanuit de hoek e, met als straal het grootste been ei, de cirkel iys beschreven worden, en de basis ia verlengd; en het kleinste been is ae De rechthoek uas is gelijk aan de rechthoek iay, en daarom: ay opgeteld bij ai zal geven de hele iy, waarvan de helft io, de afstand is tot het grootste been. Laat anderzijds gelijk zijn ya en ri, dan zal van de overblijvende ar de helft ao de afstand zijn tot het kleinste been. Verder, als de helft van de som groter is dan de basis, zoals io in driehoek eri, is dat een bewijs dat de hoek die bij de basis aan het kleinste been ligt, namelijk eri, stomp is; als die helft kleiner is dan de basis, scherp. Dezelfde hulpstelling zou op steeds weer andere manieren kunnen worden gevarieerd, maar we zijn niet van plan alles na te gaan. PROPOSITIE  XII.   Als de zijden van een driehoek gegeven zijn, worden de hoeken gegeven.

OF het een rechthoekige, stomphoekige of scherphoekige driehoek is, staat vast volgens de regels daarvan. Over de rechthoekige is hierboven gesproken; en de scheefhoekige kunnen volgens de voorgaande hulpstelling met een loodlijn verdeeld worden en neerkomen op twee rechthoekige. Zoals in de eerste tekening aei: ae is 10, ei 17, ai 21, de segmenten van de basis zijn ao 6 en oi 15. Als nu hierbij ae vanuit e als middelpunt de straal wordt, zal ao de sinus van hoek aeo zijn, en de hoek zelf daarom

en het andere been, als de hoek stomp is; of anders het verschil.

AFGESNEDEN segment is de naam die ik geef aan het deel, dat Regiomontanus noemt "loodrechte val".*) Laat er dus een driehoek aei zijn, van hoek a de basis ei; de loodlijn eo uit de top, het afgesneden segment ao, en laat ay en au gelijk zijn aan been ae; als getrokken worden ye en eu, zal de hoek yeu in een halve cirkel recht zijn. Laat vervolgens il evenwijdig en tegengesteld zijn aan ae, en daarom de driehoek liu gelijkbenig, waarvan de basis lu door de loodlijn is doormidden wordt gedeeld in s. Laat hierna uit de rechte hoek o de rechte om de ingeschrevene eu doormiden delen, die daarom zelf gelijk zal zijn aan de helft mu hiervan, en de driehoeken eua en oum zullen gelijkvormig zijn. Met dit zo opgesteld, zal gelden: zoals le tot ai, zo is eu tot au, en zo is ook ou tot um, en daarom: zoals le tot ai, zo is ou tot um. En daarom zullen de rechthoeken le bij um, en ia bij ou gelijk zijn, en de dubbele aan de dubbele, namelijk le bij eu aan ia bij ou tweemaal. Maar ia is het ene been, ou is bij de stompe hoek a samengesteld uit het andere been ae of au en het afgesneden segment van het eerste ao; bij de scherpe hoek a uit het verschil van au en ao. Tenslotte is de rechthoek leu gelijk aan het verschil van de kwadraten van basis ei en segment ui; want het verschil van de kwadraten van ei en iu is gelijk aan het verschil van de kwadraten van es en su wegens de gemeenschappelijke loodlijn is. Dit verschil is echter de rechthoekige leu; daar namelijk lu doormidden is gedeeld in s, en verlengd naar e; is de rechthoekige uit de verlengde le en de verlenging ue, met het kwadraat van segment us of ls gelijk aan het kwadraat van es,°) en daarom, als van het kwadraat van es wordt afgetrokken   [ *)  Regiomontanus, De triangulis planis et sphaericis libri quinque, Basel 1561, 'Diffinitiones', p. 1: "Casus perpendicularis ...", Loodrechte val wordt genoemd het gedeelte van de basis, onderschept door de loodlijn en een van beide zijden.]   [ °)  Volgens Euclides, Elementen, boek II, Prop. 6.]

maal au tweemaal, tot ai maal ou tweemaal, zo is au tot ou. Maar ai maal au tweemaal is de dubbele rechthoek op de benen ai en ae; en ai maal ou tweemaal is gelijk aan het overschot waarmee het kwadraat van de basis ei het kwadraat van het verschil van de benen ui te boven gaat. Want dit hebben we aangetoond in de voorgaande hulpstelling.   Laat zoals tevoren ai 12 zijn, ai 17, ei 25, en gevraagd worden de hoek a.   Dan komt er: zoals 408 tot 600, zo is 10000000 tot 14705882, de sinus versus van hoek a. En omdat deze groter is dan de straal, is het een bewijs dat de gevraagde hoek stomp is, namelijk: 90 &   28   4'   21" 118   4'   21" Wie zich wil vermaken met de sinus versus, zal deze weg kunnen betreden. IV.  En weer  HETZELFDE  ANDERS.   Als van de helft van de verzamelde zijden van een gegeven driehoek, de zijden één voor één worden afgetrokken, zal gelden: zoals de wortel uit het product van de helft en het verschil met de zijde tegenover de gevraagde hoek, is tot het product van de verschillen met de overige zijden, zo is de sinus totus, tot de tangens van de helft van de gevraagde hoek.

LAAT de zijden dezelfde zijn als eerst [<]: ae 10, ei 17, ai 21. En laat gevraagd worden de hoek a. De verzamelde zijden maken 48, de helft is 24, de zijde tegenover hoek a is ei 17, het verschil is 7, het product van 7 en 24 is 168, het product van de overige verschillen 3 en 14 is 42. 168 is tot 42 in de verhouding van 4 tot 1, waarvan de wortels zijn 2 tot 1. Dus zoals 2 tot 1, zo is de sinus totus 10000000 tot 5000000, de tangens van de halve hoek a, namelijk 26 ° 33' 54",

waarvan het dubbele is 53° 7' 48" voor de gevraagde hoek. Dit kon ook op deze manier worden gezet: Zoals product   tot product   zo is het kwadr. van straal 168 42 100000000000000 tot het kwadraat van de tangens van de halve hoek a, 25000000000000, waarvan de wortel 5000000 de tangens is zoals boven. En deze weg lijkt begaanbaar, wanneer de termen kleiner zijn, de andere wanneer de termen van de producten groter zijn. Het bewijs wordt afgeleid uit een in een cirkel ingeschreven driehoek en het vinden van een driehoekig oppervlak. Ik meen dat een vingerwijzing voldoende is, opdat ik niet tot last ben met teveel variëteit en onnodig werk.   En verder, wanneer twee omtrekken gegeven worden waarvan de sinussen een gegeven verhouding hebben; en als geen van beide groter is dan een halve cirkel, op zo'n manier als twee hoeken in een vlakke driehoek zijn, of twee zijden of hoeken in een boldriehoek; zal gelden: PROPOSITIE  XIII.   Zoals de som van de sinussen is tot het verschil ervan, zo is de tangens van de helft van de som van de omtrekken, tot de tangens van de helft van het verschil ervan. LAat van de getoonde omtrekken oi en ie de sinussen zijn ou en ey, de voor elk gelijke koorde oe, gesneden door de gemeen­schappelijke straal ai in r, en laat de loodlijn daarop zijjn as, en maak de rechte sr gelijk aan sl. Dan zal ras gelijk zijn aan hoek sal; en lae aan de gegeven oar. Daarom is ral, de hoek van het verschil tussen lae, dat is oar, en rae, doormidden gedeeld door as. En de tangens van de halve

voor de halve som; en het halve verschil hierbij opgeteld, en ervan afgetrokken, zal de gevraagde omtrekken geven, 64° 9' en 30° 0'. PROPOSITIE  XIV.   Zoals de som van de sinussen is tot het verschil ervan, zo is de tangens van de helft van de som van de omtrekken, tot de tangens van de helft van het verschil ervan.

WANT als de benen van een driehoek gegeven zijn, wordt gegeven de verhouding van de sinussen die behoren bij de overstaande hoeken, volgens propos. 4. Laat namelijk in driehoek aei van propos. 12 de hoek a zijn 53° 7' 48" en been ae 10, ai 21, hiermee worden ons de overige hoeken gevraagd. Als de gegeven hoek wordt afgetrokken van twee rechte hoeken, wordt gegeven de som van de hoeken e en i, namelijk 126° 52' 12". De helft ervan is 63° 26' 6", de tangens hiervan 200000044 [20000044], dus: zoals de som van de benen 31, tot het verschil 11 ervan, zo is de tangens 20000044 tot 7016789, de tangens van het halve verschil 35° 21' 45". Deze omtrek opgeteld bij de helft van de som, zal geven de hoek e, tegenover de grootste zijde ai, 98° 47' 51"; en van dezelfde helft afgetrokken, de andere hoek i, tegenover de kleinste zijde, 28° 4' 21". II.  HETZELFDE  ANDERS.

MAAR hetzelfde kan ook anders gedaan worden met herleiding tot rechthoeken, als dat iemand aantrekt. Want als uit een van beide overige hoeken de loodlijn wordt neergelaten, eo, worden in de rechthoekige driehoek eao gegeven de basis ae van de rechte hoek met een hoek. Dus volgens propos. 2 zal gegeven worden ao en eo; en uit het verschil van ao en ai zal gegeven worden oi. En daarom zal in de rechthoekige driehoek eoi met gegeven zijden

Hoe bij gegeven zijden van een rechthoekige driehoek de hoeken ervan gevonden kunnen worden zonder deze canonieke tabellen van Sinussen, Tangensen of Secansen. PROPOSITIE  XV.   Zoals de dubbele basis van de rechte hoek, vermeerderd met het grootste been, tot het kleinste been, zo is de drievoudige sinus totus, tot de omtrek overeen­komend met de hoek tegenover het kleinste been.

DE waarheid en het bewijs hiervan zijn te vinden in onze Cylometricus*), propositie 28 en 31. Wij zullen nu teverden zijn met alleen het gebruik, als je meer verlangt zal het daaruit moeten worden gehaald. Een voorbeeld kan zijn als volgt: Laat in de getoonde rechthoekige driehoek esy de basis zijn ey 25, het grootste been van de rechte hoek es 24, en ys 7. En er komt: zoals tweemaal ey en es, dat wil zeggen as 74, tot sy 7, zo is het drievoudige van de sinus totus, alsof ai 300.000.000 zou zijn, tot iu 28.378.378, waaraan, zoals aangetoond in het werk over de cirkelmeting, de omtrek yi vrijwel gelijk is, maar toch een heel klein beetje groter dan die iu.   Als je zo tracht te weten te komen, met hoeveel graden en minuten die rechte, of omtrek yi, overeenkomt, kun je het uit een verhouding opmaken. Aangezien namelijk bij deze schatting van de diameter als 200.000.000, de omtrek van de cirkel 628.318.531 is. Dus zal gelden: zoals 628.138.531 tot het gevonden getal 28.378.378, zo is 360° tot 16° 15' 34" 37"'. #)   [ *)  W. Snellius, Cyclometricus, Leiden 1621; eerder genoemd bij Prop. 10 van boek 1; daar dezelfde figuur (met: ao = oe). En met vrijwel dezelfde schatting (628,31,853) van 2π.]   [ #)  Zie de tabellen hierna: 16° 27925.268 15' 436.332 34" 16.484 35" 16.968 28378.084 37"' .298 28378.378