Martinus Hortensius, ed. Snellius 1627, Opdracht

Home | Hortensius | Editie van Snellius 1627 | Brontekst

Titelpagina, Opdracht , Aan de lezer

Vertaling uit:
Doctrinae triangulorum canonicae libri quatuor,
Leiden 1627.

[ T.p. ]

WILLEBRORD SNELLIUS van ROYEN, R.zn

CANONIEKE LEER van

D R I E H O E K E N

in VIER BOEKEN,

Waarin het opstellen van de Canon*) van
Sinussen, tangenten en secanten,

Vlotte meting van zowel Vlakke driehoeken als Boldriehoeken,

kort en duidelijk wordt behandeld.

Na de dood van de schrijver uitgegeven door
Martinus Hortensius van Delft;

Die daaraan afzonderlijke verhandelingen heeft toegevoegd met Problemen van
Geodesie en Boldriehoeksmeetkunde, waarmee het gebruik van de voornaamste
proposities van beide Trigonometrieën wordt verklaard.

[ *) Canon Triangulorum, Leiden 1626.]

[ * 2 ]

Aan de zeer doorluchtige en zeer machtige
H E R E N S T A T E N
Van HOLLAND en WEST-FRIESLAND.

Aan de zeer hoge en zeer kundige
HEREN BURGEMEESTERS, SCHEPENEN,
VERTEGENWOORDIGERS van de bekende Steden
DORDRECHT, DELFT, ALKMAAR.
Hoogste Patronen van de Wiskundige
studies.

Zeer doorluchtige, Zeer machtige, Zeer kundige Heren

ONder alle delen van de Wiskundige wetenschap, die inderdaad verschillend zijn en veelomvattend, is er geen dat het eerste recht en de voorrang bezit zoals de Meetkunde; en juist voor de onderdelen hiervan, daar het er twee zijn, namelijk de Meting van Vlakken en van Vaste lichamen, geldt dat elk van beide alles omvat en aan een zekere maat onderwerpt, wat ergens in de gehele Wereld lichamelijk is en blootgesteld aan de zintuigen.
Want of we nu de Hemel beklimmen en de eeuwige perioden van de aanzienlijkste lichamen, de onbestendige en bij veelvuldig afdwalen toch constante bewegingswetten in gedachten doorlopen; of dat we onze woonplaats de Aarde bekijken, met daarop de zeer prachtige toestand en orde van alle dingen, overal treffen we mooi dat goddelijke gezegde aan

[ * 2v ]

van de goddelijke Plato, dat God meestal de Meetkunde beoefent*), in de gehele natuur der dingen. En toch steekt de Meetkunde in aanzien niet zó ver boven de overige delen uit, dat niet ook een voordelig gebruik ervan in elk afzonderlijk zozeer in het oog valt, dat ze zonder deze niet kunnen bestaan; en zoals de leeuw wordt herkend aan zijn klauw, alleen al de Leer van driehoeken, op welke manieren dient deze die niet? Deze ondersteunt voor mij niet slechts de Sterrenkunde, Aardrijkskunde, Landmeetkunde, de militaire Bouwkunde, de Optica, als basis en fundament, maar maakt ze ook helemaal af en voleindigt ze.
Is niet inderdaad het ene deel van de Sterrenkunde, dat gewoonlijk de leer van de eerste beweger wordt genoemd, geheel afhankelijk van de berekening van boldriehoeken°)? waarmee we, voorzien van geschikte instrumenten, de ware plaatsen van sterren opsporen en ons hun op- en ondergangen, dag- en nachtbogen, klimmingen en dalingen, op elke plaats en tijd voor ogen stellen?
En het andere deel dat valt onder de naam theoretische leer, en dat gaat over de bewegingen van de Planeten, wordt dit niet tot stand gebracht met behulp van Vlakke driehoeken? Scherpzinnig is immers het menselijk verstand: als het op geen enkele manier een zo grote variëteit van bewegingen kan begrijpen, laat staan ze in de toekomst voorspellen, haalt het hulpmiddelen uit deze Driehoeksmeetkunde van ons, en bestormt het die hemelhoogte zo ver, dat het die, met enige gestelde hypothesen, niet alleen verovert, maar ook zodanig aan zich onderwerpt, dat het de verschillende gangen en kronkelpaden ervan, en alle inboedel kan bekijken, en

[ *) Gr.: 'ton theon pantôn malista geometrein', vergelijk 'ton Theon aei geômetrein' (dat God altijd de Meetkunde beoefent), in Hortensius' Oratie over de waardigheid en het nut van de wiskundige wetenschappen, Amst. 1634, p. 9.]
[ °) Lat. "tripleurorum sphaericorum"; zie p. 114: Prop. V, "Tripleurum sphaericum est quod a tribus maximorum circulorum peripherijs continetur", een boldriehoek is wat door drie omtrekken van grote cirkels wordt omvat. Gr. 'pleura': zijde.]

[ * 3 ]

voor elke eeuw aan het nageslacht weet op te noemen, wat daarin zal gebeuren, op welke tijd dan ook; welke stilstanden, teruglopen, syzygiën, welke stand en beweging van de lichamen, of welke verschijningsvormen en afstanden van de voornaamste delen; gedurfde zaken op deze wijze aanpakken is iets dat ook voor een God buitengewoon is, zoals Plinius zegt*).

En evenzo verschaft onze leer aan de Aardrijkskunde haar beginselen; deze behandelt immers nauwkeurig de verhouding van de Evenaar tot de Parallelcirkels, de breedten en ontwikkelingen van Klimaten, verhoudingen van schaduwen, afstanden van allerlei plaatsen, beschrijvingen van landen; deze steunt de Zeevaartkunde, de adem van de Aardrijkskunde, die van zichzelf niet sterk is, wanneer ze de werking van Loxodromen en ingewikkelde verhoudingen duidelijk maakt, en leert de koersen van schepen, waarmee dagelijks zoveel rijkdommen worden blootgesteld aan een zo woeste Oceaan, veilig te regelen.

En in de Landmeetkunde, welke taak om velden te meten zich tenslotte ook voordoet, altijd bespoedigt de vlakke Driehoeksmeetkunde deze heel gemakkelijk, met behulp van de Canonieke Tabellen. Zijn er Chorografische kaarten te tekenen? deze verschaft de afstanden van plaatsen. Wordt de hoogte van torens, bergen, gebouwen gevraagd? men neemt zijn toevlucht tot de Driehoek; dit zijn de treden dit is de ladder, waarmee we iets bestijgen dat op zichzelf ontoegankelijk is. Dat zeer oude instrument, de Radius, waarmee Meetkundigen met een heel makkelijke berekening landen, zeeën, rivieren en banen aan de Hemel beschrijven, bestaat dat niet slechts in rechthoekige driehoeken?

[ *) Hortensius citeert deze woorden van Plinius (Historiae naturales, 2, cap. 26) uitgebreid in 'Candido ac benevolo Lectori', bij zijn vertaling Institutio astronomica De usu Globorum & Sphaerarum (van W. J. Blaeu, Tweevoudigh onderwijs), 1634, p. *4v, Ned., over het opsommen van de sterren door Hipparchus.]

[ * 3v ]

zodat hierdoor zelfs terecht gezegd kan worden dat de Rechthoekige Driehoek de Meester van de Wiskunde is. Thales van Milete wekte verwondering toen hij de hoogte van de Egyptische Piramiden had gevonden met de schaduw, door het tijdstip aan te houden waarop de schaduwen gelijk zijn aan de lichamen; maar nu wordt het zelfde handiger in praktijk gebracht; zodat het, hoe bewolkt de hemel ook is, toch met een of ander instrument kan worden gedaan met de gelijkheid van de hoeken en de verhouding van de zijden.*)

Wat er is op Militair gebied? worden niet het afbakenen van Legerkampen°), het richten van Kanonnen, Versterkingen van steden en belegeringen door deze leer van vlakke Driehoeken werktuiglijk afgehandeld? Tegenwoordig is zeker geen Architect die legerkampen en een veldtocht begeleidt zo onbezonnen, dat hij niet tenminste een beetje is onderricht in het gebruik van de Canonieke tabellen; ofschoon ik wel weet dat er enigen te vinden zijn die niet alleen dit deel, maar ook het diepste binnenste van de Meetkunde zijn binnengedrongen, zo noodzakelijk vinden ze het voor hun zaken.

Tenslotte de zeer aanzienlijk wetenschap van de Optica, die gaat over het Zien, het Licht, Schaduw, en Kleuren, die is geheel niets zonder deze Leer. Deze meet immers de omvang van terugkaatsing en breking van Licht in spiegels en doorzichtige lichamen, verklaart de diversiteit van de schaduw of van het beeld van een ding, en leert die wonderlijke verschijningen van lichtbeelden op gepolijste oppervlakken van lichamen op te heffen of tot stand te brengen. Deze trekt

[ *) Op p. 104 noemt Hortensius een eigen meting: de hoogte van een wolk, 8 juli 1627, samen met iemand anders.]
[ °) Simon Stevin, Castrametatio, dat is Legermeting, Rott. 1617, overzicht.]

[ * 4 ]

de aandacht van stervelingen omhoog naar de hemel, en onthult met behulp van de schaduwen van Aarde en Maan, de grootte van de drie grootste dingen van de natuur, en de uitbreiding van de schaduw zelf in lengte en breedte.

Aangezien dus het nut van deze leer zo groot is, zeer Illustere Staten, zeer Kundige Heren, is het dan wonderlijk als vanaf de verste oudheid de voortreffelijkste Wiskundigen deze zo ijverig hebben ontwikkeld, en dat er steeds een nieuwe toevoeging is gemaakt? Er zijn inderdaad vele en schitterende vondsten van Hipparchus, Menelaos, Ptolemaeus, uitstekende mannen, maar daarbij heeft, sinds de restauratie van deze vakgebieden, de onvermoeide studie en het geweldige werk van Recentere mensen verreweg het nuttigste en gemakkelijkste aan toegevoegd.
Want nadat de Duitsers in het bezit waren gekomen van de wetenschap, heeft Joh. Regiomontanus, een man van vurig talent, de hele Driehoeksmeting in één werk uitgegeven, het gemak van het rekenen met tabellen*) ingevoerd, alle last van delingen ter zijde schuivend overal waar de sinus totus op de eerste plaats staat. Na hem had het kunnen lijken dat Georg Joachim Rheticus in dat ontzaglijke Opus Palatinum er de laatste hand aan had gelegd, met tabellen vastgesteld voor de sinus totus van tien cirkels, en met tien cijfers; maar wat na hem Clavius, Fincke, Pitiscus en anderen hebben geleverd kan makkelijk beoordeeld worden door wie zich ernstig inspant om hun werken te lezen.
En de Italianen stellen niemand boven hun Maurolico en Magini, zoals de Fransen boven hun

[ *) Lat. 'abacis'; vergelijk Snellius op p. 6: "Regiomontanus ... Mathematicos Abacos" en p. 62: "nostri abaci".
Later: "Copernicus ... Canonem confecit, sive Abacum, computandis omnibus monetarum generibus", Copernicus heeft een Tabel gemaakt, om alle soorten geld te berekenen, in P. Gassendi, Tychonis Brahei ... vita, Par. 1654, p. 3; en op p. 55: "longitudinum, & latitudinum Abacus".]

[ * 4v ]

grote Viète. Verfijnd zijn hun vondsten en het gebruik komt van pas.
Maar hoe zit het met die in de Nederlanden? Ik moet wel oneerbiedig zijn ten opzichte van het vaderland als ik niet ook hun werkzaamheid vermeld. De zeer scherpzinnige Adrianus Romanus heeft de Canonieke Tabellen stevig gegrondvest, en ook zijden van Veelhoeken opgediept en in onafzienbare getallen uitgedrukt die voorheen onbekend waren. De eerwaarde Philippus Lansbergen heeft, door de Driehoeksmeetkunde van Ptolemaeus, Regiomontanus, Copernicus methodisch te verkorten, en veel van het zijne eraan toe te voegen, bij uitstek een lofrede verdiend bij allen die stralen van geleerdheid. Ik sla nu over de zeer voortreffelijke S. Stevin, A. Metius, N. Mulerius, die allemaal dezelfde wens hadden om deze leer uit te breiden.
Maar werkelijk, onder zo vele en zo grote vernieuwers ervan heeft de Zeergeleerde Heer W I L L E B R O R D S N E L L I U S het Sparta*) dat hij had genomen om in orde te brengen volstrekt niet verwaarloosd. Hij is namelijk enige jaren geleden begonnen de gehele Driehoeksmeetkunde vanaf de bron op te halen en met nieuwe en heel zeldzame vondsten te verhelderen, en hij had het werk al ingedeeld en bestemd voor de drukpers, toen helaas de almachtige God de geliefde man, een sieraad voor ons vaderland, uit het midden van zijn levensbaan overbracht naar het verblijf der zaligen. Hoezeer dit allen bedroefde die met hem bekend en bevriend waren, behoef ik u, zeer Doorluchtige en Kundige Heren, niet uitgebreid te vertellen; ik getuig alleen dit, dat het voor ons en deze studies een zeer nadelig noodlot was; want hij heeft het werk verward, onvoltooid, en grotendeels onnauwkeurig nagelaten,

[ *) Sparta als iets dat in orde gebracht moet worden (Lat. 'ornandam') was een staande uitdrukking, zie b.v. Th. Graswinckel aan Hugo de Groot, 12 mei 1636 (ed. 1969), n. 3 en M.H.H. Engels, 'Brieven aan ... Joh. Saeckma (1572-1636)', Noten. Cicero, Att. 4, 6, 2: "Spartan elaches, tautan kosmei, i. e. Sparta is your country, make the most of it", in Lewis & Short.]

[ * 5 ]

en de vrees bestond dat het nooit het licht zou zien, als er niet een arbeidzame zorg van de Drukker tegenover zou staan. Het afslaan van diens verzoek, en tegelijk het weigeren van deze dienst aan een Man die eertijds voor mij een grote weldoener was, achtte ik onwellevend en ondankbaar.
Dus heb ik deze last gaarne op me genomen, en met de delen afzonderlijk in orde gebracht, en ook enige toegevoegd die wenselijk leken, deze nog onvolgroeide, laat staan volmaakte vrucht publiek gemaakt, hopend dat het zo zou zijn, dat al degenen, aan wie de Schrijver zelf volllediger voldoening had kunnen geven, nu ook dit met een grovere hand gepolijste werk gaarne voor verontschuldigd zullen houden, en dat ze het niet met een hardere strengheid van oordeel zullen bejegenen, of een grotere volmaaktheid zullen verlangen, dan de zaak en de tijd hebben kunnen meebrengen, zoals ze zullen zien.

En ik schaamde me niet het aan u, Doorluchtige Staten, aan te bieden, u zeg ik voor wie, zittend aan het roer van een zo grote Republiek — waarvan de rijkdommen, en de grootste roem door deze studies worden bevestigd — de genegenheid ertoe zo groot is, dat u sedert al vele jaren gewoon bent zelfs met uitgeloofde prijzen allen die hun vaderland liefhebben aan te zetten tot ontwikkeling ervan.
Ik vertrouw erop dat het zo zal zijn, dat u met dezelfde welwillendheid die u meer dan eens hebt getoond aan de Schrijver toen hij nog in leven was, nu zijn schriftelijke nalatenschap wilt bejegenen, waarvan de vrucht met recht aan u toekomt.

[ * 5v ]

Ook aan u, zeer Hoge Heren Raadsleden, en wel om deze reden dat ik erop vertrouw dat uw wellevendheid zodanig is, dat u het niet beneden uw waardigheid acht de vakgebieden waarvan u weet dat ze eens luister hebben gegeven aan uw Steden, nu zeer welwillend in uw bescherming op te nemen.

Aan uw zeer Doorluchtige en zeer Machtige Grootheid

Aan uw zeer Bekwame Hoogheid

Zeer onderdanig

MARTINUS HORTENSIUS D. B.*)

[ *) D. B.: Delfensis Batavus / Belga. "Delfensis Batavus" komt enkele malen voor in Album studiosorum Academiae Lugduno Batavae (Den Haag 1875), o.a. p.245: 9 sept. 1632, Ludovicus Heinsius.
Ook in: J. de Wal, 'Nederlanders, Studenten te Heidelberg', in Handelingen en Mededeelingen van de Maatschappij der Nederlandsche Letterkunde (Leiden 1886), p. 106, bij 27 Oct. 1606. 'Batavus' en 'Belga' komen daar meer dan 20 keer voor; er is nog een 'Delfensis', 7× 'Delphensis', 1× 'Delphus'.]

[ * 6 ]

WELWILLENDE LEZER.

EEN jaar en iets meer is het nu geleden dat de zeergeleerde Heer SNELLIUS zaliger, is begonnen dit boek aan de drukpers toe te vertrouwen; en terwijl de zaak zeer langzaam vorderde, deels door bezigheden van de Drukkers, deels door zijn langdurige ziekte, is het gebeurd dat hij door een voortijdige dood van de aarde is weggenomen, en niets anders gedrukt is gebleven dan de Canon Triangulorum.
Daarop wanhoopten we toen voortdurend aan de uitgave van het boek, en zelfs twijfelden we aan het volledig afmaken ervan, de heer JOH. LE MAIRE was bang dat werk en kosten verloren zouden kunnen zijn. Toen tenslotte het handschrift gevonden was, nam hij na lange tijd, door ik weet niet welk lot, de gelegenheid te baat mij te spreken, en tegelijk dringend te vragen om medewerking bij iets dat zo noodzakelijk was.
Wat moest ik doen? Ik was me bewust van mijn onbeduidendheid, van de ingewikkelde, verwarde, onnauwkeurige geschriften; ik zag dat het een Herculisch werk voor een Atlas was om deze hemel te dragen; dat een lange tijd en noeste uitputtende arbeid nodig was. Toch heb ik moed gevat, en daar ik de zeer vriendelijke man deze dienst niet kon weigeren, heb ik, al betrokken bij de zaak, de zorg voor de uitgave op me genomen.
Nauwelijks had ik de voet binnen de deur gezet, of ik zag bij het doornemen van de geschriften dat er niet weinig ontbrak en verkeerd was; door er de helende hand over te laten gaan, zo goed als ik kon, heb ik zo veel tot stand gebracht, dat het boek tenminste gaaf kon verschijnen (al was het nu niet met die glans die de Schrijver zelf eraan zou hebben gegeven). In het begin had ik wel besloten datgene, wat ik erbij had gedaan, te zetten tussen dit soort haakjes [ ] maar daar een behoorlijk deel van het eerste boek al gedrukt was, en de Drukker de tekst in al zijn onderdelen gelijk had gemaakt, zonder ze te gebruiken, en ik later ook van mening was dat er niets aan veranderd moest worden, hoopte ik dat de Wiskundige lezer dit makkelijk zal opmerken wegens verschil van stijl.
Wat betreft het rekenen, dat helemaal weer opnieuw te doen is me een enorme last geweest, en ik heb toch niet kunnen garanderen dat het geheel en al zonder fouten is; u, vriend Lezer, doet het maar na, en als er iets mis is vebetert u het. Ik heb namelijk de tabellen gebruikt die u hierbij hebt, waarop u,

[ *) Willebrord Snellius was overleden op 30 oktober 1626 (grafschrift in Collectio Monumentorum ... Belgii faederati, Lond. 1695). Hij werd 46 jaar.]

[ * 6v ]

om u er even op te wijzen, niet al te zeer moet vertrouwen, daar ze zijn uitgegeven toen de Schrijver nog in leven was, alleen heeft hij niet de rust gehad om ze na te lezen, laat staan dat hij al het verkeerde had kunnen verbeteren. Ik heb ook aan elk van beide Driehoeksmetingen een verhandeling toegevoegd met Problemen, en dit voornamelijk in uw belang; en hoe graag zou ik willen dat dit door de Schrijver zelf was gedaan ! Ik weet dat hij afzonderlijke verhandelingen heeft gehad, zowel over deze zaken als over andere, waarvan hij melding maakt in propositie 7 van de Appendix*). Maar dat alles heeft zijn vroegtijdige dood ons ontnomen.
U moet het afkeuren als u in dit werk iets vindt dat niet de vijl van zijn nauwkeurige oordeel heeft ondergaan, of ook de toewijding van onze aandacht, waarmee we, na alle moeilijkheden te hebben overwonnen, de zaak tot hiertoe hebben gebracht. Ik weet dat er mensen zullen zijn die deze woorden zullen uitleggen als trots en arrogantie, zoals vandaag de dag liever iets met laster dan met bijval wordt behandeld, maar om hen geef ik niets; als er maar enige gelegenheid wordt gegeven verdienstelijk te zijn voor Wiskundigen, zal ik mijn plicht geenszins verzaken. Maar wat zeg ik? Is bewaard blijven voor afgunst soms te verwachten voor mij, als het zelfs de grootste Mannen niet is gegeven?

Wie je ook bent, Zoïlus, van hem heb je de naam.°)

Maar u, goedgunstige Lezer, juich onze inspanningen toe, en zie dit als opgedragen aan uw gebruik bij Wiskundige studies, en ook met genegenheid voor ons, waarop we zeker vertrouwen. Het ga u goed.

[ *) 'Appendix de Construct.' vanaf p. 33 ('De constructione et fabrica Canonis sinuum plenior & ulterior commentatio', na Liber I). Prop. 7 staat op p. 58; op p. 60 (eind Prop. 8): "Ik heb andere samenvattingen over de constructie van tabellen van tangenten en secanten, maar die wachten nog op enige rijpheid".]
[ °) Ovidius, Remedia Amoris, 366. Ned.: Al de werken (Leiden 1678, vert. Abraham Valentyn), 'Minne-baat', p. 275: "Homerus geestig werk kost geen nijdige tand ontsnappen; wie gij sijt, gij draagt daar van de naam Zoïlus".]

[ * 7 ]

Aan de Voortreffelijke Zeergeleerde jongeman;
zeer aangename, beste Vriend;

MARTINUS HORTENSIUS.

DE rampzalige dood van SNELLIUS beweende ik;
een klacht naar de onverbiddelijke Parce,
omdat zij wreed voor altijd wegnam
de steunpilaar van onze Muzen.
Ze ontsloot voor één die niet moest sterven*)
het noodlotsgraf; het wijze hoofd dat
een Archimedes zelfs kan eren,
trok zij nu naar de lijkenscharen.
MARTINUS ik weende; ook jou ontsnapte
droef rouwmisbaar; maar SNELLIUS zal toch
dit noodlot overleven, daar nu
postuum dit boekje met jouw dienst
voltooid, geliefder zelfs dan Indisch
goud, nog schoner blinkt dan marmer.
Zo spoor je de SNELLIAANSE Muze
sterk aan voor volgende eigen werken;
zo geeft jou Ptolemaeus' denkkracht
genot; en zo ook de vurige adem
van Euclides. Oh MARTINUS ga door,
dan zul je zeker titels krijgen.

Geschreven door

HUGO BOXEL°),
L. A. M.^#)

[ *) Lat.: "recludens immerito mori / Fatale bustum", vergelijk Horatius, Carmina 3, 2.21: "Virtus, recludens inmeritis mori / caelum, ...", De deugd, die voor wie niet verdient te sterven de hemel ontsluit ...]
[ °) Hugo Boxel, ca. 1607 (Album stud. Leiden: 17 maart 1623, 16 T) - 1680 (veilngcatalogus), had later een briefwisseling met Spinoza over het bestaan van geesten en spoken, zie: Jonathan I. Israel, Spinoza, Life and Legacy, Oxford 2023, p. 902 e.v. Zie ook:
Wim Klever, 'De spoken van Hugo Boxel', in Bzzletin 22 (1992-93) p. 53-64.
B. de Spinoza, Nagelate Schriften, 1677, 55e Brief (14 sept. 1674) t/m 72e Brief (15 juli 1676).
In de 63e Brief (3 jan. 1675):

Gy hebt my, toen ik by u was, de middel aangewezen, die gy in 't onderzoeken der waarheden, de welken noch niet bekent zijn, gebruikt. Ik bevind dat deze middel zeer voortreffelijk, en echter zeer gemakkelijk is, voor zo veel ik daar af bevat heb: en ik mag zeggen dat ik door deze enige waarneeming grote voortgangen in de Wiskundige dingen heb gedaan.
Ik zou dieshalven wel wenschen, dat gy de ware bepaling van het evenmatig, waar, valsch, verdicht en twijffelächtig denkbeelt aan my leerde.
('Handeling Van de verbetering Van 't verstant'.)

Van Hugo Boxel zijn 3 disputaties bekend:
- bij F. Burgersdijck 'De mundo et coelo' en 'De sensu interno ...' (1624),
- 'Disputatio inauguralis, continens assertiones miscellaneas philosphicas' (1626),
alledrie gedrukt door Joh. Cornelisz Wourdanus, die het hierna volgende lofdicht schreef.
En 2 juridische werken: Gorc. 1666 (Gen. 1677, Leiden 1686) en Gorc. 1670.]
[ ^#) Liberalium Artium Magister, Meester in de Vrije Kunsten.]

[ * 7v ]

Op de DRIEHOEKSMEETKUNDE

Van de zeergeleerde Heer

WILLEBRORD SNELLIUS,

na zijn dood in het licht gegeven.

BIJ dag en bij nacht met de hand zolang de Passer dwaalt,
ook met de Radius*) meet SNELLIUS de immense kring,
niet minder in kunst dan de Oude Syracusaan, daarbij
doorzoekt hij alle plooien der aarde, en snijdende trekken,°)
en diepten gedraaid op labyrinthische wijze.
Weldra doceert hij cijfers, woorden, kwadraten voor ronden,
of de manier waarop je een ronde terug kunt buigen.
Geen twijfel heeft nu de Kegel, of ook de gladde Cilinder,
en geen zich hoog verheffende Piramide verdwijnt
in wolken, de Zonnewijzer grift hij met betere voren.

En dit voldeed Hem niet; verstand met snelle pen
zoekt boven de Sterren, de eerste zetels vanaf het begin
weer op, en dan zal het Goden zien, en Huizen zien
van Goden, planeten bezoeken die eeuwig bewegend dolen.
Terwijl Halfgoden zich veel hierin mengen, is het ontstaan,
de ondergang van sterren, alles ontzegd door natuur
aan mensenblik, het punt waarom de aandacht draait;
toch niet voldaan doorloopt het denken de hele Olympus,
behalve de wegen van Jaar en Zon, en Phoebus, die
naar wens een tweespan neemt, vergulde as en wiel,
zoals gewoonlijk stuurt hij met de teugels los in handen.

Intussen kijkt hij van Olympus' top naar Aarde,
en ziet zelfs alles samenlopen in één punt,
SNELLIUS die, door nietig beeld der dingen misleid,
de grond veracht, en alles vast aan aardse omarming
daar lacht hij om, de speelsheid van dat dwaze Volk;
en Jupiter bakent een plaats af aan het hemelgewelf
volgens verdiensten van werk, de Driehoek neemt hij aan,

[ *) 'Radius astronomicus'; niet de gewone Jakobsstaf, zie 'Praefatio' (in Lansbergen 1630), p. 28.n.]
[ °) Lat.: "sinus ... secantes"; er wordt niet gezinspeeld op de tangens.]

[ * 8 ]

met ruimte*), en plaatst hem als Romeinse god, om klaar
te blinken, roept de drie tesamen uit voor strijd.
De Ram kromt met een hoorn, kenbaar door rossig vuur,
zijn weg al, kijkt met schele oogjes naar de Stier;
Cassiopeia siert zich met een Diadeem,
zelfs Perseus laat de fasces zakken, dankt voor de eer,
de grote Abantiades, 't gezicht van de wrede Gorgo
zachtzinniger kerend, met de voeten de banden bindend.

Als eerste daar uit velen, grote hoop erbij,
ontvangt hij ze met open armen, groet met rechts,
Aratus bewijst de Bataaf zo veel bijzondere eer,°)
Alfonso, hoofd met diadeemtooi, richt zijn gang,
en Tycho, roem voor troon der Cimbren, geeft hem plaats,
gezicht en blik herkennend van de komende.
Mijn land, beroofd van 'n grote Leraar, leg nu toch
de rouw af, en houd Tiphys-schepen in de vaart,
een andere Tiphys stuurt de Argos der Bataven.

En dan, mijn aandacht trekt naar Atlas grotendeels,
onze HORTENSIUS schraagt Herculisch^#) heel gedurfd,
met veel inspanning Vesta, en de hemel die
al donderend dreigt neer te storten, met zijn hoofd.
Voorspoedig kunnen Bataven leven met zo'n gids,
ook die van DELFT, verheugd met zulk een grote telg.
Maar u, gelukkigen, bent door een krachtig talent
verheven, trouw bestemt u voor onze Olympus,
gedenkt de Held met een Kretenzische bloemenkrans.⁺)

Al spelend

JOH. CORNELISZ Wourdanus.^†)

[ *) Vergelijk Caspar Barlaeus, 'In Obitum Clarissimi Viri, & Mathematici incomparabilis, Willebrordi Snellii', Leiden 1628, r. 41 (p. 144, eind):
"de Driehoek verlangt een grotere ruimte om te worden gevat".
Nog opvallender is (10 regels hierna) de overeenkomst met r. 47:
"Aratus, en de oude Alfonso, en Tycho, de grootste roem van de Cimbren".
(Verder vinden we daar, r. 86: "aplustria puppis", achterstevenspiegels, en r. 88: "Tiphys abest", hier p. *8: schepen ... andere Typhis; r. 92: "Qua radio vastum descripsit gentibus orbem", hier begin p. *7v: Radius ... immense kring.)
In het volgende gedicht 'In ejusdem obitum', r. 3: "Goden te zien, en huizen van Goden" (zoals halverwege p. *7v); en (zoals 6e regel van onder) r. 11: "Verbaasd dat hij zijn Belgen niet kan vinden, en dat alle koninkrijken in een klein punt samenkomen.]
[ °) Aratus, 'Phaenomena', in ed. Hugo de Groot, Hug. Grotii Batavi Syntagma Arateorum opus, Leiden 1600 (Aratus noemt geen Bataven).
Over het sterrenbeeld Driehoek (Engl. transl. G. R. Mair, 1921), 233:
"There is also another sign, fashioned near, below Andromeda, Deltoton [Triangulum], drawn with three sides, whereof two appear equal but the third is less, yet very easy to find, for beyond many is it endowed with stars. Southward a little from Deltoton are the stars of the Ram.".]
[ ^#) Lat.: Amphitryoniades; komt ook voor in een gedicht van D. Heinsius op J. Cats, Sinne- en minnebeelden, 1627.]
[ ⁺) Lat. "Gnosiacae serta ... Coronae", rijgsel van een Knossische krans (in Barlaeus' 2e gedicht, zie 1e noot hierboven, r. 20: "Gnosia serta"); bruidskrans van Ariadne, het sterrenbeeld Noorderkroon, zie ook de namen bij 'Corona Borealis', in: R. H. Allen, Star Names, 1899/1963.
Joh. Bayer, Uranometria, 1603, bij Lucida Coronae: "Gnossia seu Gnosia".]
[ ^†) Van 1622 tot 1630 boekdrukker in Leiden, zie: 'Speuren naar sporen van een 17e-eeuwse rector: Jan Wourdanus, rector van de Latijnse school', Jan Willem Klein, Arjan van 't Riet en Marloes Rijkelijkhuizen, in Tidinge van die Goude, 35-3, aug. 2017, 106-113.
Van Wourdanus staan nog twee lofdichten in Verhandelinghe van Handt-opleggen, Dordr. 1659, voor Joost Vygh en voor zijn oud-leerling Simon van Leeuwen.
Veilingcatalogus: BNF, 9 febr. 1666, met Appendix, 30 nov. 1666; Brill 2015.]

[ 1 ]

Willebrord Snellius R.zn

C A N O N I E K E L E E R van

D R I E H O E K E N,

EERSTE BOEK.

Over het vinden van rechten beschreven bij een Cirkel.*)

PROPOSITIE I.

De Canonieke leer van bijbeschreven rechten is, wanneer uit de omtrekken de betreffende bijbeschrevenen, en omgekeerd uit de bijbeschrevenen de omtrekken in getallen worden gevonden.

DE MEETKUNDE, of 'stoicheiôsis' [Elementenleer], voorzover deze zich voorneemt, en aantoont, alles met cirkel en passer uit te voeren, neemt zo alle toestanden van gelijkvormige Driehoeken om uit te leggen. Maar aangezien nu de onderlinge verhouding en vergelijking van alle gelijke hoeken niet duidelijk volgens een gegeven maat kan worden uitgelegd op Meetkundige en onweerlegbare wijze, hebben die Grote Helden, onder de ouden ontegenzeglijk de eersten in bekendheid, zonder moeite opgetekend, wat er gedaan kan worden met behulp van de omtrek en door vergelijking met een ingeschreven rechte. Dus toen al, tweeduizend jaar en meer geleden,

[ *) De sinus, tangens, enz. worden beschouwd als lijnstukken. Zie Prop. 2 (met figuur) en Prop. 3 over de naam 'Sinus'.]

[ 2 ]

zijn de grootste mannen, en onder hen als voornaamste Hipparchus, te werk gegaan op de manier dat, met een gestelde halve diameter, van hoeveel deeltjes ook, de grootte van iedere ingeschrevene volgens deze manier te bepalen was. Want zo verdelen we ook tegenwoordig de straal van een cirkel in 100000, 1000000, 10000000, of 10000000000 deeltjes, en volgens deze verschaffen we ook de rechten, beschreven bij de omtrek ervan, met afzonderlijke gedeelten.
Het kan immers niemand onbekend zijn, die zelfs alleen even de eerste toegang tot de Meetkunde heeft aangeroerd, dat elke cirkelomtrek verdeeld wordt in 360 delen, die men graden noemt; zodat er 180 graden zijn voor een halve cirkel, en 90 voor een kwart cirkel. Op deze omtrekken dus, met hun graden en minuten of afzonderlijke gedeelten, als de kleinste deeltjes die vereist worden in het gebruik, hebben de betreffende bijbeschreven rechten betrekking. En dit wordt door Ptolemaeus inderdaad genoemd "de behandeling van rechten op de cirkel". Die hebben latere geleerden, en vooral in deze eeuw, vermeerderd met prachtige toevoegingen.

'Bijbeschreven' bedoel ik nu niet met de strikte betekenis zoals Meetkundigen gewend zijn, voor wie alleen de bij de cirkel ingeschreven of rakende rechten onder deze naam komen; maar ook rechten getrokken vanuit het middelpunt die de omtrek snijden; zoals ze stuk voor stuk op hun plaats zullen worden uitgelegd. Een bepaald gebruik van deze rechten heeft Archimedes gegeven in zijn meting van de cirkel; en dit beginsel heeft Ptolemaeus ook gevolgd in het zesde boek van zijn grote werk.
Maar daarvan breidt zich verreweg het wijdste veld uit over de hele Wiskunde, wanneer in vlakke Driehoeken, of boldriehoeken, uit drie gegeven termen de overige drie worden gevonden; en daarom wordt het ook wegens het belangrijkste nut genoemd Canonieke Leer van Driehoeken.

En verder, daar de hoeken in het middelpunt zijn zoals de omtrekken

[ 3 ]

waarop ze staan, is daarvan gekomen dat de omtrekken zelf als maat voor de hoeken genomen kunnen worden. Zodat we kunnen begrijpen dat een rechte hoek bepaald wordt door 90 graden, een scherpe door minder, een stompe door meer. En zo kunnen dan ook die bijbeschrevenen niet alleen betrekking hebben op hun omtrekken, maar ook evenzeer op de hoeken die op die omtrekken staan. Aangezien, zoals we hebben gezegd, de maat voor een hoek de omtrek is, beschreven vanuit de top ervan als middelpunt.

Verder worden bij omtrekken hier zowel een gegeven omtrek, als het complement ervan dikwijls als gedeelten genoemd. Want want het is hetzelfde gezegde als over hoeken wordt verstaan: Complement is het verschil van een gegeven omtrek met het kwadrant.

Of een gegeven omtrek nu groter is dan een kwadrant of kleiner; maar zoals elke hoek kleiner is dan de twee rechten, zo is een gegeven omtrek ook altijd kleiner dan de halve cirkel, zoals wanneer in de volgende tekening eo als gegeven wordt genomen, dan zal het complement ervan zijn or. En als de omtrek iro groter wordt genomen, zal niettemin or het complement ervan zijn. Hetzelfde is er bij hoeken, zoals: het complement van een scherpe hoek moet zijn het tekort ervan ten opzichte van een rechte hoek; van een stompe hoek het overschot ervan boven een rechte hoek, als ze tenminste niet te verwaarlozen zijn.

PROPOSITIE II.

Rechten in verband met hun omtrekken zijn sinus, tangens en secans.

ZOals hier in de getoonde tekening: laat a het middelpunt zijn van een cirkel, de omtrek oe, de straal ae, de loodlijn vanuit het einde o op de straal ae zij ou, de loodlijn op de diameter in het uiteinde es, en de door het einde o

[ 4 ]

doorgetrokken straal as. Hier is ou de sinus van omtrek oe; es de tangens ervan; en as de secans. In de Meetkunde worden de tangens en secans wel oneindig genoemd, en worden ze met geen enkele zekere en vaste afmeting opgevat; doch hier worden ze beperkt door voorgestelde omtrekken, en hebben ze een volgens deze bepaalde grootte. Die dubbelzinnigheid moest dus worden opgeheven, en uit de weg geruimd met de maat van hun omtrekken.

PROPOSITIE III.

Sinus rectus is de rechte vanaf het ene einde van de omtrek, getrokken loodrecht op de diameter door het andere.

DE naam Sinus is, althans met deze betekenis, de Latijnse taal vreemd. En hij is in gebruik gekomen in die Barbaarse eeuw, toen ook Griekse schrijvers aan de Arabieren werden ontleend, want naar het schjnt hebben Arabieren als eersten in plaats van de ingeschreven rechten die voor het oude Griekenland gewoon waren, de helft ervan genomen, met zeer groot voordeel. En zo wordt dan door Geber in de vertaling van Gerard van Cremona de Sinus van een boog gedefinieerd, als de helft van de koorde van de dubbele omtrek*), zodat deze naam door de Cremonenzer voor het eerst in de scholen is gebracht, of wanneer deze al eerder aanvaard was, door hem is gebruikt.
Tenzij hij misschien pas door Apianus is ingevoerd, in elk geval is het zo dat Plato Tiburtinus, die veel recenter is dan de Cremonenzer, en die Albategni heeft vertaald, Geber heel anders sprekend opvoert°). "Wanneer je dus" (zegt hij) "een koorde van welke graad ook uit deze gehalveerde koorden met de tabel te weten wilt komen, zoek dan in de tabel van de gehalveerde koorden", enz. Dus hebben onze voorgangers de gehalveerde koorde in het Latijn de sinus genoemd.
En daarom, aangezien deze naam nu gewoonlijk gebruikt wordt, kan hij wegens de uitstekende kortheid inderdaad behouden worden. Laat nu de omtrek oe gegeven zijn, de diameter ei, de rechte vanuit het andere

[ *) 'Gebri filii Affla Hispalensis, De Astronomia libri IX', in Petrus Apianus, Instrumentum primi mobilis, Norimb. 1534, fol. b.r: "De eerste Sinus rectus is de helft van de koorde van de boog die het dubbele is van de boog waarvan hij de sinus is, oftewel de helft van de koorde bij de hele boog.".]
[ °) Rudimenta astronomica Alfragani, Item Albategnius ... De motu stellarum, Norimb. 1537, 'Liber Mahometi Filij Geber filij Crueni, qui vocatur Albategni, In numeris stellarum, et in locis motuum earum ...', vertaling van Plato Tiburtinus (tussen 1134 en 1138), tijdgenoot van Gerard van Cremona.
Citaat in cap. 3, p. 7 (r. 15), txt. NB: niet van de eerder genoemde Geber.]

[ 5 ]

uiteinde o die hierop loodrecht staat, ou, zal zijn de sinus van omtrek oe. Of als genomen wordt de omtrek oey, onderspannen door de rechte oy, en als de straal ae hier loodrecht op staat, dan zal die de ingeschrevene oy en de omtrek oey doormidden delen; dus de helft ou van deze ingeschrevene, die behoort bij de halve omtrek oe, is de siinus ervan.
Ptolemaeus, en enige eeuwen eerder Hipparchus, en voor Hipparchus ongetwijfeld ook zowel Egyptenaren als Babyloniërs, hebben gebruik gemaakt van tabellen van ingeschreven rechten. Wij nemen langs kortere weg de helft van de ingeschrevenen, oftewel de sinus. Verder is ook van de andere omtrek or de sinus ol, dat is de sinus van het complement van de gegeven omtrek oe of oi. Dus:
De Sinus is gemeenschappelijk voor een omtrek kleiner dan een kwadrant, en voor het supplement ervan.
Supplement noem ik nu het verschil van de gegeven omtrek met de halve cirkel, gewoonlijk complement tot de halve cirkel; maar aangezien deze omschrijving lastig is, en het veiliger is verschillende dingen te onderscheiden met verschillende namen, zal voor ons het complement, zoals we het hierboven hebben gedefinieerd [<], alleen zijn het verschil tussen een gegeven omtrek en een kwadrant, doch het supplement het overschot van een halve cirkel boven een gegeven omtrek, en daarom moet een gegeven omtrek steeds begrepen worden als kleiner dan een halve cirkel.
Zoals immers de ingeschreven oy de gemeenschappelijke basis is voor het kleinere gedeelte oey, en het grotere oiy, zo wordt het ook gezegd van de helft ou van de ingeschrevene, ten opzichte van de beide omtrekken oe en ori.

PROPOSITIE IV.

Sinus versus is het gedeelte van de diameter tussen de sinus rectus van de omtrek en het tussenliggende einde ervan.

ZOals in dezelfde tekening bij gegeven omtrek oe, de sinus rectus zal zijn ou, loodrecht op de diameter,

[ 6 ]

en de sinus versus ue. Maar als de gegeven omtrek ori is, zal de sinus rectus wel dezelfde ou zijn; doch de sinus versus de rechte ui. En Vitello heeft deze naam met die betekenis gebruikt in prop. 12 van lib. 5 en 38 van lib. 9, en daar noemt hij hem 'pijl'.*)
Dus: De sinus versus van de kleinere gegeven omtrek, is het verschil tussen de sinus van het complement ervan en de straal; en van de grotere de som daarvan en de straal.

...

[ *) Zoals Simon Stevin ook deed.]

[ 7 ]

...

[ 33 ]

WILLEBRORD SNELLIUS
VAN ROYEN, R.zn

O V E R C O N S T R U C T I E

EN MAAKSEL van de CANON van
Sinussen, vollediger en laatste
commentaar.

...

[ 60 ]

...

Ik heb andere samenvattingen over de constructie van tabellen van tangenten en secanten, maar die wachten nog op enige rijpheid.

[ 61 ]

...

[ 62 ]

C A N O N I E K E L E E R van

D R I E H O E K E N,

TWEEDE BOEK.

Over vlakke DRIEHOEKEN.

...

[ 89 ]

L A N D M E E T K U N D I G E

P R O B L E M E N. *)

PROBLEEM I.

Als van een driehoek gegeven zijn twee zijden en de hoek ertussen, de loodlijn te vinden vanaf de onbekende hoek naar het overstaande been.

...

[ *) Toegevoegd door Hortensius.]

...

[ 103 ]

PROBLEEM VII.

De hoogte van iets meten zonder er naartoe te gaan, als gegeven zijn twee vrije standplaatsen op een vlak oppervlak, waarop het te meten ding loodrecht staat.

...

[ 104 ]

...

Met een zelfde en gelijke handeling is te meten, door twee meters tegelijk en op dezelfde tijd, de hoogte van een of andere wolk, als die tenminste een langzame beweging heeft, en aan de uiteinden een duidelijke dichtheid houdt; want in het midden ervan kan de blik niet gericht worden zonder fout, die ook nu nauwelijks te vermijden is voor wie de zaak niet met alle ijver en oplettend aanpakt.
Laat ik voor de zorgvuldigheid één geloofwaardig voorbeeld toevoegen: op 8 juli nieuwe stijl van dit jaar 1627, bij noordenwind, hebben we de hoogte van een wolk waargenomen, goed te onderscheiden en met een langzame beweging. Gevonden is hoek abd, 31° 40', hoek acd, 38° 30', en het interval van de genomen standplaatsen was 1680 Rijnlandse voet op een vlak veld; hiermee dus gevonden hoek bac 6° 50', zal volgens dezelfde propositie*) van boek 2 gelden:

zoals sinus bac,
1189816 tot bc,
1680 zo sinus abc,
5249766 tot ac
7412.
En verder

zoals straal,
10000000 tot sinus van hoek acd,
6225146 zo ac
7412 tot ad
4614
Als je hierbij optelt de hoogte cf van 6 voet, komt de hoogte van de wolk op 4620 voeten, zoals waarvan er 12 de tot nu toe gebruikte decempeda maken; wat we om een zekere reden hebben gedaan;

[ *) Prop. 6 (p. 66): Als een zijde en twee hoeken gegeven zijn, kunnen de overige zijden gegeven worden.]

[ 105 ]

daar er namelijk in de Duitse mijl, 15 waarvan overeenkomen met één graad van een grote cirkel op de aarde, 22800 voeten zijn, rijst deze hoogte tot 1/5 van één mijl en nog wat meer; en daar er in de Hollandse mijlen 18000 voeten zijn, zal deze hoogte ongeveer 1/4 mijl en 120 voet zijn.

...

[ 108 ]

...

voor mij blijft te wensen over, dat u dit slechts als welwillende Lezer met zo'n gemoed aanvaardt, als het door mij wordt aangeboden en, onze jeugdige studies begunstigend, aansporingen geeft, om ze te zijner tijd als God het geeft tot iets groters te brengen.

E I N D E.

[ 109 ]

C A N O N I E K E L E E R van

D R I E H O E K E N,

DERDE BOEK.

Over BOLDRIEHOEKEN.

...

[ 174 ]

C A N O N I E K E

D R I E H O E K S-

L E E R

VIERDE BOEK.

Over
BOLDRIEHOEKEN IN HET ALGEMEEN,
Zonder enige herleiding tot
Rechthoeken.

...

[ 228 ]

...

E I N D E.

[ 229 ]

P R O B L E M E N met

B O L D R I E H O E K E N. *)

EERSTE PROBLEEM.

Bij gegeven plaats en grootste declinatie van de Zon, de declinatie en rechte kimming ervan te vinden, en ook de hoek tussen de Ecliptica en de Meridiaan.

...

[ *) Toegevoegd door Hortensius.]

[ 230 ]

...

PROBLEEM II.

Gegeven de lengte en breedte van een ster, te vinden de declinatie en de rechte klimming.

GEgeven de lengte en breedte van de helderste ster van de Hyaden, het oog van de Stier, die de Ouden gewoonlijk Palilitium noemden: Plinius boek 18, cap. 26: Deze wordt gewoonlijk aangeduid als de ster Palilitium, aangezien 21 april de geboortedag van de stad Rome is*). Cicero, De divinatione 2: Van die Parilia, waarop we de stichting ervan te danken hebben aan Romulus, haalde L. Tarutius Firmanus de geboortedag van die stad, vooral met kennis van Chaldeïsche berekeningen.

Dan kan gezocht worden de declinatie en de rechte klimming ervan voor het jaar 1625.

...

[ *) C. Plinii Secundi Historiae mundi libri XXXVII, Gen. 1606, p. 425, r.2: met 'Palilicium' (txt: Liber 18, lxvi.247: 'Parilicium'). Zie bij R. H. Allen, Star Names, Taurus, Aldebaran.]
[ °) Cicero, De divinatione, lib. 2, XLVII, 98: "L. Tarutius Firmanus, een bekende van ons, haalde wel, vooral met kennis van Chaldeïsche berekeningen, de geboortedag van onze stad van die Parilia, waarop we de stichting ervan te danken hebben aan Romulus".]

...

[ 243 ]

...

En zo hebben we ook de meeste proposities over boldriehoeken in praktijk gebracht; meer zouden kunnen worden toegevoegd, en steeds weer aan een andere berekening onderworpen, maar dat zou een werk op zichzelf vereisen, en langer stilstaan bij elke afzonderlijk; daarvoor kan de belangstellende lezer raadplegen

[ 244 ]

de Schrijvers over Sterrenkunde, vooral Ptolemaeus zelf, die ze in
boek 2 van 'megalès suntaxeos'*) uitgebreider behandelt,
of liever: misschien een vollediger voorraad
van deze oefeningen eens verwachten
van ons, zo God het wil.

E I N D E.

[ *) Bas. 1538. Almagest, Bas. 1551.]

Home | Hortensius | Editie van Snellius 1627 | Brontekst