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Valbeweging , hydrostatische paradox , Compendium Musicae , brieven


Descartes, 1618-19

C. de Waard, Journal tenu par Isaac Beeckman de 1604 à 1634

Tome IV: Supplément


[ 49 ]

Valbeweging

  [ Tijdens een van de ontmoetingen met Descartes te Breda, in november of december 1618, stelde Beeckman de vraag of men kon weten over welke afstand een steen zou vallen in een uur, als men wist welke afstand deze aflegde in twee uur. De oplossing van Descartes is niet alleen bekend uit diens aantekeningen 'Parnassus' [<], maar ook uit het volgende stuk dat hij aan Beeckman gaf. Deze zal het gebruikt hebben bij zijn eigen uitwerking [<], en omstreeks 1628 liet hij het kopiëren [<] voor zijn 'boek'.]

  A une de ses rencontres, en novembre ou en décembre 1618, à Breda avec Descartes, Beeckman proposa à son nouvel ami la question si l'on pouvait savoir combien d'espace une pierre tombant parcourrait pendant une heure, si l'on savait combien d'espace elle parcourt en deux heures. Le résultat obtenu par Descartes nous est connu non seulement par ses notes [<], mais aussi par le document suivant qu'il remit à Beeckman. Celui-ci le fit copier, vers 1628, par le copiste de la main gothique, et il occupe actuellement fol. 162recto - 162verso du Journal. Il est précédé d'un autre écrit de Descartes sur la paradoxe hydrostatique et datant de la même époque, mais il semble bien résulter des notes de Descartes [<] que le présent document est le premier en ordre de date. Ajoutons que le document et la "démonstration triangulaire" qu'il comprend, semblent avoir été en possession de Beeckman, lorsqu'il dressa ses propres études exactes sur le sujet [<].*)


*)  A propos du sujet cf. la belle étude de M. Koyré citée déja (avec d'autres) au t. I, p. xxxiii, n. 8, mais rééditée depuis sous le titre: La loi de la chûte des corps: Descartes et Galilée (Paris, 1939), où le document suivant est discuté particulièrement aux pages 36-40.



[ 50 ] [ v ]
Lapis in vacuo versus Terrae centrum cadens,
quantum singulis momentis motu crescat,
ratio Des Cartes.

  In proposita quaestione, ubi imaginatur singulis temporibus novam addi vim qua corpus grave tendat deorsum, dico vim illam eodem pacto augeri, quo augentur lineae transversae de, fg, hi, et aliae infinitae transversae, quae inter illas possunt imaginari.*)

driehoek, vierkantjes   Quod ut demonstrem, assumam pro primo minimo vel puncto motûs, quod causatur a prima quae imaginari potest attractiva vi Terrae, quadratum alde °). Pro secundo minimo motus, habebimus duplum, nempe dmgf : pergit enim ea vis quae erat in primo minimo, et alia nova accedit illi aequalis. Item in tertio minimo motus erunt tres vires, nempe primi, secundi et tertij minimi temporis, etc. Hic autem numerus est triangularis, ut alias forte fusius explicabo, et apparet hunc figuram triangularem abc repraesentare.

  Immo, inquies, sunt partes protuberantes ale, emg, goi, etc., quae extra trianguli figuram exeunt; ergo figurâ trianguli illa progressio non debet explicari.

  Sed respondeo illas partes protuberantes oriri ex eo quod latitudinem dederimus minimis, quae indivisibilia debent imaginari et nullis partibus constantia. Quod ita demonstratur:

  Dividam illud minimum ad in duo aequalia in q; jamque arsq est <primum> minimum motûs, et qted secundum minimum motus, in quo erunt duo minima virium. Eodem pacto dividamus df, fh, etc. Tunc habebimus partes protuberantes ars, ste, etc. Minores sunt parte protuberante ale, ut patet. Rursum, si pro minimo assumam minorem, ut , partes protuberantes erunt adhuc minores, ut αβγ, etc. Quod si denique pro illo minimo assumam verum minimum, nempe punctum, tum illae partes protuberantes nullae erunt, quia non possunt esse totum punctum, ut patet, sed tantum media pars minimi alde; atqui puncti media pars nulla est.


*)  Au lieu du principe de la conservation du mouvement et celui de la superposition des vitesses antérieurement acquises qui produisent l'accélération (principes que Beeckman avait communiqués à Descartes [<]), celui-ci part de l'idée que c'est la force qui se conserve pendant la chûte et que cette force est à chaque moment proportionnelle à la vitesse. Cf. ses notes [<].
°)  Contrairement au graphique de Beeckman [<], Descartes représente sur l'axe vertical les chemins parcourus, tandis que les superficies représentent la somme des vitesses moyennes.

[ 51 ] [ v ]
driehoek   Ex quibus patet, si imagin­etur, verbi gratia, lapis ex a ad b trahi a Terra in vacuo per vim quae aequaliter ab illa semper fluat, priori remanente, motum primum in a se habere ad ultimum qui est in b, ut punctum a se habet ad lineam bc; mediam vero partem gb triplo celerius pertransiri a lapide quam alia media pars ag, quia triplo majori vi a Terra trahitur: spatium enim fgbc triplum est spatij afg, ut facile probatur. Et sic proportione dicendum de caeteris partibus.*)

  Aliter vero potest haec quaestio proponi difficilius hoc pacto: [<]

  Imaginetur lapis in puncto a manere, spatium inter a et b vacuum. Jamque primum, verbi gratia hodie hora nona, Deus creet in b vim attractivam lapidis, et singulis postea momentis novam et novam vim creet, quae aequalis sit illi quam primo momento creavit. Quae juncta cum vi ante creata fortius lapidem trahat et fortius iterum, quia in vacuo quod semel motum est, semper movetur [<]. Tandemque lapis, qui erat in a, perveniet ad b hodie hora decima.

  Si petatur quanto tempore primam mediam partem spatij confecerit, nempe ag, et quanto reliquam, respondeo lapidem descendisse per lineam ag tempore 7/8 horae, per spatium autem gb 1/8 horae. Tunc enim debet fieri pyramis supra basim triangularem, cujus altitudo sit ab, quae quocunque pacto dividatur una cum tota pyramide per lineas transversas aequo distantes ab horizonte. Tanto celerius lapis inferiores partes lineae ab percurret, quanto majoribus insunt totius pyramidis sectionibus°).

  Aliter denique proponi potest de reditu redituum [<]. Qui si singulis momentis augeri imaginetur, et quaeratur quid hoc vel illo tempore debeatur, solvetur haec quaestio etiam proportionibus ductis a triangulo. Sed dividi non debet linea ab in partes arithmeticas, hoc est aequales, sed in geometricas, sive proportionales. Quae omnia evidentissime ex mea Algebra geometrica possem probare, sed nimis longum foret.


*)  Descartes répétera ce résultat faux, où la vitesse du mobile est une fonction, non du temps écoulé (comme l'admettait Beeckman), mais de l'espace parcouru, dans ses notes contemporaines [<] et dans ses lettres du 13 novembre et du 18 décembre 1629 (cf. plus loin pp. 166-7 et 170-1). C'est au dernier endroit qu'il assure (d'après Beeckman?) que chaque boule, de quelle matière qu'elle pût être, obéit à la loi supposée. Cf. ci-après p. 170 avec la note 6.
°)  C'est à dire les vitesses croîtraient comme les cubes et non plus comme les carrés.



[ 52 ] [ v ]

Hydrostatische paradox

  [ Tijdens hun ontmoetingen vroeg Beeckman aan Descartes de hydrostatische paradox aan te tonen, die al uitgelegd was door Stevin [<], en bekend aan Beeckman [<]. Onderstaand stuk was het resultaat, ook genoemd in 'Parnassus' [<]. Beeckman vermeldde het in 1619 [<], en liet het kopiëren omstreeks 1628.]

  Pendant leurs entretiens, Beeckman proposa encore à Descartes de démontrer le paradoxe hydrostatique, déjà exposé par Stevin [<], et mentionné par Beeckman auparavant [<]. L'écrit présent était le résultat de ce défi, mentionné aussi dans la dernière des notes de Descartes [<]. Beeckman relève le document dans une note de juin 1619 [<], mais il ne le fit copier que vers 1628 par le même copiste qui écrivit le document précédent; sous cette forme il occupe dans son Journal fol. 160verso - 162recto (cf. t. I, p. xxxix).



Aquae comprimentis in vase ratio
reddita a D. Des Cartes.

  Ut plane de propositis quaestionibus meam mentem exponerem, multa ex meis Mechanicae fundamentis essent praemittenda, quod, quia tempus non sinit, breviter ut jam licet, conabor explicare.

  Et primo quidem, ex varijs gravitandi modis, quos jam omnes enumerare non opus est nobis, duo varij hic distinguendi sunt, nempe quomodo aqua, in vase existens, ejusdem vasis fundum premat, et quomodo totum ipsum vas simul cum aqua quae in ipso est, gravitet. Duo enim illa plane distincta sunt, ita ut unum altero plus vel minus gravitare posse certum sit.

  Secundo, ut quid significet verbum gravitare intelligatur, fingendum est corpus quod gravitare dicitur deorsum moveri, et illud in primo instanti motus considerandum est. Vis enim qua in primo instanti impellitur motus, ea est quae gravitatio vocatur, non illa quae illud in toto motu fert deorsum, quae a prima valde distincta esse potest. Dicemus igitur gravitationem esse vim qua proxima superficies corpori gravi subjecta, ab eodem premitur.

  Tertio, in illo motus principio imaginabili, notandum etiam initium imaginabile celeritatis, qua partes corporis gravitantis descendent; haec enim non minus confert ad gravitationem quam corporis ipsius quantitas. Verbi gratia, si una aquae atomus descensura sit duplo celerius quam duo aliae atomi, illa sola aeque gravitabit atque duo aliae.


  Quibus praemissis, sint quatuor vasa ejusdem latitudinis in fundo, ejusdem ponderis si vacua sint, et ejusdem altitudinis. Non infundatur in A plus aquae quam B potest continere; reliqua tria impleantur quantum possunt.

  Primo, aqua una cum vase A aeque gravitabit atque aqua simul cum vase B.

  Secundo, aqua sola in fundo vasis B aeque gravitabit atque aqua sola in fundo vasis D, et per consequens, magis quam aqua in fundo vasis A; aeque item atque aqua in fundo vasis C.


[ 53 ] [ v ]
vaten
  Tertio, D, totum vas et aqua simul, non magis nec minus gravitat quam C, totum etiam, in quo embolus E firmus est.

  Quarto, illud C totum magis gravitat quam B totum. Ubi heri hallucinabar *).


  Prior pars per se nota est.

  Secunda ita demonstratur: Aqua in utroque vase aequali vi premit fundum vasis; ergo aequaliter gravitat. Probatur antecedens hoc pacto: tantum aquae incumbit supra omnia puncta determinabilia in fundo unius quam in fundo alterius; ergo aequali vi premuntur. Verbi gratia, in fundo unius determinentur puncta g, B, h, in alterius i, D, l; dico omnia illa puncta aequali vi premi, quia scilicet premuntur lineis aquae imaginabilibus ejusdem longitudinis, nempe a suprema parte vasis ad imam. Neque enim fg linea hic longior censenda est quam fB vel aliae: non premit enim punctum g ijs partibus quibus curva est et longior, sed ijs tantum quibus deorsum tendit, quibus aequalis est alijs omnibus. Probandum autem est solum punctum f aequali vi premere tria puncta g, B, h atque tria distincta m, n, o premunt alia tria i, D, l. Quod fit hoc syllogismo:

Res graves aequali vi premunt omnia circumquaque corpora, quibus expulsis aeque facile inferiorem locum occuparent;

Atqui solum punctum f aeque facile occuparet inferiorem locum, si posset expellere tria puncta g, B, h atque tria puncta, m, n, o, si expellerent alia tria puncta i, D, l;

Ergo solum punctum f aequali vi premit tria simul puncta g, B, h atque tria puncta distincta m, n, o premunt alia tria i, D, l.

  Major videtur esse tam clara et evidens ut possit esse principium scientificum. Minor ulterius probatur: Imaginentur omnia inferiora puncta g, B, h et i, D, l eodem momento aperiri vi gravitationis corporum suprapositorum, certe eodem instanti concipiendum erit solum punctum f triplo celerius moveri quam unumquodque ex punctis m, n, o.


[ 54 ] [ v ]
Illi enim tria eodem momento loca erunt explenda, quo momento unum tantum cuilibet ex punctis m, n, o erit occupandum. Ergo vis qua solum punctum f premit inferiora, aequalis est vi trium simul punctorum m, n, o. Eodemque modo probari potest de omnibus alijs punctis imaginabilibus in fundo vasis B, aequaliter ea premi a superiore parum aquae, quae est in f, atque omnes partes fundi vasis D premuntur ab omni aqua incumbente. Ideoque aequali vi fundum vasis B premi ab aqua incumbente atque fundum vasis D. Quod erat probandum.


  Una tamen objectio proponi potest, meo judicio non contemnenda, et cujus solutio superiora confirmabit. Quae tamen omnia corpora aequalis magnitudinis et gravitatis, si deorsum ferantur, habent certum quemdam aequalem celeritatis modum, quem non excedunt, nisi ab aliqua vi extranea impellantur. Ergo male assumitur in superioribus punctum f propendere ut triplo celerius moveatur quam unum quodlibet ex punctis m, n, o, cum a nulla vi externa dici possit illud impelli. Absurdum enim foret dicere illud ab inferioribus aquae partibus attrahi, quod tamen mihi nuper valde erronee et non opinanter ex ore elapsum est *); hic enim consideramus illud, ut caetera corpora premit, non ut ab alijs impellitur vel attrahitur.

  Ita tamen ad objectionem respondeo: Antecedens est verissimum; falso autem ex eo deducitur punctum f non posse ad triplicem celeritatem propendere. Duo enim diversa sunt in ratione ponderum et valde distinguenda, nempe propensionem ad motum et motum ipsum. In propensione enim ad motum, nulla habenda est ratio celeritatis, sed tantum in motu ipso. Corpora enim quae deorsum tendunt, non propendent ut hac vel illa celeritate ad inferiorem locum moveantur, sed ut quam citissime potest, eo perveniant. Unde fit ut punctum f possit habere triplicem propensionem, cum sint tria puncta per quae possit descendere; puncta autem m, n, o unicam tantum, cum sint tantum una puncta per quae possint moveri. Duximus autem lineas fg, fB, mi etc. non quod velimus ita lineam mathematicam aquae descendere, sed ad faciliorem demonstrationis intelligentiam. Cum enim nova sint, et mea quae dico, multa necessario supponenda sunt, non nisi integro tractatu explicanda, satis igitur me demonstrasse existimo quod susceperam.

Haec est ratio quae tuum motum perpetuum [<] confirmat.

  Ex objecto autem argumento sequitur, si revera descendat aqua ex utroque vase, fundis illorum eodem momento sublatis, in nulla parte motus imaginabili tantum gravitare aquam vasis B quantum aqua vasis D — tum propter determinatam celeritatem cujuslibet corporis,

[ 55 ] [ v ]
unde fit ut ibi dici possit infimas aquae partes in vase B attrahere superiores quodammodo efficereque ut celerius descendant motu vacui quam fert illorum motus naturalis, tum etiam quia, si supponamus ordinate et mathematice totam aquam simul utriusque vasis descendere, longitudo linearum mi, nD, ol semper eadem remanebit, linearum autem fg, fB, fh perpetuo minuetur nullumque instans in motu potest imaginari, in quo hae lineae illis non sint breviores.

  Ex dictis clare sequitur quanto plus aqua in fundo vasis B gravior quam in fundo vasis A, tanto scilicet quanto linea fB longior est quam PA. Sequitur secundo aquam in fundo vasis C aeque gravitare atque in fundo vasium B et D, ex praemissa demonstratione.


  Jam vero consideremus non solum aquae gravitationem in fundo vasium, sed vasorum ipsorum simul cum aqua illis injecta gravitationem. Quam aequalem esse vasis C et vasis D, dum stant in aequilibrio et quiescunt, sic probo:

Omnia quae adigere possunt ut descendant, in utroque sunt aequalia; ergo <etc.>
Probo antecedens: primo enim vasa sunt posita ejusdem ponderis; aqua autem aequaliter premit fundum unius atque alterius et in utroque tali modo ut si totum vas descenderet, aquae gravitatio totum suum finem consequeretur; ergo etc.

  Hoc posterius probo: si enim descenderet, verbi gratia, vas per unum minimum imaginabile, aqua ex q descenderet versus partem s, et iterum versus C, ut impleret locum relictum a corpore fixo E, sicque moveretur per celeritatem 1½. Item aqua in r per celeritatem etiam 1½. Quod aequipolleret celeritati trium punctorum m, n, o in vase altero, quorum unumquodque descendit per celeritatem 1.


  Denique totum vas B non tantum gravitat quam vas C, etiamsi aqua fundum utriusque aequaliter premat. Si enim imaginetur vas B descendere, suum finem plane aqua non consequetur, ut faciet in vase C. Tunc enim descendet tantum aqua in loco f per celeritatem unius, quae tamen premit fundum ut tria, atque eadem est eorum duorum differentia qualis est illius qui, in navi existens, baculo sive conto nautico alteram ejusdem navis partem propelleret, et illius qui conto littus ipsum vel corpus aliquod aliud a navi separatum pulsaret; hic enim navim moveret, alter nullo modo. Quod tam perspicuum est ut erubescam me nudius tertius *) illud non advertisse. Hae quae jam scripsi, non solum ut tibi aliquod monimentum mei relinquerem, sed etiam dolore et iracundiâ motus, quod nuper rem adeo facilem ex tempore non potuerim explicare, nec quidem concipere.


*)  Renvoi à des entretiens de la veille, comme ci-après p. 55 à ceux de l'avant-veille.   «   «   «
[ Drie verwijzingen naar mondeling overleg. ]



[ 56 ] [ v ]

Compendium Musicae

  [ Descartes gaf zijn Compendium Musicae als nieuwjaarsgeschenk voor 1619 aan Beeckman [<]. Deze liet het later kopiëren, en hij nam het op in zijn 'boek'. De kopiist (dezelfde als van de vorige stukken) liet de achternaam weg, terwijl Beeckman geschreven had [<] deze juist via dit geschrift vernomen te hebben; deze vulde dan ook aan: Du Peron sive Des Chartes.
De tekst is elders beschikbaar°), en hier volgt alleen het eind, dat van persoonlijke aard is: het stuk was niet voor andere ogen bedoeld.]

  Descartes offrit encore à Beeckman, pour ses étrennes de 1619, le Compendium Musicae qu'il avait composé à la fin de 1618*). Plus tard, vers 1626, Beeckman fit copier l'original par le copiste de la main gothique qui avait déjà transcrit les documents précédents et il l'inséra dans son Journal, où la copie occupe fol. 163recto - 178verso. Comme nous l'avons déjà remarqué le copiste avait mis en haut de la première page: René Isaco Beeckman, sans mentionner le nom de famille de l'auteur; en effet Beeckman avait appris ce nom précisément au moyen de cet écrit [<]. Aussi Beeckman ajouta-t-il avec un signe d'intercalation après René: Du Peron sive Des Chartes, et mit-il encore ensuite à la marge gauche: Musicae Compendium des Cartes.
En supprimant le texte de l'écrit dont on a plusieurs éditions°), nous reproduisons ici seulement la fin très personnelle.


*)  Beeckman semble avoir été en possession de l'écrit lorsqu'il quitta Breda le 2 janvier 1619 [<]. Toutefois, il écrivit dans sa lettre à Mersenne du 1er octobre 1629 [>]: "D. des Chartes, amicus noster, in libello suo quem de Musica conscriptum ad me misit ...".
°)  Cf. t. I, p. xxxviii avec la note 2.  [www.chmtl.indiana.edu (txt AT);  1650, p. 57;  Fr: 1668, fin.]



Musicae Compendium des Cartes
  [...]

  Jamque terram video, festino ad littus; multaque brevitatis studio, multa oblivione, sed plura certe ignorantiâ hîc omitto. Patior tamen hunc ingenij mei partum ita informem et quasi ursae foetum nuper editum, ad te exire, ut sit familiaritatis nostrae mnemosynon, et certissimum mei in te amoris monimentum: hac tamen, si placet, conditione, ut perpetuo in scriniorum vel Musaei tui umbraculis delitescens, aliorum judicia non perferat. Qui, sicut te facturum mihi polliceor, ab hujus truncis partibus benevolos oculos non diverterent ad illas, in quibus nonnulla certe ingenij mei lineamenta ad vivum expressa non inficior; nec scirent hic inter ignorantiam militarem ab homine desidioso et libero, penitusque diversa cogitante et agente, tumultuose tui solius gratiâ esse compositum.

  Bredae Brabantinorum, pridie Calendas Ianuarias. Anno MDCXVIII completo.


[ Ned. (vert. J. H. Glazemaker, 1661), p. 45-6:]
  Ik zie nu lant, en spoed my naar de strant. Ik sla veel over om kort te zijn, en veel uit vergetenheit, en noch meer uit onkunde. Ik lijd nochtans dat deze vrucht van mijn vernuft, dus wanstaltig, en gelijk het jong van een beer, onlangs geworpen, voor u verschijnt, op dat het een pant van onze vrientschap, en een zeer zeker gedenkteeken van mijn liefde tot u zou zijn, doch echter, zo 't u belieft, met deze voorwaarde, dat het, eeuwiglijk in de schaduw uwer koffers en kassen verborgen, d'oordelen van anderen niet behoeft uit te staan, die, gelijk ik vertrou dat gy doen zult, hun ogen niet jonstelijk van des zelfs kreupele of verminkte delen naar de genen zouden keren, in de welken (ik wil 't niet ontkennen) enige trekken van mijn vernuft naar 't leven uitgedrukt zijn, en die ook niet zouden weten dat het onder een oorlogsche onkunde van een onbekommert en ledig man, en die geheellijk iets anders denkt en doet, met 'er haast, en alleenlijk u te geval, gemaakt is.



Brieven

Journal, fol. 287v. *)

René Descartes à Breda, à Isaac Beeckman, à Middelbourg.
24 janvier 1619.

  Et acceptae et expectatae mihi fuerunt tuae litterae°), gavisusque sum primo intuitu cum Musicae notas inspexi: quo enim pacto et memorem mei clarius ostenderes? Aliud autem est quod etiam expectabam et praecipue quid egeris, quid agas, ut valeas. Neque enim scientiam solam, sed te ipsum mihi curae esse debuisti credere; nec ingenium solum, etiamsi pars sit maxima, sed hominem totum.

  Quod ad me pertinet, desidiosus meo more, vix titulum libris, quos te monente scripturus sum, imposui. Neque tamen me ita desidiosum existimes, ut plane tempus inutiliter conteram; imo nunquam utilius, sed in rebus quas ingenium tuum, altioribus occupatum, haud dubie contemnet et ex edito scientiarum coelo despiciet, nempe in pictura, architectura militari et praecipue sermone Belgico, in quo quid profecerim, brevi visurus es; petam enim Middelburgum, si Deus sinat, quadragesima ineunte.+)


[ *)  Cf. www.chmtl.indiana.edu, aussi pour: Descartes à Beeckman de 26 mars, 20, 23 et 29 avril 1619; Beeckman à Descartes, 6 mai 1619.]
°)  Lettre perdue de Beeckman, comme les autres qu'il écrivit à Descartes. Cf. t. I, p. 269 [Musica].
+)  Le mercredi des cendres, premier jour du Carème, tomba cette année le 14 février. Il n'apparait pas que le projet de Descartes fut exécuté; toutefois il est bien remarquable que nous n'ayons pas de lettres échangées entre les deux amis pendant un assez long laps de temps (24 janvier-26 mars 1619).
[ 26 mars: "quod tibi discedens dicere non potui. Ante sex dies huc redij", "Vlessigam ... Middelburgo exiens".
T. 1, p. XII: "N'ayant pas trouvé Beeckman à Middelbourg, en mars 1619, - ce dernier étant alors à Dordrecht, à Rotterdam et à Leyde - Descartes prit congé de lui par des lettres datées d'avril 1619".
T. 1, p. 280: 2 mars, Middelburg; 7 mars (s.l.); p. 281: "De schippers seggen"; 22 mars, Dordrecht; 25 mars, Rotterdam; p. 282: Leiden; et p. 283: Middelburg, 2 avril.]

[ 57 ] [ v ]
Vocis unius omnes saltûs in musicâ an per exactas consonantias.*)

muzieknoten
A 80, C 108, D 240
ab 80 ad 108 est quarta cum uno schismate

  Quod ad tuam quaestionem spectat, ipse solvis, nec meliùs potest. Unum autem est quod, opinor, non satis meditatè scripsisti: nempe omnes saltùs in unicâ voce fieri per consonantias exactas. Distet enim nota A à notâ D intervallo unius quintae; necessariò distabit à C spatio unius quartae non perfectae, sed quae deficiat uno schismate, ut demonstratur ex numeris appositis°); quibus si utaris, facillimè cujuslibet toni exactam quantitatem invenies.
Neque dixeris debere potiùs inter A et D esse quintam imperfectam, ut A, C sit vera quarta et exacta; meliùs enim dissonantia adverteretur in tonis qui simul emitti debent, quàm in ijs qui successivè. Quos existimo, saltem in vocali musicâ et mathematicè eleganti, nunquam ab uno consonantiae termino ad alium immediatè pervenire, sed vehi suaviter per omne medium intervallum; quod impedit ne unius schismatis exiguus error distinguatur. [<]
Idque me notasse memini in ijs quae de dissonantijs antè scripsi+); ad quae si diligenter advertas et ad reliquam meam Musicam, invenies omnia quae de consonantiarum, graduum et dissonantiarum intervallis annotavi, mathematicè demonstrari, sed indigestè et confusè nimiumque breviter explicata.

  Sed de his hactenus. Aliàs plura. Interim me ama, et certum habe me Musarum ipsarum potius quàm tui obliturum. Sum enim ab illis tibi perpetuo amoris vinculo coniunctus.

  Bredae, 9o Kal. Feb. 1619. DU PERRON.  

(Het opschrift was)

    A Monsieur
  Monsieur Isaack Beeckman
Docteur en medicine à Middelb.


*)  Beeckman, écrit plus tard en marge.
°)  Cf. aussi la souscription de la figure. La corde étant divisée en 540 parties égales, les nombres de la figure désignent le nombre des parties qui appartiennent au son indiqué. Cf. le Compendium Musicae, Oeuvres, ed. cit., t. X (1908), p. 127 [fig. p. 126].
+)  Cf. le chapitre de Dissonantijs du Compendium Musicae de Descartes (Oeuvres, ed. cit., t. X (1908), pp. 127-131).



[ 58 ] [ v ]
Journal, fol. 288r-v.

René Descartes à Breda, à Isaac Beeckman, à Middelbourg.
26 mars 1619.

  Licebit saltem, opinor, vale mittere per epistolam, quod tibi discedens dicere non potui. Ante sex dies huc redij, ubi Musas meas diligentiùs excolui quàm unquam hactenus. Quatuor enim à tam brevi tempore insignes et planè novas demonstrationes adinveni, meorum circinorum adjumento.

Cossica quaedam Des Cartes.

  Prima est celeberrima de dividendo angulo in aequales partes quotlibet.

[ 59 ] [ v ]
Tres aliae pertinent ad aequationes cubicas, quarum primum genus est inter numerum absolutum, radices et cubos, alterum inter numerum absolutum, quadrata et cubos, tertium denique inter numerum absolutum, radices, quadrata et cubos. Pro quibus tres demonstrationes repperi, quarum unaquaeque ad varia membra est extendenda propter varietatem signorum + et −; quae omnia nondum discussi, sed facilè, meo judicio, quod in unis repperi, ad alia applicabo.
Atque hac arte quadruplo plures quaestiones et longè difficiliores solvi poterunt quâm communi Algebrâ; tredecim enim diversa genera aequationum cubicarum numero*), qualia tantùm sunt tria aequationum communium, nempe inter  1x kwadraat et  ox + o N,  vel  oxo N,  vel denique  o Nox.°)
Aliud est quod jam quaero de radicibus simul ex pluribus variis nominibus compositis extrahendis +), quod, si reperero, ut spero, scientiam illam planè digeram in ordinem, si desidiam innatam possim vincere et fata liberam vitam indulgeant.


*)  Il s'agit des équations: ± a ± bx = x3,  ± a ± bx2 = x3  et  ± a ± bx ± cx2 = x3,  a, b, c étant des quantités positives. Quand on combine les signes + et − on obtient seize cas. 
Il faut exclure les cas  −a − bx = x3,  −a − bx2 = x3  et  −a − bx − cx2 = x3  qui ne vérifient aucune racine positive.

°)  Pour les signes cossiques, cf. t. I, pp. 5-6. Descartes parle ici des équations du second degré: 
x2 = ax + b,  x2 = ax − b  et  x2 = b − ax,  auxquelles il n'ajoute pas  x2 = −ax − b,  puisqu'elle a des racines négatives ou imaginaires et fut regardée par conséquence impossible.

+)  Het gaat om veeltermen van de vorm  a + √b + √c + ....


Ars generalis ad omnes quaestiones solvendas quaesita.

  Et certè, ut tibi nudè aperiam quid moliar, non Lullij Artem brevem*), sed scientiam penitus novam tradere cupio, quà generaliter solvi possint quaestiones omnes quae in quolibet genere quantitatis, tàm continuae quàm discretae, possunt proponi.
Sed unaquaeque juxta suam naturam: ut enim in Arithmeticâ quaedam quaestiones numeris rationalibus absolvuntur, aliae tantùm numeris surdis°), aliae denique imaginari quidem possunt, sed non solvi, ita me demonstraturum spero, in quantitate continuâ, quaedam problemata absolvi posse cum solis lineis rectis vel circularibus; alia solvi non posse nisi cum alijs lineis curvis, sed quae ex unico motu oriuntur, ideòque per novos circinos duci possunt, quos non minus certos existimo et geometricos quàm communis quo ducuntur circuli; alia denique solvi non posse nisi per lineas curvas ex diversis motibus sibi invicem non subordinatis generatas, quae certè imaginariae tantùm sunt: talis est linea quadratrix, satis vulgata.
Et nihil imaginari posse existimo, quod saltem per tales lineas solvi non possit, sed spero fore ut demonstrem quales quaestiones solvi queant


*)  Raymond Lulle (environ 1232-1315) croyait avoir découvert une méthode logique, qu'il appela scientia generalis et qui devait compléter l'idéologie commune des scolastiques. Ses procédés automatiques attiraient l'attention de tous ceux qui cherchaient à édifier la philosophie suivant une méthode déductive et mathématique. Pour ce système, discuté auparavant entre Beeckman et Descartes, cf. ci-après pp. 63 et 64-65.
[ °)  Nombres irrationels (Lat. 'surdus': cf. nth root, 'surd'). Stevin, L'Arithmetique (1585), p. 33: "racine quelconque est nombre".]

[ 60 ] [ v ]
hoc vel illo modo et non altero, adeò ut penè nihil in Geometriâ supersit inveniendum. Infinitum quidem opus est, nec unius. Incredibile quàm ambitiosum, sed nescio quid luminis per obscurum hujus scientiae chaos aspexi, cujus auxilio densissimas quasque tenebras discuti posse existimo.

Peregrinatio Des Cartes praeconcepta.

  Quod ad meas peregrinationes attinet, nupera fuit felix, eòque felicior quò visa est periculosior, praesertim in discessu ex vestrâ insulâ. Nam prima die Vlessigam redij, cogentibus ventis; sequenti verò die, perexiguo conscenso navigiolo, adhuc magis iratum mare sum expertus, cum majori tamen delectatione quàm metu. Probavi enim me ipsum et marinis fluctibus, quos nunquam antea tentaveram, absque nauseâ trajectis, audacior evasi ad majus iter inchoandum. Nec subitanei Germaniae motûs institutum meum mutarunt, tamen detinent aliquandiu.*)
Non enim ante tres hebdomadas hinc discedam, sed spero me illo tempore Amsterodamum petiturum, inde Gedanum, postea per Poloniam et Ungariae partem ad Austriam Bohemiamque perveniam, quae via certè longissima est, sed meo judicio, tutissima. Praeterea famulum mecum ducam et fortasse comites mihi notos; quod scribo ne pro me metuas, quia diligis. Pro certo autem ante decimum quintum Aprilis hinc non discedam.
Ipse videris utrum ante illud tempus à te possim habere litteras; alioqui enim accepturus non sum fortè à longo tempore. Quod si scribas, de Mechanicis nostris mitte quid sentias et utrum assentiaris mihi.


*)  Il s'agit de la guerre commencée entre la Bohème et l'Autriche au printemps de 1618 ....
[Oeuvres, T. 10 (1908), p. 158n: Keizer Matthias was kinderloos overleden op 20 maart 1619.]



Oost ende West te seylen a Des Cartes inventum.

  Cogitavi etiam, Middelburgo exiens, ad vestram navigandi artem [<], et reverâ modum inveni quo possem, ubicunque gentium deferrer, etiam dormiens et ignoto tempore elapso in meo itinere, ex solâ astrorum inspectione agnoscere quot gradibus versus Orientem vel Occidentem ab aliâ regione mihi notâ essem remotus. Quod tamen inventum parum subtile est, ideòque difficulter mihi persuadeo a nemine hactenus fuisse excogitatum, sed potiùs arbitrarer propter usus difficultatem fuisse neglectum. In instrumentis enim ad id utilibus, unus gradus major

[ 61 ] [ v ]
non est quàm duo minuta in alijs instrumentis, ad altitudinem poli indagandam; ideòque tam exacta esse non possunt, cùm tamen etiam Astrologi minuta et secundas, atque adhuc minores partes, instrumentis suis metiantur. Mirarer profecto, si nautis talis inventio videretur inutilis, in quâ aliud nullum occurrit incommodum.
Ideòque scire vellem exactiùs utrum simile quid non sit inventum; et si scias, ad me scribe: excolerem enim confusam adhuc in cerebro meo speculationem illam, si aeque novam suspicarer atque certa est.

  Interim me ama, vive feliciter et vale. Adhuc a me litteras accipies ante discessum.


  Bredae Brab., 7o Kal. Aprilis.
Tuus si suuus   
DU PERRON.  

(het opschrift was:)
    A Monsieur
  Monsieur Isaac Beeckman
Docteur en medecine,
in de Twe Hanen by de Beestemarckt
    à Middelburgh.


Journal, fol. 290v.

René Descartes à Breda, à Isaac Beeckman, à Middelbourg.
20 avril 1619.

  Nolui hunc nuntium ad vos mittere sine litteris, etsi jam multa scribere non vacet. Sed peto saltem ut <per> hunc, qui famulus est meus, ad me rescribas: ut vales, et quid agis, utrum in nuptijs adhuc*), sed jam non alienis°), sis occupatus? Hinc discedam die Mercurij proximâ +), statim atque istinc nuntius ad me redierit. Plura scripsi ante tres hebdomadas.

  Vale et me ama.

  Bredae Brabant., 12 Kal. Maij 1619
Tuus aequè ac suus  
DU PERRON  


*)  Comme Beeckman l'avait noté (t. I, p. 228) il était venu à Bréda, vers le milieu d'octobre 1618, sans doute pour rencontrer la fille de sa prédilection, et Descartes semble l'avoir su. A la date présente Beeckman pensait à Middelbourg à un mariage. Or ses relations personnelles avec la fille en question furent interrompues depuis son départ pour Utrecht en novembre 1619 jusqu'à son mariage à Middelbourg, le 20 avril 1620, avec Cateline de Cerf. Ces remarques semblent confirmer notre hypothèse qu'il a agi bien de sa femme future pendant le séjour à Bréda (cf. t. I, p. X).
°)  Sans doute le mariage de Jacob Beeckman (cf. ci-dessus p. 58). Beeckman semble s'être très occupé de ce mariage de son frère.
+)  C'est à dire le 24 avril 1619. En effet Descartes s'embarqua à Amsterdam le 29 avril (cf. ci-dessous p. 64).

[ 62 ] [ v ]
(het opschrift was:)
    A Monsieur
  Monsieur Isaac Beeckman,
in de Twee Haenen by de Beestemarckt
    à Middelb.


Journal, fol. 290r.

René Descartes à Breda, à Isaac Beeckman, à Middelbourg.
23 avril 1619.

  Accepi tuas litteras penè eâdem die quâ scriptae sunt, noluique hinc discedere quin semel adhuc epistolâ duraturam inter nos amicitiam renovarem. Ne tamen jam aliquid à Musis nostris expectes; jam enim peregrinatur animus, dum me ad viam die crastinâ ingrediendam accingo. Adhuc incertus sum
quo fata ferant, ubi sistere detur.*)
Nam belli motûs nondum me certò vocant ad Germaniam, suspicorque homines quidem in armis fore multos, praelium fore nullum. Quod si ita sit, interim in Daniâ, Poloniâ et Hungariâ spatiabor, donec in Germaniâ vel tutius iter nec a militibus praedonibus occupatum, vel bellum certius possim nancisci.
Si alicubi immorer, ut me facturum spero, statim tibi polliceor me Mechanicas vel Geometriam digerendam suscepturum, teque ut studiorum meorum promotorem et primum authorem amplectar.

Des Cartes de me.

  Tu enim revera solus es, qui desidiosum excitasti, iam è memoriâ penè elapsam eruditionem revocasti, et à serijs occupationibus aberrans ingenium ad meliora reduxisti. Quod si quid igitur ex me fortè non contemnendum exeat, poteris jure tuo totum illud reposcere; et ipse ad te mittere non omittam, tum ut fruaris, tum ut corrigas.

Oost ende West non inventum.

Ut nuperrimè de eo quod ad te circa rem nauticam scripseram, quod idem, quasi divinus, ad me misisti: eadem enim est tua illa de Lunâ inventio [<]. Quam tamen quibusdam instrumentis facilitari posse arbitrabar, sed perperam.

  Quod ad caetera quae in superioribus me invenisse gloriabar, verè inveni cum novis circinis, nec decipior. Sed membratim non ad te scribam, quia integrum opus hac de re meditabor aliquando, meo judicio novum, nec contemnendum. Jam autem ab uno mense non studui, quia scilicet ingenium illis inventis ita


*)  Vergilius, Aen., Lib. III, 7.

[ 63 ] [ v ]
exhaustum fuit, ut ad alia, quae adhuc quaerere destinaveram, invenienda non suffecerit. Sufficiet autem ad memoriam tui perpetuò conservandam.

  Vale.
9o Kal. Maij 1619
Tuus aeque ac suus  
DU PERRON.  

(het opschrift was:)
    A Monsieur
  Monsieur Isaac Beecman,
in de Twee Haenen, by de Beestemarckt,
  à Middelborgh.


Journal, fol. 289r.

René Descartes à Amsterdam, à Isaac Beeckman, à Middelbourg.
29 avril 1619.

  Nolo ullam ad te scribendi occasionem omittere, ut et meum erga te effectum atque recordationem nullis viae occupationibus impeditam, demonstrem.

Lullij ars.

  Repperi nudius tertius eruditum virum in diversorio Dordracensi, cum quo de Lullij Arte parvâ*) sum loquutus: quâ se uti posse gloriabatur, idque tam feliciter ut de materiâ quâlibet unam horam dicendo posset implere, ac deinde, si per aliam horam de eâdem re agendum foret, se planè diversa à praecedentibus reperturum, et sic per horas viginti consequenter. Utrum credas, ipse videris. Senex erat, aliquantulum loquax, et cujus eruditio, utpote à libris hausta, in extremis labris potiûs quâm in cerebro versabatur.

  Inquirebam autem diligentiùs utrum ars illa non consisteret in quodam ordine locorum dialecticorum unde rationes desumuntur; et fassus est quidem, sed addebat insuper nec Lullium nec Agrippam°) claves quasdam in libris suis tradidisse, quae necessariae sunt, ut dicebat, ad artis illius aperienda secreta. Quod illum certè dixisse suspicor, ut admirationem captaret ignorantis, potiùs quâm ut verè loqueretur.

  Vellem tamen examinare, si haberem librum; sed cùm tu habeas [>], si vacet, examina, quaeso, et scribe utrum aliquid ingeniosum in arte illâ reperies. Tantum ingenio tuo fido, ut certus sim te facile visurum qualia illa sint, si quae tamen


*)  De Ars brevis, zie p. 59 hierboven, en T. I, p. 294.
°)  Het aantal Commentaren op de Ars generalis van Llull is groot, maar aan Io. Henr. Alstedius is te danken een Clavis artis Lullianae et verae Logicae (Argentorati, 1609), in-8o.

[ 64 ] [ v ]
sint, omissa illa puncta ad aliorum intelligentiam necessaria, quae claves vocat. Atque haec ad te scribere volui, ne unquam de eruditione tecum non loquar, quia postulas. Quod si idem à te exigam, ne graveris, si placet.

  Hodie navim conscendo, ut Daniam invisam; ero aliquando in urbe Coppenhaven, ubi à te litteras expecto. Singulis enim diebus hinc eo naves exeunt, et licet hospitij mei nomen ignores, tamen ita diligens ero ad inquirendum utrum ad me qui nautae litteras ferant, ut amitti in vià <non> facile possint. Cura, quaeso, reddi statim litteras meas his adjunctas Petro van der Mereck*). Nec tamen plura, nisi ut me ames et sis felix.

  Vale.

Amsterodami, 29 Aprilis 1619.
Tuus si suus
DU PERRON.

(het opschrift was:)
    A Monsieur
  Monsieur Beecman,
Docteur en medecine
    à Middelb.


Journal, fol. 289v.

Isaac Beeckman, à Middelbourg, à René Descartes, à Copenhague.
6 mai 1619.

  Accepi tuas litteras inclusasque tradidi Petro van der Marckt*), sicut ad me scripseras. Quanquam autem nihil est quod tibi respondeam, ut tamen scias me tuas accepisse, haec pauca addidi.

Lullij ars.

Scribis te Dordraci doctum hominem reperisse, quem tamen postea nolis doctum dici ob unicam cognitionem artis Lullianae, quam prae se ferebat. Rogas me ut Commentaria Agrippae diligenter evolverem atque claves quas vocabat senex tuus, expiscarer, quibus ars illa aperitur ab Agrippâ aut ipso Lullio, arti huic non adjunctas, ne quis temerè ejus peritus foret; adeò enim fidis ingenio meo, ut me, si quid in hac arte lateat, non possit latere volentem diligentiùs Commentarijs incumbere. Ac certè tibi obtemperarem, amico meo non vulgari, nisi temporis angustia id prohiberet. Vereor enim ne tam diù possis morari à


*)  Pieter van der Merckt ... (1587-1625) ... Middelbourg ... armateur de vaisseaux, apportant le vin de Poitou; il s'agit probablement dans le texte ci-dessus d'une lettre de change.

[ 65 ] [ v ]
Coppenhagen, cùm litterae saepiùs in viâ diù haereant antequam ad locum quo missae sunt, perveniant.

  Ad haec, nisi mihi planè exciderit quod ante aliquot annos hac de re conceperam ex superficiariâ lectione horum Agrippae Commentariorum, non sunt claves hae longè petendae; ex ipso enim Agrippâ, si nuper voluisses, ipse ad-amussim eas percepisses.
Nam omnia quae sunt, dividit in generales locos, hosque singulos iterum subdividit in alios, adeò ut nihil rei cogitari possit, quin in hisce circulis [<] generaliter et specialiter non contineatur; tandem diversorum circulorum locos sibi mutuô per litteras conjungit. Atque ita, quâvis re propositâ, per combinationem omnium terminorum protrahi poterit tempus dicendi ad infinitas paene horas; sed necesse est dicentem multarum rerum esse peritum, ac diutiùs loquentem multa ridicula et ad rem parum facientia dicere, ac demum totaliter phantastam fieri totamque mentem adeò characteribus litterarum affigere, ut vix aptus sit ad solidi quid meditandum.

  Haec hac de re sufficiant, nisi tu aliud quid velis. Det Deus, ut aliquamdiù unâ vivamus, studiorum campus ad umbilicum usque ingressuri*). Interim valetudinem tuam cura, atque esto prudens in toto itinere tuo, ne solam praxim eius scientiae quam tanti facis, videaris ignorare. Memento mei tuaeque Mechanicae conscribendae; soles enim promissis tuis examussim stare, praesertim ijs quae litteris mandasti. Utinam ijsdem et tempus credidisses! Versaris jam in urbe praecipuâ ejus regni; vide ne quid sit scientiae quod non examines, aut vir doctus quem non convenias, ne quid boni in Europâ te lateat, aut potiùs ut rationem tui ad reliquos doctos intelligas. Ego valeo.

  Pridie Nonarum Maij 1619, stylo novo.

  Venit huc è patriâ tuâ Gallus quidam elegantissimas artes publicè professus, fontes perpetuò ab eâdem aquâ salientes, bellica, medica, rei familiaris augmentum in pane multiplicando, cùm ipse foret rerum omnium egenus. Hunc conveni et examini subjectum; omnium rerum ferè ignarum comperi, etiam eorum quae profiteretur. Itaque hîc rem non faciet estque ad borealiores relegandus, ubi crassa ingenia deceptionibus magis patent.°)

Tuus ut suus      
ISACK BEECKMAN
(het opschrift was)
    A Monsieur
  Monsieur René Du Perron
estant in Denemarcken
    Coppenhaghen.
port.


*)  Les deux amis ne se rencontraient de nouveau qu'en octobre 1628.
[ °)  Zie over dit postscriptum: Klaas van Berkel, Isaac Beeckman on Matter and Motion. Mechanical Philosophy in the Making, Baltimore 2013, p. 27:]
Was this simply a nice story, or a warning disguised as a joke ... Or was this a fictional version of Beeckman's true impression of Descartes? Although it is hard to imagine that Beeckman meant it this way, Descarte would have viewed the story as an unexpected and painful rebuke by someone whom he regarded as a trusted friend. But ... we are not sure that Descartes actually received this letter, so further speculation is best left to others.




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