Home | Hortensius | Uitgave van Snellius 1627 | Brontekst

Titel, Staten , Lezer , Gedichten , 1 , Canon , 2 , 2b , 3 , 4 , 4b


Vertaling uit:
Doctrinae triangulorum canonicae libri quatuor,
Leiden 1627.


[ T.p. ]

WILLEBRORD SNELLIUS van ROYEN, R.zn

CANONIEKE  LEER  van

D R I E H O E K E N

in VIER BOEKEN,

Waarin het opstellen van de Canon*) van
Sinussen, tangensen en secansen,

Vlotte meting van zowel Vlakke driehoeken als Boldriehoeken,
kort en duidelijk wordt behandeld.
Na de dood van de schrijver uitgegeven door
Martinus Hortensius van Delft;
Die daaraan afzonderlijke verhandelingen heeft toegevoegd met Problemen van
Geodesie en Boldriehoeksmeetkunde, waarmee het gebruik van de voornaamste
proposities van beide Trigonometrieën wordt verklaard.


[ *)  Canon Triangulorum, Leiden 1626.]




[ * 2 ]
Aan de zeer doorluchtige en zeer machtige
H E R E N     S   T   A   T   E   N
Van HOLLAND en WEST-FRIESLAND.

Aan de zeer hoge en zeer kundige
HEREN BURGEMEESTERS, SCHEPENEN,
VERTEGENWOORDIGERS van de bekende Steden
DORDRECHT, DELFT, ALKMAAR.
Hoogste Patronen van de Wiskundige
studies.

Zeer doorluchtige, Zeer machtige, Zeer kundige Heren
ONDER alle delen van de Wiskundige wetenschap, die inderdaad verschillend zijn en veelomvattend, is er geen dat het eerste recht en de voorrang bezit zoals de Meetkunde; en juist voor de onderdelen hiervan, daar het er twee zijn, namelijk de Meting van Vlakken en van Vaste lichamen, geldt dat elk van beide alles omvat en aan een zekere maat onderwerpt, wat ergens in de gehele Wereld lichamelijk is en blootgesteld aan de zintuigen.
Want of we nu de Hemel beklimmen en de eeuwige perioden van de aanzienlijkste lichamen, de onbestendige en bij veelvuldig afdwalen toch constante bewegingswetten in gedachten doorlopen; of dat we onze woonplaats de Aarde bekijken, met daarop de zeer prachtige toestand en orde van alle dingen, overal treffen we mooi dat goddelijke gezegde aan

[ * 2v ]
van de goddelijke Plato, dat God meestal de Meetkunde beoefent*), in de gehele natuur der dingen. En toch steekt de Meetkunde in aanzien niet zó ver boven de overige delen uit, dat niet ook een voordelig gebruik ervan in elk afzonderlijk zozeer in het oog valt, dat ze zonder deze niet kunnen bestaan; en zoals de leeuw wordt herkend aan zijn klauw, alleen al de Leer van driehoeken, op welke manieren dient deze die niet? Deze ondersteunt voor mij niet slechts de Sterrenkunde, Aardrijkskunde, Landmeetkunde, de militaire Bouwkunde, de Optica, als basis en fundament, maar maakt ze ook helemaal af en voleindigt ze.
Is niet inderdaad het ene deel van de Sterrenkunde, dat gewoonlijk de leer van de eerste beweger wordt genoemd, geheel afhankelijk van de berekening van boldriehoeken°)? waarmee we, voorzien van geschikte instrumenten, de ware plaatsen van sterren opsporen en ons hun op- en ondergangen, dag- en nachtbogen, klimmingen en dalingen, op elke plaats en tijd voor ogen stellen?
En het andere deel dat valt onder de naam theoretische leer, en dat gaat over de bewegingen van de Planeten, wordt dit niet tot stand gebracht met behulp van Vlakke driehoeken? Scherpzinnig is immers het menselijk verstand: als het op geen enkele manier een zo grote variëteit van bewegingen kan begrijpen, laat staan ze in de toekomst voorspellen, haalt het hulpmiddelen uit deze Driehoeksmeetkunde van ons, en bestormt het die hemelhoogte zo ver, dat het die, met enige gestelde hypothesen, niet alleen verovert, maar ook zodanig aan zich onderwerpt, dat het de verschillende gangen en kronkelpaden ervan, en alle inboedel kan bekijken, en


[ *)  Gr.: 'ton theon pantôn malista geometrein', vergelijk 'ton Theon aei geômetrein' (dat God altijd de Meetkunde beoefent), in Hortensius' Oratie over de waardigheid en het nut van de wiskundige wetenschappen, Amst. 1634, p. 9.]
[ °)  Lat. "tripleurorum sphaericorum"; zie p. 114: Prop. V, "Tripleurum sphaericum est quod a tribus maximorum circulorum peripherijs continetur", een boldriehoek is wat door drie omtrekken van grote cirkels wordt omvat. Gr. 'pleura': zijde.]

[ * 3 ]
voor elke eeuw aan het nageslacht weet op te noemen, wat daarin zal gebeuren, op welke tijd dan ook; welke stilstanden, teruglopen, syzygiën, welke stand en beweging van de lichamen, of welke verschijningsvormen en afstanden van de voornaamste delen; gedurfde zaken op deze wijze aanpakken is iets dat ook voor een God buitengewoon is, zoals Plinius zegt*).

  En evenzo verschaft onze leer aan de Aardrijkskunde haar beginselen; deze behandelt immers nauwkeurig de verhouding van de Evenaar tot de Parallelcirkels, de breedten en ontwikkelingen van Klimaten, verhoudingen van schaduwen, afstanden van allerlei plaatsen, beschrijvingen van landen; deze steunt de Zeevaartkunde, de adem van de Aardrijkskunde, die van zichzelf niet sterk is, wanneer ze de werking van Loxodromen en ingewikkelde verhoudingen duidelijk maakt, en leert de koersen van schepen, waarmee dagelijks zoveel rijkdommen worden blootgesteld aan een zo woeste Oceaan, veilig te regelen.

  En in de Landmeetkunde, welke taak om velden te meten zich tenslotte ook voordoet, altijd bespoedigt de vlakke Driehoeksmeetkunde deze heel gemakkelijk, met behulp van de Canonieke Tabellen. Zijn er Chorografische kaarten te tekenen? deze verschaft de afstanden van plaatsen. Wordt de hoogte van torens, bergen, gebouwen gevraagd? men neemt zijn toevlucht tot de Driehoek; dit zijn de treden dit is de ladder, waarmee we iets bestijgen dat op zichzelf ontoegankelijk is. Dat zeer oude instrument, de Radius, waarmee Meetkundigen met een heel makkelijke berekening landen, zeeën, rivieren en banen aan de Hemel beschrijven, bestaat dat niet slechts in rechthoekige driehoeken?


[ *)  Hortensius citeert deze woorden van Plinius (Historiae naturales, 2, cap. 26) uitgebreid in 'Candido ac benevolo Lectori', bij zijn vertaling Institutio astronomica De usu Globorum & Sphaerarum (van W. J. Blaeu, Tweevoudigh onderwijs), 1634, p. *4v, Ned., over het opsommen van de sterren door Hipparchus.]

[ * 3v ]
zodat hierdoor zelfs terecht gezegd kan worden dat de Rechthoekige Driehoek de Meester van de Wiskunde is. Thales van Milete wekte verwondering toen hij de hoogte van de Egyptische Piramiden had gevonden met de schaduw, door het tijdstip aan te houden waarop de schaduwen gelijk zijn aan de lichamen; maar nu wordt het zelfde handiger in praktijk gebracht; zodat het, hoe bewolkt de hemel ook is, toch met een of ander instrument kan worden gedaan met de gelijkheid van de hoeken en de verhouding van de zijden.*)

  Wat er is op Militair gebied? worden niet het afbakenen van Legerkampen°), het richten van Kanonnen, Versterkingen van steden en belegeringen door deze leer van vlakke Driehoeken werktuiglijk afgehandeld? Tegenwoordig is zeker geen Architect die legerkampen en een veldtocht begeleidt zo onbezonnen, dat hij niet tenminste een beetje is onderricht in het gebruik van de Canonieke tabellen; ofschoon ik wel weet dat er enigen te vinden zijn die niet alleen dit deel, maar ook het diepste binnenste van de Meetkunde zijn binnengedrongen, zo noodzakelijk vinden ze het voor hun zaken.

  Tenslotte de zeer aanzienlijk wetenschap van de Optica, die gaat over het Zien, het Licht, Schaduw, en Kleuren, die is geheel niets zonder deze Leer. Deze meet immers de omvang van terugkaatsing en breking#) van Licht in spiegels en doorzichtige lichamen, verklaart de diversiteit van de schaduw of van het beeld van een ding, en leert die wonderlijke verschijningen van lichtbeelden op gepolijste oppervlakken van lichamen op te heffen of tot stand te brengen. Deze trekt


[ *)  Op p. 104 noemt Hortensius een eigen meting: de hoogte van een wolk, 8 juli 1627, samen met iemand anders.]
[ °)  Simon Stevin, Castrametatio, dat is Legermeting, Rott. 1617, overzicht.]
[ #)  Snellius had de brekingswet gevonden (ca. 1622, Wreede p. 104), zie Chr. Huygens, 'Over breking' (1653), Oeuvres complètes, T. 13, p. 7.]

[ * 4 ]
de aandacht van stervelingen omhoog naar de hemel, en onthult met behulp van de schaduwen van Aarde en Maan, de grootte van de drie grootste dingen van de natuur, en de uitbreiding van de schaduw zelf in lengte en breedte.

  Aangezien dus het nut van deze leer zo groot is, zeer Illustere Staten, zeer Kundige Heren, is het dan wonderlijk als vanaf de verste oudheid de voortreffelijkste Wiskundigen deze zo ijverig hebben ontwikkeld, en dat er steeds een nieuwe toevoeging is gemaakt? Er zijn inderdaad vele en schitterende vondsten van Hipparchus, Menelaos, Ptolemaeus, uitstekende mannen, maar daarbij heeft, sinds de restauratie van deze vakgebieden, de onvermoeide studie en het geweldige werk van Recentere mensen verreweg het nuttigste en gemakkelijkste aan toegevoegd.
Want nadat de Duitsers in het bezit waren gekomen van de wetenschap, heeft Joh. Regiomontanus*), een man van vurig talent, de hele Driehoeksmeting in één werk uitgegeven, het gemak van het rekenen met tabellen°) ingevoerd, alle last van delingen ter zijde schuivend overal waar de sinus totus op de eerste plaats staat. Na hem had het kunnen lijken dat Georg Joachim Rheticus in dat ontzaglijke Opus Palatinum er de laatste hand aan had gelegd, met tabellen vastgesteld voor de sinus totus van tien cirkels, en met tien cijfers; maar wat na hem Clavius, Fincke, Pitiscus en anderen hebben geleverd kan makkelijk beoordeeld worden door wie zich ernstig inspant om hun werken te lezen.
En de Italianen stellen niemand boven hun Maurolico en Magini, zoals de Fransen boven hun


[ *)  De triangulis omnimodis libri quinque, Nor. 1533. Zie hierover: Daniel E. Otero, 'Teaching and Learning the Trigonometric Functions through Their Origins: Regiomontanus and the Beginnings of Modern Trigonometry'. Tabellen in De triangulis planis et sphaericis, Bas. 1561, zie noot, p. 30 hierna.]
[ °)  Lat. 'abacis'; vergelijk Snellius op p. 6: "Regiomontanus ... Mathematicos Abacos" en p. 62: "nostri abaci".
Later: "Copernicus ... Canonem confecit, sive Abacum, computandis omnibus monetarum generibus", Copernicus heeft een Tabel gemaakt, om alle soorten geld te berekenen, in P. Gassendi, Tychonis Brahei ... vita, Par. 1654, p. 3; en op p. 55: "longitudinum, & latitudinum Abacus".]

[ * 4v ]
grote Viète. Verfijnd zijn hun vondsten en het gebruik komt van pas.
Maar hoe zit het met die in de Nederlanden? Ik moet wel oneerbiedig zijn ten opzichte van het vaderland als ik niet ook hun werkzaamheid vermeld. De zeer scherpzinnige Adrianus Romanus heeft de Canonieke Tabellen stevig gegrondvest, en ook zijden van Veelhoeken opgediept en in onafzienbare getallen uitgedrukt die voorheen onbekend waren. De eerwaarde Philippus Lansbergen heeft, door de Driehoeks­meetkunde van Ptolemaeus, Regiomontanus, Copernicus methodisch te verkorten, en veel van het zijne eraan toe te voegen, bij uitstek een lofrede verdiend bij allen die stralen van geleerdheid. Ik sla nu over de zeer voortreffelijke S. Stevin, A. Metius, N. Mulerius, die allemaal dezelfde wens hadden om deze leer uit te breiden.
Maar werkelijk, onder zo vele en zo grote vernieuwers ervan heeft de Zeergeleerde Heer  W I L L E B R O R D   S N E L L I U S  het Sparta*) dat hij had genomen om in orde te brengen volstrekt niet verwaarloosd. Hij is namelijk enige jaren geleden begonnen de gehele Driehoeks­meetkunde vanaf de bron op te halen en met nieuwe en heel zeldzame vondsten te verhelderen, en hij had het werk al ingedeeld en bestemd voor de drukpers, toen helaas de almachtige God de geliefde man, een sieraad voor ons vaderland, uit het midden van zijn levensbaan overbracht naar het verblijf der zaligen. Hoezeer dit allen bedroefde die met hem bekend en bevriend waren, behoef ik u, zeer Doorluchtige en Kundige Heren, niet uitgebreid te vertellen; ik getuig alleen dit, dat het voor ons en deze studies een zeer nadelig noodlot was; want hij heeft het werk verward, onvoltooid, en grotendeels onnauwkeurig nagelaten,


[ *)  Sparta als iets dat in orde gebracht moet worden (Lat. 'ornandam') was een staande uitdrukking, zie b.v. Th. Graswinckel aan Hugo de Groot, 12 mei 1636 (ed. 1969), n. 3 en M.H.H. Engels, 'Brieven aan ... Joh. Saeckma (1572-1636)', Noten. Cicero, Att. 4, 6, 2: "Spartan elaches, tautan kosmei, i. e. Sparta is your country, make the most of it", in Lewis & Short.]

[ * 5 ]
en de vrees bestond dat het nooit het licht zou zien, als er niet een arbeidzame zorg van de Drukker tegenover zou staan. Het afslaan van diens verzoek, en tegelijk het weigeren van deze dienst aan een Man die eertijds voor mij een grote weldoener was, achtte ik onwellevend en ondankbaar.
Dus heb ik deze last gaarne op me genomen, en met de delen afzonderlijk in orde gebracht, en ook enige toegevoegd die wenselijk leken, deze nog onvolgroeide, laat staan volmaakte vrucht publiek gemaakt, hopend dat het zo zou zijn, dat al degenen, aan wie de Schrijver zelf volllediger voldoening had kunnen geven, nu ook dit met een grovere hand gepolijste werk gaarne voor verontschuldigd zullen houden, en dat ze het niet met een hardere strengheid van oordeel zullen bejegenen, of een grotere volmaaktheid zullen verlangen, dan de zaak en de tijd hebben kunnen meebrengen, zoals ze zullen zien.


  En ik schaamde me niet het aan u, Doorluchtige Staten, aan te bieden, u zeg ik voor wie, zittend aan het roer van een zo grote Republiek — waarvan de rijkdommen, en de grootste roem door deze studies worden bevestigd — de genegenheid ertoe zo groot is, dat u sedert al vele jaren gewoon bent zelfs met uitgeloofde prijzen allen die hun vaderland liefhebben aan te zetten tot ontwikkeling ervan.
Ik vertrouw erop dat het zo zal zijn, dat u met dezelfde welwillendheid die u meer dan eens hebt getoond aan de Schrijver toen hij nog in leven was, nu zijn schriftelijke nalatenschap wilt bejegenen, waarvan de vrucht met recht aan u toekomt.


[ * 5v ]
  Ook aan u, zeer Hoge Heren Raadsleden, en wel om deze reden dat ik erop vertrouw dat uw wellevendheid zodanig is, dat u het niet beneden uw waardigheid acht de vakgebieden waarvan u weet dat ze eens luister hebben gegeven aan uw Steden, nu zeer welwillend in uw bescherming op te nemen.


Aan uw zeer Doorluchtige en zeer Machtige Grootheid

Aan uw zeer Bekwame Hoogheid


Zeer onderdanig          

MARTINUS  HORTENSIUS  D. B.*)    



[ *)  D. B.: Delfensis Batavus / Belga. "Delfensis Batavus" komt enkele malen voor in Album studiosorum Academiae Lugduno Batavae (Den Haag 1875), o.a. p.245: 9 sept. 1632, Ludovicus Heinsius.
Ook in: J. de Wal, 'Nederlanders, Studenten te Heidelberg', in Handelingen en Mededeelingen van de Maatschappij der Nederlandsche Letterkunde (Leiden 1886), p. 106, bij 27 Oct. 1606.   'Batavus' en 'Belga' komen daar meer dan 20 keer voor; er is nog een 'Delfensis', 7× 'Delphensis', 1× 'Delphus'.]

[ * 6 ]

WELWILLENDE LEZER.
EEN jaar en iets meer is het nu geleden dat de zeergeleerde Heer SNELLIUS zaliger, is begonnen dit boek aan de drukpers toe te vertrouwen; en terwijl de zaak zeer langzaam vorderde, deels door bezigheden van de Drukkers, deels door zijn langdurige ziekte, is het gebeurd dat hij door een voortijdige dood van de aarde is weggenomen*), en niets anders gedrukt is gebleven dan de Canon Triangulorum.
Daarop wanhoopten we toen voortdurend aan de uitgave van het boek, en zelfs twijfelden we aan het volledig afmaken ervan, de heer JOH. LE MAIRE was bang dat werk en kosten verloren zouden kunnen zijn. Toen tenslotte het handschrift gevonden was, nam hij na lange tijd, door ik weet niet welk lot, de gelegenheid te baat mij te spreken, en tegelijk dringend te vragen om medewerking bij iets dat zo nood­zakelijk was.
Wat moest ik doen? Ik was me bewust van mijn onbeduidendheid, van de ingewikkelde, wanordelijke, verminkte geschriften; ik zag dat het een Herculisch werk voor een Atlas was om deze hemel te dragen; dat een lange tijd en noeste uitputtende arbeid nodig was. Toch heb ik moed gevat, en daar ik de zeer vriendelijke man deze dienst niet kon weigeren, heb ik, al betrokken bij de zaak, de zorg voor de uitgave op me genomen.
Nauwelijks had ik de voet binnen de deur gezet, of ik zag bij het doornemen van de geschriften dat er niet weinig ontbrak en verkeerd was; door er de helende hand over te laten gaan, zo goed als ik kon, heb ik zo veel tot stand gebracht, dat het boek tenminste gaaf kon verschijnen (al was het nu niet met die glans die de Schrijver zelf eraan zou hebben gegeven). In het begin had ik wel besloten datgene, wat ik erbij had gedaan, te zetten tussen dit soort haakjes
[ ] maar daar een behoorlijk deel van het eerste boek al gedrukt was, en de Drukker de tekst in al zijn onderdelen gelijk had gemaakt, zonder ze te gebruiken, en ik later ook van mening was dat er niets aan veranderd moest worden, hoopte ik dat de Wiskundige lezer dit makkelijk zal opmerken wegens verschil van stijl.
Wat betreft het rekenen, dat helemaal weer opnieuw te doen is me een enorme last geweest, en ik heb toch niet kunnen garanderen dat het geheel en al zonder fouten is; u, vriend Lezer, doet het maar na, en als er iets mis is vebetert u het°). Ik heb namelijk de tabellen gebruikt die u hierbij hebt, waarop u,


[ *)  Willebrord Snellius was overleden op 30 oktober 1626 (grafschrift in Collectio Monumentorum ... Belgii faederati, Lond. 1695). Hij was 46 jaar.
L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, Utrecht 2007.]

[ °)  Alles narekenen was voor de vertaler teveel, maar enkele foutjes zijn gevonden. Op p. 38 ontbreekt iets; p. 44: 'halve' moet zijn 'hele'; p. 51, tabel: 2 cijfers ontbreken en een kolom is omgedraaid; p. 55: getal dubbel in de tabel; p. 59: 'sinus' moet zijn 'secans'; p. 65: ae verwisseld met ie; e.a.]

[ * 6v ]
om u er even op te wijzen, niet al te zeer moet vertrouwen, daar ze zijn uitgegeven toen de Schrijver nog in leven was, alleen heeft hij niet de rust gehad om ze na te lezen, laat staan dat hij al het verkeerde had kunnen verbeteren. Ik heb ook aan elk van beide Driehoeksmetingen een verhandeling toegevoegd met Problemen, en dit voornamelijk in uw belang; en hoe graag zou ik willen dat dit door de Schrijver zelf was gedaan ! Ik weet dat hij afzonderlijke verhandelingen heeft gehad, zowel over deze zaken als over andere, waarvan hij melding maakt in propositie 7 van de Appendix*). Maar dat alles heeft zijn vroegtijdige dood ons ontnomen.
U moet het afkeuren als u in dit werk iets vindt dat niet de vijl van zijn nauwkeurige oordeel heeft ondergaan, of ook de toewijding van onze aandacht, waarmee we, na alle moeilijkheden te hebben overwonnen, de zaak tot hiertoe hebben gebracht. Ik weet dat er mensen zullen zijn die deze woorden zullen uitleggen als trots en arrogantie, zoals vandaag de dag liever iets met laster dan met bijval wordt behandeld, maar om hen geef ik niets; als er maar enige gelegenheid wordt gegeven verdienstelijk te zijn voor Wiskundigen, zal ik mijn plicht geenszins verzaken. Maar wat zeg ik? Is bewaard blijven voor afgunst soms te verwachten voor mij, als het zelfs de grootste Mannen niet is gegeven?

  Wie je ook bent, Zoïlus, van hem heb je de naam.°)
Maar u, goedgunstige Lezer, juich onze inspanningen toe, en zie dit als opgedragen aan uw gebruik bij Wiskundige studies, en ook met genegenheid voor ons, waarop we zeker vertrouwen.  Het ga u goed.


[ *)  'Appendix de Construct.' vanaf p. 33 ('De constructione et fabrica Canonis sinuum plenior & ulterior commentatio', na Liber I). Prop. 7 staat op p. 58; op p. 60 (eind Prop. 8): "Ik heb andere bekortingen voor de constructie van tabellen van tangensen en secansen, maar die wachten nog op enige rijpheid".]
[ °)  Ovidius, Remedia Amoris, 366. Ned.: Al de werken (Leiden 1678, vert. Abraham Valentyn), 'Minne-baat', p. 275: "Homerus geestig werk kost geen nijdige tand ontsnappen; wie gij sijt, gij draagt daar van de naam Zoïlus".]

[ * 7 ]

Aan de Voortreffelijke Zeergeleerde jongeman;
zeer aangename, beste Vriend;


MARTINUS  HORTENSIUS.
DE rampzalige dood van SNELLIUS beweende ik;
een klacht naar de onverbiddelijke Parce,
  omdat zij wreed voor altijd wegnam
    de steunpilaar van onze Muzen.
Ze ontsloot voor één die niet moest sterven*)
het noodlotsgraf; het wijze hoofd dat
  een Archimedes zelfs kan eren,
    trok zij nu naar de lijkenscharen.
MARTINUS ik weende; ook jou ontsnapte
droef rouwmisbaar; maar SNELLIUS zal toch
  dit noodlot overleven, daar nu
    postuum dit boekje met jouw dienst
voltooid, geliefder zelfs dan Indisch
goud, nog schoner blinkt dan marmer.
  Zo spoor je de SNELLIAANSE Muze
    sterk aan voor volgende eigen werken;
zo geeft jou Ptolemaeus' denkkracht
genot; en zo ook de vurige adem
  van Euclides. Oh MARTINUS ga door,
    dan zul je zeker titels krijgen.

Geschreven door

HUGO  BOXEL°),  
L. A. M.#)

[ *)  Lat.: "recludens immerito mori / Fatale bustum", vergelijk Horatius, Carmina 3, 2.21: "Virtus, recludens inmeritis mori / caelum, ...", De deugd, die voor wie niet verdient te sterven de hemel ontsluit ...]
[ °)  Hugo Boxel, ca. 1607 (Album stud. Leiden: 17 maart 1623, 16 T) - 1680 (veilngcatalogus), had later een briefwisseling met Spinoza over het bestaan van geesten en spoken, zie: Jonathan I. Israel, Spinoza, Life and Legacy, Oxford 2023, p. 902 e.v. Zie ook:
Wim Klever, 'De spoken van Hugo Boxel', in Bzzletin 22 (1992-93) p. 53-64.
B. de Spinoza, Nagelate Schriften, 1677, 55e Brief (14 sept. 1674) t/m 72e Brief (15 juli 1676).
In de 63e Brief (3 jan. 1675):
Gy hebt my, toen ik by u was, de middel aangewezen, die gy in 't onderzoeken der waarheden, de welken noch niet bekent zijn, gebruikt. Ik bevind dat deze middel zeer voortreffelijk, en echter zeer gemakkelijk is, voor zo veel ik daar af bevat heb: en ik mag zeggen dat ik door deze enige waarneeming grote voortgangen in de Wiskundige dingen heb gedaan.
Ik zou dieshalven wel wenschen, dat gy de ware bepaling van het evenmatig, waar, valsch, verdicht en twijffelächtig denkbeelt aan my leerde.
('Handeling Van de verbetering Van 't verstant'.)
Van Hugo Boxel zijn 3 disputaties bekend:
- bij F. Burgersdijck 'De mundo et coelo' en 'De sensu interno ...' (1624),
- 'Disputatio inauguralis, continens assertiones miscellaneas philosphicas' (1626),
alledrie gedrukt door Joh. Cornelisz Wourdanus, die het hierna volgende lofdicht schreef.
En 2 juridische werken: Gorc. 1666 (Gen. 1677, Leiden 1686) en Gorc. 1670.]

[ #)  Liberalium Artium Magister, Meester in de Vrije Kunsten.]

[ * 7v ]

Op de  DRIEHOEKSMEETKUNDE
Van de zeergeleerde Heer
WILLEBRORD  SNELLIUS,
na zijn dood in het licht gegeven.
BIJ dag en bij nacht met de hand zolang de Passer dwaalt,
ook met de Radius*) meet
SNELLIUS de immense kring,
niet minder in kunst dan de Oude Syracusaan, daarbij
doorzoekt hij alle plooien der aarde, en snijdende trekken,°)
en diepten gedraaid op labyrinthische wijze.
Weldra doceert hij cijfers, woorden, kwadraten voor ronden,
of de manier waarop je een ronde terug kunt buigen.
Geen twijfel heeft nu de Kegel, of ook de gladde Cilinder,
en geen zich hoog verheffende Piramide verdwijnt
in wolken, de Zonnewijzer grift hij met betere voren.

En dit voldeed Hem niet; verstand met snelle pen
zoekt boven de Sterren, de eerste zetels vanaf het begin
weer op, en dan zal het Goden zien, en Huizen zien
van Goden, planeten bezoeken die eeuwig bewegend dolen.
Terwijl Halfgoden zich veel hierin mengen, is het ontstaan,
de ondergang van sterren, alles ontzegd door natuur
aan mensenblik, het punt waarom de aandacht draait;
toch niet voldaan doorloopt het denken de hele Olympus,
behalve de wegen van Jaar en Zon, en Phoebus, die
naar wens een tweespan neemt, vergulde as en wiel,
zoals gewoonlijk stuurt hij met de teugels los in handen.

Intussen kijkt hij van Olympus' top naar Aarde,
en ziet zelfs alles samenlopen in één punt,
SNELLIUS die, door nietig beeld der dingen misleid,
de grond veracht, en alles vast aan aardse omarming
daar lacht hij om, de speelsheid van dat dwaze Volk;
en Jupiter bakent een plaats af aan het hemelgewelf
volgens verdiensten van werk, de Driehoek neemt hij aan,

[ *)  'Radius astronomicus'; niet de gewone Jakobsstaf, zie 'Praefatio' (in Lansbergen 1630), p. 28.n.]
[ °)  Lat.: "sinus ... secantes"; er wordt niet gezinspeeld op de tangens.]

[ * 8 ]
met ruimte*), en plaatst hem als Romeinse god, om klaar
te blinken, roept de drie tesamen uit voor strijd.
De Ram kromt met een hoorn, kenbaar door rossig vuur,
zijn weg al, kijkt met schele oogjes naar de Stier;
Cassiopeia siert zich met een Diadeem,
zelfs Perseus laat de fasces zakken, dankt voor de eer,
de grote Abantiades, 't gezicht van de wrede Gorgo
zachtzinniger kerend, met de voeten de banden bindend.

Als eerste daar uit velen, grote hoop erbij,
ontvangt hij ze met open armen, groet met rechts,
Aratus bewijst de Bataaf zo veel bijzondere eer,°)
Alfonso, hoofd met diadeemtooi, richt zijn gang,
en Tycho, roem voor troon der Cimbren, geeft hem plaats,
gezicht en blik herkennend van de komende.
Mijn land, beroofd van 'n grote Leraar, leg nu toch
de rouw af, en houd Tiphys-schepen in de vaart,
een andere Tiphys stuurt de Argos der Bataven.

En dan, mijn aandacht trekt naar Atlas grotendeels,
onze
HORTENSIUS schraagt Herculisch#) heel gedurfd,
met veel inspanning Vesta, en de hemel die
al donderend dreigt neer te storten, met zijn hoofd.
Voorspoedig kunnen Bataven leven met zo'n gids,
ook die van
DELFT, verheugd met zulk een grote telg.
Maar u, gelukkigen, bent door een krachtig talent
verheven, trouw bestemt u voor onze Olympus,
gedenkt de Held met een Kretenzische bloemenkrans.+)

Al spelend

JOH. CORNELISZ Wourdanus.)  


[ *)  Vergelijk Caspar Barlaeus, 'In Obitum Clarissimi Viri, & Mathematici incomparabilis, Willebrordi Snellii', Leiden 1628, r. 41 (p. 144, eind):
"de Driehoek verlangt een grotere ruimte om te worden gevat".
Nog opvallender is (10 regels hierna) de overeenkomst met r. 47:
"Aratus, en de oude Alfonso, en Tycho, de grootste roem van de Cimbren".
Verder vinden we daar, r. 86: "aplustria puppis", achtersteven­spiegels, en r. 88: "Tiphys abest" (naar W. Snellius, Tiphys Batavus, 1624), hier p. *8: schepen ... andere Typhis; r. 92: "Qua radio vastum descripsit gentibus orbem", hier begin p. *7v: Radius ... immense kring.
  In het volgende gedicht 'In ejusdem obitum', r. 3: "Goden te zien, en huizen van Goden" (zoals halverwege p. *7v); en (zoals 6e regel van onder) r. 11: "Verbaasd dat hij zijn Belgen niet kan vinden, en dat alle koninkrijken in een klein punt samenkomen.]

[ °)  Aratus, 'Phaenomena', in ed. Hugo de Groot, Hug. Grotii Batavi Syntagma Arateorum opus, Leiden 1600 (Aratus noemt geen Bataven).
Over het sterrenbeeld Driehoek (Engl. transl. G. R. Mair, 1921), 233:
"There is also another sign, fashioned near, below Andromeda, Deltoton [Triangulum], drawn with three sides, whereof two appear equal but the third is less, yet very easy to find, for beyond many is it endowed with stars. Southward a little from Deltoton are the stars of the Ram.".]

[ #)  Lat.: Amphitryoniades; komt ook voor in een gedicht van D. Heinsius op J. Cats, Sinne- en minnebeelden, 1627.]
[ +)  Lat. "Gnosiacae serta ... Coronae", rijgsel van een Knossische krans (in Barlaeus' 2e gedicht, zie 1e noot hierboven, r. 20: "Gnosia serta"); bruidskrans van Ariadne, het sterrenbeeld Noorderkroon, zie ook de namen bij 'Corona Borealis', in: R. H. Allen, Star Names, 1899/1963.
Joh. Bayer, Uranometria, 1603, bij Lucida Coronae: "Gnossia seu Gnosia".]

[ )  Van 1622 tot 1630 boekdrukker in Leiden, zie: 'Speuren naar sporen van een 17e-eeuwse rector: Jan Wourdanus, rector van de Latijnse school', Jan Willem Klein, Arjan van 't Riet en Marloes Rijkelijkhuizen, in Tidinge van die Goude, 35-3, aug. 2017, 106-113.
Van Wourdanus staan nog twee lofdichten in Verhandelinghe van Handt-opleggen, Dordr. 1659, voor Joost Vygh en voor zijn oud-leerling Simon van Leeuwen.
Veilingcatalogus: BNF, 9 febr. 1666, met Appendix, 30 nov. 1666; Brill 2015.]

[ 1 ]

WILLEBRORD  SNELLIUS
VAN  ROYEN R.zn

C A N O N I E K E   L E E R
van
D R I E H O E K E N,

EERSTE  BOEK.

Over het vinden van rechten
beschreven bij een Cirkel.
*)

PROPOSITIE  I.

De Canonieke leer van bijbeschreven rechten is, wanneer uit de omtrekken de betreffende bijbeschrevenen, en omgekeerd uit de bijbeschrevenen de omtrekken in getallen worden gevonden.
DE  MEETKUNDE, of 'stoicheiôsis' [Elementenleer], voorzover deze zich voorneemt, en aantoont, alles met cirkel en passer uit te voeren, neemt zo alle toestanden van gelijkvormige Driehoeken om uit te leggen. Maar aangezien nu de onderlinge verhouding en vergelijking van alle gelijke hoeken niet duidelijk volgens een gegeven maat kan worden uitgelegd op Meetkundige en onweerlegbare wijze, hebben die Grote Helden, onder de ouden ontegenzeglijk de eersten in bekendheid, zonder moeite opgetekend, wat er gedaan kan worden met behulp van de omtrek en door vergelijking met een ingeschreven rechte. Dus toen al, tweeduizend jaar en meer geleden,


[ *)  De sinus, tangens, enz. worden beschouwd als lijnstukken. Zie Prop. 2 (met figuur) en Prop. 3 over de naam 'Sinus'. Vergelijk: Simon Stevin, Wisconstige Ghedachtenissen, Leiden 1608, 1e stuk, deel 1, Driehouckhandel, boek 1, 'Van het maecksel des tafels der Houckmaten' {De Constructione tabulae sinuum}.]

[ 2 ]
zijn de grootste mannen, en onder hen als voornaamste Hipparchus, te werk gegaan op de manier dat, met een gestelde halve diameter, van hoeveel deeltjes ook, de grootte van iedere ingeschrevene volgens deze manier te bepalen was. Want zo verdelen we ook tegenwoordig de straal van een cirkel in 100000, 1000000, 10000000, of 10000000000 deeltjes, en volgens deze verschaffen we ook de rechten, beschreven bij omtrekken ervan, in afzonderlijke minuten.
Het kan immers niemand onbekend zijn, die zelfs alleen even de eerste toegang tot de Meetkunde heeft aangeroerd, dat elke cirkelomtrek verdeeld wordt in 360 delen, die men graden noemt; zodat er 180 graden zijn voor een halve cirkel, en 90 voor een kwart cirkel. Op deze omtrekken dus, met hun graden en minuten of afzonderlijke gedeelten, als de kleinste deeltjes die vereist worden in het gebruik, hebben de betreffende bijbeschreven rechten betrekking. En dit wordt door Ptolemaeus inderdaad genoemd "de behandeling van rechten op de cirkel".*) Die hebben latere geleerden, en vooral in deze eeuw, vermeerderd met prachtige toevoegingen.

  'Bijbeschreven' bedoel ik nu niet met de strikte betekenis zoals Meetkundigen gewend zijn, voor wie alleen de bij de cirkel ingeschreven of rakende rechten onder deze naam komen; maar ook rechten getrokken vanuit het middelpunt die de omtrek snijden; zoals ze stuk voor stuk op hun plaats zullen worden uitgelegd. Een bepaald gebruik van deze rechten heeft Archimedes gegeven in zijn meting van de cirkel; en dit beginsel heeft Ptolemaeus ook gevolgd in het zesde boek van zijn grote werk.
Maar daarvan breidt zich verreweg het wijdste veld uit over de hele Wiskunde, wanneer in vlakke Driehoeken, of boldriehoeken, uit drie gegeven termen de overige drie worden gevonden; en daarom wordt het ook wegens het belangrijkste nut genoemd Canonieke Leer van Driehoeken.

  En verder, daar de hoeken in het middelpunt zijn zoals de omtrekken


[ *)  Ptolemaeus, Almagestum, Ven. 1515, p. 7.  Zie Wikipedia, 'Ptolemy's table of chords'.]

[ 3 ]
waarop ze staan, is daarvan gekomen dat de omtrekken zelf als maat voor de hoeken genomen kunnen worden. Zodat we kunnen begrijpen dat een rechte hoek bepaald wordt door 90 graden, een scherpe door minder, een stompe door meer. En zo kunnen dan ook die bij­beschrevenen niet alleen betrekking hebben op hun omtrekken, maar ook evenzeer op de hoeken die op die omtrekken staan. Aangezien, zoals we hebben gezegd, de maat voor een hoek de omtrek is, beschreven vanuit de top ervan als middelpunt.

  Verder worden bij omtrekken hier zowel een gegeven omtrek, als het complement ervan dikwijls als gedeelten genoemd. Want want het is hetzelfde gezegde als over hoeken wordt verstaan: Complement is het verschil van een gegeven omtrek met het kwadrant.

  Of een gegeven omtrek nu groter is dan een kwadrant of kleiner; maar zoals elke hoek kleiner is dan de twee rechten, zo is een gegeven omtrek ook altijd kleiner dan de halve cirkel, zoals wanneer in de volgende tekening eo als gegeven wordt genomen, dan zal het complement ervan zijn or. En als de omtrek iro groter wordt genomen, zal niettemin or het complement ervan zijn. Hetzelfde is er bij hoeken, zoals: het complement van een scherpe hoek moet zijn het tekort ervan ten opzichte van een rechte hoek; van een stompe hoek het overschot ervan boven een rechte hoek, als ze tenminste niet te verwaarlozen zijn.

PROPOSITIE  II.

Rechten met betrekking tot hun omtrekken zijn sinus, tangens en secans.

I: cirkel, lijnen ZOALS hier in de getoonde tekening: laat a het middelpunt zijn van een cirkel, de omtrek oe, de straal ae, de loodlijn vanuit het einde o op de straal ae zij ou, de loodlijn op de diameter in het uiteinde es, en de door het einde o doorgetrokken straal as. Hier is ou de sinus van omtrek oe; es de tangens ervan; en as de secans.
[ 4 ]
In de Meetkunde worden de tangens [>] en de secans [>] wel oneindig genoemd, en worden ze met geen enkele zekere en vaste afmeting opgevat; doch hier worden ze beperkt door voorgestelde omtrekken, en hebben ze een volgens deze bepaalde grootte. Die dubbelzinnigheid moest dus worden opgeheven, en uit de weg geruimd met de maat van hun omtrekken.

PROPOSITIE  III.

Sinus rectus is de rechte vanaf het ene einde van de omtrek, getrokken loodrecht op de diameter door het andere.

DE naam Sinus is, althans met deze betekenis, de Latijnse taal vreemd. En hij is in gebruik gekomen in die Barbaarse eeuw, toen ook Griekse schrijvers aan de Arabieren werden ontleend, want naar het schjnt hebben Arabieren als eersten in plaats van de ingeschreven rechten die voor het oude Griekenland gewoon waren, de helft ervan genomen, met zeer groot voordeel. En zo wordt dan door Geber in de vertaling van Gerard van Cremona de Sinus van een boog gedefinieerd, als de helft van de koorde van de dubbele omtrek*), zodat deze naam door de Cremonenzer voor het eerst in de scholen is gebracht, of wanneer deze al eerder aanvaard was, door hem is gebruikt.
Tenzij hij misschien pas door Apianus is ingevoerd, in elk geval is het zo dat Plato Tiburtinus, die veel recenter is dan de Cremonenzer, en die Albategni heeft vertaald, Geber heel anders sprekend opvoert°). "Wanneer je dus" (zegt hij) "een koorde van welke graad ook uit deze gehalveerde koorden met de tabel te weten wilt komen, zoek dan in de tabel van de gehalveerde koorden", enz. Dus hebben onze voorgangers de gehalveerde koorde in het Latijn de sinus genoemd.
En daarom, aangezien deze naam nu gewoonlijk gebruikt wordt, kan hij wegens de uitstekende kortheid inderdaad behouden worden. Laat nu [in dezelfde tekening] de omtrek oe gegeven zijn, de diameter ei, de rechte vanuit het andere


[ *)  'Gebri filii Affla Hispalensis, De Astronomia libri IX', in Petrus Apianus, Instrumentum primi mobilis, Norimb. 1534, fol. b.r: "De eerste Sinus rectus is de helft van de koorde van de boog die het dubbele is van de boog waarvan hij de sinus is, oftewel de helft van de koorde bij de hele boog.".]
[ °)  Rudimenta astronomica Alfragani, Item Albategnius ... De motu stellarum, Norimb. 1537, 'Liber Mahometi Filij Geber filij Crueni, qui vocatur Albategni, In numeris stellarum, et in locis motuum earum ...', vertaling van Plato Tiburtinus (tussen 1134 en 1138), tijdgenoot van Gerard van Cremona.
Citaat in cap. 3, p. 7 (r. 15), txt. NB: niet van de eerder genoemde Geber.]

[ 5 ]
I: cirkel, lijnen uiteinde o die hierop loodrecht staat, ou, zal zijn de sinus van omtrek oe. Of als genomen wordt de omtrek oey, onderspannen door de rechte oy, en als de straal ae hier loodrecht op staat, dan zal die de ingeschrevene oy en de omtrek oey doormidden delen; dus de helft ou van deze ingeschrevene, die behoort bij de halve omtrek oe, is de siinus ervan.
Ptolemaeus [<], en enige eeuwen eerder Hipparchus, en voor Hipparchus ongetwijfeld ook zowel Egyptenaren als Babyloniërs, hebben gebruik gemaakt van tabellen van ingeschreven rechten. Wij nemen langs kortere weg de helft van de ingeschrevenen, oftewel de sinus. Verder is ook van de andere omtrek or de sinus ol, dat is de sinus van het complement*) van de gegeven omtrek oe, of van oi.   Dus:

De Sinus is gemeenschappelijk voor een omtrek kleiner dan een kwadrant, en voor het supplement ervan.

  Supplement°) noem ik nu het verschil van de gegeven omtrek met de halve cirkel, gewoonlijk complement tot de halve cirkel; maar aangezien deze omschrijving lastig is, en het veiliger is verschillende dingen te onderscheiden met verschillende namen, zal voor ons het complement, zoals we het hierboven hebben gedefinieerd [<], alleen zijn het verschil tussen een gegeven omtrek en een kwadrant, doch het supplement het overschot van een halve cirkel boven een gegeven omtrek, en daarom moet een gegeven omtrek steeds begrepen worden als kleiner dan een halve cirkel.

  Zoals immers de ingeschreven oy de gemeenschappelijke basis is voor het kleinere gedeelte oey, en het grotere oiy, zo wordt het ook gezegd van de helft ou van de ingeschrevene, ten opzichte van de beide omtrekken oe en ori.


[ *)  De "sinus van het complement" heet tegenwoordig: cosinus, zie 'History of Trigonometry'.]
[ °)  Lat.: 'residuum'.]

PROPOSITIE  IV.

Sinus versus is het gedeelte van de diameter tussen de sinus rectus van de omtrek en het tussenliggende einde ervan.

ZOALS in dezelfde tekening bij gegeven omtrek oe, de sinus rectus zal zijn ou, loodrecht op de diameter, en de sinus versus ue.

[ 6 ]
Maar als de gegeven omtrek ori is, zal de sinus rectus wel dezelfde ou zijn; doch de sinus versus de rechte ui. En Vitello heeft deze naam met die betekenis gebruikt in prop. 12 van lib. 5 en 38 van lib. 9, en daar noemt hij hem 'pijl'.*)
        Dus:
De sinus versus van de kleinere gegeven omtrek, is het verschil tussen de sinus van het complement ervan en de straal; en van de grotere de som daarvan en de straal.
  Zoals hier or het complement is van elk van beide omtrekken eo en oi, de sinus ervan ol of au; als deze wordt afgetrokken van de straal ae wordt gegeven de sinus versus ue van de omtrek oe. Als je daarentegen ou optelt bij de straal ai zal gegeven worden de sinus versus iu van de omtrek oi die groter is dan het kwadrant.


[ *)  Opticae thesaurus, Bas. 1572, met: Vitellonis Thuringopoloni Opticae libri X, p. 197, r.4 (bij bolle spiegel) en 395, r.5-4 van onder (bij brandspiegel).
'Pijl' ook bij Simon Stevin, in Driehouckhandel, fol. 1: "Houckmaetpyl is deel der middellijn tusschen t'uyterste des houckmaets en des omtrecx".]

PROPOSITIE  V.

De sinus rectus van een omtrek en die van het complement maken gelijkelijk gebruik van de straal.

I: cirkel, lijnen WANT ou en au waaraan ol gelijk is, omvatten een rechte hoek, onderspannen door de straal ao.

  Om van in de cirkel ingeschreven rechten de grootte te bepalen heeft Ptolemaeus, volgens de gewoonte in het oude Griekenland, de diameter van de cirkel genomen met een verdeling in 60 delen. en de afzonderlijke delen verdeelde hij in zestig deeltjes; en zo voorts, en wel aangezien de berekening, die in die tijd zeer langzaam verliep, en heel ingewikkeld was, met dit zestigtallig stelsel enigszins vlotter zou gaan; en deze manier is ook in latere jaren door velen dikwijls gebruikt°).
Toch heeft intussen die verdeling van de straal zich gehandhaafd, met recht en verdiend, die Regiomontanus en zijn leermeester Peuerbach, zuivere geesten, in Wiskundige Tabellen hebben ingevoerd. Zodat een straal verdeeld werd in een aantal duizenden delen als met een continue voortgang van tienden. Namelijk in 100000,


[ °)  Ook nog door Ph. Lansbergen, zie b.v. Hortensius' Dissertatio de Mercurio in Sole viso (1633), p. 18.]


[ 7 ]
10000000, of nog meer deeltjes; en volgens deze deeltjes werden de sinussen gevonden van welke omtrekken dan ook. En opdat de zaak niet tot in het oneindige zou gaan, en een bepaalde regel zou worden gesteld aan de veelheid van sinussen, die voor elk gebruik voldoende zou zijn, hebben ze het kwadrant eor van de omtrek verdeeld in 90 graden, en afzonderlijke graden in 60 deeltjes, die scrupula of minuten worden genoemd. Zodat moet worden begrepen dat alle omtrekken van een kwadrant in 5400 deeltjes verdeeld zijn, en er even­zoveel sinussen in de Sinus­canon gerangschikt moeten worden.

  Verder, voor het onderzoek daarvan wordt de eerste weg geplaveid met de zijden van regelmatige veelhoeken, die inderdaad met passer en liniaal volgens de Elementen in een cirkel worden ingeschreven.

PROPOSITIE  VI.

De helften van de zijden van een ingeschreven Driehoek, vierkant, vijfhoek, zeshoek, tienhoek, zijn de sinussen van 60, 45, 36, 30, en 18 graden.

WANT als je de hele omtrek van 360° deelt door 3, 4, 5, 6, 10, zal gegeven worden het aantal graden, onderspannen door de afzonderlijke zijden, namelijk 120, 90, 72, 60, 36. Zoals in de eerste tekening: als oy een zijde is van een regelmatige driehoek, ingeschreven in de cirkel, zal de omtrek oey zijn 120 graden, dus zal de helft oe zijn 60°, en de helft ou van de ingeschrevene de sinus ervan, en zo met de overige.

  En de grootte van deze zijden is te halen uit de Elementen.

  De zijde van de ingeschreven zeshoek is gelijk aan de straal van de cirkel, dus als de straal 100 000 000 is, zal de helft 50 000 000 ervan de sinus van 30 graden zijn.

  Het kwadraat*) van de Driehoekszijde is driemaal het kwadraat van de cirkelstraal; dus zal het kwadraat ervan 30 000 000 000 000 000 zijn,


[ *)  Lat.: "Latus Trianguli potest ...", zie Egbert Buys, Nieuw en volkomen Woordenboek van Konsten en Wetenschappen, 8 (Amst. 1777), p. 772, "Potentia ... eene zekere grootte, die ontstaat, als men eene andere grootte, die dan Radix of Latus wordt genaamd, met zig zelf multipliceert ... Potentia Secundi gradus of Quadratum ...", macht van de tweede graad of kwadraat.]

[ 8 ]
en van deze zijde 173 205 081, zal de helft 86 602 540 de sinus van 60° zijn.

  Het kwadraat van de vierkantszijde is tweemaal het kwadraat van de straal, dus die zal zijn 141 421 356, en de helft 70 710 678 ervan de sinus van 45°.

  De tienhoekszijde is het grootste gedeelte van de straal, verdeeld in uiterste en middelste reden*). Die zal dus zijn 61 803 399, en de helft 30 901 699 ervan de sinus van 18°.

  Het kwadraat van de vijfhoekszijde is gelijk aan de som van de kwadraten van zeshoekszijde en tienhoekszijde, ingeschreven in dezelfde cirkel. Hiermee zal ons dus de vijfhoekszijde gegeven worden als 117 557 050, waarvan de helft 58 778 525 de sinus van 36° zal zijn. [>]

  En ook de vijftienhoek, en de zijden van veelhoeken, afgeleid uit de vorige door voortdurende tweedeling, en de complementen ervan, en die welke gevonden kunnen worden door optelling of aftrekking van de omtrekken waarvan de ingeschrevenen gegeven worden, zijn noodzakelijk voor het vinden van de meeste sinussen; en daarom zetten we voor het opsporen ervan de volgende theorema's hier onder.


[ *)  Wikipedia 'Gulden snede', Engl.: "The golden ratio was called the extreme and mean ratio by Euclid", Book 6, Def. 3.]

PROPOSITIE  VII.

De rechthoek, bevat onder het verschil van een ingeschrevene met de diameter, en de straal, is gelijk aan het vierkant op de ingeschrevene van de helft van het supplement.*)

2: halve cirkel, lijnen DIT heeft Ptolemaeus ook bewezen in boek 1, cap. 9 van zijn Grote werk, en het is zo geschikt voor tweedeling, en wel het meest voor ons, omdat de straal wordt genomen met een verdeling in duizendsten, zodat vermenigvuldiging daarom niet nodig is. Vanaf het ene einde van de diameter is ingeschreven ei, en op de diameter daaraan


[ *)  Dit is propositie I in W. Snellius, Cyclometricus, 1621 (p. 1) en Prop. II daar is hier Prop. VIII; dat werk wordt hierna aangehaald op p. 15.]

[ 9 ]
gelijk is eu en het supplement io van de omtrek is doormidden gedeeld in yo. Ik zeg dat de rechthoek bevat onder ao en ou gelijk is aan het vierkant op de ingeschrevene oy.
Laat namelijk verbonden worden yu, ya en ye, aangezien dan de hoeken iey en uey, met gelijke benen, staan op gelijke omtrekken, zullen ze de basissen iy en uy gelijk hebben. De driehoek uoy is gelijkbenig. En hij zal gelijkvormig zijn met de gelijkbenige driehoek aoy, omdat de hoeken bij de basis onderling gelijk zijn. En daarom zullen de zijden ao, oy en ou ook continu evenredig zijn, en zal de rechthoek op de uitersten ao en ou gelijk zijn aan het vierkant op de middelste oy. Wat bewezen moest worden.

  Zoals wanneer genomen wordt ei voor de koorde van 36°,*) of de zijde van een tienhoek, 61 803 399, en gesteld dat de diameter 200 000 000 deeltjes heeft, dan is het supplement van de omtrek daarvan 144°; en van de helft 72° hiervan wordt de koorde gezocht.
De zijde van de tienhoek wordt afgetrokken van de diameter, wat 138 196 601 overlaat; dit getal vermenigvuldigd met de straal zal geven 138 196 601 00 000 000, het kwadraat van de ingeschrevene van 72° en daarom is de koorde oy zelf 117 557 050, waarvan de helft 58 778 525 de sinus is van 36°. [<]

  Als je dat kwadraat zou aftrekken van het kwadraat van de diameter, zou wat overblijft zijn het kwadraat van ye, namelijk 26 180 339 900 000 000, waaruit gemakkelijk blijkt: als je de gegeven ingeschrevene optelt bij de diameter, en dan vermenigvuldigt met de straal, geeft dit het kwadraat van de ingeschrevene onder de omtrek, samengesteld uit de gegeven omtrek en de helft van het complement°). Maar dit kan ook al uit de Meetkunde zelf worden gehaald.


figuur p. 8 met ei = 36 graden[ *)  In de figuur van p. 8 is de genoemde boog ei veel groter.
Om verwarring te voorkomen zie deze tekening:
ei als zijde van een tienhoek, oy van een vijfhoek.]

[ °)  ey onderspant (is koorde van) omtrek eiy.
(2 R + ei) R = ey² , want: ey² + oy² = 4 R² , en:
(2 Rei) R = oy² , volgens Prop. 7.]

[ 10 ]
PROPOSITIE  VIII.

De rechthoek, bevat onder de rechte vanaf de diameter plus een ingeschrevene, en de straal, is gelijk aan het vierkant op de ingeschrevene die zowel de gegeven ingeschrevene als de helft van het supplement onderspant.

3: halve cirkel, lijnen LAAT de ingeschrevene zijn ei, de helft van het supplement iy, de samen­gestelde koorde ey, en laat aan ei gelijk zijn ou.
Ik zeg dat de rechthoek ue bij ea, gelijk is aan het vierkant op ey. Want laat es gelijk zijn aan die ei, dan zal sy gelijk zijn aan de rechte yo, volgens de voorgaande propositie. En daarom zijn ook de inwendige hoeken bij s en o gelijk, en derhalve ook de uitwendige esy en uoy, en daar ze gelijke benen hebben, zullen ze gelijke bases ey en uy hebben.
En de gelijkbenige Driehoek uey zal gelijke hoeken hebben met de gelijkbenige driehoek eay, omdat ze hoek e gemeenschappelijk hebben. En daarom zijn dan de zijden ue, ey en ea continu evenredig, en zal het vierkant op ey gelijk zijn aan de rechthoek ue bij ea.

  Laat de omtrek ei een tiende deel zijn van de hele cirkel, 36°, het supplement iyo dus 144°, de helft hiervan iy is dan 72°. En laat gegeven zijn dat ei van 61 803 399 delen is; hierbij opgeteld de diameter eo geeft voor de gehele eu 261 803 399, het product van ue met de straal ea, 26 180 339 900 000 000, is gelijk aan het kwadraat van ey; hieruit volgt ey zelf als 161 803 399,*) de koorde van 108°, waarvan de helft 80 901 699 de sinus van 54° is.

  En zo zal dan elk van deze beide sneden voortdurend om en om genomen kunnen worden, waarmee ingeschrevenen en sinussen van zeer veel omtrekken te vinden zijn, die als ze niet eindigen op hele minuten, niet in de Canon van sinussen


[ *)  De uitkomst hoeft niet verrassend te zijn: ey = yu = au = R + ei.]

[ 11 ]
moeten worden gezet, omdat die alleen op hele graden en minuten zijn gerangschikt. Tenzij je misschien zoals die Grote Rheticus de deeltjes ook hebt verdeeld in minuten; hij heeft die canons voortgezet tot zesde delen van minuten*).

  Laat ik er een voorbeeld bijzetten dat verder gaat met dit voorgaande volgens tweedeling, om een beeld te geven, aangenomen dat de straal verdeeld is in 100 000 000 deeltjes.



gr.   min.
Ingeschreven
koorden.

gr.   min.
Ingeschreven
koorden, suppl.
72.    0 117557050 108.  0 161803399
36.    0 61803398 144.  0 190211303
18.    0 32186893 162.  0 197537668
  9.    0 15691819 171.  0 199383466
  4.  30 7851968 175. 30 199845807

  Van deze ingeschrevenen zullen de helften zijn de sinussen van de halve omtrekken, in deze volgorde en op deze manier.

gr.   min. Sinus. gr.   min. Sin. Compl.
36.   0 58778525 54.   0 80901699
18.   0 30901699 72.   0 95105651
  9.   0 15643446 81.   0 98768834
  4.  30 7845909 85.  30 99691733
  2.  15 3925984 87.  45 99922903

  Nu moet je er op letten dat de sinus totus in het begin altijd minstens twee of drie cirkels goter genomen moet worden, dan die volgens welke je de tabellen wilt opstellen, wegens de onzekerheid en de verscheidenheid van berekening. Zo is hier de sinus van 2° 15' wel gevonden als 3925984, maar in werkelijkheid is die toch kleiner, namelijk 3925981,


[ *)  G. J. Rheticus, Canon doctrinae triangulorum Lips. 1551: 10 000 000 delen; later, in Opus Palatinum (1596, postuum, ed. Valentinus Otho), fol. b3v: "alium Canonem ... Decades Secundorum ... part. 10 000 000 000", zoals hiervoor genoemd op p.*4.]

[ 12 ]
aangezien de sinus totus wordt gesteld op 100 000 000, zodat dat getal slechts tot zeven cirkels helemaal goed kan zijn.

  De oorzaak hiervan zullen we ook laten zien, opdat dit geval niet toevallig lijkt. Daar nameijk de ingeschrevene van 171°, 199383466, afgetrokken van de diameter, overlaat 618634, met slechts zes cijfers, zal dit overblijvende getal, vermenigvuldigd met de straal, ons niet meer dan hoogstens zes helemaal goede cijfers geven. Maar hier zijn er zeven; waardoor veroorzaakt wordt dat het laatste cijfer noodzakelijk onzeker is en afwijkend van de waarheid; als je dus op deze manier verder wilt gaan met tweedeling, was het nodig geweest vanaf het begin de straal met twee of drie cijfers groter te nemen. En door dan zo omtrekken van veelhoeken doormidden te delen, en welke andere dan ook, zal het mogelijk zijn tot in het oneindige verder te gaan, als je maar de grootte van de straal in het begin geschikt neemt.

  Volgt het vinden van ingeschrevenen, wanneer uit gegeven koorden van hun omtrekken ook de koorde van de som of van het verschil wordt gegeven.

PROPOSITIE  IX.

Als een vierhoek is ingeschreven in een cirkel, zijn de twee rechthoeken van tegenover elkaar liggende zijden, samen gelijk aan de rechthoek van de diagonalen.

4: cirkel, lijnen UIT Ptolemaeus cap. 9 van lib. 1, die deze aan Hipparchus heeft ontleend. Laat in een cirkel zijn ingeschreven de vierhoek aeio, waarvan de diagonalen zijn ai en oe.
Ik zeg dat de rechthoek ai op oe gelijk is aan de rechthoeken van de tegenover­liggende zijden, ae op oi, en ao op ei.
[ 13 ]
Want als de tegenover elkaar liggende zijden gelijk zijn, dan zal inderdaad volgens de Elementen de rechthoek van de diagonalen, gelijk zijn aan de rechthoeken van de tegenover elkaar liggende zijden; want het kwadraat van de basis van een rechte hoek is gelijk aan de kwadraten van de benen.
Maar als de tegenover elkaar liggende zijden ongelijk zijn, zoals hier, dan wordt aan de hoek aoe gelijkgesteld een hoek iou. Aangezien dan oiu en oea op dezelfde omtrek staan, zullen deze ook gelijk zijn; en daarom zal driehoek oiu met driehoek oea de hoeken gelijk hebben en de zijden evenredig. Dat wil zeggen: zoals ae tot eo, zo staat ui tot io.
Precies evenzo, aangezien volgens de constructie aoe gelijk is aan hoek iou en hoek uoe er gemeenschappelijk in zit, zal ook hoek ioe gelijk zijn aan hoek aou. Maar ook oau en oei zijn op dezelfde omtrek gelijk, en driehoek aou is daarom gelijkvormig met driehoek oei. Dat wil zeggen: zoals ao tot au, zo staat oe tot ei.
En daarom zullen gelijk zijn de rechthoek ae op oi aan de rechthoek oe op iu, en de rechthoek ao op ei aan de rechthoek oe op au. Dat wil zeggen dat de twee rechthoeken van tegenover elkaar liggende zijden samen gelijk zullen zijn aan de rechthoek van de diagonalen. Wat te bewijzen was.
En door Ptolemaeus worden hieruit twee gevolgtrekkingen afgeleid.

GEVOLGTREKKING  I. * 'kata sunthesin'. (* door
samenstelling.)

Als twee ingeschrevenen gegeven zijn, wordt gegeven de ingeschrevene die beide onderspant.

5: cirkel, driehoek ALS namelijk ai een zijde is van een vierkant, van 141421356 deeltjes, zoals waarvan de diameter van de cirkel er 200000000 heeft; en ae de zijde van een zeshoek, 100000000; en gevraagd wordt ei die beide onderspant; te weten die 60 en 90, dat is 150 graden tegelijk onderspannend:

[ 14 ]
Laat de diameter zijn ao, waarvan de ingeschrevenen ae en ai weggaan naar tegengestelde kanten; met deze twee zullen dan de naar het eind van de diameter getrokken eo en io een rechte hoek omvatten. En daarom zal uit de gegeven ae ook gegeven worden eo, 173205081, en uit ai die io, 141421356.
Van de vierhoek aeio worden dus de vier zijden gegeven, en daarom ook de twee rechthoeken van de zijden tegenover elkaar, ae op io, en ai op eo, waarvan aangetoond is dat de som gelijk is aan de rechthoek van de diagonalen, ao op ei; deze gedeeld door de diameter ao, 200000000, zal de andere diagonaal ei geven de koorde van 150 graden, 193185165; waarvan de helft is 96592582. Het is de sinus van 75 graden.
En met dezelfde procedure bij allemaal, zal de ingeschrevene gegeven worden die twee gegeven ingeschrevenen onderspant; waarmee duidelijk is dat de sinus van zeer veel omtrekken te geven is.

GEVOLGTREKKING  II. * 'kata huperochèn'.
(* door verschil.)

Als twee ingeschrevenen gegeven zijn, wordt gegeven de ingeschrevene die het verschil van de omtrekken ervan onderspant.

6: cirkel, driehoek boven diameter IN deze tekening moet ai weer de zijde van een vierkant zijn, en ae de zijde van een zeshoek in een halve cirkel, aan dezelfde kant van de diameter; en gevraagd wordt ei, de koorde van het verschil van hun omtrekken. In het begin zullen dus, zoals hiervoor, gegeven zijn de overige ingeschrevenen aan de halve cirkel eo, en wel 173205081, en io 141421356. Als je dus de rechthoek van de zijden ae op io, aftrekt van de rechthoek van de diagonalen ai op eo, blijft over de rechthoek ao op ei.

[ 15 ]
Maar nu wordt de diameter ao gegeven als 200000000; dus kan ook gegeven worden de andere zijde ei, 51763809, de ingeschrevene van 30 graden, waarvan de helft 25881904 de sinus is van 15 graden. En dan zo bij andere, volkomen overeenstemmend. Hiermee zijn dus heel veel omtrekken te vinden, door samenstelling en door verschil.

  Maar voor absolute vervolmaking van de gehele Canon is dit niet toereikend, als niet ook de sinus van één minuut kan worden geleverd. En hoe bewerkelijk dit is geweest is overal te zien bij degenen die besloten hebben deze kunst niet als bijzaak te behandelen. Maar wij zullen, onze regels volgend, heel vlot leveren wat anderen op een heel bewerkelijke manier najagen.

PROPOSITIE  X.

Van een juiste omtrek de bijbehorende ingeschrevene met getallen even dicht te benaderen, als de gegeven verhouding van de diameter tot de hele omtrek is.

DE propositie is de achtendertigste van onze Cyclometricus*), aangezien we namelijk vóór propositie 31 daarvan hadden laten zien dat, als de diameter gesteld is op 20 000 000 en de omtrek op 62 831 853,°), daarmee dan de sinus gegeven wordt van één graad in dezelfde delen; nauwkeurig als de diameter van acht cijfers gesteld wordt de sinus van een halve graad in dezelfde delen, als het dertien cijfers zijn de sinus van één minuut, als het er negentien zijn ook de sinus van één seconde. Met deze dingen daarvan aangenomen zullen we nu de manier en berekening van de tekening uitleggen.
Laat dus ons voornemen zijn, de koorde van twee minuten, of de sinus van één minuut te vinden.


[ *)  W. Snellius, Cyclometricus, De circuli dimensione secundum Logistarum abacos ..., Leiden 1621. Prop. XXXVIII (p. 76). De figuur daar op p. 77 geeft hetzelfde (afgezien van het nummer "55.") als die hierna op p. 16.]
[ °)  Op p. 49 (prop. 31): "met diameter 100,00000 is de omtrek ... 31415926½".. Op p. 54: π (Pi) met 34 decimalen nauwkeurig; op p. 17-18: omtrekken van veelhoeken, 80-, 160-, 320-hoek ..., dat is met tienmaal 2^3, 2^4, 2^5 ... 2^23 hoeken.
Zie over Snellius en Ludolph van Ceulen: L. C. de Wreede, Willebrord Snellius (1580-1626) a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences (Utrecht 2007), p. 82-83.]

[ 16 ]
55: halve cirkel, lijnen   Laat yi de omtrek zijn van 1 minuut en ui de raaklijn, ao gelijk aan de straal; de rechte vanuit a door y die de raaklijn ontmoet in u zal dus de rechte ui afsnijden, die volgens de uiteengezette bepalingen aan de omtrek yi gelijk is*). Laat de sinus van omtrek yi zijn ys, en op ay loodrecht er.
Aangezien dus volgens de uiteengezette verhouding van de diameter 20 000 000 000 tot de omtrek 31 415 926 536 de omtrek van één minuut 2 908 882 is, maar een heel klein beetje kleiner, zal dus ui ook zo groot zijn. Dus uit de kwadraten van ai en ui wordt ook gegeven het kwadraat van au 30 000 000 141, en dan daarmee deze verhouding: zoals au 30 000 000 141, tot ui 2 908 882, zo is ae 20 000 000 000 tot er 1 939 254.
Het kwadraat hiervan afgetrokken van het kwadraat van ae zal ons geven de rechte ar 19 999 999 906; en van ey afgetrokken zal het geven yr 9 999 999 812. Waaruit de hele ay wordt gegeven als 29 999 999 718. En hieruit volgt wegens gelijkheid de verhouding: zoals ae 20 000 000 000 tot er 1 939 254, zo is ay 29 999 999 718, tot ys 2 908 881.

  Ik heb in dit werk overal de ondergrens gevolgd en daarom is deze sinus een eenheid te klein; die moest namelijk zijn 2908882. Als je hem tot tien cijfers goed had willen hebben had je de grens in het begin tot elf cijfers moeten nemen.

  En hiermee is dan de gehele sinustabel te voltooien door een samenstelling te maken. Ja zelfs als je een sinus verlangt, terwijl je geen tabellen hebt, voor een gegeven omtrek die niet groter is dan 22° 30' bij een straal van 10000, dan zal deze zelfde weg je die opleveren. En nog veel gemakkelijker als bij een gegeven sinus de bijbehorende omtrek wordt verlangd. Maar ga naar onze Cyclometricus°), waar we dit zorgvuldiger hebben behandeld.

  Anderen benaderen de sinus van één minuut met voortdurende tweedeling


  [ *)  Dat is een juiste benadering:  

      De omtrek van 1 minuut is:
sin 1' = 0,000 290 888 205,
tan 1' = 0,000 290 888 217,
arc 1' = 0,000 290 888 209 rad.]
[ °)  Cyclometricus, prop. 33: "Een lijn te geven die een gegeven omtrek zo dicht benadert als men wil.", p. 58 e.v.]

[ 17 ]
en daarna een verhouding. Weer anderen doen het degelijker en eleganter met analytische vergelijkingen; onder wie die Grote Koorleider Viète in zijn antwoord*) op het Probleem van Adrianus Romanus. Ik denk dus dat je daar naartoe moet gaan. Wij hebben gevolgd wat we zelf hadden, als eenvoudiger en geschikt voor gebruik.

  En laat dit tot hiertoe gezegd zijn over het bewerkelijke vinden van ingeschrevenen volgens hun eigen regels, maar er zijn ook geschikte bekortingen gevonden voor dit werk, waarmee zeer veel ingeschrevenen of sinussen niet moeilijk te vinden zijn.


[ *)  Franciscus Vieta, Ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, Par. 1595.]

PROPOSITIE  XI.

Als twee omtrekken even ver af zijn van een derde deel van de cirkel, zal het verschil van hun ingeschrevenen gelijk zijn aan de ingeschrevene van de afstand.

7: cirkel, lijnen, boogje EEn theorema dat handig is voor het vinden van heel veel sinussen door alleen optellen of aftrekken.
Want laat ai een zijde van een gelijkzijdige driehoek zijn; en Vanaf punt i de omtrekken iu en io aan weerskanten gelijk; daarbij ingeschreven ao en au vanaf een uiteinde van de diameter.
Ik zeg dat het verschil van de ingeschrevenen ao en au gelijk is aan de ingeschrevene oi of iu.
Want laat aan die ao gelijk zijn ay, en verbing i met y; dan hebben de driehoeken aio en aiy, om hoeken die volgens hypothese gelijk zijn, de zijden gelijk, en daarom zijn ze gelijkhoekig, en gelijkzijdig; zodat oi en iy gelijk zijn.
Maar oi en iu zijn ook gelijk; en daarom zullen de benen yi en iu gelijk zijn. En de hoek aui staat op een derde van de cirkel; en

[ 18 ]
daarom is yui gelijk aan 2/3 van een rechte hoek; en hoek iyu is daaraan gelijk; en de overblijvende yiu zal daarom ook 2/3 van een rechte hoek vullen. Zodat driehoek yiu gelijkzijdig zal zijn.

  Hiermee zullen zelfs bij alle gegeven ingeschrevenen tot 120°, alle overige tot 180° ook te geven zijn door middel van optelling alleen.
  Zoals wanneer genomen wordt de ingeschrevene van 108°, 161803399, en gezocht wordt de ingeschrevene van 132°, de afstand van beide tot 120° is 12°. De ingeschrevene hiervan is 20905692, deze opgeteld bij de ingeschrevene van 108° zal de ingeschrevene van 132° geven: 182709092. Waarvan de helft 91354546 de sinus van 66° maakt, als de halve diameter gesteld is van 100000000 deeltjes.

  En andersom: als de grotere ingeschrevene is gegeven, en de ingeschrevene van het verschil, zal de ingeschrevene worden gegeven die evenveel kleiner is, als de voorgestelde groter was dan 120°.
        Dus
Als twee omtrekken even ver af zijn van een zesde deel van de cirkel, is de sinus van het verschil gelijk aan de sinus van de afstand.

  De gevolgtrekking is onmiddelijk duidelijk uit de voorgaande propositie: want wat daar waar is over hele ingeschrevenen, is het hier ook over de helften ervan. De sinus van 45° is 70710678, de sinus van 25° is 25881905, deze samen zullen geven 96592583, wat de sinus is van 75°. Want 15 en 60 maken samen dit getal.

  En zo moet dan de Canon van sinussen volgens afzonderlijke minuten door ons opgemaakt en in volgorde verwerkt worden; maar buiten de cirkel moeten ook de Tangens en de Secans worden beschouwd.


[ 19 ]
PROPOSITIE  XII.

De Tangens is een rechte met betrekking tot een omtrek, aan deze rakend in het ene eind, en onderschept door de straal getrokken door het andere eind.

IN Meetkundige zaken wordt een oneindige rechte die aan een cirkelomtrek raakt weliswaar gedefinieerd zonder enige betrekking tot de delen waaraan gewoonlijk wordt afgemeten. Doch hier worden van deze oneindige rechte lijn delen verbonden met bepaalde delen van de omtrek.

I: cirkel, lijnen   Laat in de getoonde tekening de gegeven omtrek zijn eo, en de rechte in e de raaklijn, die de verlengde straal ao door het andere einde ontmoet in s; dan wordt es de tangens genoemd bij de gegeven omtrek eo

  Maar die wordt ook de tangens genoemd bij de rest van de omtrek van de halve cirkel; omdat dezelfde es ook de tangens is van de omtrek ori. Laat namelijk de straal ao verlengd worden naar m, dan zal de hoek iao aan de hoek mae, en daarom de omtrek ori aan de omtrek eym gelijk zijn.
Terwijl dus se met de verlengde am niet kan samenkomen in de richting van m, omdat mae stomp is, zal toch ma ermee samenkomen in de richting van o, in s; en zo zal es volgens de gestelde definitie ook de tangens zijn van omtrek eym; zoals namelijk de sinus gemeen­schappelijk is voor een grotere en een kleinere omtrek, zo is het ook met de tangens.


[ 20 ]
PROPOSITIE  XIII.

Zoals de sinus van het complement tot de sinus van de gegeven omtrek, zo is de straal tot de tangens van dezelfde gegeven omtrek.

DE zaak is duidelijk in dezelfde tekening; aangezien immers de driehoeken auo en aes gelijkvormig zijn, omdat de straal ae loodrecht staat op zowel ou als op es, geldt: zoals au tot uo, zo is ae tot es. En als de gegeven omtrek oe is, zal de sinus van het complement zijn ol, of daaraan gelijk au.

  En zo zal dan met een gegeven canon van sinussen, ook een canon van tangensen met alleen deling voltooid worden. Want laat oe een omtrek zijn van zestig graden, or van dertig. Dan zal gelden: zoals au 50000000 de sinus van omtrek or, tot uo 86202540 de sinus van omtrek oe, zo is de straal, of de sinus totus 100000000, tot 173205080 de tangens van 60 graden.
Maar om deze naar behoren op te stellen, bij een schatting van de diameter van zeven cijfers, is het nodig dat de sinustabellen worden opgemaakt met minstens negen cirkels; want zoals we hierboven [<] hebben opgemerkt, bij veelvoudige samenstelling, deling, verdubbeling, doet zich een fout voor in de laatste cijfers die, als je niet oppast, ook voorkomt in die cijfers die je helemaal goed wilt hebben en zonder enig gebrek. Zeker bij de uiterste grenzen van de Canon, bij de laatste graden, zal het nodig zijn dat de sinussen zijn opgemaakt met tot wel elf of twaalf cirkels. En in dit voorbeeld dat we hierboven hebben gezet, zou de tangens naar behoren moeten zijn 173205080 76/100, wat bijna een hele eenheid uitmaakt.


[ 21 ]
PROPOSITIE  XIV.

De straal is middelevenredig tussen de tangens van een omtrek en die van het complement.

8: halve cirkel, lijnen LAat in de voorgestelde tekening de gegeven omtrek zijn ey, en de tangens ervan ei; het complement yo, en de tangens ou; dan zullen evenwijdig zijn de zijden ou met ae, en oa met ie, en daarom gelijkvormig zijn de driehoeken auo en aie. Zodat geldt: zoals uo tot oa, zo is ae (dat is oa) tot ei.
En hiermee zullen dan ook met alleen deling, als alle tangensen tot de vijf­enveertigste graad gegeven zijn, alle overige grotere gegeven worden bij deling van het kwadraat van de straal daardoor.

PROPOSITIE  XV.

Van twee ongelijke omtrekken zijn de tangensen omgekeerd evenredig met de tangensen van hun complementen.

9: halve cirkel, meer lijnen LAat namelijk gegeven zijn tweemaal twee omtrekken ey, yo en el, lo, en de tangensen ervan er, os en ei, ou.
Ik zeg: zoals er tot ei, zo is omgekeerd ou tot os, omdat de rechthoek van er op os, en die van ei op ou, namelijk van de tangensen van de omtrekken en de tangensen van de complementen, aan hetzelfde quadraat van de straal gelijk zijn.

[ 22 ]
PROPOSITIE  XVI.

Het dubbele van de tangens van een gegeven omtrek met de tangens van de helft van het complement, is gelijk aan de tangens samengesteld uit de gegeven omtrek en de halve omtrek van het complement ervan.*)

10: halve cirkel, lijnen anders LAat em een grotere gegeven omtrek zijn, en het complement ervan om, hun verschil es, en de tangensen ervan ei, ou en ey.
Ik zeg dat de tangens ei gelijk is aan de tangens ou en ey tweemaal genomen.
Laat namelijk ay met zichzelf verlengd worden tot r, en loodrecht op tangens ei staan lr, en i met r verbonden worden. Aangezien dan de hoek iay gelijk is aan de hoek iao, wegens tweedeling, en aiy gelijk aan dezelfde, wegens evenwijdigheid van de rechten ao en ei. Dat maakt de driehoek aiy bij de basis ai gelijkhoekig, en daarom ook gelijkbenig in ay en yi; en derhalve is de zijde yi gelijk aan die yr, zodat hoek air recht zal zijn.
Maar ook oae is recht; als dus daar afgetrokken wordt de hoek aie en hier oau, zal de overblijvende yir gelijk zijn aan de overblijvende iae, dat is hoek oua.
Maar ook de driehoeken aye en ryl hebben gelijke zijden, omdat de hoeken bij de top y, en de rechte hoeken bij e en l, en de zijden ay en yr gelijk zijn.
Zodat aou en rli, die de zijden ao en rl gelijk hebben en twee hoeken gelijk, gelijke zijden hebben.
En il is dus gelijk aan ou, en le is tweemaal ey.
Daarom zal de tangens ei gelijk zijn aan de tangens ou en tweemaal ey, wat te bewijzen was.

  En vandaar dan dat zo, als alle tangensen tot 45° gegeven zijn, alle overige door alleen optelling gemaakt zullen worden. Want laat door ons gezocht moeten worden de tangens van 45° 1', als voor de omtrek em, waarvan het complement


[ *)  Deze propositie zegt dus:
2 tan α + tan ½(90 − α) = tan (α + ½(90 − α)). Dit is juist, maar bewezen wordt:
"De tangens van een gegeven omtrek is gelijk aan: de tangens van het complement plus tweemaal de tangens van het verschil". Dus:
tan α = tan (90 − α) + 2 tan (α − (90 − α)). ]

[ 23 ]
44° 59; staat voor de omtrek om, het verschil van beide voor se 0° 2', de tangens dus hiervan is 58178, en het dubbele 116356; dit opgeteld bij 9941839, de tangens van 44° 59', zal maken 100058195, de tangens van 45° 1', zoals gezocht werd.

  Laat ten tweede de omtrek em zijn 75° 3', waarvan de tangens gezocht wordt voor de omtrek em; het complement hiervan is 14°57', om, en het verschil 60° 6' voor ey, de tangens hiervan is 17390533, het dubbele 347810660, opgeteld bij de tangens van 14° 57', zal maken 374512069, de tangens van 75° 3'.

  Maar hieruit zullen in omgekeerde volgorde ook grondslagen worden gevonden waaruit een gewenste tangens kan worden gemaakt, en de juiste grootte ervan zal dan daaruit gevonden worden. Ik zal de zaak toelichten met het volgende voorbeeld, zoals wanneer de tangens van 89° 55' wordt gezocht, dat los je het eerste op deze manier op:


[ *)  Eerst de linkerkolom, die gaat op p. 24 tot 4° 40'.]

Dan van onder naar boven zo
Bij straal 10000000000.
    —   '      Gr. min.
    89. 55
Compl.   5
Tang.   4. 40
816292849
2
    89  50
Compl.  10

Tang.  42  40
1632585698
9216968536
    89  40
Compl.  20
Tang.  47  20
10849554234
2
    89  20
Compl.  40

Tang.  21. 20
21699108468
3905540719
    88  40
Compl.  1  20
Tang.  68. 40
25604649187
2
    87  20
Compl.  2  40  

Tang.  10. 40
51209298374
1883494802

[ 24 ]
    84. 40
Compl.  5  20
Tang.  79. 20 
53092793176
2
    79. 20
Compl. 10  40

Tang.   5. 20
106185586352
933540099
    68  40
Compl. 21  20
Tang.  84. 40
107119126451
2
    47  20
Compl. 42  40  

Tang.   2. 40
214238252902
465757485
Differ. 4  40 Tang.  87. 20
214704010387
2

Tang.   1. 20
429408020774
232752583
Tang.  88. 40
429640773357
2

Tang.   0. 40
859281546714
116360535
Tang.  89. 20
859397907249
2

Tang.   0. 20
1718795814498
58178298
Tang.  89. 40
1718853992796
2

Tang.   0. 10
3437707985592
29088903
Tang.  89. 50
3437737074495
2

Tang.   0.   5
6875474148990
14544421
Tang.   89. 55 6875488693411


[ 25 ]
  De tangens van 89° 55' is dus 6875488693411, zodat langs deze weg geen behoefte is aan grotere sinus­tabellen, of aan een grotere sinus totus, dan volgens welke de canons van sinussen zijn opgesteld.

PROPOSITIE  XVII.

De Secans is een rechte met betrekking tot zijn omtrek, vanaf het middelpunt tot de top van de raaklijn ermee verbonden.
8: halve cirkel, lijnen
ZOals in de tekening van Propositie 14. Als ey de gegeven omtrek is, dan zal ei de tangens ervan zijn, en ai de secnas. Zo is ou de tangens van omtrek oy, en au de secans.

PROPOSITIE  XVIII.

De straal is tussen de sinus van een gegeven omtrek en de secans van het complement de middelevenredige.

IN dezelfde tekening, met de gegeven omtrek ye, verhoudt de sinus yr zich tot de straal ay, zoals straal ao tot de secans van het complement au. De driehoeken ary en aou zijn immers volgens definities en constructie gelijkvormig.

PROPOSITIE  XIX.

De secansen van omtrekken zijn omgekeerd evenredig met de sinussen van hun complementen.

9: halve cirkel, meer lijnen DIt is duidelijk uit het vooropgestelde: laat de omtrekken zijn, in de tekening van Propositie 15, ey en el; wanneer nu de rechthoek op secans ar en sinus ny van het comlement, gelijk is aan het vierkant van de straal, en die op ai en ml daaraan gelijk is, zal gelden: zoals ml tot ny zo is omgekeerd de secans ar tot de secans ai.

[ 26 ]
PROPOSITIE  XX.

Zoals de sinus van een omtrek tot de tangens ervan, zo is de tangens van het complement tot de secans van hetzelfde complement.

DE rechthoek namelijk, bevat door de sinus en de secans van het complement, is gelijk aan het vierkant van de straal; volgens de voorgaande propositie. Maar daaraan is ook gelijk de rechthoek op de tangens, en de tangens van het complement ervan. 8: halve cirkel, lijnen
En daarom zijn de lijnen zelf omgekeerd evenredig, namelijk: zoals de sinus tot de tangens van de gegeven omtrek, zo is de tangens van het complement, tot de secans van hetzelfde complement; dat wil zeggen in de bij­geplaatste tekening, als oy de gegeven omtrek is, geldt: zoals ly tot ou, zo is ei tot ia.

  Of: zoals ly tot ou; zo is ay, dat is ao, tot au, en zo is ei tot ia, en dus eveneens: zoals ly tot ou, zo is ei tot ia.

PROPOSITIE  XXI.

De secans van de grotere omtrek is gelijk aan de tangens van het complement plus het dubbele van de tangens van het verschil, en de tangens van de helft van het complement.

10+: cirkeldeel, veel lijnen LAAT in de voorgestelde tekening de gegeven omtrek zijn me, en het complement ervan mo, de secans ai, de tangens ie, de tangens van het complement ou.
Ik zeg dat de lijn ai gelijk is aan de tangens ou plus de dubbele tangens van het verschil se, tussen de gegeven omtrek en het

[ 27 ]
complement ervan, namelijk ey, en de tangens van de helft van het complement om, namelijk en.
Want aangezien in Propositie 16 is aangetoond, dat de lijnen il en ou gelijk zijn, en ook ly en ye, te weten de tangens van de helft van het complement. Laat gesteld worden dat omtrek eg is gelijk aan de helft van het complement oam, dan is dus en gelijk aan die ey, de tangens namelijk van omtrek eg.
Omdat nu ly en ye samen uitmaken het dubbele van de tangens van omtrek es, en en gelijk is aan de tangens van de helft van het complement oam, zeg ik dat de hele in gelijk is aan de hele ia.
Terwijl immers in de driehoek ain, de hoek bij i het complement is van de hoek bij a, wegens evenwijdigheid van de lijnen ie en oa, en de hoek bij e recht is, kan neergelaten worden de loodlijn it; nu is hoek ati recht en ait zal het complement zijn van hoek iat, hoek ean is namelijk toegevoegd, die de helft is van die oai.
En daarom zal ait ook de helft zijn van oau, de hele ain doormidden gedeeld, en tin gelijk aan tia, complement van de hoek bij n. Daarom zullen in driehoek ain de hoeken gelijk zijn, en zullen ze ook de benen ai en in gelijk hebben, en zal het een gelijkbenige driehoek zijn, wat te bewijzen was.

  Laat een voorbeeld zijn als volgt: gegeven de tangens van de omtrek om (te weten van het complement vande grotere omtrek me, waarvan de secans gevraagd wordt) 25° 30', die is 4769755, en de tangens van het verschil se, 39° 0', is 8097840, en het dubbele ervan 16195680; de tangens van de helft van het complement 12° 45' is 2262769. Deze drie getallen opgeteld maken de som 23228204, voor de tangens van omtrek me, 64 ° 30', die van de ware slechts een eenheid verschilt, waaruit blijkt datde tangensen met een grotere straal genomen moeten worden opdat er in de voorgaande niet een fout van de laatste cijfers komt.


[ 28 ]
PROPOSITIE  XXII.

De secans van een omtrek, met de tangens, is gelijk aan de tangens van de gegeven omtrek vermeerderd met de helft van het complement.

10: halve cirkel, lijnen anders LAAT namelijk in deze tekening de gegeven omtrek zijn es, de tangens ey, het complement os, doormidden gedeeld in m.
Ik zeg dat de tangens van omtrek em gelijk is aan de secans ay van de gegeven omtrek en de tangens ye van dezelfde.
Aangezien immers oam en mas, hoeken die op gelijke omtrekken staan, gelijk zijn en wegens evenwijdigheid hoek aiy aan hoek oam, dat is aan hoek may; zal de driehoek ayi daarom gelijkbenig zijn, en zullen ay en yi gelijk zijn. Dus is de hele ei gelijk aan de secans ay en de tangens ye.

  Je ziet dus dat op deze manier uit een tangens en de tangens van de helft van het complement, met eenvoudig optellen gemaakt worden één secans en één tangens van andere omtrekken.

  Laat de gegeven omtrek ey zijn 15°, zijn tangens is 26794919. Het complement van de helft 37° 30', de tangens ou 76732699.

Tang. 37 30 76732699
Tang. 15 26794919
Secans 15 103527618
26794919
Tang. 52 30 130322537
 
  Want als je beide tangensen optelt zal gemaakt worden de secans van de gegeven omtrek ay. Omdat ay en iy gelijk zijn volgens Prop. 16.
  Als je nog eens optelt, zal gegeven worden de tangens ei van de omtrek gemaakt van de gegeven omtrek en de helft van het complement.

  Het is een grote zaak, en zeer noodzakelijk voor de opstellers van tabellen van de Canon. Langss deze weg immers


[ 29 ]
kan bij gegeven tangensen in volgorde tot 45° met afzonderlijke minuten, verder een hele tabel van tangensen, en secansen, met alleen optelling worden voltooid.

  Maar ook andersom: bij gegeven secans of tangens van een of andere omtrek groter dan 45°, zul je in omgekeerde volgorde grondslagen vinden waaruit die door synthese zijn samen te stellen, en zo zul je de nauwkeurigheid van de ermee verbonden rechten in de Canons kunnen nagaan. Waarvan we een dergelijk voorbeeld hebben gegeven in Propositie 16, naar analogie waarvan je dit ook zonder moeite zult kunnen verklaren. Het had hier ook bijgezet kunnen worden.

PROPOSITIE  XXIII.

De secans van een omtrek is gelijk aan de tangens ervan, en de tangens van de helft van het complement.

11: halve cirkel, lijnen LAAT in deze tekening gegeven zijn de omtrek ea, de secans ry ervan, de tangens ya; en het halve complement van boog ei of boog am, en de tangens daarvan an.
Ik zeg dat de lijn ry gelijk is aan de lijn yn: aangezien immers irm een cirkelkwadrant is, en de hoek bij r recht, zal ire zijn het complement van hoek yrm, en gelijk aan hoek arm volgens de opbouw. Evenzo, als een loodlijn is getrokken op n, zal hoek rns gelijk zijn aan hoek ire, of arn wegens evenwijdigheid van de lijnen ra en sn.
Dus als je aan beide kanten van de hoeken irn en yns, de gelijke hoeken ire en snr aftrekt, zullen de overblijvende yrn en ynr gelijk zijn, en daarom is driehoek ryn gelijkbenig, en de secans ry gelijk aan de tangens ya en de tangens an van het halve complement, wat te bewijzen was.

  Hieruit kun je nu met een gemakkelijke berekening uit gegeven tangensen een hele tabel


[ 30 ]
van secansen afleiden door eenvoudig twee tangensen op te tellen; laat ik een enkel voorbeeld ervan voor ogen stellen.
Laat gevonden moeten worden de secans van 25 graden, als de straal gesteld is van 10 000 000 deeltjes, dan zoek ik in de tangens­tabel de tangens daarvan, 4663081, daarna de tangens van het halve complement 32° 30', 6370702, waarmee, als deze bij de vorige wordt opgeteld, gemaakt wordt 11033783, de secans van de voorgestelde boog die we zochten.

  Maar toch, zoals over de bouw, samenstelling en oorsprong van deze Canons door ons tot hiertoe uitvoerig is gesproken, nu is er weer het enige te zeggen over de volgorde ervan. Regiomontanus, die als eerste van allen heeft ondernomen een Canon van sinussen te berekenen tot 60 000 000, daarna tot 10 000 000*), heeft slechts één enkele Canon van sinussen opgesteld, zoals Hipparchus en Ptolemaeus hadden gedaan met de koorden [<].
Toen daarna Canons van Tangensen en Secansen in tabellen en een opsomming waren gebracht is aan elk afzonderlijk zijn plaats toegekend, zoals eerder aan de sinussen. Daarna heeft geschiktheid en nut geleerd alle in drie kolommen met elkaar te verbinden, door tot 45 graden op de linker pagina naar beneden te gaan, en dan in omgekeerde volgorde de overige 45 graden naar boven te gaan op de rechter pagina. Niemand vóór die grote Joachim Rheticus houd ik voor de bedenker van de geschiktheid hiervan.
En verder, om de methode van onze Canons wat nauwkeuriger uit te leggen, die is als volgt te bevatten. Terwijl de tabellen slechts zijn opgemaakt tot graden en minuten, en het soms nodig kan worden, dat voor de nauwkeurigheid ook verder gegaan wordt tot de deeltjes van minuten die seconden heten: als je in dit geval sinussen, tangensen en secansen te weten wilt komen, zul je er nooit een vinden die met seconden overeenkomt, als je niet een evenredig deel tussen kleinere en


[ *)  Eerst 60-tallig, daarna 10-tallig, zie bij Prop. 5.
Regiomontanus, De triangulis planis et sphaericis libri quinque, Basel 1561, staat eerst de tabel: 'Tabula sinuum ad 60000000 partes', daarna: 'Tabula Sinuum ad 10000000 particulas computata'.]

[ 31 ]
grotere termen die in de tabellen staan, voor deze deeltjes van seconden het juiste verschil onderzoekt, en dit voor de gegeven omtrek zodanig toepast op de in de tabel gevonden getallen, dat het de sinus, tangens of secans die je zocht naar behoren oplevert. Maar hoe dit makkelijker begrepen kan worden, zullen we uiteenzetten in de volgende propositie.

PROPOSITIE  XXIV.

Van een gegeven omtrek de sinus, tangens, of secans te vinden in tabellen. En andersom: Bij een gegeven sinus, tangens of secans de bijbehorende omtrek te vinden.

AANGEZIEN namelijk in onze Canons de sinussen, tangensen en secansen worden vermeld volgens hun omtrekken, en andersom de omtrekken zelf volgens hun sinussen tangensen en secansen, moet uit de ene de andere te vinden zijn. En wel ten eerste, laat voorgenomen zijn uit een gegeven omtrek een bijbeschreven rechte te vinden, zoals de sinus van een hoek of van een omtrek van 36° 40'.
Bovenaan de tabel zoek je dus het aantal graden, op de linker pagina, en in de kantlijn afdalend de minuten, en op de plaats van samenkomst vind je het getal 59176, de sinus van de gevraagd omtrek, of van de hoek die er op staat. Zo gaat het ook bij tangensen en secansen.

  En als een omtrek groter dan 45° wordt voorgesteld, neem je het aantal graden op de rechter pagina en zoek je daar het aantal minuten, waarmee zoals tevoren de sinus zal overeenkomen.

  Maar als bij de voorgestelde omtrek ook seconden staan, moet de daarbij behorende sinus gezocht worden met een evenredig deel. Zoals wanneer de sinus van 36° 40' 30" wordt gevraagd, die wordt hier niet echt gegeven; maar wel de sinus van 36° 40',


[ 32 ]
59716, de dichtstbijzijnde kleinere, en de sinus van 36° 41', 59739, de dichtst­bijzijnde grotere; het verschil is 24*); neem daarvan de verhouding: zoals 1 minuut, of 60 seconden, tot het verschil 24, zo is 30 seconden tot 12; en als dit getal wordt opgeteld bij de kleinere zal het geven 59728, de gewenste sinus bij deze straal van 100 000.
De in aanhoudende volgorde ingeschreven rechten zijn namelijk zo bij elkaar geplaatst, dat hun verschil, terwijl ze met afzonderlijke minuten zijn gescheiden, de seconden naar behoren aangeeft, tot een straal van 10 000 000. Maar ik ga er nu aan voorbij dit verder uit te werken.

  Als bij een gegeven sinus, of tangens, of secans, de omtrek verlangd wordt die daarbij hoort, kan er geen twijfel zijn, noch iets onduidelijks, voor iemand die het voorgaande goed begrepen heeft, hoe dit gedaan wordt met een dergelijke analogie met omgekeerde termen.


E I N D E   van  het   E E R S T E   B O E K.



[ *)  Canon, p. 148:  59715.86, resp. 59739.19.]

[ 33 ]

WILLEBRORD  SNELLIUS
VAN  ROYEN R.zn

O V E R   C O N S T R U C T I E

EN  MAAKSEL  van de  CANON  van
Sinussen, vollediger en laatste
commentaar.

DE sinus van één minuut vinden sommigen zoals Regiomontanus en Rheticus door aanhoudende tweedeling van omtrekken. Want als uit de koorde van 60 graden, die de zijde is van een zeshoek, en de koorde van 72°, die de zijde van een vijfhoek is; volgens propos. 9, Gevolgtrekking 2 [<] wordt gevonden de koorde van het verschil, dat is van 12 graden, wordt ook volgens prop. 7 [<] door tweedeling gevonden de koorde van 6°, en ook nog de koorde van 3° en hieruit van 1° 30'.
Zeker en onbetwijfelbaar is wel, dat twee koorden van zes graden, groter zijn dan de koorde van 12 graden. Van een driehoek zijn immers twee zijden, welke dan ook, groter dan de overige zijde. Maar hoe langer je doorgaat, hoe dichter deze termen toch bij elkaar komen, bij de gestelde diameter; en als je een veel grotere straal zou nemen, dan zou het verschil terstond zichtbaar worden. Hetzelfde oordeel moet er zijn over de helften van ingeschrevenen, dat wil zeggen over de sinussen van de halve omtrekken; met een gesteld voorbeeld zal ik het uitleggen:
Stel namelijk de sinus totus op 1 00000 00000 00000,

34 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT.    

Gr.  '   "   dan worden de Sinussen
  6. 0. 0 10452.84632.67653
  3 0 0 5233.59562.42944
  1 30 0 2617.69483.07873
45 0 1308.95955.71344
22 30 654.49379.67352
11 15 327.24865.06526
5 37 1/2 163.62454.43624
2 48 3/4 81.81229.95607
1 24 3/8 40.90615.32028
42 3/16 20.45307.70292

  In deze lijst*) zie je dat de sinus van 3° tweemaal genomen groter is dan de sinus van 6°,; en dat tweemaal de sinus van 1° 30' groter is dan de sinus van 3°, en zo opnieuw bij de overige; maar toch, hoe verder je bent voortgegaan, des te minder zijn die termen van elkaar af. Zo is tweemaal de sinus van 0° 0' 42 3/16
40.90615.40584, en de sinus van 0° 1' 24 3/8 " is
40.90615.32028.
Je ziet dus dat, als je de straal neemt van slechts tien cijfers, er dan geen fout wordt gemaakt, als je de helft van deze sinus neemt voor die vorige, en andersom; derhalve zal diezelfde sinus van de sinussen van omtrekken kleiner dan de dubbele, met hun omtrekken alleen evenredig verschillen volgens deze straal 1.00000.00000. En daarom, als we zeggen: zoals 42 3/16 seconden tot 60 seconden, zo is de sinus 20.45307.70292, tot 29.08882.06637, dan zou dit de sinus zijn van één minuut, maar zoals we hebben vermald [<] moeten de vijf cijfers aan het eind worden geschrapt, zodat de overige 2908882 de juiste sinus zijn als de straal van 10 000 000 000 delen is gesteld.
Derhalve, om een canon vast te stellen waarvan de sinus totus van acht cijfers is, is dit al voldoende; want zoals we hiervoor al hebben vermeld [<] moet deze wegens de veelvuldige berekening in het begin wat groter zijn, opdat bij voltooid werk, met één of


[ *)  De eerste vier zijn terug te vinden bij Rheticus: Opus Palatinum (ed. Otho, 1596), p. 78, onder 'Perpendicul.' (met bij 1° 30' als laatste cijfer 2, i.p.v. 3).
En de eerste vijf (met 1° 30' zoals hier) in Thesaurus mathematicus: sive: canon sinuum ... (ed. Pitiscus), Ff. 1613.]

35 ] CANONIS  SINUUM  FACILIORI.    

nog een cijfer een het eind weggelaten, de overige getallen goed zijn en naar behoren.

  Aan anderen is ook de Algebraïsche analyse bevallen, zoals aan de zeergeleerde heren François Viète en Adrianus Romanus. Want hoewel de sinus van 3 graden Meetkundig kan worden gevonden, zoals immers hiervoor al is aangetoond, zou een omtrek toch niet Meetkundig in drieën kunnen worden gedeeld om de sinus van één graad te krijgen, of ook in vijven gedeeld. De Algebra is te hulp geroepen. en met de samenstelling van propositie 9 is het zover gekomen, dat ze de uitspraak deden:
Als de sinus totus wordt gesteld op 1 deel, dan zijn drie ingeschrevenen van een derde van een omtrek, tot de derde macht ervan, gelijk aan de ingeschrevene van de drievoudige omtrek; of in algebraïsche notatie op deze manier: 3l−1c.*)
Zodat als de zijde van de zeshoek gegeven is als 1, en gezocht wordt de koorde van driemaal de omtrek (die in dit geval de diameter zelf is), dan geldt: driemaal de eenheid is 3, de derde macht ervan is 1, dit getal afgetrokken van het vorige laat over 2, de diameter zelf, zoals het behoorde.
Laat een ander voorbeeld zijn: gegeven de zijde van een ingeschreven vierkant als √2, het drievoudige ervan is √18, de derde macht ervan is √8, het verschil van deze twee is √2, zoals het behoorde; want de zijde van een vierkant onderspant zowel een kwadrant als driekwart kwadrant van de omtrek.

  Maar laat een getal door ons genomen worden uit tabellen en bij de koorde van 4 graden is dat
    697990
10000000
bij een diameter van 2 delen, het drievoud ervan     2093970
10000000
,
derde macht ervan           3401
10000000
,  die daarvan afgetrokken, blijft     2090569
10000000

voor de koorde van een omtrek van 12°, en daarom zou 1045284 de sinus van 6° zijn, die in werkelijkheid is 1045285; wat komt omdat ik in het begin de getallen te beperkt heb genomen, zodat het niet verwonderlijk is dat het laatste cijfer onzeker is.

  Maar dit is niet zozeer wat gezocht wordt, als wel het omgekeerde ervan: Hoe uit een gegeven koorde gevonden wordt de koorde van


[ *)  Ad angularium sectionum analyticen theoremata (ed. Alexander Anderson), Par. 1615; Engl.
3 l − 1 c   is te lezen als: 3 × lijn − 1 × cubus. In genoemd werk, p. 37:
3 N − 1 C   of (p. 26):  1 C − 3 N.]

[ 36 ]
een derde van de omtrek. Hier zou die vergelijking nu in analyse moeten worden genomen, wat niet voor iedereen even voorhanden ligt. De plaats ervan zal ons dus geleverd worden met de dobbelsteen van de regel van valse posities*), die ook bij het ontwarren van de moeilijkste vergelijkingen door de grote mannen met veel profijt is toegepast, als iets geheimzinnigs, daarvan ben ik me heel goed bewust. Maar ditzelfde heeft ook Pitiscus heel passend vermeld in zijn Trigonometrie°).
Maar laten we niet langer uitweiden; daar de ingeschrevene van een derde van een omtrek iets groter is dan een derde van de ingeschrevene van de drievoudige omtrek, kan ik eerst een derde van de gegeven omtrek nemen, of liever een getal dat een klein beetje groter is dan een derde.
Laat dus gegeven zijn de ingeschrevene van 6°, 10467191/100000000 en gezocht worden de ingeschrevene van 2°. Die wordt door ons verzonnen als 3491000/100000000 waarbij het immers niet nodig is, alle significante getallen te nemen als je voor het eerst probeert. De derde macht hiervan is 4254/100000000 die, afgetrokken van het drievoud van de verzonnen ingeschrevene van twee graden 10473000/100000000 over zal laten 10468746/100000000 voor de ingeschrevene van 6°. Deze was echter in werkelijkheid 10467191/100000000, dus het teveel van de verzonnen positie is 15555/100000000.

  Laat daarom een kleiner getal worden genomen voor de ingeschrevene van 2°, 3490000/100000000, waarvan de derde macht 4251/100000000 afgetrokken van het drievoudige van de ingeschrevene zal overlaten 10465749/100000000, kleiner dan de ware ingeschrevene van 6°, met 1442/100000000. De formule#) zal zijn als volgt:
3491000 + en -, maal 1555   vermenigvuldigd:   5426950000
3490000 1442 5034022000
2997 10460972000
omdat de tekens verschillend zijn komt er optelling, dus 10460972000 gedeeld door 2997 zal geven 3490481/100000000 voor de ingeschrevene van twee graden; die volgens grotere tabellen nauwkeurig wordt gegeven als 349048128/10000000000. Ziehier dus in acht cijfers een constante waarheid.


[ *)  Regula falsi. Zie hier bij Simon Stevin, Wweghconst, p. 66: "T'valsche wort toeghelaten, op datmen t'waerachtighe daer duer leere".]
[ °)  Barth. Pitiscus, Trigonometria, Augsburg 1600 (met een 'Tabulae sinuum tangentium et secantium' vanaf p.123); ed. Frankfurt 1612 met 'Regula falsi' op p. 50, bij hetzelfde probleem als hier: "Gegeven de koorde van een boog, te vinden de koorde van een derde deel van die boog", en meer in App. lib.5, p. 177.]
[ #)  Het figuurtje met + en − en × werd vaker gebruikt bij de 'Regula falsi', zie: Marjolein Kool, Die conste vanden getale (1999), p. 170, bij 4.4.1, Regel van 'valse positie'.]

[ 37 ]
En als je het nog eens op dezelfde manier wilt proberen, zul je met deze vondst tot 13 of 14 cijfers komen. Het zelfde gaat het bij andere. Zekerheid zal worden bewezen door terugkeer naar de samenstelling volgens gevolgtrekking 1 van prop. 9. Of naturrlijk zoals we zelf al hebben gedaan met de derde macht afgetrokken van het drievoud van de zijde [<]; die dan nauwkeurig de ingeschrevene van de drievoudige omtrek zal geven.

  Voor de vijfdeling van een gegeven omtrek, dat wil zeggen dat bij een gegeven ingeschrevene van een gegeven omtrek, wordt gevonden de ingeschrevene die een vijfde deel van dezelfde omtrek onderspant, zul je uit dezelfde gevolgtrekking van propositie 9, deze gelijkheid vinden: als de halve diameter van 1 deel is gesteld, dan is 5l−5c + lβ gelijk aan de vijfvoudige ingeschrevene*). Als namelijk bij het vijfvoud van de gegeven ingeschrevene wordt opgeteld de vijfde macht ervan en deze som wordt verminderd met vijfmaal de derde macht van dezelfde ingeschrevene, zal die zijn het vereiste getal voor de vijfvoudige ingeschrevene.
Een voorbeeld kan als volgt zijn: de koorde van 60° is 1, gevraagd wordt de koorde van de vijfvoudige omtrek namelijk 300°. Het vijfvoud van de gegeven ingeschrevene is 5, vermeerderd met de vijfde macht 1 ervan is 6, daarvan afgetrokken vijf derde machten van dezelfde geeft 1, voor de koorde van 300°, wat geheel en al waar is, omdat de ingeschrevene bij beide omtrekken behoort.

  Maar laat er ook een ander voorbeeld zijn: de koorde van 12° is 2090569/100000000 en gezocht wordt de koorde van de vijfvoudige omtrek, namelijk van 60°.
De derde macht van het gegeven getal is 91370/100000000, het vijfvoud ervan 456850/100000000. Vervolgens zal het vijfvoud van de ingeschrevene zelf 10452845/100000000, opgeteld bij de vijfde macht ervan, namelijk 3995/100000000, geven 10456840/100000000, waarvan na aftrekking van het vijfvoud van de derde macht zal overblijven 9999991/100000000 voor de ingeschrevene van 60°, waarbij je ziet dat het laatste cijfer onzeker is wegens de verscheidenhed van het werk; het was dus nodig geweest de straal met een of meer cijfers


[ *)  Zie Anderson 1615 (p. 35, noot), p. 26 en 37:   5 N − 5 C + 1 QC.
5l − 5c + 1β   is te lezen als: 5 × lijn − 5 × cubus + 1 × quadrato-cubus.]

[ 38 ]
groter te nemen. Want de ingeschrevene van 60° had gelijk moeten zijn aan de straal.

  No wordt daarentegen veeleer dit gevraagd: hoe bij een gegeven ingeschrevene van de vijfvoudige omtrek, gevonden wordt de ingeschreven koorde van een vijfde van de omtrek. En dit moet je proberen met dezelfde dobbelsteen die we bij de driedeling hebben gebruikt.
Laat namelijk een omtrek voorgesteld worden van 85° 20', waarvan de ingeschrevene gegeven wordt als 135546.39982/100000.00000 en gevraagd wordt de ingeschrevene van 17° 4', dat is een vijfde deel van de gegeven omtrek.
We nemen dan een bovengrens, groter dan het vijfde deel ervan, en nu wel voldoende krap, opdat voor altijd kan vaststaan hoeveel we op deze manier opschieten met deze evenredigheid.
En dan verzinnen we ten eerste dat de koorde van het vijfde deel is 29600000/100000000, de derde macht ervan is 2593433/100000000, het vijfvoud hiervan 12967168/100000000. De vijfde macht van dezelfde zijde zal zijn 227226/100000000 en opgeteld bij het vijfvoud van de zijde 148000000/100000000 maakt 148227226/100000000. Daarvan afgetrokken het boven­genoemde vijfvoud van de derde macht blijft over 135260058/100000000, voor de ingeschreven koorde van de vijfvoudige omtrek. Maar deze was gegeven als 135546400/100000000; de gevondene komt dus hierbij 286342/100000000 tekort.

  En ten tweede wordt dezelfde ingeschreven koorde van een vijfde van de omtrek genomen als 29700000/100000000, waarvan de derde macht zal zijn 26198073/100000000 en het vijfvoud ervan 13099036/100000000. En van dezelfde zijde is de vijfde macht 231090/100000000, die opgeteld bij het vijfvoud van de zijde 148500000/100000000 maakt 148731090/100000000.*) Waarvan het teveel boven de ingeschrevene van de vijfvoudige omtrek volgens de hypothese gegeven in het begin, is 85654/100000000.
Volgens de regel van valse posities zal de formule zijn:

vermenigvuldigd
29600000 - en +, schuine lijnen 286342. 8504347400000
29700000 85654. 2535358400000
371996.   11039705800000


[ *)  Hier ontbreekt: "Ervan af 5× de 3e macht geeft 135632054/100000000".]

[ 39 ]
En als hiermee de deling is uitgevoerd*) zal gegeven worden de koorde, ingeschreven bij het vijfde deel, als 29676947/100000000, en deze zou moeten zijn 29676954/100000000. Zodat nu uit drie goede cijfers zes onbedorven cijfers zijn gevonden; als je verder zou gaan, zou het aantal goede cijfers hiervan nog eens verdubbeld worden, namelijk bij minstens twaalf cijfers voor de straal; probeer het verder zelf maar als je er zin in hebt.
Vervolgens is nu verder door voortdurende tweedeling een ingeschreve te vinden die twee minuten onderspant, met de voorschriften die hierboven door ons uiteengezet zijn.

  Maar neem ook dit nieuwe en zeer aangename verhaal op, zodat je sinussen en zijden van veelhoeken, welke dan ook, langs de weg van alleen optelling kunt vinden; en wel op grond van toevalsgetallen. Ikzelf was toen ik hierop terechtkwam met iets anders bezig, hoe uit enkel sinussen, zuiver door optelling, een aantal tangensen en secansen kunnen worden gebeiteld, maar

    ... een grote kruik was toch het
plan, waarom geeft 't draaiend wiel een kleine pot?
°)

  Inderdaad, de inval bevalt me zeer, en er is volstrekt geen reden om te denken dat deze je niet kan bevallen. Daarom, besteed er aandacht aan, en geniet van dit zo handige gemak, zelfs op de wijde zee, of in de verst verwijderde verlatenheid als de zaak erom vraagt; daar die vermenigvuldiging zelfs voor een kind altijd te doen kan zijn.


[ *)  Zie de uitleg onderaan p. 36.]
[ °)  Horatius, Ars Poetica, vs 21.  Joost van den Vondel, Quintus Horatius Flaccus Lierzangen en Dichtkunst, Amst. 1654, p. 228, p. 229 vertaling: "Ghy hebt een groote kruick beginnen te draeien; waerom komt het op een klein pottken uit?".]

40 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT.  CANONIS  SINUUM  FACILIORI.    

PROPOSITIE  I.

Sinussen van omtrekken die met een gelijke verschilboog afnemen van een kwadrant, zijn in volgorde evenredig met de verschillen van de sinussen, die behoren bij omtrekken die met dezelfde verschilboog toenemen, waarvan de eerste de helft is van die verschilboog.

halve cirkel, lijnen
LATEN we voor ogen stellen het cirkelkwadrant eai, en aannemen dat daarop gelijk zijn de omtrekken is su ue, en de laatste eu wordt doormidden gedeeld in y, en de halve cirkel ieo wordt afgemaakt, met oc cl le gelijk aan de eerste.
Dan zijn de ingeschrevenen lu, cs evenwijdig met de diameter oi en zullen ze doormidden gedeeld worden door de straal ea, en daar uy de helft is van omtrek eu of us, zal deze de helft zijn van de verschilboog us of si, en laat aan dezelfde uy gelijk zijn ib en cg.
Vervolgens worden verbonden eu ls ci, die loodrecht staan op de straal ay en erdoor in tweeën worden gedeeld; en nu nemen de omtrekken yu ys yi of liever bi, bs, bu, toe met een gelijke verschilboog; en de eerste ervan yu is dan de helft van deze verschilboog in beide volgorden.

Ik zeg dat de sinussen van de eerste omtrekken su ey [es eu], die afnemen van het kwadrant, evenredig zijn met de verschillen van de sinussen die weliswaar met dezelfde verschilboog toenemen, maar zodanig dat de eerste de helft is van de verschilboog, die hier zijn bi bs bu; dat wil zeggen: zoals sv tot ut, zo is mn tot nr*), daar immers de rechthoekige driehoeken eut en flt,


[ *)  Met de bogen is su ue genoemd α komt er (2e Formule van Simpson):
sin 2 α   =   sin 1½ α − sin  ½ α   =   2 cos  α  sin  ½ α   ,  2 cos α   =   cos  α   .]
sin  α sin 2½ α − sin 1½ α 2 cos 2 α sin  ½ α cos 2 α

[ 41 ]
de zijden lt tu gelijk heben, en de hoeken bij u en l die op gelijke omtrekken staan zullen gelijk zijn; en bovendien moeten de overeenkomstige zijden et tf daarom gelijk zijn. Zo zijn fv en vj gelijk, en de driehoeken ltf fsv zijn gelijkvormig; dus zal sv tot tu zijn, zoals fv tot te , en zoals het dubbele jf tot het dubbele fe, maar zoals jf tot fe, zo zal zijn wegens evenwijdigheid van de snijdende lijnen mn tot ny [nr], wat te bewijzen was.
Maar ik wil het ook met getallen toelichten:
Laat in de getoonde tekening es zijn 85°, eu 80° en uy het halve verschil waaraan gelijk is bi 2° 30', bs is 7° 30' en bu 12° 30'.

85°   9961947.   sv 2° 30'     439194. [436194] am.
80°   9848077.   tv [tu] 7° 30'   1305262. an.
  12° 30'   2164396. ar.

dan zal gelden: zoals 9961947 tot 9848077, zo is het verschil tussen am en an 869068, tot het verschil tussen an en ar 859134. Berekening bevestigt dat het geheel en al waar is.

PROPOSITIE  II.

Zoals de straal is tot de sinus van de helft van de verschilboog, zo is het dubbele van de sinus van het complement van de hele verschilboog, tot het verschil tussen de sinus van de helft van de verschilboog en die van anderhalf maal dezelfde.
En zo is het dubbele van de sinus van het complement van de dubbele verschilboog, tot het verschil tussen de sinus van de anderhalve en de sinus van de tweeënhalve verschilboog. En zo verder in volgorde voort te zetten met een tussenruimte van één zo'n verschilboog.

DAAR immers de driehoeken iam, cpm, spn, gelijkvormig zijn, zoals al eerder is gebleken, zal gelden: zoals ia tot am,

[ 42 ]
halve cirkel, lijnen dat wil zeggen zoals de sinus totus tot de sinus van de halve verschilboog in dezelfde tekening, zo is cp tot pm, en zo is ps tot pn. En daarom door samenstelling: zoals ia tot am, zo is cs tot mn.
Maar es is het complement van de verschilboog is, de sinus ervan vs, waarvan het dubbele cs is, en mn is het verschil tussen am, de sinus van de halve verschilboog bi, en de sinus van de anderhalve bs, waarbij hoort de sinus an.

  Niet anders zul je het overige bewijzen, namelijk: zoals ia is tot am, zo is uc [ul] tot nr.

GEVOLGTREKKING.

        Dus:
Hiermee zijn bij een aantal gegeven sinussen, die met een gelijk interval afnemen van een kwadrant, en de sinus van de helft van het verschil, met alleen vermenivuldiging en optelling sinussen te vinden, die betrekking hebben op de plaatsen tussen de genoemde verschillen.

Want laat gegeven zijn
de sinussen van de
gestelde omtrekken
accolade gr. sinus dubbel
84 9945219. 19890438.
78 9781476. 19562952.
72 9510565. 19021130.
66 9135455. 18270910.
60 8660254. 17320508.

  De gegeven omtrekken nemen voortdurend toe met 6°, waarvan de helft is 3°, en hiervan is de sinus 523360.

  Er moet dus gelden: zoals de sinus totus 10000000, is tot de sinus van het halve verschil 3°, 523360,
Zo is tweemaal de sinus van 84° 19890438, tot 1040985 9/10
 en tweemaal de sinus van 78° 19562952, tot 1023846 6/10
 en tweemaal de sinus van 72° 19021130, tot 995489 8/10
 en tweemaal de sinus van 66° 18270910, tot 956226 3/10
 en tweemaal de sinus van 60° 17320508, tot 906486 1/10

[ 43 ]
die, steeds opgeteld bij de sinus van de halve verschilboog van 3°, zullen geven de sinussen die betrekking hebben op 3 & 6, 3 & 12, 3 & 18, 3 & 24, 3 & 30. dat wil zeggen op 9 15 21 27 33 graden, als volgt:

Al deze getallen komen zo
nauwkeurig overeen als de
symmetrie van delen toelaat;
want het laatste cijfers was
door ons in het begin onzeker
aangenomen; dus het moet niet
wonderlijk zijn dat de sinus
van 27°, 4539908, slechts bij
een straal van zes cijfers geheel
naar behoren is.*)
  3 gr.  sinus 523360
1040985 9
  9 gr.   - - - 1564345 9
1023846 6
15 gr. 2588192 5
995489 8
21 gr. 3583682 3
956226 3
27 gr. 4539908 6
906486 1
33 gr. 5446394 7

  Derhalve komt uit deze gevolgtrekking ook dit handige bij de Canon van sinussen van pas, dat met afzonderlijke vermenig­vuldigingen, te voorschijn worden gebracht elk van die sinussen, die je anders volgens toestanden van een ingeschreven vierhoek met propos. 9 van dit boek moest onderzoeken.

  Langs deze weg zullen dus, als gegeven zijn 225 sinussen, met een interval van 16' afnemend van een kwadrant, met de sinus van de helft van de verschilboog van 8', gegeven worden die, welke we hieronder zetten, uitgedrukt met de omtrekken ervan:
Als namelijk gegeven wordenr de sinussen van   —
En bovendien gegeven de sinus van 8', de helft van
de verschilboog, zullen ook gegeven worden
89 44'
89 28
89 12
met dezelfde methode de sinussen van 0 24'
0 40
0 56
1 12
1 18
1.44
88 56
88 40
88 24 &c.


[ *)  Sinus 27° in Canon (1626): 45399.05.]

[ 44 ]
  En dan zo verder met dezelfde verschilboog. Nu uit deze vondsten:

PROPOSITIE  III.

Als van een aantal omtrekken die met een gelijk verschil toenemen, de helft van de straal wordt gesteld als de sinus van de halve*) verschilboog, zal optelling met de sinus van het complement van de hele verschilboog, de sinus van de anderhalve verschilboog maken;
en hierbij gevoegd de sinus van het complement van de dubbele verschilboog, zal geven de sinus van tweeënhalve verschilboog; en zo verder in dezelfde volgorde, waarvan de straal gevonden wordt uit de kwadraten van de complementen.

halve cirkel, lijnen erbuiten
LAAT namelijk zoals ook hiervoor de omtrekken yu ys yi toenemen met hetzelfde interval, en yu gelijk zijn aan de helft van de verschilboog, en daaraan wordt gelijk gesteld ib. En de ingeschrevenen moeten op dezelfde manier geordend zijn als eerst; maar nu ontmoeten de ingeschrevenen eu ls de verlengde diameter in q en d; en de verlengde cs ontmoet eq in h.
Dan zullen am an ar, de sinus van ib, de halve verschilboog, bs van anderhalve verschilboog, bu van tweeënhalve verschilboog, wegens evenwijdigheid van de snijdende lijnen, evenredig zijn met de rechten ai, ad, aq. Maar nu is ai de straal zelf, ad is samengesteld uit de straal en cs, en aq uit de straal ai en cs en lu; en daarom zullen de helften ervan de verhouding hebben van de sinussen van am, an, ar, namelijk van de halve verschilboog, van anderhalve en van tweeënhalve verschilboog. Maar ten opzichte van


[ *)  Het lijkt hier te gaan om de hele verschilboog: 30°.]

[ 45 ]
hun straal die uit de kwadraten van de complementen moet worden gevonden.

  Laat dus de verschilboog is zijn 30°, en daarom yu of bi 15°, bs 45°, bn 75°, dan zal de rij als volgt zijn:

aangenomen   sin. compl.    helft sinus
is   30° 8660254   ai. 5000000 15°.
iu   60° 5000000   ad. 8660254 45°.
aq. 13660254   75°.

de grootte van de nieuwe straal zul je krijgen uit tweemaal het kwadraat bij 45° of uit de kwadraten bij 15 en 75°. Maar het voorbeeld moet wat helderder zijn: laat de verschilboog zijn 6° 40', dus de helft 3° 20'; ik kan dus omtrekken plaatsen die afnemen van de maximale, en hun sinussen eraan toekennen; vervolgens stel ik ze samen door optelling, zodat ik ze allemaal heb van de helften, of de oneven tussenliggende, zoals hier:*)
__
__ Uit optelling
hiervan bij
de halve straal,
komen er
nieuwe
sinussen van
omtrekken,
vanaf de halve
verschilboog
toenemend
met hetzelfde
interval als
deze; maar bij
de waarde van
een nieuwe
straal.
  3 20'   5000000
83 20' 9932384 10   0 14932384
76 40 9730450 16 40 24662838
70   0 9396926 23 20 34059760
63 20 8936327 30   0 42996087
56 40 8354878 36 40 51350965
50   0 7660445 43 20 59011410
43 20 6862417 50   0 65873827
36 40 5971586 56 40 71845413
30   0 5000000 63 20 76845413
23 20 3960799 70   0 80806212
16 40 2868033 76 40 83674245
10   0 1736482 83 20 85410727

  Je ziet dus hier volgens het aangetoonde, dat er nieuwe sinussen worden gegeven, bij een andere straal; en omdat we in dit geval ook terechtkomen bij dertig graden,


[ *)  5000000 + 9932384 = 14932384 ,
14932384 + 9730450 = 24662834 (i.p.v. 24662838) , enz.]

[ 46 ]
dat vandaar de sinus ervoor geplaatst zal zijn als de helft 42996087 van de straal, zodat de sinus totus is 85992174, en als deze rij niet was terecht gekomen bij 30°, dan zou je die vinden uit de complementen, die in dit geval helemaal niet gegeven worden. Daarom wordt met dit werk een zo goede overeenstemming van alle getallen gegeven, dat er meer nauwkeurigheid van deze nieuwe sinussen ontstaat, dan bij een straal die in het begin was aangenomen.

  Laat er voor ons heel in het kort slechts een enkel voorbeeld zijn. Wanneer de sinus van 30° in het gevondene wordt gegeven als 42996087, dan is de sinus totus 85992174, en de sinus van 43° 20' is 59011410. Dus als de sinus totus van 10000000000 deeltjes is, zal de sinus van 43° 20' volgens deze evenredigheid behoren te zijn 6862416260, terwijl de tabellen van Rheticus [<] ons geven 6862416379.
Je ziet dus dat canons van minder dan 7 cijfers hier afwijken: ze geven ons 6862417. Maar onze termen zijn afgeleid van de eerste, en toch zijn ze beter en betrouwbaarder dan de oorspronkelijke. De overeenstemming van deze manier van maken is zeker zo nauwkeurig, als nauwelijks gezegd kan worden; als je de oorzaak zoekt: deze is zuiver de optelling van termen; niet een vergelijking of evenredigheid, die haar betrouwbaarheid niet verder kan uitstrekken dan die van de verhouding van termen, die in het begin waren vastgesteld; maar bij optelling is het anders, wat de ondervinding en gebruik hieronder zeer helder zullen bevestigen. Nu volgt nog een ander theorema over dezelfde evenredigheid en de manier van maken,


[ 47 ]
PROPOSITIE  IV.

Als van omtrekken die met een gelijke verschilboog worden vergroot, de laatste juist gelijk is aan een kwadrant, en de eerste aan de verschilboog, zullen hun sinussen dezelfde verhouding hebben als de sinussen van omtrekken, waarvan de eerste de grootste is, een kwadrant min de halve verschilboog, en de overige in volgorde afnemen met dezelfde verschilboog, totdat de laatste gelijk is aan de helft van de verschilboog.

halve cirkel, lijnen erbuiten
ZOALS in dezelfde tekening het kwadrant ie is verdeeld in drie gelijke delen, waarvan het eerste is is, het dubbele ervan iu, het drievoudige ie. En daar yb ook een kwadrant is en ib gelijk aan de halve verschilboog, zullen de tweede omtrekken zijn yi, ys, yu.
Je ziet dus dat hq gelijk is aan de ingeschrevene ci, en hu aan ls, wegens de evenwijdigheid; maar vanwege de evenwijdige aq, vh, tu zijn de lijnen qh, qu, qe ook evenredig met de rechten au [av], at, ae, die de sinussen zijn van de omtrekken is iu ie. En daarom zal qh de sinus zijn van omtrek si; en qu, samengesteld uit ci en ls, de sinus van iu; tenslotte qe de straal zelf, waarmee de sinussen worden vergeleken.
Wat nu waar is voor de ingeschrevenen ci, ls, eu, moet ook waar zijn voor de helften ervan, dat wil zeggen de sinussen mi sn ur; dus als de sinussen worden opgeteld zal het bewijs van ons theorema ook vaststaan.

  En hiervan komt een nieuwe manier om een canon te bouwen bij een grotere straal, en dit met alleen optelling, uit sinussen die gegeven zijn bij de waarde van een kleinere straal. Een eerste voorbeeld kan gehaald worden uit de tekening zelf: laat ei zijn 90°, es 60° en eu 30°. Nu is yi 75°, ys 45° en yu 15°, als volgt,


[ 48 ]
Gr. sinus Deze opgeteld,
beginnend bij de
grootste, geven
de sinussen van
de omtrekken:
yi 15 2588190 90 19318516 qe.
ys 45 7071068 60 16730326 qu
yu 75 9659258 30   9659258 hq

  Hier wordt de sinus van een kwadrant, verminderd met de halve verschilboog, namelijk 75°, eerst de sinus van de hele verschilboog van 30°, en met de overige in volgorde opgeteld, komen de sinus van de dubbele en van de drievoudige verschilboog te voorschijn totdat het hele kwadrant kan worden aangevuld.

  En hier geldt inderdaad: als het getal van de verdeling of de verschilboog terechtkomt bij dertig, zoals op deze plaats de eerste keer, zal het laatste getal, dat behoort bij negentig, het dubbele ervan zijn, zoals bij die op deze plaats gevonden getallen 9659258 en 19318516. En daarom is het eerste de halve straal, en het is deze hele waarmee hier zulke sinussen vergeleken worden.
Laat een tweede voorbeeld zijn, waarbij de hele verschilboog wordt genomen als 22° 30', de helft 11° 15', dan zal de manier van werken als volgt zijn:

sinus
78 45 9807853 22 30   9807853
56 15 8314696 45   0 18122549
33 45 5555702 67 30 23678251
11 15 1950903 90   0 25629145.

  Hier wordt weer de sinus van 78° 45', dat is het kwadrant verminderd met de halve verschilboog, de sinus van de verschilboog van 22° 30', wanneer de straal zal zijn 25629154. De juistheid van deze straal zal ondervonden kunnen worden uit de kwadraten van de complementen.

  Maar laat er een wat helderder voorbeeld zijn, en genomen worden de hele verschilboog als 10°, de helft 5°, dan zal het werk er zo uitzien:


[ 49 ]
Sinus nieuwe sinus
85 9961947 10   9961947
75 9659258 20 19621205
65 9063078 30 28684283
55 8191520 40 36875803
45 7071068 50 43946871
35 5735764 60 49682635
25 4226183 70 53908818
15 2588190 80 56497008
  5   871557 90 57368565.

  Zoals boven wordt hier de sinus van de verschilboog vsn 10° gesteld als die, welke in de tabellen is de sinus van 85°, dat is van het kwadrant verminderd met de halve verschilboog; het overige komt te voorschijn, zoals in de voortgang te zien is, uit optelling van voorgaanden; en de sinus van 30° wordt hier gegeven als 28684283; de sinus van 90° of de straal is 57368565, het dubbele hiervan, zoals het behoorde.
Maar dit werk kan vaker wordt voortgezet, en zo zijn door veelvuldige herhaling uit sinussen, vastgesteld bij een kleine straal, dezelfde in veel meer cijfers te vinden. Een voorbeeld daarvan kan zijn: laat de verschilboog zijn 15°, de helft dus 7° 30'; waardoor het werk er zal gaan uitzien als volgt:

Sinus nieuwe sinus
82  30' 9914449 15   9914449
67  30  9238795 30 19153244
52  30  7933533 45 27086777
37  30  6087614 60 33174391
22  30  3826834 75 37001225
  7  30  1305262 90 38306487

[ 50 ]
PROPOSITIE  V.

Als een omtrek verdeeld is in een aantal gelijke delen, zodanig dat deze verdeling ook bij 30° terechtkomt, zullen uit gegeven sinussen van de oneven plaatsen, gegeven worden de sinussen van de even plaatsen bij een nieuwe straal, en andersom, uit de evene de onevene.

EEN wetenswaardig theorema, dat ons een zeer gemakkelijk voordeel biedt: dat uit willekeurige getallen, ook toevallige, toch naar behoren sinussen kunnen worden opgediept. Maar eerst moeten we de waarheid van het theorema ondervinden met ware getallen, volgens wat bewezen is.
In het laatste voorbeeld zijn gevonden de sinussen van 15, 30, 45, 60, 75 graden, bij een straal van 38306487, waarbij de sinus van dertig graden ook gegeven wordt als 19153244. Als deze gesteld wordt als de sinus van de helft van de verschilboog, maken de overige sinussen, in volgorde opgeteld volgens de voorschriften van propositie 3, de sinussen van anderhalve verschilboog en tweeënhalve verschilboog, en dan zo verder langs de oneven plaatsen tot het eind voortgaand, zoals je hier ziet*):

15   9914449 82  30' 145483330 15 145483330
30 19153244 67  30 135568881 30 281052211
45 27086777 52  30 116415637 45 397467848
60 33174391 37  30   89328860 60 486796708
75 37001225 22  30   56154469 75 542951177
90 38306487   7  30   19153244 90 562104421

  En dan zo verder doorgaand volgens de voorschriften van de derde en vierde propositie, totdat de straal van zoveel cijfers is als je vereist. Hier krijgen we uit sinussen van zeven cijfers, bij de derde optelling de sinus bij


[ *)  De sinus van 30° in de 2e kolom wordt gelijk gesteld aan de sinus van 7° 30' in de 4e kolom.]

[ 51 ]
een straal van 10 000 000 000; want als je zegt: zoals de straal 562 104 421 tot de sinus van 75°, 542 951 177, zo is 10 000 000 000 tot 9 659 258 257, terwijl de ware sinus is 9 659 258 263, dan zie je toch dat deze getallen tot op negen cijfers goed zijn? En daarboven kunnen ze niet betrouwbaar zijn, omdat de nieuwe straal zelf niet meer cijfers heeft; maar als je deze wisseling nog een keer wilt herhalen zul je ze naar behoren krijgen tot op een straal van tien cijfers, als volgt*):

82  30'  28105221 15 2134803485
67  30  82400338 30 4124123640
52  30 1310800096 45 3532391584
37  30 1708267944 60 7143191680
22  30 1989320155 75 7967195068
  7  30 2134803485 90 8248247279

  Deze manier van maken is zo waar dat, al neem je getallen die willekeurig afwijken van ware sinussen, mits aan de sinus van 30 graden wordt toegekend de helft van de aan 90 graden toegeschrevene, toch alle getallen beetje bij beetje in orde gebracht worden, en dat er zó goede sinussen tevoorschijn komen, als ze volgens de regels naar behoren kunnen worden afgeleid, bij welke gegeven straal ook. De overeenstemming van deze uitwisseling is zo groot, dat ze beetje bij beetje het afwijkende afzondert en verwerpt. Laat er een vals voorbeeld zijn met verzonnen sinussen, als volgt°):


[ *)  Het eerste getal van de 2e kolom lijkt te zijn de sinus van 30°, 281052211 (vorige tabel, laatste kolom); het tweede zal ook een cijfer meer moeten hebben.
De 2e kolom geeft hier de cosinus (bij omkering de sinus) van de 1e kolom, bij een straal van 215322454.]

[ °)  Voor de duidelijkheid zijn sin 30° en sin 90° vet aangegeven. De eerste wordt in de 4e kolom sin 7° 30', waarna daarvan het bovenste getal 360 terugkomt in de 5e kolom als sin 15°.
5e kolom, 2e getal: sin 30° = 696, komt terug in de 6e kolom onderaan, enz.]

[ 52 ]
 Omtrek    sin.  
  15 0'    24
  30 0    48
  45 0    68
  60 0    82
  75 0    90
  90. 0    96
1
 Omtrek  sin.
  82 30'   360  
  67 30   336  
  52 30   288  
  37 30   220  
  22 30   138  
    7 30     48  
2
sin.
   360  
   696  
   984  
 1204  
 1342  
 1390  
3
 
  5282  
  4922  
  4226  
  3242  
  2038  
    696  
4

sin.
   5282  
  10204 
  14430  
  17672  
  19710  
  20406  
5
  77502  
  77220  
  62016  
  47586  
  29914  
  10204  
6
sin.
    77502  
  149722  
  211738  
  259324  
  289238  
  299442  
7
  1137246  
  1059744  
    910022  
    698284  
    438960  
    149722  
8

  1137246  
  2196990  
  3107012  
  3805296  
  4244256  
  4393978  
9
  16687790  
  15550544  
  13353554  
  10246542  
    6441246  
    2196990  
10
  16687790  
  32238334  
  44591893  
  55838435  
  62279681  
  64476671  
11

[ 53 ]
  244874467  
  228186677  
  195948343  
  150356450  
    94518015  
    32238334  
12
  244874467  
  473061144  
  669009487  
  819365937  
  913883952  
  946122286  
13

  En zo weer opnieuw. De nauwkeurige waarheid van het werk nu, en in hoeverre deze vordert op de plaatsen van de oneven nummers, voorzover we die hier laten zien (want we zijn begonnen met een hele verschilboog die langs 30 graden gaat), zal tonen de overeenstemming van sinussen die bij 90 en 30 graden behoren. Want voor zover de laatste bij verdubbeling de eerste geeft, zolang zijn alle cijfers goed en naar behoren, wat heel overtuigend voor je moet zijn; zoals op de laatste plaats van de dertiende kolom de sinus totus wordt gegeven als 946122286, en de sinus van 30° als 473061144, waarvan het dubbele is 946122288.
Ik kan dus veilig verklaren dat bij een straal van 946122288 alle cijfers zeer nauwkeurig zijn; laat een voorbeeld zijn bij 75°, waarvan de sinus in dezelfde kolom wordt gegeven als 913883952; en dan geldt: zoals 946122288 tot 913883952, zo is 10000000000 tot 9659258254, zodat slechts twee van de nieuwste verkeerd zijn, dat zijn 54 in plaats van 63, en op een straal van negen cijfers wijken we nauwelijks één eenheid af van het ware, naar verschillende kanten, waarop we eerder hebben gewezen naar aanleiding van de overeenstemming van de sinus van 90 en 30°.
Ja zelfs is deze manier van maken zó nauwkeurig en waar dat, al zet je alle sinussen in omgekeerde volgorde, en al ken je grotere sinussen toe aan kleinere omtrekken, en ook kleinere aan grotere, ze daaruit toch na veelvuldige afwisseling van optellingen als echt en naar behoren tevoorschijn

[ 54 ]
komen; als je de gestelde regels maar volgt en de sinus van 30° wordt gesteld als de helft van die bij 90° behoort, zal de zaak niet moeilijk zijn voor wie het probeert.

  Daarom is de weg naar het verzamelen van honderden sinussen van de canon begaanbaar en gemakkelijk. Want als eerst de volgorde met oneven minuten wordt opgesteld, zoals 2, 4, 6, 8, 10, zal de andere de tussenliggende plaatsen 1, 3, 5, 7, 9 aanvullen, en dan zo verder; de zaak is duidelijk uit het voorgaande, zodat je door 2700 optellingen te herhalen zo nauwkeurige canons voor de dag kunt brengen als jw maar wilt. Nu echter de straal hier een andere is dan die gewoonlijk gebruikt wordt, moet je deze sinussen via deling of vermenigvuldiging tot duizendsten herleiden.

  Maar toch, opdat je niet zonder gids en als bij toeval een zo onmetelijke zee opgaat, hoewel je zo ook met duistere regels noodzakelijker­wijze voortvaart naar de bestemde haven, toch zal het van pas komen voor dit werk een of andere leid-ster te gebruiken, waarmee je makkelijker uit deze stortvloed en lastige golf­bewegingen het schip onbeschadigd in de haven kunt aanleggen.
Het zal dus geschikt zijn tenminste van de afzonderlijke graden, of wat ik ook niet verwerp van de helften, al van te voren de juiste sinussen te hebben gevonden bij een straal van minstens vier cijfers, en dan evenredig volgens dit verschil de grootte van de sinussen per twee minuten te rangschikken. Langs deze weg zul je immers bij de tweede optelling de juiste sinussen gemakkelijk opdiepen tot een straal van zes of zeven cijfers, en als je dezelfde afwisseling nog een tweede keer herhaalt, zul je makkelijk al tot 10 of 11 cijfers komen; overeenstemming wordt bewezen door vergelijking van de sinus van 90° met de sinus van 30°.
Maar voordat ik hier ophoud over de tabel, moet ik ook uiteenzetten het vinden van de zijde van een willekeurige veelhoek, langs dezelfde weg; waarvan ik in elk geval meen dat het, onder de hoogste voordelen van dit theorema, niet opzij gelegd mag worden.


[ 55 ]
PROPOSITIE  VI.

De zijde van een gegeven willekeurige veelhoek werkelijk zo dicht te benaderen als men wil.

EN deze toevoeging is niet te verwaarlozen; zo wordt ons namelijk soms, als zeer ingewikkeld werk wordt vermeden, heel eenvoudig een toegang geopend tot het binnenste van de waarheid. Maar ik moet vóór alles erop wijzen dat het getal van de veelhoek deelbaar moet zijn door zowel 3 als 2. En wel door een tweetal, opdat de zijde ervan nauwkeurig langs de halve cirkel gaat, en de helft van de zijde een sinus is; vervolgens door een drietal, opdat de benodigde omtrek van de helft ook op 30 graden uitkomt. En daarom ook zal soms het zesvoud van het gegeven aantal moeten worden genomen, soms het tweevoud, soms het drievoud, afhankelijk van wat het aantal zijden van deze snede kan bevatten. Maar met voorbeelden zal de zaak helderder zijn.

  Laat gevonden moeten worden de zijde van een twaalfhoek, de helft daarvan is 6, dus de sinus van de twaalfhoek onderspant een zesde deel van een kwadrant, namelijk 15°. En daarom zal ik de voortgang ervan zo inrichten: via 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°; en de sinus van 15° zal zijn de halve zijde van een zeshoek, en dit werk is door ons geleverd bij de vorige propositie.

  Laat er ook een ander voorbeeld zijn: gezocht wordt de zijde van een negenhoek, en daar het getal 9 niet deelbaar is door 2 wordt daarvan genomen het viervoud 36. De helft ervan is 18; dus zal het kwadrant in achttien delen verdeeld moeten worden, namelijk 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, en de overige op de rij af, die ik daarom kortheidshalve zo zal noteren, en naar goeddunken kan ik welke getallen dan ook aannemen*):


[ *)  In de gedrukte versie staat een getal dubbel in kolom nr. 4 (4e getal: 136270); de kolom is even lang als kolom nr. 2, maar de vakjes worden kleiner.]

[ 56 ]
Gr.
   1       10  
   2       19  
   3       27  
   4       36  
   5       44  
   6     30       50  
   7       55  
   8       60  
   9       65  
  10       70  
  11       75  
  12     60       79  
  13       83  
  14       87  
  15       92  
  16       95  
  17       98  
  18     90     100  
1
  1095  
  1085  
  1066  
  1039  
  1003  
    959  
    909  
    854  
    794  
    729  
    659  
    584  
    505  
    422  
    335  
    243  
    148  
      50  
2
 
    1095  
    2180  
    3246  
    4285  
    5288  
    6247  
    7156  
    8010  
    8804  
    9533  
  10192  
  10776  
  11281  
  11703  
  12038  
  12281  
  12429  
  12479  
3
  142791  
  141696  
  139516  
  136270  
  131985  
  126697  
  120450  
  113294  
  105284  
    96480  
    86947  
    76755  
    65979  
    54698  
    42995  
    30957  
    18676  
      6247  
4
 
    142791  
    284487  
    424003  
    560273  
    692258  
    818955  
    939005  
  1052699  
  1157983  
  1254463  
  1341410  
  1418165  
  1484144  
  1538842  
  1581837  
  1612794  
  1631470  
  1637717  
5

  Je ziet hier dat uit toevallige getallen*), in de vijfde kolom toch de verhouding van de sinussen van 90 en 30 graden is als die van 1637717 tot 818955. Waarvan het dubbele is 1637910, zodat er vijf cijfers bijna goed zijn; en daaruit kun je concluderen dat de getallen tenminste bij een straal van 10000 zo goed mogelijk zijn, maar dat bij 1000 alles al heel nauwkeurig overeenstemt.


[ *)  Zoals:  | 1 |   | 10 |, bij R = 100 (sin 5° = 0,0872);  | 12 | 60 | 79 | (sin 60° = 0,8660).]

[ 57 ]
  Maar voordat we dit onderzoeken zal het de moeite waard zijn overeenkomstige lijnen te bepalen die behoren bij de afzonderlijke getallen. Het eerste getal in de vijfde kolom, 142791, zou zijn de halve zijde van een zesendertig­hoek; en daarom zal het tweede zijdetje 284487 de halve zijde van een achttienhoek zijn. En het vierde 560273 de halve zijde van een negenhoek oftewel de sinus van 20°. Er geldt dan: zoals 1637717 tot 560273, zo is 100000 tot 34210. Terwijl de ware sinus 34202 is, zodat er in het vierde cijfer wordt afgeweken met nog geen hele eenheid.

  Als je deze afwisseling nog eens voortzet, zullen gegeven worden de sinussen van 90° en 30° als 21518.3370 en 10759.2888; hier zijn vijf cijfers helemaal goed, en het getal van het eerste zijdetje zal zijn 18754934, van het tweede 37367077, van het vierde 73598386.

  En weer: de sinussen van 90° en 30° zullen zijn 28274206655 en 14137132973, en als de laatste vier te vreemde cijfers worden afgekapt zullen die eerste, tweede en vierde sinussen worden gegeven als 246426, 490977, 967137, waarvan de waarheid zal vaststaan volgens de cijfers van deze straal; dus bij deze straal van 100000 zullen alle getallen juist zijn. En door dan zo door te gaan, zal zo ver gevorderd kunnen worden als men wil.

  Slechts één voorbeeld zal ik er in druk nog bijdoen, de berekening kun je zelf doen: laat gezocht moeten worden de zijde van een zevenhoek. Daar dat aantal noch door 3 noch door 2 deelbaar is, moet hiervan genomen worden het zevenvoud, namelijk 42, waarvan de helft, 21, het aantal zijden is dat ingeschreven wordt in een halve cirkel, en in zoveel delen moet het kwadrant verdeeld worden waaruit de sinussen worden gehaald. Het zevende getal komt op 30° en het 14e op 60°.

  En het eerste zal zijn de helft van de zijde van een tweeënveertig­hoek, het derde van een veertienhoek, het zesde van de gezochte zevenhoek. Want ik heb genomen het zesvoud van het zevental. Voer het werk zelf uit, als je wilt, voor mij is het genoeg erop gewezen te hebben.


58 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT.    

  Ikzelf, terwijl ik bezig ben met iets anders en voor het opstellen van canons van tangensen en secansen een of andere bekorting wil vinden, meer dan wat hierboven [p. 19] is uiteengezet met theorema's en plaatsen, en terwijl ik het een en ander doorzoek — omdat ik dacht dat er nog genoeg aan moeilijks te doorzien is in de zaken zelf — heb ik deze weg gevolgd, die ik in dit appendixje in propos. 3 heb voorgesteld. En daarbij heb ik in de getoonde tekening opgemerkt dat aq gelijk is aan de ingeschreven lu, cs en de straal ai, en daarom:

PROPOSITIE  VII.

Als een kwadrant zodanig is verdeeld, dat de eerste omtrek gelijk is aan de verschilboog, de laatste aan het kwadrant, zal het dubbele van de sinussen, kleiner dan het kwadrant, gevoegd bij de straal, de tangens zijn van de omtrek die de helft van de verschilboog tekort komt bij het kwadrant.

halve cirkel, lijnen erbuiten
IN de geplaatste tekening moeten eu, es, ei de voorgestelde omtrekken zijn, dus het dubbele van ut en vs, gevoegd bij de straal ai zal geven aq, de tangens van hoek aeq, of van de daaraan gelijke yaq, die staat op de omtrek iy, en die de helft van de verschilboog ey tekort komt bij het kwadrant ie. In getallen moet het zo zijn:

59 ] CANONIS  SINUUM  FACILIORI.    

__   sinus
eu   30. 5000000
vs 60. 8660254
13660254
2
27320508
ai 10000000
37320508   aq tangens 75 gr.
want de halve verschilboog 15° afgetrokken van 90°, geeft zoveel als rest. Zo wordt bij het optellen van sinussen van 10°, vanaf het begin toenemend, gegeven de som 52150260, waarvan het dubbele vermeerderd met de straal zal geven 114300520, de tangens van 85°. En dan zo verder.

PROPOSITIE  VIII.

Als een kwadrant zodanig is verdeeld, dat de eerste omtrek gelijk is aan de halve verschilboog, en de laatste aan het kwadrant min de halve verschilboog, zla het dubbele van alle sinussen zijn de secans van de laatste omtrek.

IN dezelfde tekening is namelijk de rechte aq de secans van de hoek aeq, waaraan gelijk is yaq. Maar eq wordt samengesteld uit eu ls ci, en deze zijn dubbelen van de sinussen die behoren bij de omtrekken yu ys yi. In getallen zal het zijn:
__
yu   15. 2588190
ys 45. 7071068
yi 75. 9659258
19318516
2
38637032   eq secans 75 gr.

Op dezelfde manier zal bij optelling van de sinussen van 5, 15, 25, 35, 45°, en de overige in die volgorde, gegeven worden de som 57368564, waarvan het dubbele 114737128 zal zijn de sinus*) van 85°.


[ *)  Hier zal bedoeld zijn: secans.]

60 ] APPENDIX  DE  CONSTRUCT.    

  Als vervolgens worden opgeteld deze secans en de tangens ervan uit de voorgaande propositie, 114300520, zal volgens propos. 23. van boek 1 gegeven worden de tangens van 85° plus het halve complement, namelijk van 87° 30', 229037648. En het verschil van dezelfde secans en tangens zal zijn de tangens van het halve complement 2° 30', 436608. Hetzelfde zou gedaan kunnen worden met onze verzonnen sinussen, en zo zou dan langs deze weg ook een aantal tangensen en secansen daaruit kunnen worden opgediept.

  Je ziet dus dat met dit werk een aantal secansen en tangensen kunnen worden afgeleid uit sinussen, met alleen optelling en aftrekking; en dat hierbij geen grotere termen nodig zijn dan die geschikt zijn voor het naar behoren opbouwen van sinussen. Langs deze weg zul je ook vinden de tangens en de secans van 89° 58' en daarna uit de som van beide de tangens van 89° 59'; uit het verschil dan de tangens van 1 minuut. In het werk komt veel voor dat van nut is. En hoewel niet alle secansen of tangensen op deze manier kunnen worden gevonden, toch wel die, welke een heel kwadrant beslaan, dat is precies 5400 minuten, en uit het verschil ook nieuwe.
Toen ikzelf dit gemak bij het maken van tangensen en secansen voor tabellen van rekenmeesters trachtte in te voeren, ziedaar: "het toeval is machtiger dan ons vakmanschap"*); zo waar is deze oude uitdrukking, en niets vermoedend ben ik gekomen op die heel handige en beschikbare vorming van sinussen die ik hierboven heb uiteengezet. Ik heb andere bekortingen voor de constructie van tabellen van tangensen en secansen, maar die wachten nog op enige rijpheid.


[ *)  Gr.: 'hè tuchè tès technès hèmin kalliô bouleuetai'. Dit lijkt op: 'Tautomaton hèmôn kalliô bouleuetai' van Menander, waarop Cicero zinspeelt in brief 1.12 aan Atticus (Lat.), Engl. met: "Chance designs better than we ourselves"; ook in Montaigne, Les Essais, Par. 1602, p. 200, met: "La fortune a meilleur advis que nous".
Aelius Aristides, Orationes, T. 3 (ed. Canter, Gen. 1604), p. 420.B: 'chrèsamenon tuchèi tès technès kreittoni'', "fortunam arte potiorem expertum esse".]

61 ] CANONIS  SINUUM  FACILIORI.    

PROPOSITIE  IX.
Tenslotte    
De tangens van het complement van een halve minuut, is tweemaal de som van de sinussen per afzonderlijke minuut van het hele kwadrant.
LAAT namelijk ey een omtrek zijn van één minuut, en eu van twee minuten, dan zal de hoek aeu zijn 89° 59' en ut de sinus van twee, sv van vier minuten, en dan zo verder tot de laatste van 90°. Als dus alle sinussen van steeds twee minuten worden opgeteld en verdubbeld, en tenslotte de straal zelf erbij wordt opgeteld, is aq gelijk aan de tangens van 89° 59'.
halve cirkel, lijnen erbuiten
En anderzijds is het dubbele van de sinus van 1', 3'. 5', zoals ru, sn, im, gelijk aan de secans eq van dezelfde hoek van 89° 59'. Op deze lijnen zijn dus de even en oneven minuten van het hele kwadrant, dus de tangens en de secans van het complement van één minuut is gelijk aan een som van alle sinussen op grond van afzonderlijke minuten. Maar de tangens en de secans van een omtrek is gelijk aan de tangens van een gegeven omtrek vermeerderd met het halve complement, dat wil zeggen aan de tangens van 89° 59' 30". Daarom is de tangens van het complement van een halve minuut tweemaal een som van alle sinussen.

  En wat hier dan uitvoerig gezegd is over het onderliggende en de samenstelling van de Canon moet wel voldoende zijn; nu volgt het gebruik.


E I N D E.



[ Snellius' Canon van 1626 blijkt niet helemaal foutloos gedrukt; op p. 18 staan bij 4. Grad. 0' de waarden voor 3. Grad. 31' (p. 16): "6133.89   6145.46   100188.65".]

[ 62 ]
C A N O N I E K E   L E E R
van
D R I E H O E K E N,

TWEEDE  BOEK.

Over  vlakke  DRIEHOEKEN.

HET nut van de Canon ligt in het afmeten van alle hoeken of lijnen, die zijden kunnen zijn van een vlakke driehoek of van een boldriehoek. Want dat elke veelhoek is te verdelen in zijn driehoeken is bekend uit de meetkunde; doch in deze Canons worden rechten in verband gebracht met hun omtrekken en omtrekken met hun rechten. Het eenvoudigste en eerste nut ligt dus in die driehoeken; en vandaar ook de naam, zodat gezegd wordt Leer van Driehoeken.
Maar aangezien driehoeken op verschillende gebogen oppervlakken verschillend kunnen zijn en onregelmatig, volgen onze tabellen slechts die, welke begrensd worden hetzij door rechte lijnen, hetzij door omtrekken van grote cirkels op een boloppervlak.
En een vlakke rechtlijnige driehoek zullen we inderdaad benoemen, met de naam van de hoeken, als een driehoek, maar een boldriehoek, met de naam van de zijden, als een Tripleuron; want zo noemden ook Hipparchus en Menelaus deze gewoonlijk, al voor de tijd van Ptolemaeus.
Dus eerst over vlakke driehoeken, waarvan de definitie gehaald kan worden uit het eerste boek van de Elementen. In het voorbijgaan moet echter met name dit hier bijgeschreven worden over de wijdte van hoeken:

[ 63 ]
PROPOSITIE  I.

De wijdte van een rechtlijnige hoek wordt afgemeten aan een omtrek, uit de top van de hoek als middelpunt, beschreven met welk interval dan ook.

DAT een hoek, op een oppervlak omvat door twee rechte lijnen, een oppervlak is, leren de zaak zelf en de definitie van die meest logische P. Ramus*). Want in de meetkunde is dit een onbetwijfeld axioma, dat een Grootheid wordt gesneden door die, welke een dimensie minder heeft dan de gesnedene. Zo verkondigt elke Wiskundige en Filosofische school dat een lichaam wordt gesneden door een vlak, een vlak door een lijn, een lijn door een punt. En een hoek op een vlak wordt in tweeën gedeeld, in drieën en naar wens opnieuw door een lijn; een rechtlijnige hoek is dus een oppervlak; en daarom, wanner hoeken vergeleken moeten worden, zullen ze volgens het oppervlak moeten worden vergeleken.
Maar als in het middelpunt van eenzelfde cirkel meer hoeken met de toppen bijeen worden geplaatst, zal gelden: zoals hoek tot hoek, zo is sector tot sector; maar zoals sector tot sector, zo is omtrek tot omtrek; evenzo dus: zoals hoek tot hoek, zo is omtrek tot omtrek. Dus het is naar gebruik wanneer we zeggen dat omtrekken hoeken afmeten; want een lijn meet geen oppervlak. Dit wordt dus beweerd: zoals een omtrek van 90 graden een rechte hoek onderspant, zo zal de verhouding van de overige hoeken zijn, zoals 90° die heeft tot de omtrek onderschept tussen de benen ervan; zodat als die hoek 10 graden is, deze hoek een negende deel maakt van een rechte, bij 30° een derde, bij 45° de helft, enzovoorts, volgens dezelfde verhouding.


[ *)  Petrus Ramus, Arithmeticae libri duo, Geometriae septem et viginti, Bas. 1580, p. 16: "Angulus est lineatum in communi sectione terminorum".
Ned.: Petri Rami Meetkonst in XXVII boecken vervat, Amst. 1622, (Dirck Houtman & W. Snellius), p. 17: "Hoeck is 't ghelinieerde in der palen ghemene sne".]

[ 64 ]
Dus:    
Van omtrekken, en hoeken in het middelpunt, die daarop staan, zijn de sinussen, tangensen, en secansen dezelfde.

PROPOSITIE  II.

Als van een rechthoekige driehoek de basis van de rechte hoek de straal van een cirkel wordt, zullen de benen de sinussen zijn van de hoeken er tegenover.

12: driehoek, cirkelsector ZOALS je hier ziet, als met middelpunt a en het interval van de hypotenusa ai de omtrek io wordt beschreven, dan zal ei de sinus zijn van de scherpe hoek iao. Als uit de scherpe hoek i de omtrek au beschreven wordt, dan zal ae worden de sinus van de hoek aie. De zaak is duidelijk uit de definitie van de sinus.


PROPOSITIE  III.
Dus:        
In een rechthoekige driehoek, met gegeven basis van de rechte hoek, en een aanliggende hoek, wordt gegeven het been er tegenover, en andersom: bij gegeven basis en been wordt gegeven de hoek hier tegenover.
WANT laat gegeven zijn de driehoek aei in de voorgaande tekening, en de basis ai van de rechte hoek als 17, het been ie als 8, en het andere ae daarom 15; wanneer dus ai de straal zal zijn, zal ei worden de sinus van omtrek io, of hoek iao. En daarom, aangezien de straal ai 17 is, wordt dan ei 8, wegens gelijkheid, de sinus van de hoek bij a. Als dus ai wordt gesteld van 100000 delen, dan zou ei van 47059 zijn, namelijk de sinus van 28° 4' 21".
Op dezelfde manier kun je concluderen de grootte van de hoek aie; want zoals 17 tot 15, zo is 100000 tot de sinus 88235, waarvoor in de tabellen wordt gegeven 61° 55' 39". En als beide

[ 65 ]
hoeken worden samengesteld, wordt er noodzakelijk een rechte hoek gesmeed, of 90°; anders sou er immers een fout zijn.

  En andersom: Bij gegeven basis ai 17 en hoek iae 61° 55' 39" kan gegeven worden het been van de rechte hoek tegenover deze; want ik denk aan een driehoek in de tabellen met een hoek gelijk aan deze; en de basis of de sinus totus wordt daar gegeven als 100000, en de sinus van de gegeven hoek als 88235. Dus zoals 100000 tot 88235, zo is ai 17 tot ie [ae] 15. Langs dezelfde weg zal ook gegeven worden ae [ie], van 8 delen, en hiervan zouden inderdaad ook andere kunnen worden afgeleid; maar dit volgen we na: dat de straal of de sinus totus altijd op de eerste plaats staat; deze zullen we inderdaad er nog bij krijgen, terwijl met deze bekend die andere vanzelf duidelijk zijn.
En als door ons niet dat doel was gesteld, zou alleen een sinustabel geschikt zijn om elk werk te voltooien, zoals eertijds voor de ouden de canon van ingeschrevenen. Maar tabellen van Tangensen en Secansen zijn ingevoerd ten einde voor het werk een handig gemak te leveren, en de last van deling op die wijze opzij te schuiven; het is niet ons plan verder door te gaan met deze kleinigheden.

13: driehoek in cirkel

PROPOSITIE  IV.

De zijden van een driehoek zijn evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken.

DIT is wel duidelijk uit de benoeming zelf van sinussen. Laat namelijk de driehoek aei ingeschreven zijn in een cirkel, met vanuit het middelpunt o de loodlijnen os or die zowel de omtrekken als de ingeschrevenen in tweeën delen, en laat getrokken worden ao, dan zal de hoek soa in het middelpunt,


[ 66 ]
gelijk zijn aan de hoek iea op de omtrek die op de dubbele basis staat; en aor gelijk aan hoek aie. De halve zijden zijn dus als sinussen, en de hele zijn evenredig met de halve; en daarom geldt: zoals de zijde ae tot de zijde ai, zo is ay, de sinus van hoek aoy of aie tot de sinus van hoek aos of aei, wat te bewijzen was. Niet heel anders zal het bewijs zijn bij een rechthoekige en een stomphoekige driehoek.


PROPOSITIE  V.
Dus:            
Bij gegeven hoeken wordt gegeven de verhouding van de zijden.
LAAT de gegeven hoeken zijn a 75° 15', e 49° 30', i 55° 15'. De zijden zullen deze verhouding krijgen: ei 9670459, ai 7604060, ae 8216469, namelijk dezelfde als de sinussen van de overstaande hoeken.


PROPOSITIE.  VI.
En:              
  Bij gegeven zijde en twee hoeken, zullen de overige zijden gegeven worden.
LAAT in dezelfde tekening de zijde ae zijn van 4103 tienvoet [decempeda], en de hoek e 50° 24' en a 97° 11',*)  en gevraagd worden de zijden ai ei. Daar de drie hoeken van een driehoek gelijk zijn aan twee rechte, zal uit de gegeven a en e ook de derde bij i gegeven worden: 32° 25'. En daarom zal volgens de voorgaande propositie gelden: zoals de sinus van hoek i 32° 25', 5360724, tot de overstaande zijde ae van 4103 tienvoet, zo is de sinus van hoek e 50° 24', 7705132, tot de overstaande zijde


Leida, Haga, Gouda[ *)  Deze getallen staan in:
W. Snellius, Eratosthenes Batavus (Leiden 1617), p. 169,
"I Problema. Triangulum AES, Leida Haga Gouda",
met slechts één verschil: 50° 23' (figuur p. 168, detail).
4103 tienvoeten (15,5 km): afstand Leiden - Den Haag (p. 194: torens).
De lijnen lopen rechtsboven naar Alkmaar, linksonder naar Rotterdam.]

[ 67 ]
ai van 5898 tienvoet; en zo is de sinus van hoek a 97° 11', 9921511, tot de overstaande zijde ei van 7594 tienvoet. Daar dus ae, de afstand tussen Leiden en Den Haag, 4103 Rijnlandse twaalfvoet is, zal de afstand van Leiden tot Gouda 5898 twaalfvoet bedragen, van Den Haag tot Gouda 7594.

  Hetzelfde zou op steeds weer andere manieren kunnen worden afgedaan; maar deze is de eenvoudigste, en gemakkelijkste. Het is niet ons voornemen hier alles te behandelen, en omwegen wijzen we volstrekt af.


PROPOSITIE.  VII.
En:              
Als gegeven zijn twee zijden en een hoek die hierdoor niet wordt omvat, zullen ook de overige hoeken gegeven worden.
MAAR met deze bepaling en voorwaarde, dat van de andere hoek bij de basis de soort wordt voorgeschreven, en wel impliciet met de gegevens, zoals: wanneer de gegeven hoek recht of stomp is, dan is immers duidelijk dat de overige scherp zijn. Of anders in het algemeen wanneer de hoek tegenover de grotere zijde gegeven wordt, dan staat immers vast uit de Elementen dat de andere, tegenover de kleinere zijde, kleiner is dan de eerste.
13: driehoek in cirkel Laat dus in dezelfde tekening ai zijn van 5898 tienvoeten, ei van 7594 en hoek iae 97° 11', en gevraagd worden hoek e.
Dan zal gelden volgens propos. 4: zoals zijde ei 7594, tot de sinus van hoek a, 9921511, zo is de tweede zijde ai, 5898, tot 7705132, de sinus van hoek e. En daar deze sinus overeenkomt met een hoek van 50° 24', en evenzo met de stompe 129° 36', en de zijde ie groter is dan de zijde ai, zal ook hoek e kleiner zijn dan hoek a, en daarom zal hoek aei zijn 50° 24', en uit deze twee wordt de andere bij i gegeven als 32° 25'.

[ 68 ]
Maar als de vierde evenredige gelijk is aan de straal, is duidelijk dat die hoek recht is.


PROPOSITIE  VIII.

Als in een rechthoekige driehoek, vanuit een scherpe top, een omtrek wordt beschreven met het interval van een been van de rechte hoek, zal het andere been de tangens zijn; en de basis de secans van dezelfde hoek.

44: rechthoekige driehoek met bogen EN dit is ook te doorzien in een theorema van het eerste boek. Laat aei de rechthoekige driehoek zijn, als dus vanuit de hoek a met interval ae, de cirkel ey wordt beschreven, zal ei de tangens worden van de omtrek eo volgens prop. 12 van boek 1, en ai de secans volgens prop. 17. Evenzo, als met middelpunt i en interval ie, de omtrek eu wordt beschreven, dan zal ae worden de tangens, en ia de secans.


PROPOSITIE  IX.
Dus:              
Als in een rechthoekige driehoek de benen gegeven zijn, zullen de schuine hoeken gegeven worden. En bij gegeven schuine hoeken zal de verhouding van de zijden gegeven worden.
WANT, in dezelfde driehoek: als ae de straal is uit het middelpunt a, zal ei de tangens van hoek a zijn en ai de secans ervan; of als ei de straal is, zal ae de tangens van hoek i zijn, en ai de secans ervan. Laat dus ae van 15 delen zijn, en ei van 8, dan zal gelden: zoals ei 8 tot ae 15, zo is 100000000 tot de tangens van hoek i, 18750000, 61° 55' 39"; of

[ 69 ]
zoals ae 15 tot ei 8, zo is 100000000 tot de tangens van hoek a, 5333333, 28° 4' 21".

  En anderzijds, als hoek i wordt gesteld 61° 55' 39", en a 28° 4' 21", zal de verhouding van de zijden worden gegeven.

  Want als de zijde ae gegeven wordt als straal 100000000, zal ei de tangens van hoek a zijn, 5333333, en de basis van de rechte hoek, ai, de secans ervan, 11333333. En zo dan, bij gegeven verhouding van de zijden, en de zijde ae in de voor ogen gestelde maat van 15 voet, kan ook tot de overige zijden besloten worden, naar evenredigheid, op deze manier:
zoals straal ae tot tang. a zo is ae tot ei
10000000  5333333 15 8
zoals straal ae  tot sec. a zo is ae tot ai
10000000 11333333 15 17.

N   O   T   A.

  Hetzelfde kon tot stand gebracht worden met sinustabellen; want als ai de straal wordt, zullen ae en ei de sinussen zijn van de overstaande hoeken, volgens propos. 2. Als namelijk ai 10000000 is, dan zou ei zijn 47058823 van dezelfde delen, en ae 8823529. En hiermee is dan de verhouding
zoals ae sin. i tot ei sin. a zo is ae tot ei
8823529  47058823 15 8
zoals ae sin. i tot straal ai zo is ae tot ai
8823529 10000000 15 17
maar zoals je ziet moet hier deling worden toegepast; om dit werk opzij te schuiven zijn niet zo lang geleden in deze wetenschap de tabellen van tangensen en secansen ingevoerd. En daarom wordt deze door Ptolemaeus en de Ouden veelbetreden weg, tegenwoordig veronachtzaamd als te bewerkelijk; en inderdaad, wie wil zich liever met eikels voeden dan met gevonden vruchten?

[ 70 ]
PROPOSITIE  X.

Bij gegeven been van een rechte hoek en een scherpe hoek, wordt gegeven het andere been, en de basis.
LAAT gegeven zijn een been ae van 15 voet van een rechte hoek en een van beide scherpe hoeken, zoals i 61° 55' 39". Dat hiermee nu ook de andere scherpe hoek bij a wordt gegeven die het complement ervan is, namelijk als 28° 4' 21", is duidelijk. En daarom bij gegeven ae, wordt gegeven ei met de tangens van hoek a, en ai met de secans van dezelfde hoek.


PROPOSITIE  XI.

Bij gegeven basis en een been van een rechte hoek, worden de hoeken gegeven.
44: rechthoekige driehoek met bogen DIT hebben we wel hiervoor opgelost met sinus­tabellen; maar hetzelfde zullen we nu ook doen met canons van secansen.
Want in dezelfde tekening, als ae de straal is, is ai de secans en ei de tangens. Laat dus ae 15 zijn en ai 17. Dan geldt:
zoals ae tot ai zo straal tot secans a
15 17 10000000 11333333
Wat geeft 28° 4' 21". De andere bij i zal dus het complement ervan zijn: 61° 55' 49".


HULPSTELLING, bij wat volgt.

Als de helft van het verschil tussen de kwadraten van de benen en het kwadraat van de basis, gedeeld wordt door een van beide benen, zal het quotiënt

[ 71 ]
zijn de afstand van de betreffende hoek tot de verdelende loodlijn van zijn top.
DE gevolgtrekking is afgeleid uit de Elementen [II, 13], waar het gaat over de invloed van de basis bij een scherpe en een stompe hoek. Dus ik ben van mening dat het bewijs daaruit te halen is; we zullen vervolgen met het gebruik.
Laat dus van een driehoek aei de zijden zijn: ae 10, ai 21, ei 17.
15: twee driehoeken met loodlijn
en laat gezocht worden hoever de loodlijn eo, afstaat van a. De kwadraten van de benen van de hoek, namelijk van ae en ai, geven bij optelling 541, het kwadraat van de basis ei ervan is 289, het verschil is 252, waarvan de helft 126, gedeeld door been ai 21, zal geven 6 voor het segment ao. En daar de kwadraten van de benen samen het kwadraat van de basis ei overtreffen, zal hoek a dus scherp zijn, en de loodlijn zal vanaf a in de richting van i staan. Op dezelfde manier is te vinden oi van 15 delen.

  Laat er weer een driehoek aei zijn, nu met ea 10, ai 9, ei 17, en gevraagd worden hoever de loodlijn eo afstaat van hoek a. De kwadraten van de benen van hoek a, namelijk van ea en ai samen opgeteld, geven 181, het kwadraat van de basis ei is 289. Daar dit groter is dan die som, bewijst het dat de overstaande hoek stomp is, en daarom dat de loodlijn valt voorbij a in het deel tegenover i. En het verschil van de kwadraten is 108, waarvan de helft 54, gedeeld door been ai 9, zal geven ao van zes delen. Op dezelfde manier kun je vinden dat io 15 is. De loodlijn eo is echter niet moeilijk te vinden.


HETZELFDE  ANDERS.

Als het product van de som en het verschil van de benen wordt gedeeld door de basis, is de helft van de som van het quotiënt en de deler

[ 72 ]
de afstand op de basis van de loodlijn tot het grootste been; de helft van het verschil ervan is de afstand tot het kleinste.
EN dit is gehaald uit de Elementen [III.35], uit de onderlinge snijding van twee ingeschrevenen. 16: driehoek in cirkel Zoals hier een driehoek aei gegeven kan worden: laat vanuit de hoek e, met als straal het grootste been ei, de cirkel iys beschreven worden, en de basis ia verlengd; en het kleinste been is ae
De rechthoek uas is gelijk aan de rechthoek iay, en daarom: ay opgeteld bij ai zal geven de hele iy, waarvan de helft io, de afstand is tot het grootste been. Laat anderzijds gelijk zijn ya en ri, dan zal van de overblijvende ar de helft ao de afstand zijn tot het kleinste been.
Verder, als de helft van de som groter is dan de basis, zoals io in driehoek eri, is dat een bewijs dat de hoek die bij de basis aan het kleinste been ligt, namelijk eri, stomp is; als die helft kleiner is dan de basis, scherp.
Dezelfde hulpstelling zou op steeds weer andere manieren kunnen worden gevarieerd, maar we zijn niet van plan alles na te gaan.


PROPOSITIE  XII.

Als de zijden van een driehoek gegeven zijn, worden de hoeken gegeven.
OF het een rechthoekige, stomphoekige of scherphoekige driehoek is, staat vast volgens de regels daarvan. Over de rechthoekige is hierboven gesproken; en de scheefhoekige kunnen volgens de voorgaande hulpstelling met een loodlijn verdeeld worden en neerkomen op twee rechthoekige. Zoals in de eerste tekening aei: ae is 10, ei 17, ai 21, de segmenten van de basis zijn ao 6 en oi 15. Als nu hierbij ae vanuit e als middelpunt de straal wordt, zal ao de sinus van hoek aeo zijn, en de hoek zelf daarom

[ 73 ]
36° 52' 12" en de andere hoek eao 53° 7' 48". Die toch op zichzelf uit secansen kan worden gevonden volgens propos. 11; als namelijk het been ao de straal wordt, zal ae de secans van hoek eao zijn:
zoals ao tot ae zo is de straal tot de secans van hoek a
6 10 10000000 16000000
wat geeft, zoals eerder: 53° 7' 48". Dezelfde hoek kon ook met de sinus worden gevonden, als je eerst de grootte van de loodlijn ao hebt gevonden. Op dezelfde manier zullen in de andere rechthoekige driehoek oei gegeven worden de hoeken oei 61° 55' 39" en eio 28° 4' 21". En omdat de loodlijn oe binnen de driehoek valt, zal de hele hoek aei gegeven worden als 98° 47' 51".


II.  HETZELFDE  ANDERS  zonder loodlijn.

Zoals het dubbele product van de benen van een gevraagde hoek, is tot het verschil tussen de kwadraten van de benen en het kwadraat van de basis; Zo is de sinus totus, tot de sinus van het complement van deze hoek.
15: twee driehoeken met loodlijn
DIT is voorgesteld door Viète, wij bewijzen het als volgt. Laat in deze beide tekeningen de gevraagde hoek zijn a, de gegeven zijden zoals tevoren. Dan zal het verschil tussen de kwadraten van de benen ae ai, en het kwadraat van de basis ei, zijn de dubbele rechthoek iao, volgens prop. 12 en 13 van het tweede boek van Euclides.
Maar zoals ae tot ao, zo is, gezien de gemeenschappelijke hoogte ai, de rechthoek eai tot de rechthoek iao, en zo ook de dubbele eai tot de dubbele eao [iao]; maar zoals ea tot ao, zo is de sinus totus tot de sinus van hoek aeo, die het complement is van de gevraagde hoek eao; en evenzo dus: zoals de dubbele rechthoek

[ 74 ]
eai tot de dubbele eao [iao], zo is de sinus totus, tot de sinus van het complement van hoek eai, wat te bewijzen was.

  Laat dus in de eerste driehoek, genomen dezelfde zijden 21, 10, 17, op deze manier gevraagd worden de afzonderlijke hoeken apart. En wel ten eerste zal hoek a, waarvan de benen zijn ea ai, zijn als volgt:
zoals tot zo is sinus totus tot sin. compl. van hoek a
420 252 10000000 6000000
wat geeft de boog 36° 52' 12", dus het complement ervan zal zijn de boog 53° 7' 48" voor hoek a: want volgens de gestelde regels is deze scherp.
Ten tweede kan in dezelfde tekening van driehoek aei, gevraagd worden de hoek e. Het dubbele product van de benen ae en ei zal zijn 340, het verschil tussen de kwadraten van de benen ae en ei 389 en het kwadraat van de basis ai 441, is namelijk 52 (en omdat het kwadraat van de basis groter is dan de kwadraten van de benen, zal de hoek bij e stomp zijn, volgens wat we in de hulpstelling hierboven hebben uiteengezet).
Dus geldt: zoals 340 tot 52, zo is 10000000 tot de sinus van het complement van de gevraagde hoek e, 1529410, de omtrek die hierbij hoort is 8° 47' 51", het complement van hoek e; en daar deze stomp is wegens wat we hierboven hebben vermeld, zal hij dus zijn 98° 47' 51", zoals we al eerder hebben gevonden. Maar om deze bepaling ook ter beschikking te hebben, leek het nuttid haar hier bij te zetten.

  Namelijk: Als de kwadraten van de benen kleiner zijn dan het kwadraat van de basis, is de erdoor omvatte hoek stomp; als ze groter zijn, scherp; als ze eraan gelijk zijn, recht . De waarheid hiervan is heel gemakkelijk te bewijzen met de Elementen [II.12].


HULPSTELLING.

De basis van een driehoek is in het kwadraat zoveel groter dan het verschil van de benen in het kwadraat, als de dubbele rechthoek uit een been en de som van het afgesneden segment ervan

[ 75 ]
en het andere been, als de hoek stomp is; of anders het verschil.
AFGESNEDEN segment is de naam die ik geef aan het deel, dat Regiomontanus noemt "loodrechte val".*)
twee halve cirkels, lijnen Laat er dus een driehoek aei zijn, van hoek a de basis ei; de loodlijn eo uit de top, het afgesneden segment ao, en laat ay en au gelijk zijn aan been ae; als getrokken worden ye en eu, zal de hoek yeu in een halve cirkel recht zijn.
Laat vervolgens il evenwijdig en tegengesteld zijn aan ae, en daarom de driehoek liu gelijkbenig, waarvan de basis lu door de loodlijn is doormidden wordt gedeeld in s.
Laat hierna uit de rechte hoek o de rechte om de ingeschrevene eu doormiden delen, die daarom zelf gelijk zal zijn aan de helft mu hiervan, en de driehoeken eua en oum zullen gelijkvormig zijn.
Met dit zo opgesteld, zal gelden: zoals le tot ai, zo is eu tot au, en zo is ook ou tot um, en daarom: zoals le tot ai, zo is ou tot um. En daarom zullen de rechthoeken le bij um, en ia bij ou gelijk zijn, en de dubbele aan de dubbele, namelijk le bij eu aan ia bij ou tweemaal.
Maar ia is het ene been, ou is bij de stompe hoek a samengesteld uit het andere been ae of au en het afgesneden segment van het eerste ao; bij de scherpe hoek a uit het verschil van au en ao.
Tenslotte is de rechthoek leu gelijk aan het verschil van de kwadraten van basis ei en segment ui; want het verschil van de kwadraten van ei en iu is gelijk aan het verschil van de kwadraten van es en su wegens de gemeenschappelijke loodlijn is.
Dit verschil is echter de rechthoekige leu; daar namelijk lu doormidden is gedeeld in s, en verlengd naar e; is de rechthoekige uit de verlengde le en de verlenging ue, met het kwadraat van segment us of ls gelijk aan het kwadraat van es,°) en daarom, als van het kwadraat van es wordt afgetrokken


[ *)  Regiomontanus, De triangulis planis et sphaericis libri quinque, Basel 1561, 'Diffinitiones', p. 1: "Casus perpendicularis ...", Loodrechte val wordt genoemd het gedeelte van de basis, onderschept door de loodlijn en een van beide zijden.]
[ °)  Volgens Euclides, Elementen, boek II, Prop. 6.]

[ 76 ]
het kwadraat van us, zal de rest zijn de rechthoekige leu, dat is ia bij ou tweemaal, zoals we hebben aangetoond.

Dus:   Als het kwadraat van het verschil van de benen wordt afgetrokken van het kwadraat van de basis, en de rest groter is dan de dubbele rechthoek van de benen, zal de erdoor omvatte hoek stomp zijn; als het kleiner is, scherp; als het gelijk is, recht. En de helft van dit verschil, gedeeld door een van de benen, zal zo groot zijn als het gevraagde afgesneden segment ervan.

  Zoals wanneer ea 12 is, ai 17, en de basis ei 25:
17 17
12 12
34 5
17   5
204 25
2
408
 
25
25
625
25
600
omdat de rest hier groter is dan de dubbele rechthoek van de benen 408, daarom zal hoek a stomp zijn en de helft van het verschil 192, gedeeld door het been 12, zla geven 8, het afgesneden segment ao.
Maar een hoek is bij gegeven zijden in het kort te vinden als volgt:


III.  ANDERS.

Bij gegeven zijden een hoek te vinden;

Zoals de dubbele rechthoek op de benen, tot het overschot van het kwadraat van de basis boven het kwadraat van het verschil van de benen, zo is de sinus totus tot de sinus versus van de erdoor omvatte hoek.
LAAT in de voorgaande tekeningen de hoek bij a de gevraagde zijn, de sinus versus*) van uae is ou, de sinus totus ae of au. Dan zal, als tweemaal de gemeenschappelijke hoogte ai wordt genomen, gelden: zoals ai


[ *)  De 'sinus versus' is gedefinieerd in boek 1, p. 5, Prop. IV.]

[ 77 ]
twee halve cirkels, lijnem maal au tweemaal, tot ai maal ou tweemaal, zo is au tot ou. Maar ai maal au tweemaal is de dubbele rechthoek op de benen ai en ae; en ai maal ou tweemaal is gelijk aan het overschot waarmee het kwadraat van de basis ei het kwadraat van het verschil van de benen ui te boven gaat. Want dit hebben we aangetoond in de voorgaande hulpstelling.

  Laat zoals tevoren ai 12 zijn, ai 17, ei 25, en gevraagd worden de hoek a.
  Dan komt er: zoals 408 tot 600, zo is 10000000 tot 14705882, de sinus versus van hoek a. En omdat deze groter is dan de straal, is het een bewijs dat de gevraagde hoek stomp is, namelijk:
90
&   28   4'   21"
118   4'   21"
Wie zich wil vermaken met de sinus versus, zal deze weg kunnen betreden.


IV.  En weer  HETZELFDE  ANDERS.

Als van de helft van de verzamelde zijden van een gegeven driehoek, de zijden één voor één worden afgetrokken, zal gelden:
zoals de wortel uit het product van de helft en het verschil met de zijde tegenover de gevraagde hoek, is tot het product van de verschillen met de overige zijden, zo is de sinus totus, tot de tangens van de helft van de gevraagde hoek.

LAAT de zijden dezelfde zijn als eerst [<]: ae 10, ei 17, ai 21. En laat gevraagd worden de hoek a. De verzamelde zijden maken 48, de helft is 24, de zijde tegenover hoek a is ei 17, het verschil is 7, het product van 7 en 24 is 168, het product van de overige verschillen 3 en 14 is 42.
168 is tot 42 in de verhouding van 4 tot 1, waarvan de wortels zijn 2 tot 1. Dus zoals 2 tot 1, zo is de sinus totus 10000000 tot 5000000, de tangens van de halve hoek a, namelijk 26 ° 33' 54",

[ 78 ]
waarvan het dubbele is 53° 7' 48" voor de gevraagde hoek.

Dit kon ook op deze manier worden gezet:
Zoals product   tot product   zo is het kwadr. van straal
168 42 100000000000000
tot het kwadraat van de tangens van de halve hoek a, 25000000000000, waarvan de wortel 5000000 de tangens is zoals boven.
En deze weg lijkt begaanbaar, wanneer de termen kleiner zijn, de andere wanneer de termen van de producten groter zijn. Het bewijs wordt afgeleid uit een in een cirkel ingeschreven driehoek en het vinden van een driehoekig oppervlak. Ik meen dat een vingerwijzing voldoende is, opdat ik niet tot last ben met teveel variëteit en onnodig werk.

  En verder, wanneer twee omtrekken gegeven worden waarvan de sinussen een gegeven verhouding hebben; en als geen van beide groter is dan een halve cirkel, op zo'n manier als twee hoeken in een vlakke driehoek zijn, of twee zijden of hoeken in een boldriehoek; zal gelden:


PROPOSITIE  XIII.

cirkel met stomphoekige driehoek Zoals de som van de sinussen is tot het verschil ervan, zo is de tangens van de helft van de som van de omtrekken, tot de tangens van de helft van het verschil ervan.

LAat van de getoonde omtrekken oi en ie de sinussen zijn ou en ey, de voor elk gelijke koorde oe, gesneden door de gemeen­schappelijke straal ai in r, en laat de loodlijn daarop zijjn as, en maak de rechte sr gelijk aan sl.
Dan zal ras gelijk zijn aan hoek sal; en lae aan de gegeven oar. Daarom is ral, de hoek van het verschil tussen lae, dat is oar, en rae, doormidden gedeeld door as. En de tangens van de halve


[ 79 ]
som is es als de straal as wordt genomen; en van het halve verschil sr. Daar dus de driehoeken our en eyr gelijkvormig zijn, wegens de evenwijdige sinussen, zal gelden: ou tot ey is zoals or tot re. Dus ook, door samenstellen en verdelen: zoals de som van de sinussen ou en ye tot het verschil ervan, zo is or en re, dat wil zeggen oe, tot rl, het verschil ervan, en zo ook de helften hiervan, es tot sl.
Dus zal gelden: zoals oe tot rl, dat wil zeggen zoals de som van de sinussen tot het verschil, zo is de tangens van de halve som, tot de tangens van het halve verschil.
Als beide omtrekken samen groter zijn dan een halve cirkel, maar afzonderlijk kleiner dan een halve cirkel, zal de zaak dezelfde zijn; want de sinus geldt voor zowel de grotere als de kleinere omtrek.


Dus:    
GEVOLGTREKKING.

Bij een gegeven verhouding van sinussen, en ofwel de som of het verschil van de omtrekken, worden ze afzonderlijk gegeven.
WAt immers waar is over sinussen zelf, zal ook waar zijn over de overeen­stemmende termen ervan. Bijvoorbeeld als de verhouding van de sinussen is als 9 tot 5, en de hele omtrek is 94° 9', dan moet gelden: zoals 14 tot 5, zo is de tangens van de halve omtrek van 94° 9', dat is 47° 4' 30", 10751870, tot 3071963, de tangens van het halve verschil 17° 4' 30", en als deze omtrek wordt opgeteld bij de bovengenoemde helft, en ervan afgetrokken, zullen gegeven worden de grootste omtrek 64° 9' en de kleinste 30° 0'.

  Maar als bij een gegeven verhouding van sinussen het verschil van de omtrekken zou zijn gegeven, zoals bij nog steeds dezelfde verhouding van 9 tot 5, het verschil van 34 ° 9', dan geldt: zoals 4 tot 14, zo is de tangens van het halve verschil !7° 4' 30", 3071963, tot de tangens van de halve som van de omtrekken, 10751870, wat geeft 47° 4' 30"


[ 80 ]
voor de halve som; en het halve verschil hierbij opgeteld, en ervan afgetrokken, zal de gevraagde omtrekken geven, 64° 9' en 30° 0'.


PROPOSITIE  XIV.

Zoals de som van de sinussen is tot het verschil ervan, zo is de tangens van de helft van de som van de omtrekken, tot de tangens van de helft van het verschil ervan.
WANT als de benen van een driehoek gegeven zijn, wordt gegeven de verhouding van de sinussen die behoren bij de overstaande hoeken, volgens propos. 4.
Laat namelijk in driehoek aei van propos. 12 de hoek a zijn 53° 7' 48" 15: twee driehoeken met loodlijn en been ae 10, ai 21, hiermee worden ons de overige hoeken gevraagd.
Als de gegeven hoek wordt afgetrokken van twee rechte hoeken, wordt gegeven de som van de hoeken e en i, namelijk 126° 52' 12". De helft ervan is 63° 26' 6", de tangens hiervan 200000044 [20000044], dus: zoals de som van de benen 31, tot het verschil 11 ervan, zo is de tangens 20000044 tot 7016789, de tangens van het halve verschil 35° 21' 45".
Deze omtrek opgeteld bij de helft van de som, zal geven de hoek e, tegenover de grootste zijde ai, 98° 47' 51"; en van dezelfde helft afgetrokken, de andere hoek i, tegenover de kleinste zijde, 28° 4' 21".


II.  HETZELFDE  ANDERS.
MAAR hetzelfde kan ook anders gedaan worden met herleiding tot rechthoeken, als dat iemand aantrekt. Want als uit een van beide overige hoeken de loodlijn wordt neergelaten, eo, worden in de rechthoekige driehoek eao gegeven de basis ae van de rechte hoek met een hoek. Dus volgens propos. 2 zal gegeven worden ao en eo; en uit het verschil van ao en ai zal gegeven worden oi.
En daarom zal in de rechthoekige driehoek eoi met gegeven zijden

[ 81 ]
volgens propos. 9 worden gegeven de gevraagde hoek i, en zo dan ook de andere bij e, die althans uit de twee hoeken aeo en ieo kan worden opgemaakt, zodat het als controle op je werk kan dienen.

  Hiermee kun je op elk van beide manieren de basis van een gegeven hoek zonder veel moeite opsporen; want als je de eerste manier volgt, moet propositie 5 worden gebruikt; en bij de laatste zal ofwel uit de kwadraten van eo en oi het kwadraat van ei gegeven worden, ofwel na het vinden van hoek i volgens propos. 10.

  Maar ook zal de basis op zich bij gegeven benen met de erdoor omvatte hoek, zonder enige omweg kunnen worden gevonden op de volgende manier:


III.  HETZELFDE  ANDERS.

Zoals de sinus totus, tot de sinus van het complement van de gegeven hoek, zo is de dubbele rechthoek op de benen, tot het verschil tussen de kwadraten van de benen en het kwadraat van de basis.
EN wel als de gegeven hoek scherp is wordt er afgetrokken van de kwadraten van de benen, en als die stomp is, erbij opgeteld, en het getal dat hier uitkomt zal het kwadraat van de basis zijn.

  De waarheid van dit theorema kan als volgt bewezen worden:
15: twee driehoeken met loodlijn
Laat gegeven zijn hoek a met de benen ea en ai, en vanuit e de loodlijn eo. Dan geldt dus: zoals de sinus totus tot de sinus van hoek aeo, zo is ae tot ao, en zo ook, genomen de gemeenschappeijke hoogte ai, de rechthoek ea bij ai tot ao bij ai; en zo dan de dubbele rechthoek eai tot de dubbele oai.
Maar de dubbele rechthoek op oa en ai is gelijk aan het verschil tussen de kwadraten van de benen ae en ai samen, en het kwadraat van de basis ei. Wanneer nu de hoek scherp is, zijn de kwadraten van de benen

[ 82 ]
zoveel groter, maar wanneer die stomp is, zoveel kleiner dan het kwadraat van de basis. Dit is immers duidelijk uit de Elementen [II.12]. En zo zal dan het kwadraat van de basis gegeven worden, en daarmee de basis zelf.

  Met getallen moet het voorbeeld zo zijn: Laat ae 10 zijn, ai 21, hoek eai 53° 7'. 48". De sinus van het complement is 5999992, de dubbele rechthoek op de benen ae en ai is 420.
zoals sin. totus   tot sin. compl.   zo is dubb. rechth.   tot
  10000000   5999992 420 252
dit is dus het verschil tussen de kwadraten van ae en ai, en het kwadraat van de basis ei. En daar de gegeven hoek a scherp is, moet van de kwadraten van de benen, 541, worden afgetrokken; de rest 289 is het kwadraat van de basis ei en zelf is die dus ei 17. En dit moest gevonden worden.


IV.  HETZELFDE  ANDERS.

Zoals de sinus totus tot de sinus versus van de gegeven hoek, zo is de dubbele rechthoek van de benen, tot het overschot waarmee het kwadraat van de basis te boven gaat het kwadraat van het verschil van de benen.
DE waarheid hiervan is duidelijk uit de hulpstelling, derde geval, van propositie 12, en kan dus daaruit worden gehaald.
Laat ae 12 zijn, ai 17, en hoek eai 118° 4' 21" en laat gezocht worden de basis ei.
zoals sin. totus   tot sin. versus     zo dub. r.h. benen
  10000000   118 .  4'. 21". 408 tot 600;
14705885
als dus hierbij wordt opgeteld het kwadraat van het verschil van de benen, namelijk 25, zal het totaal 625 het veirkant zijn van de basis ei. Waarvan de zijde 25 de gezochte basis ei zelf is.

  Maar neem tenslotte ook deze toevoeging aan:


[ 83 ]
Hoe bij gegeven zijden van een rechthoekige driehoek de hoeken ervan gevonden kunnen worden zonder deze canonieke tabellen van Sinussen, Tangensen of Secansen.


PROPOSITIE  XV.

Zoals de dubbele basis van de rechte hoek, vermeerderd met het grootste been, tot het kleinste been, zo is de drievoudige sinus totus, tot de omtrek overeen­komend met de hoek tegenover het kleinste been.
DE waarheid en het bewijs hiervan zijn te vinden in onze Cylometricus*), propositie 28 en 31. Wij zullen nu teverden zijn met alleen het gebruik, als je meer verlangt zal het daaruit moeten worden gehaald.
Een voorbeeld kan zijn als volgt:
55: halve cirkel, lijnen Laat in de getoonde rechthoekige driehoek esy de basis zijn ey 25, het grootste been van de rechte hoek es 24, en ys 7. En er komt: zoals tweemaal ey en es, dat wil zeggen as 74, tot sy 7, zo is het drievoudige van de sinus totus, alsof ai 300.000.000 zou zijn, tot iu 28.378.378, waaraan, zoals aangetoond in het werk over de cirkelmeting, de omtrek yi vrijwel gelijk is, maar toch een heel klein beetje groter dan die iu.

  Als je zo tracht te weten te komen, met hoeveel graden en minuten die rechte, of omtrek yi, overeenkomt, kun je het uit een verhouding opmaken. Aangezien namelijk bij deze schatting van de diameter als 200.000.000, de omtrek van de cirkel 628.318.531 is. Dus zal gelden: zoals 628.138.531 tot het gevonden getal 28.378.378, zo is 360° tot 16° 15' 34" 37"'. #)


[ *)  W. Snellius, Cyclometricus, Leiden 1621; eerder genoemd bij Prop. 10 van boek 1; daar dezelfde figuur (met: ao = oe). En met vrijwel dezelfde schatting (628,31,853) van 2π.]
[ #)  Zie de tabellen hierna:
16° 27925.268
15' 436.332
34" 16.484 35" 16.968
28378.084
37"' .298
28378.378

[ 84 ]
Gesteld een straal van 100.000.000
delen.

 Gr.  Omtrek  Gr.  Omtrek  Gr.  Omtrek
  1
  2
  3
  4
  5
  1745.329
  3490.658
  5235.988
  6981.317
  8726.646
31
32
33
34
35
  54105.207
  55850.536
  57595.865
  59341.195
  61086.524
61
62
63
64
65
106465.084
108210.414
109955.743
111701.072
113446.401
  6
  7
  8
  9
10
10471.976
12217.305
13962.634
15707.963
17453.293
36
37
38
39
40
  62831.853
  64577.182
  66322.512
  68067.841
  69813.170
66
67
68
69
70
115191.731
116937.060
118682.389
120427.718
122173.048
11
12
13
14
15
19198.622
20943.951
22689.280
24434.610
26179.939
41
42
43
44
45
  71558.499
  73303.829
  75049.158
  76794.487
  78539.816
71
72
73
74
75
123918.377
125663.706
127409.035
129154.365
130899.694
16
17
18
19
20
27925.268
29670.597
31415.927
53161.256
34906.585
46
47
48
49
50
  80285.146
  82030.475
  83775.804
  85521.133
  87266.463
76
77
78
79
80
132645.023
134390.352
136135.682
137881.011
139626.340
21
22
23
24
25
36651.914
38397.244
40142.573
41887.902
43633.231
51
52
53
54
55
  89011.792
  90757.121
  92502.450
  94247.780
  95993.109
81
82
83
84
85
141371.669
143116.999
144862.328
146607.657
148352.986
26
27
28
29
30
45378.561
47123.890
48869.219
50614.548
52359.877
56
57
58
59
60
  97738.138
  99483.767
101229.097
102974.426
104719.755
86
87
88
89
90
150098.316
151843.645
153588.974
155334.303
157079.633

[ 85 ]
 Min.    Omtrek  min.  Omtrek  Sec.   Omtrek   Sec.    Omtrek  
  1
  2
  3
  4
  5
  29.089
  58.178
  87.266
116.355
145.444
31
32
33
34
35
  901.752
  930.842
  959.931
  989.020
1018.109
1
2
3
4
5
    485
    970
  1.454
  1.939
  2.424
31
32
33
34
35
15.029
15.514
15.999
16.484
16.968
  6
  7
  8
  9
10
174.533
230.622
232.711
261.799
290.888
36
37
38
39
40
1047.198
1076.286
1105.375
1134.464
1163.553
6
7
8
9
10
  2.909
  3.394
  3.878
  4.363
  4.848
36
37
38
39
40
17.453
17.938
18.423
18.908
19.393
11
12
13
14
15
319.977
349.066
378.155
407.243
436.332
41
42
43
44
45
1192.642
1221.730
1250.819
1279.908
1308.997
11
12
13
14
15
  5.333
  5.818
  6.303
  6.787
  7.272
41
42
43
44
45
19.877
20.362
20.847
21.332
21.817
16
17
18
19
20
465.421
494.510
523.599
552.688
581.776
46
47
48
49
50
1338.086
1367.175
1396.263
1425.352
1454.441
16
17
18
19
20
  7.757
  8.842
  8.727
  9.211
  9.696
46
47
48
49
50
22.301
22.786
23.271
23.756
24.241
21
22
23
24
25
610.865
639.954
669.043
698.132
727.221
51
52
53
54
55
1483.530
1512.619
1541.707
1570.796
1599.885
21
22
23
24
25
10.181
10.666
11.151
11.635
12.120
51
52
53
54
55
24.725
25.210
25.695
26.180
26.665
26
27
28
29
30
756.309
785.398
814.487
843.576
872.665
56
57
58
59
60
1628.974
1658.063
1687.152
1716.240
1745.329
26
27
28
29
30
12.605
13.090
13.575
14.060
14.544
56
57
58
59
60
27.150
27.634
28.119
28.640
29.089


...



[ 86 ]


...



[ 87 ]


...



[ 88 ]


...



[ 89 ]
L A N D M E E T K U N D I G E

P R O B L E M E N. *)


PROBLEEM  I.

Als van een driehoek gegeven zijn twee zijden en de hoek ertussen, de loodlijn te vinden vanaf een onbekende hoek naar het overstaande been.

...


[ *)  Toegevoegd door Hortensius.]


...



[ 103 ]
PROBLEEM  VII.

De hoogte van iets meten zonder er naartoe te gaan, als gegeven zijn twee vrije standplaatsen op een vlak oppervlak, waarop het te meten ding loodrecht staat.


...


stomphoekige driehoek


[ 104 ]


...


  Met een zelfde en gelijke handeling is te meten, door twee meters tegelijk en op dezelfde tijd, de hoogte van een of andere wolk, als die tenminste een langzame beweging heeft, en aan de uiteinden een duidelijke dichtheid houdt; want in het midden ervan kan de blik niet gericht worden zonder fout, die ook nu nauwelijks te vermijden is voor wie de zaak niet met alle ijver en oplettend aanpakt.
Laat ik voor de zorgvuldigheid één geloofwaardig voorbeeld toevoegen: op 8 juli nieuwe stijl van dit jaar 1627, bij noordenwind, hebben we de hoogte van een wolk waargenomen, goed te onderscheiden en met een langzame beweging. Gevonden is hoek abd, 31° 40', hoek acd, 38° 30', en het interval van de genomen standplaatsen was 1680 Rijnlandse voet op een vlak veld; hiermee dus gevonden hoek bac 6° 50', zal volgens dezelfde propositie*) van boek 2 gelden:
zoals sinus bac,
1189816
tot bc,
1680
zo sinus abc,
5249766
tot ac
7412.
En verder
zoals straal,
10000000
tot sinus van hoek acd,
6225146
zo ac
7412
tot ad
4614
Als je hierbij optelt de hoogte cf van 6 voet, komt de hoogte van de wolk op 4620 voeten, zoals waarvan er 12 de tot nu toe gebruikte decempeda maken; wat we om een zekere reden hebben gedaan;


[ *)  Prop. 6 (p. 66): Als een zijde en twee hoeken gegeven zijn, kunnen de overige zijden gegeven worden.]

[ 105 ]
daar er namelijk in de Duitse mijl, 15 waarvan overeenkomen met één graad van een grote cirkel op de aarde, 22800 voeten zijn, rijst deze hoogte tot 1/5 van één mijl en nog wat meer; en daar er in de Hollandse mijlen 18000 voeten zijn, zal deze hoogte ongeveer 1/4 mijl en 120 voet zijn.


...



[ 108 ]


...


voor mij blijft te wensen over, dat u dit slechts als welwillende Lezer met zo'n gemoed aanvaardt, als het door mij wordt aangeboden en, onze jeugdige studies begunstigend, aansporingen geeft, om ze te zijner tijd als God het geeft tot iets groters te brengen.


E I N D E.



[ 109 ]
C A N O N I E K E   L E E R
van
D R I E H O E K E N,

DERDE  BOEK.

Over  BOLDRIEHOEKEN.


...



[ 174 ]
C A N O N I E K E

D R I E H O E K S L E E R

VIERDE  BOEK.

Over
B
OLDRIEHOEKEN IN HET ALGEMEEN,
Zonder enige herleiding tot
Rechthoeken.


...



[ 228 ]


...


E I N D E.



[ 229 ]
P R O B L E M E N *)

met

B O L D R I E H O E K E N.


EERSTE  PROBLEEM.

Bij gegeven plaats en grootste declinatie van de Zon, de declinatie en rechte kimming ervan te vinden, en ook de hoek tussen de Ecliptica en de Meridiaan.


...



[ *)  Toegevoegd door Hortensius.]

[ 230 ]


...




PROBLEEM  II.

Gegeven de lengte en breedte van een ster, te vinden de declinatie en de rechte klimming.

GEGEVEN de lengte en breedte van de helderste ster van de Hyaden, het oog van de Stier, die de Ouden gewoonlijk Palilitium noemden: Plinius boek 18, cap. 26: Deze wordt gewoonlijk aangeduid als de ster Palilitium, aangezien 21 april de geboortedag van de stad Rome is*). Cicero, De divinatione 2: Van die Parilia, waarop we de stichting ervan te danken hebben aan Romulus, haalde L. Tarutius Firmanus de geboortedag van die stad, vooral met kennis van Chaldeïsche berekeningen.

  Dan kan gezocht worden de declinatie en de rechte klimming ervan voor het jaar 1625.


...



[ *)  C. Plinii Secundi Historiae mundi libri XXXVII, Gen. 1606, p. 425, r.2: met 'Palilicium' (txt: Liber 18, lxvi.247: 'Parilicium').  Zie bij R. H. Allen, Star Names, Taurus, Aldebaran.]
[ °)  Cicero, De divinatione, lib. 2, XLVII, 98: "L. Tarutius Firmanus, een bekende van ons, haalde wel, vooral met kennis van Chaldeïsche berekeningen, de geboortedag van onze stad van die Parilia, waarop we de stichting ervan te danken hebben aan Romulus".]


...



[ 243 ]


...


  En zo hebben we ook de meeste proposities over boldriehoeken in praktijk gebracht; meer zouden kunnen worden toegevoegd, en steeds weer aan een andere berekening onderworpen, maar dat zou een werk op zichzelf vereisen, en langer stilstaan bij elke afzonderlijk; daarvoor kan de belangstellende lezer raadplegen


[ 244 ]
de Schrijvers over Sterrenkunde, vooral Ptolemaeus zelf, die ze in
boek 2 van 'megalès suntaxeos'*) uitgebreider behandelt,
of liever: misschien een vollediger voorraad
van deze oefeningen eens verwachten
van ons, zo God het wil.


E I N D E.


ornament



 [ *)  Bas. 1538. Almagest, Bas. 1551.]




Home | Hortensius | Uitgave van Snellius 1627 | Brontekst