Home | Stevin | Muziektheorie 1 , 2 | Woordenlijst

Overzicht , Inleiding , Bepalingen , Voorstellen , Bijvough , Verheyen , Noten


Stevins Muziektheorie (2)




Inleiding

Bierens de Haan, de ontdekker van de Singconst, schrijft dat het manuscript van de eerste versie wat slordig is, met doorhalingen en toevoegingen (het bleek Stevins handschrift te zijn). De tweede versie was door een ander geschreven "met een fraaien klerkenhand" (was deze van Hendrik Stevin?).
[ Hendrik Stevin had een overzicht gepubliceerd in Materiae politicae (1649), p. 147.]

Het titelblad verwijst naar de Wisconstige Gedachtenissen: Derde deel der Ghemengde Stoffen, en deze versie noemt Bierens de Haan het 'hoofdwerk'.  1

Het Cortbegryp geeft al aan dat de indeling anders is. De beschrijving is nu:

sonder vermenging des geens bij de Oude Griecken mette Spiegelaers deses tijts niet recht getroffen en schijnt [...]
waar af ick in een bijvouch besonderlick handelen sal, om [...] de leering met geen strijding te verduijsteren.

Bepalingen

De bepalingen beginnen bij het begin, het muzikale geluid:
Met geluijt des gesancx verstaetmen, dat geduerlick even hooch een oirdentlicke grofheyt heeft.

[...] gelijck de katten meawen, honden huijlen, of ander gedierten roepen, [..] ten soude geen sanck sijn, die wij int gemeen natuerlic noemen, en van wiens grofheijt, of fijnheijt, hoocheijt of leecheijt, een seecker oirdeel is

Dan komen de toonladder of 'singleer' {Scala musica.}, en het notenschrift.
Even lange tijden heten "slagen of maten" {Tactus.}. De 'singteijckens' {Notulae.} worden gegeven voor hele, halve ... zestiende slag, en er zijn ook 'swijchteijckens' {Pausae.}.

De intervallen ('verlijcking' van twee geluiden) prime, secunde, terts .. octaaf hebben ook hier Nederlandse namen: eerste, tweede, derde ... achtste. En weer is er de alternatieve aanduiding (die in de eerste versie voorop ging) als het gaat om de opeenvolging met halve tonen: selftoon, halftoon, toon, anderhalftoon, tweetoon, enz. De 'tweetoon' is de grote terts, en het octaaf wordt zo de 'sestoon'.
Bepaling 14:

Goe geluijden sijn de twee der eerste, der cleene derde, groote derde, en cleene vierde, mitsgaders alle achste [...], de rest der geluijden is quaet.
Goed zijn dus: prime, kleine en grote terts, kwart, en octaaf. Ook de sexten en de kwint.
Stevin geeft een voorbeeld van "natuerlicke sanck":
fransken floris

En maltraiteert Fransken floris daarna met "mishagelicke climming en daling":
fransken floris 2
Bepaling 16:
Singconstige sanck noemtmen, die uyt twee of meer natuerlicke t'saemluijdende gesangen bestaet, niet evehooch climmende, noch eveleech dalende, en sonder qua thoonen, daer in te vallen.
Polyfonie moet aan zekere regels voldoen, anders is er "weijnich const" aan en klinkt het niet behaaglijk.


Voorstellen

De 'begeerten' in de eerste versie van de Singconst zijn nu gepromoveerd tot 'vertooch':
  1. Lengte van snaardeel evenredig met 'grofheijt' (laagte) van de toon.
  2. Twaalf even grote halve tonen in een octaaf.
Voor de eerste stelling vindt Stevin voldoende bewijs in het feit dat de halve snaar tegen de hele een octaaf geeft ("en soo voort met d'ander noch kleender helften"):
alsoo vereijscht de reden datmen toelate de everedenheijt te bestaen in alle andere deelen en grofheijt haerder geluyden
De tweede stelling is niet te bewijzen met de "natuerlicke sanck":
Angesien het de natuer soo niet vervougt en heeft, dat wij deur natuerlicke gestalte ses heele thoonen met seker oirdeel connen achter malcander singen
Stevin kan wel:
eenige speeltuijch tot hulpe nemen, en daer me voorbeelt geven.
Laet onder andere reetschappen genomen sijn twee clavesingels daer af het mij der leechste ende het climmende sa van d'ander in een selfde hoochde sijn
En dan met drie hele tonen en nog eens drie hele tonen uitkomen op een octaaf. Maar dit komt niet overeen met de in Stevins tijd gebruikelijke stemming van muziekinstrumenten. Dat was de 'middentoonstemming', met de reine terts, op 4/5 van de snaar, en de kwint op iets meer dan 2/3.

Abraham Verheyen. organist te Nijmegen (over wie hier onder meer volgt), schreef in een brief aan Stevin over deze kwestie:

[...] twee clavesingels d'een 3 heele thoonen hoogher gestelt als d'ander, maer hebbe bevonden [...] dat 6 alsulcke even thoonen gheen volcomen achste en maecken
Hij had dit onderzocht "volgens t'begeeren van U.E." en andere musici zeiden ook:
vande 1 noot tot de 5 een volcomen groote derde te syn, van gelycken vande 5 tot de 9 noot is een volcomen groote derde
maer vande 9 noot tot de 13 noot [...] sal nietmant int singen ervaren synde, toelaeten een groote derde te syn. maer sullen alle seggen, gelyckt oock is, dat het een onvolcommen {ofte vercleende} vierde is
clavieren F Fe G Ge A B ... met notenbalk
Stevin kreeg dus geen gelijk. Het tweede voorstel is niet te handhaven als stelling over de gebruikelijke toonladder. En zijn begeerte van twaalf even grote halve tonen werd niet gedeeld door de 'ervaren gesangmakers' van zijn tijd.

Voorstel 3 is een werkstuk, dat op een overzichtelijke manier de wortelgetallen geeft voor de evenredige stemming, met verwijzing naar "mijn Fransche Telconst" (L'Arithmetique).
Voorstel 4 geeft benaderingsgetallen voor de praktijk:

gemerckt de deeling der snaer (twelck een der voorneemste eijnden deses handels is) op sulcke wijse tot noch toe niet wisconstelick bekent en is
De uitkomsten verschillen iets van die in de andere versie, doordat:
ick mij om lichticheijts wille beholpen heb sonder worteltreckinge, te weten met vergaring en aftrecking der redens
[...] meerder seeckerheijt [...] den geenen hebben can die sulcke worteltrecking doet
Voor de deling van de snaren van een luit geeft Stevin een handige tabel.


Bijvough

De theorie van de muziek begon bij de oude Grieken als volgt:
Gaende Pythagoras langs de straet, voor bij een smits winckel alwaer met drie hamers op een ijser gesmeet wiert, hij hoorde daer in bij geval tgeluijt der achtste, vijfde, en vierde;
waer mede hem in den sin quam die hamers te doen wegen, om te sien of haer gewichten mette geluijden eenige gemeenschap hadden, en bevant den grootsten van vier pont, de cleenste [...] van 2 pont; De middelste [...] van drie pondt    2
Pythagoras onderzocht dit verder met een gespannen snaar, en vond weer: 2/1, 3/2, en 4/3. Andere intervallen werden verkregen door de verhoudingen op elkaar te delen (in Stevins woorden "met aftrecking der redens"):
3/2 : 4/3 = 9/8   geeft de hele toon tussen kwint en kwart,
9/8 : 9/8 = 81/64   geeft de 'tweetoon' of grote terts,
4/3 : 81/64 = 256/243   geeft de halve toon tussen kwart en terts.

Maar deze halve toon is niet echt de helft van een hele:
9/8 : 256/243 is ongeveer 256/240,

en heeft t'geluijt van deen halfthoon een oirdeelelick verschil vant geluijt van d'ander, gemerckt de twee banden des grooten halftoons becans het vierendeel wijder van malcander commen te leggen dan de banden des cleenen halfthoons
Zo kun je de banden van een luit niet goed indelen.
Stevin geeft dan weer de vergelijking die hij gemaakt had in de 'Wijsentijt':
als oft ijmant bekent waer vier pinten waters een stoop te maken, maer soo dickwils hij in een vadt twaelfmael een maet giet, die hij meent een pint te doen, soo dickwils bevint hij min dan drie stoop, sonder te weten, dat zijn genomen maet minder dan een pint moet wesen.
Vier halve tonen moeten een terts maken, en twaalf halve tonen drie tertsen. De Grieken hadden het "niet recht getroffen", ze kenden de twaalfdemachtswortel niet:
die niet en weten wat wortel of sijde der twaelfde grootheijt is, hoe soudense daer me het ware besluyt connen doen?
Dit seg ick met verlof eenvoudelick na tgeene mij vande saken dunckt, soo ijmant daer af beter bescheyt wist, hij souder beter onderrichting af meugen doen.

Tertsen en sexten

Hoofdstuk II behandelt "der Griecken gemist oirdeel" over tertsen en sexten. De eenvoudige verhoudingen van octaaf, kwint en kwart heeft de Grieken:
doen vermoeden en besluijten de natuer de saeck soo vervougt te hebben, dat de soetste of beste geluijden, de eenvoudichste cleenste getalen der palen haers redens hadden [...]

sulcx dat al de lieflicke geluijden van derden en sesten als quaet uyt haer sanck gebannen bleven.

De oorzaak waarom de "Vinders des tegenwoordich gesancx" deze fouten niet gevolgd hebben, schijnt dat de theorie van de Grieken hun onbekend was. Niet verleid door getallen hebben ze:
voor soet geoirdeelt tgeene sij uijtter nateur soet gevoelden.

Kwart

In hoofdstuk III kapittelt Stevin de "nieuwe Sangmeesters" over hun opvatting van de kwart:
sulcx datmense in den tweeich liet {Duo.} ganslick niet en lijt, dan in meerstemmige wortse toegelaten, mits datmense tegen de leechste niet en hoort.
Maer dit dwaling te wesen, wort int cort aldus verclaert:
Tgebeurt gemeenlick dat oude lieden met jonge kinderen t'samen eenich liet in een selve thoon singende, daer toe uijtter nateur stemmen gebruijcken, diese meynen even hooch te wesen, en nochtans een achtste of somwijlen wel twee achtsten verschillen

[...] twee geluijden van verscheijden afcomsten, als snarenclanck tegen menschen stemmen, of tegen geblasen tuych als fleuten, cromhoorens, trompetten, schalmeijen en diergelijcken, diemen metter daet wel t'samen gebruijckt, waer me voor de scherpsinnichste dickwils onseker is, ofse een achtste schillen of in een selve hooghde sijn.

Dan moet de kwart toch evenveel recht hebben als de kwint.
De const en heeft geen viant dan den onwetenden
Hoewel Stevin verwacht dat deze spreuk ook tegen hem gebruikt zal worden ("op dese voorstaning der vierde"):
soo gevoel ick mij sulcx minder verdriet te sullen andoen dan verborgen te houden, tgeen ick hier of [hiervan] geloof de waerheijt te wesen.

Abraham Verheyen

In zijn brief aan Simon Stevin laat de organist Abraham Verheyen  3  zien dat hij heel wat wiskunde in zijn mars had:
ick hebbe laetstmael U. E. schrijvens met de 5 eerste voorstellen der Spiegeling des Singconsts met blytscap ontfanghen, die heb ic oock seer wel verstaen
Niet alleen kon hij achter het 'clavesingel' uitmaken dat drie reine tertsen niet een octaaf maken (zie ook hier boven):
soo dat uyt dese twee proeven seker bevonden wert, drie groote derden minder ende vier cleene derden meerder als een volcomen achste te syn, waer uyt onderscheyt der halfthoonen nootsaeckelick moet volghen
Hij kon ook Stevin een koekje van eigen deeg geven, door aan de hand van diens 'Fransche Telconst' de wortelgetallen te berekenen voor exacte verhoudingen in de middentoonstemming:
Nu t'ondersoucken van desen heeft my doen vinden de waere natuyrlycke redens der thoonen waer van naest Gode (sonder flatteringe gesproocken) de eer U. E. alleen toecomt
Verheyen bleef vinden dat er kleine en grote halve tonen zijn, "als ick oyt an U. E. screeff" (blz 315). Hij had nu de verhouding 5 : 4 (reine terts) verdeeld in twee gelijke delen. Voor de hele toon komt er dan √ 5 : 2. En hiermee had hij de andere verhoudingen berekend.
Zijn tabellen (bijlage E) kunnen we makkelijk vergelijken met de evenredige stemming als we de banden van een luit tekenen, zoals Stevin in zijn eerste versie had gedaan (Verheyen noemt de luit niet). De verschillen springen in het oog:
Banden van de luit: Stevin en Verheyen
Grijs: vergrote toon, drietoon, viertoon ('ongebruyckelycke' tonen, met een kleine halve toon vermeerderd of verminderd, ze staan alleen in de tweede tabel).
Kleinste streepjes: grote halve toon, kleine terts, kleine sext (alleen in de eerste tabel).
Stevins waarden zijn iets gecorrigeerd (berekend met wortels), Verheyen had het correct gedaan.

   Stevin          Verheyen
  (BdH 255)       (BdH 323/322)

10000                     10000
 tot       plaats          tot

10000	   0	    0	  10000
 9439	 561	  430/654  9570/9346	kleine/grote halve toon
 8909	1091	 1056	   8944
 8408	1592	 1440/1641 8560/8359	kleine terts/vergrote toon
 7937	2063	 2000	   8000     	grote terts
 7492	2508	 2523	   7477
 7071	2929	(2845	   7155)    	drietoon
 6674	3326	 3313	   6687     	kwint
 6299	3701	 3600/3750 6400/6250	viertoon/kleine sext
 5946	4054	 4019	   5981
 5612	4388	 4410	   5590
 5297	4703	 4650	   5350
 5000	5000	 5000	   5000     	octaaf

Abraham Verheyen kende ook de Wisconstige Gedachtenissen: hij verwijst naar een passage in de Wysentyt, en vraagt in een postscriptum naar een hoekmeetinstrument, de 'drieroe' die beschreven staat in de Meetdaet. Op grond hiervan kunnen we aannemen dat de brief werd geschreven in of na 1608.

Opmerkelijk is nog dat hij in het begin spreekt van "de 5 eerste voorstellen der Spiegeling des Singconsts", terwijl we er nu vier vinden. En: hij verwijst naar het eerste voorstel als het gaat om twee verschillend gestemde klavecimbels, terwijl dit nu in het tweede voorstel staat.




Noten

  1. D. Bierens de Haan, Bouwstoffen voor de Geschiedenis der Wis- en Natuurkundige Wetenschappen in de Nederlanden. Tweede verzameling. (Niet in den handel.) 1887, blz 235 - 273. Eerder in Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Afdeeling Natuurkunde), 2-20 (1884), p. 107 e.v.
    Met inleiding blz 231 - 234, en bijlagen (brief Verheyen) blz 313 - 323.

    Vande Spiegheling der Singconst (manuscript ca. 1605), edited by Rudolf Rasch (Diapason Press, in voorbereiding).
    In h 1 van zijn Muziek in de Republiek ... 1572-1795 (Utrecht 2018) schrijft Rasch:

    Simon Stevin propageert in zijn Spiegheling der singconst (twee versies, rond 1585-1590 en 1610-1620) het systematisch gebruik van Nederlandse muziektermen, maar doordat zijn geschrift niet wordt uitgegeven zijn de voorstellen bij voorbaat gedoemd om onopgemerkt te blijven.   «
  2. Dijksterhuis (1943, 276) zegt bij "het verhaal van Nichomachus over de hamers in de smidse":
    Opmerkelijk voor een zoo critischen geest als hij [Stevin] was, is het, dat hij het legendaire verhaal over de ontdekking van de verhoudingen van octaaf, quint en quart door Pythagoras oververtelt, zonder er de onbegrijpelijkheid van in het licht te stellen.
    De toonhoogte is niet alleen afhankelijk van het gewicht van de hamer.
    Afbeelding: Flores Musicae van Hugo Spechtshart (1322, houtsnede ca. 1492). Zie ook Kees Verduin, Hammers, music and scale (over de uitvinding van de muziek: Tubalcain, Jubal & Pythagoras) en Wikipedia Pythagorean hammers.   «

  3. In h 7 van Muziek in de Republiek:
    Abraham Verheiden, organist van de Stevenskerk in Nijmegen, 1602-1621, en
    Abraham Verheiden, in 1614 in Leiden benoemd als organist, maar nooit gekomen.
    In C. de Waard, Journal tenu par Isaac Beeckman, II, 405:
    "Abraham Verheyen, organist van Nimmegen" (bij "Banden van de luyt wel te legghen", uit Stevins geschriften, 1624). En IV, 128: "instructie van den orgelist van Nimmeghen, nu overleden synde" (feb. 1628, "Om perfectelick een clavecimbal te accorderen").   «



Home | Simon Stevin | Muziektheorie 1 , 2 (top) | Singconst (2) | Indeling 1 en 2