Beeckman | < Journaal > | Index

Descartes , kaarsen , zweven , studie , temperament , muziek , atomen , geluid ,
Aarde , snaar , val , komeet , botsing


Isack Beeckman - 1618 L c

C. de Waard, Journal tenu par Isaac Beeckman de 1604 à 1634

Tome I: 1604 - 1619



[ 237 ]  [ Fol. 97v ]     11 november 1618

Descartes

Angulum nullum esse male probavit Des Cartes.

[v]     Nitebatur heri, qui erat 10 Nov., Bredae Gallus Picto*) probare nullum esse angulum revera, hoc argumento:

hoek in 3 delen verdeeld     Angulus est duarum linearum concursus in uno puncto, ut ab et cb in puncto b. At si seces angulum abc per lineam de, divides punctum b in duas partes, ita ut ejus dimidium ab adjungatur, alterum dimidium bc. Quod est contra puncti definitionem, cui pars nulla.°)

    At ille punctum sumpsit pro reali magnitudine, cum punctus nihil aliud sit quam extremitas lineae ab et cb. Nec totum complet punctus, ita ut mille puncti possent esse eodem loco. Linea igitur de transit per punctum quidem b, sed non id secat, verum totum complet, cum linea non sit lata. Quare punctum aliquod in linea de eodem in loco est quo punctum b. Tale etiam punctum est in fg. [Fol. 98r] Non igitur lineae fg, de, secantes angulum, minuunt lineas ab et cb, ut fit cum serra quid secamus, sed solummodo separant unam ab alia.


    *)  René Descartes (1596 - 1650) kwam uit de Poitou, en had na zijn rechtenstudie in Poitiers dienst genomen in het Staatse leger. Tijdens het Bestand had dit niet veel te doen, en hij vond in Beeckman iemand die Latijn sprak, misschien bij een op straat aangeplakt wiskundeprobleem [zie: van Berkel 1983, 43-; Lipstorp (1653, p. 76-77): IV, 287; Baillet 1691, I, 43]. Vgl. zijn notities uit deze tijd: Parnassus.   [>]
    °)  Euclides Elem., Lib. I, Def. 1.


Astrologie

Astrologiae judicariae exemplum.

    Astrologiae judicariae mirum in modum auget quod Thuanus [<] refert Histor. Lib. 15 [^] pontificis Cervini patrem filio ex astris praedixisse pontificatum, quod in libro geniturarum Lucas Gauricus triennium antequam Cervinus pontifex renuntiaretur, Venetis apud Curtium Trojanum publicato, prodidit [^]. Cervinus tamen tantum 22 dies pontificatum tenuit.
[ 238 ]  [ Fol. 98r ]

Kaarsen

Candelarum scintillatio unde oriatur.

    Scintillant candelae aliquando, quandoque vero non. Non scintillant si juxta ignem loco calido ardeant; eaedem in aere frigido scintillant. Non scintillant si consclusae sint loco parvo, ad cujus parietes reflectuntur ardentque clarius ac apud ignem, citiusque consumuntur. Iterum non adeo scintillant inflexae ita ut candelae sint horisonti parallelae; magnae magis scintillant parvis. Duae candelae quae singillatim non scintillant, invicem conjunctae ut flammae motum tangant, scintillabunt clariusque lumen praebebunt quam si utraque simul ab invicem separata arderet. Fit etiam ut una magis quam alia scintillet, his omnibus paribus, quod fieri necesse est propter diversam saebi substantiam, ex quibus constant. Proinde lumina ex oleo constantia, nunquam vidi scintillare.

    Horum omnibus apparentibus, talis 'hupothesis' invenienda ex qua singula haec necessario inferri possint, id est positâ eâ hypotesi, se aliter ponere nequeant.

    Dico ergo aerem esse partem pabuli luminis, non tamen ut quid lucis praebeat oculosque ingrediens visum moveat. Id idem illius saebi attenuati officium esse puto, sed saebum non potest commode attenuari absque aere fitque aeri flabelli loco facitque ut partes satis apte distent. Cumque aer revera sit venti materia anteaque saepe probatum sit habere eam naturam dissiliendi et se contrahendi [<], mixtus cum flamma, et etiam attenuatus, disjicit se. Occurrent partibus saebi attenuatis; etiam eas disjicit, atque ita causa est, quod longe ignis tendat, inque reliquum saebum, necdum attenuatum, ingrediatur idque demum etiam accendat. Hujus operis enim defectu laborans, flamma, undique conclusa, extinguitur, consumpto intus omni aere. Necesse igitur est aerem intra flammam undique vagari, quod commode fieri nequit, eo frigido, atque ob id denso, existente, ideoque loco calido. Et ubi aer circumpositus reflectione attenuatus est, clarius ardent candelae, utpote ingrediente multo facilius aere tenui totam flammam, et ingresso eam magis flabellante.

[ 239 ]
    Aer vero densus magnis guttis ingreditur, flammâ per minima non [Fol. 98v] mixtis; quas dum flamma attenuat sibique per omnia miscet, non eget novo aere, quia hic, jam attenuatus, etiam minus est, quia magnae guttae semper plus corporeitatis continent quam earum superficies prae se ferebant. His autem guttis jam attenuatis, momento cum flamma aucta dilapsis, eget quidem flamma novo aere; sed antequam is prae densitate penetrat, jam flamma concidit, aut etiam pluri saebo eo momento consumpto quam tam cito ascendere potuerit.

    Unde fit inflexam candelam non scintillare quia in ea saebum non ascendit, sed duntaxat parallele horisonti movetur, eoque modo nullo negotio ad flammam attrahitur. Parva flamma habet magnam superficiem respectu corporeitatis ideoque aer, totam superficiem contingens, eam facilius moderatur et fovet. Cum enim multas habeat vias, per quas ingrediatur, spaciumque parvum implendum, verisimile nunc est per unamquamque viam parvas tantum guttas ingredi. Nam si magnae ingredirentur spacium, repleretur per aliquot tantum vias, cum omnes viae tamen aliquid tribuant. Cum igitur in magna flamma paucae sint viae, necesse est guttas esse majores per singulas vias intrantes, ut spacium magnum impleatur. Hîc rursus inflexa candela, aerem facilius ad funem (ubi potissimum opus peragitur) recipit, flammâ sursum tendente et fune subtus pauco solummodo igni tecto, ita ut ab aere facile contingi et foveri possit, vijs brevibus existentibus.

    Flammae duae conjunctae sunt magna flamma fitque major conjuncta quam aequalium alterius dupla, quia multae particulae, quae in solitarijs disjectae peribant, jam propter vicinitatem et viae commoditatem (utpote flammâ flammam penetrante) etiam in altera candela aliquid operis efficiunt, eo modo quo duo ligna melius et citius consumuntur conjuncta quam separata. Sic etiam ignis crescit ubi particulae flammae idoneae materiae occurrunt.

    Oleum et saebum liquidius non scintillat, forsitan propter occultam aliquam pororum in flammis cum aere convenientiam, quam aptius foventur. Hac diversitate materiae fit, ut eodem numero candela, eodem loco et tempore anni, hoc momento scintillat, alio non. Itaque fere semper vicissim fit quies et scintillatio ob partes diversas substantiae in eadem candela.   [>]

[ Ned. ]

[ 240 ]

Kleine ruimte

Candela, cur in parvo loco non scintillet.

    Diximus candelam non scintillare in parvo loco conclusam [<]. Cujus rei ratio etiam esse poterit, quod parum aeris non facile fluctuat. Eget enim flamma eo aere, ita ut ad fluctuandum parum restet occupanturque viae ad novum aerem introducendum. Fluctuat aeque ac maria Mediterranea paucaque aqua; et fluvius aquaque, versus unam aliquam partem plenâ viâ semper fluens, minus turbatur quam stagnum, caeteris paribus.   [>]
[ Ned. ]

[ 242 ]

Ornament

Ornamentum in quibus consistat.

    Si ornandus est aliquis locus supellectile, vel alijs quibusdam ornamentis, respiciendum ad consuetudinem, quae ex legitimo rerum humanarum usu profecta est. Exempli gratia forceps, ignis etc. in foco et circa focum locanda; panis, caro cocta, potus etc. in mensa, non in pavimentis neque in vijs januarum. Rupes absque ulla forma formandae, quia tales revera sunt. Quae vero ad nullum usum neque consuetudinem revocari possunt, ordinanda veniunt secundum proportiones musicas, de quibus alubi [<]. Quod etiam animadvertendum in ijs, quae ad consuetudinem revocantur, quantum consuetudini aut usui non adversantur. Consuetudo et usus semper praeponenda in ijs quae maxime vulgaria, ut ante de formositate dictum est [<]: sequuntur harmonica, quae in ijs optima: pulcherrimis consonantijs constant.
[ Ned. ]

[ 243 ]

Draaien en zweven

Turbo puerorum, id est een worptop, cur erectus stet cum vertitur.
    [...]
[v]     Hinc mihi occasionem dedit Renatus Picto [<,>] cogitandi hominem se posse in aere continere. Si enim insideret vasi rotundo, quod celerrime in girum verteretur instrumentis ad id affabre fabricatis, vel solis manibus homo insidens moveret — quod facile fiet propter parvum obstaculum — vas tarde descenderet, ita ut alio instrumento aer leviter tantummodo pulsus. totum vas attolleret. Homo vero sub vase vel sub centro gravitatis sedeat, ita ut ipse fundo vasis appendeat in medio per lineam unam ferream, ne et ipse cum vase vertatur in gyrum.


Genezen

Temperata an morbos curent.

    Heurnius, Lib. 3 Praxeos, capite 5,*) dicit ventriculum frigidum et jecur calidum temperata juvare, at in eodem capite non concedit morbis mediocribus admodum lenta remedia adhiberi. Quid autem lentius quam frigida temperatis mederi? Cur non igitur exacerbatur, ac si quis majoribus flammis exiguam aquae partem effundat, quas dicit majorem vim concipere?

Venae sectae, unde sanguinem extrahant.

        Ibidem, Cap. 6, libenter rogarem quî in brachio et manu, diversâ venâ secatâ, diversâ sede corporis sanguinem educat cum (sicut memini) omnes hae venae sint propagines unius axillaris. — Den 23 November ibid.
    *)  Ioannis Heurnii [<] Ultraiectini Praxis Medicinae nova ratio (Leiden 1587).


Zachte kaarsen

Candelarum faciendarum ratio.

    Ick heb over een dach 3 oft vier twee speten keersen van tienen tot dat se schier half gemaect waren, sochte gehouden, soo dat se daverden. Dese nochtans en brandeden niet beter dan de andere.   [<]


Onderwerp

Subjectum fit adjunctum et contra.

    Alsmen seyt: "korckmes" is "mes" subjectum, quia cultri differentia aliqua statuitur; "meskorck" is "korck" subjectum, omdatter van een onderscheyt tusschen korck en korck gesproocken wort, also dat "mes" van het korck geseyt wort, en niet "korck" van het mes*). Hîc vides subjectum fieri adjunctum et contra. Sic Cicero: "Quis filium meum alligavit ensi", hîc "ensis" subjecum est. Sic: "Ic heb den jonge in de broec gesteken", hier is "den jongen" adjunctum. Hoc fit pro diverso respectu imaginationis vel usûs loquentis. Sic 'hudromeli', waterhonich, alsmen rekent, dat het water by den honich gedaen wort en den honich den basis vant medicament is, maer "honichwater" als het water den basis is.

Efficiens non fit effectum eodem respectu.

    Paulo aliter cum efficiente et effecto agitur. Dicimus enim: "Die man heeft dat huys gemaect", en "Dat huys heeft hem een man gemaeckt". Hîc autem efficiens idem, secundum idem nunquam fit effectum; illic vero subjectum idem et secundum idem fit adjunctum. At non eodem respectu, want "het huys heeft hem gemaect" secundum divitias vel artem quae non habebat, at ipse fecit domum per vel secundum divitias, vel artem quae habebat.
    [ *)  Stevin gaf 'corckmes' als voorbeeld van een samengesteld woord (Eertclootschrift, 39).]
    [ °)  Macrobius, Saturnalia, 2, 3: "Quis generum meum ad gladium alligavit?". Uitspraak van Cicero bij het zien van zijn schoonzoon, die klein van gestalte was, met een lang zwaard. In de zin van: "zwaard, waar ga je met die jongen naar toe?"]
[ Ned. ]

[ 244 ]     23 nov. - 26 dec. 1618

Resonantie

Chordae majores, intactas minores et consonantes, tactae movent.

    Observavit Renatus Picto [<] cordas testudinis inferiores, id est bassiores, pulsas, movere evidenter ipsis consonantes acutiores; acutioribus vero pulsis, graviores non ita evidenter moveri [<]. Quod infertur ex meis hupothesibus [<]: crassiores enim globi, quos graves soni edunt, majoribus intervallis jacti, aptiores sunt tangere fortiterque quicquam impellere.   [>]

Wis- en natuurkunde

Physico-mathematici paucissimi.

[v]     Hic Picto [>] cum multis Jesuitis alijsque studiosis virisque doctis versatus est. Dicit tamen se nunquam neminem reperisse, praeter me, qui hoc modo, quo ego gaudeo, studendi utatur accurateque cum Mathematicâ Physicam jungat*). Neque etiam ego, praeter illum, nemini locutus sum hujusmodi studij.   [<]
    [ *)  Descartes heeft het later over 'Mathematico-physica': IV, 196, 17 okt. 1630.  Vgl. J. L. Heilbron, Electricity in the 17th and 18th centuries (1979), p. 11: "Quantifying physics .. implied a radical readjustment of the divisions of knowledge, including the downgrading of physics from philosophy to applied mathematics. It would be an uncomfortable process."]


Gewoonte

Excretio consueta cur duret.

    Ad Heurnij Cap. 19, Lib. 3 de Praxi: cur consueti semel die exonerare alvum, raro alio tempore coguntur eam exonerare, etc.

    Si intestina interim nullo motu agerentur reliquaque circa ea, fieri nequiret ut compuncta excernerent. At perpetuo actioni incumbunt. Cum suam actionem non absolverint, nec satiata sint, coguntur ita huic actioni incumbere, ut leviter sollicitata ab alia re, ijs sollicitatio tamen consuetorum magis urgeat, ita ut hîc necessitatis sensus levis punctionis vim obtundat.

[ 245 ]

Sexe en temperament

Sexuum et temperamenti ratio.

    Heurnius Lib. 3 Praxeos cap. 21: Mulieres solidae partes (quamvis sanguinem gerant calidiorem) virilibus sunt frigidiores.

    Quod suffragatur Fernelij sententiae*), qui statuit temperamentum non semper humoribus respondere. Fieri igitur poterit ut ego sim frigidus et humidus, et tamen sanguineus.


    *)  Fernelius [<], Physiologiae Libri VII (Frankfurt 1581), Lib. III 'de Temperamentis', cap. 11.


Wormen, wratten, en atomen

Vermium progeneratio ex insensibilitate intestinorum.

    Cur vermes quorundam intestinis aliquando immiscentur?

    Peccatur in rebus naturalibus primo eo modo, ut talis affectus intestinis aliquando introducatur, id est solidae partes talem partium insensibilem dispositionem accipiunt; quae alimenta sugens, se continuare possit sic ut in parte materiae quaedam fiat dispositio praeter naturam atomorum [>], positu parum mutato, quae producit verrucas. Qui atomorum positus sibi quidem similem positum gignit ex alimentis.

Verrucae, vermes, febris &c. cur decrescant.

At quia non omnino similis est, quia res naturales, quae causarunt eum, jam recessere, primum augmentum sumit, ac tandem verruca, atomorum depositu perdito, plane interit, non aliter quam homo et insecta, ex semine et materia peculiari modo disposita, augescunt et tandem moriuntur, quia alimentum non est omnino simile. Eo modo intestina reliquaeque partes concipiunt materiarum quendam positum, aptum ad vermes generandos. Hic positus, ut et vermes, primum quidem incrementum sumit; post vero aboletur, quia non omnino simile in deperditae materiae locum substituitur.

    Sic forsan partes concipiunt aliquando, varijs concurrentibus, talem positum particularum, ut patefaciant bilem, contentum in earum venis, intra duos dies, quae putrefacta concitat febrem biliosam. Tum vero semper statim, propter continuitatem venarum, alia bilis et vasis majoribus succedit, quam iterum partes male dispositae putrefaciunt eodem tempore, fitque febris tertiana intermittens, quae septimo paroxismo desinit. Tribus incrementum sumit vel quatuor paroxysmis; dum viz. crescit dispositio particularum partis solidae, ut ante de homine, insectis, verruca, intestinis et vermibus dictum est.


Mens en dier

Morbi alij hominum quam bestiarum.

    Quibusdam vero febres tertianae, alijs aliud frequentius contingit. Hominibus alij sunt morbi etc. quam bestijs etc., quia particulae harumque compositio variant in unoquoque; ita huic hoc, alij aliud facilius eveniet. Sic enim cubus lusorius, cui plana sex inaequalia, quosdam numeros frequenter, quosdam raro aut nunquam, in conspectum dat. Sic ex quolibet ligno non fit Mercurius, nec navem facies ex charta neque absque clavis etc.
[ 246 ]

Fluit overblazen

Fistula fortius inflata, cur in octavam abeat.

    Dicit dictus Picto [<] se expertum fistulam eandem, majori spiritu inflatam, octavâ altius sonare, neque, vi solâ flatûs, quintâ vel quartâ etc. posse ascendere.

    Nec mirum: cum enim fractio aeris in tales partes, tam tenues, tam crassas, tam veloces, et totidem, proficiscatur a forma fistulae intrinseca, fieri nequit ut, forma ea non mutata, per apertiones foraminis vel alio modo aer aliter frangitur, cum claudatur intra eosdem omnino parietes; sed unamquamque harum partium sola vis in duas partes dividit, cum ea divisio sit facillima, et flatus penetrans partes disjiciensque, nulla ratio sit cur in plures quam in duas unamquamque, omnibus praeter unicam vim se eodem modo habentibus, frangeret.


Luit stemmen

Testudinis (een lute) chordas disponere.

    Dictus Picto [>] mihi dixit testudinem (quam vocant een luyte) hoc pacto disponi:

    De onderste, dat is de fynste, verschilt van syn naeste een quarte; dese van haer naeste ooc een quarte; deese van de vierde oorden van snaren een ditonus. De 4e van de 5e een quarte; de 6e van de 7ste een toon, de 7ste van de 8ste een toon; de 8ste van de 9ste, welc is de dicste, opperste en den leeghsten bas, verschilt een tertia minor.


Harmonie

Harmonia ut mi fa, cur praestet quam ut, fa fa.

    Harmonia trium vocum, ubi extremae per octavam differunt, media vero ad graviorem ditonum sonat, melior est quam ubi media ad graviorem diatessaron sonat. Cum enim illius numeri sunt 4, 5, 8, ultima octies ferit auditum eo tempore, quo prima et inferior seu gravior quater ferit auditusque utramque pro eadem habet: neglegit enim in supremo alternatim unum ictum, ita ut duos pro uno habeat fitque illi cum inferiori unisonus. Quod autem auditus fecit in ultima, id etiam tentat in prima facere negligitque etiam alternatim unum ictum, ita ut in prima voce tantum duos ictus animadvertat, unde fit, ut natura subeat diapason inferioris. Statuitque auditus proportionem inter ultimam et hanc bisectam, id est primam; et inter primam et hanc bisectam, id est per octavam hac inferiorem. Diligitque, ut alubi dictum est, auditus dichotomiam [<], praecipue cum exemplum habeat ab ultima ad primam: secundum ejus exemplum etiam primam bisecat.
[ 247 ]
    Ast in harmonia cujus numeri sunt 3, 4, 6, ultima vox quidem bisecatur per primam, ut in praecedente; sed ad ejus exemplum prima non potest bisecari in integros ictus. Et si numeros majores sumas, ut 6, 8, 12, bisecatur quidem prima vox in integros ictus, sed sectionis partes non possunt bisecari, quod tamen auditus conatur: secat enim sonos usque ad singulos et solitarios. Mediam vero vocem auditus non secat, quia nullo exemplo movetur.

    Quantum autem exemplum moveat ad similiter faciendum, tota nostra vita comprobat. Uno enim oscitante, oscitat et aliter. Simiae humanas actiones imitantur. Qui consuetus est singulis diebus semel exonerare alvum [<], naturam traduxit ut per se idem faciat.


Atomen: argumentatie

Atomi intrinsecae et extrinsecae consideratae.

    Atomi unius argumenta, quae eam arguunt cum ea consentanea, vel plane consentiunt, vel aliquo modo, id est vel sunt in ipsa re, vel ad eam pertinentes. In ipsa est incognita ejus continuitas corporea, vel etiam sunt incognitae proprietates intrinsecae, ut magnitudo, extrinsecae, ut figura. Extra eam sunt subjectum et adjunctum, ut tempus. Subjectum est locus; isque vel semper idem, diciturque atomus in eo quiescere; vel semper diversus, diciturque atomus moveri. Diversus locus est vel a quo, vel ad quem, vel per quem; per locum movetur vel celeriter et tarde, vel utroque modo — ubi ordo observandus.


Resonantie: ook kwint

Quarta a consonante chorda remota non tremit.

    Renatus Descartes Picto [<,>] expertus est in chordis testudinis, quartâ ab invicem differentibus, unâ tactâ, aliam non tremere; quintâ vero distantibus, unâ tactâ, aliam visibiliter et tactibiliter tremere. Quod et ipse vidi.
    [ < ]
Quartam a quinta dignoscere.

    Hinc dubium solvitur, quo nesciebam modum explorandi an chorda a chorda removeatur per quartam inferiorem vel per quintam superiorem [<]. Si enim tremat, differunt vera quinta. Ergo a qua ascendendo pervenimus per vocem quintam ad alteram, illa gravior est; a qua vero descendendo, illa acutior est. A qua autem descendendo pervenimus per quatuor voces ad alteram, illa gravior est, haecque quae videtur inferior, est acutior; a qua vero ascendendo, ea acutior est contrario ac videtur.


Terts ook

Ditoni altera chorda tacta cur intacta tremat, cum quarta hoc non faciat.

    Sequenti quo haec scripsissem die incidit mihi ratio cur diatessaron graviore, chordâ tactâ. acutior non moveatut, cum tamen ditonus gravior, chordâ tactâ, acutiorem utrumque moveat. Ex quibus sequetur duodecimâ, quae est diapason diapente, graviore motâ, acutiorem magis tremere quam octavae graviore tactâ acutior tremat. Hîc supponendum est quod antea [<] probavimus, graviorem chordam, solummodo aut praecipue, evidenter acutiorem movere. Quae igitur gravior, aptior probatur ad acutiorem movendam; ea hanc magis movebit.
[ 248 ]
    Diapason gravior*) semel ferit quo tempore acutior bis. Cumque unus ictus constat principio, medio et fine (non est enim individuus) quorum medietas fortissime ferit, acutioris unus ictus congruet cum principio, alter cum fine gravioris; quies vero, qui inter utrumque acutioris ictum intercedit, congruit cum medietate gravioris.

    At cum diapason diapente acutior, ter moveatur quo tempore gravior semel, certum est unum icum acutioris semper alternatim congruere cum ipsa medietate inferioris, unde fit ut haec gravior fortissime acutiorem moveat. Reliqui duo ictus non minus quam in diapason utrique extremitati gravioris conjunguntur: intercedunt hîc quidem duo quietes, sed haec breves admodum sunt parvamque habent proportionem ad ictus. Imo duae quietes in duodecima simul sumptae, fortasse non sunt majores quam unica in octava, cum hîc duae quietes duobus ictibus aequales sun tempore cum illis tribus quietibus et tribus ictibus.

    Diapente gravior bis ferit cum acutior ter. Unde fit ut acutioris medius medietate sua congruat cum medietate quietis chordae acutioris; unde fit ut is parum possit evanescitque fere totus alternus ictûs gravioris. Reliqui medietas non plane congruit cum medietate ictuum acutioris. Hoc pacto inter medietatem medij ictûs chordae gravioris et medietatem tertij ictûs continentur dimidium unius ictûs, tum tota quies, tum totus ictus, tum tota quies, tum iterum semis unius ictûs, quae simul faciunt duos ictûs et duas quietes.

    Etsi enim tres ictûs habeat gravior quartae, ultimus tamen primi ordinis est etiam primus sequentis, eo modo quo quarta ipsa quatuor vocibus constat, sed tria tantummodo intervalla continet. Acutior quartae chorda complet eodem tempore quo gravior dictos ictûs et quietes: primo dimidiam quietem (incipiendum enim a medietate totius soni, quae est ipsa medietas quietis ex bisectione quatuor primorum ictuum), tum fit totus ictus, tum tota quies, tum totus ictus, tum tota quies, tum totus ictus, tum dimidia quies; quae tres quietes cum tribus ictibus eo tempore fiunt, quo gravioris chordae duo ictûs et duae quietes, eo ordine per easque partes, ut retuli. Unde cuivis patet, quae quibus jungantur, indeque quam vim possit gravior exerere in acutiorem.

[ 249 ]
    Ditoni gravior vox quater movetur quo tempore acutior quinquies. Ubi vides nullum ictum gravioris evanescere, quin aliquid virium exerat in acutiorem chordam, nullamque medietatem ictûs gravioris chordae congruere cum medietate quietis acutioris, quod in quarta fieri ostendimus. At neque medietas ictûs gravioris congruit cum ulla medietate ictûs acutioris, ut fit in duodecima; neque etiam tali ordine ictûs ictibus conjunguntur, ut in octava et quinta.

    Exactam vim, qui volet, graphicâ delineatione per circinum et regulam, accuratius examinet.
    [<]


    *)  Mersenne zal in 1630 deze notitie gecopieerd hebben [>]. Dit staat in zijn Harmonicorum Libri XII, t. 1 (Parijs 1636), Lib. IV, Prop. 28, 29, met bronvermelding.


Echo

Reflexus ictus non differt ab immediato

    Statueram de singulorum ictuum resonantijs, sive reflectionibus, quam echo dicunt, aliquid addere.

    Certum enim est unumquemque ictum particularem saepius quam semel audiri, prout repercutitur ad instrumenti intrinsecam et extrinsecam levigatam faciem. Sed non videtur hinc aliqua differentia nasci; ut enim se habet ictus, sic etiam habet reflexus. Distantia locorum, unde reflexio fit, est quidem diversa, ita ut ab uno loco tardius ad aures, vel alteram chordam perveniat quam ab altero, ita ut unius veri ictûs diversi sint reflexi soni. Tamen, cum instrumentum non variet cum tensione chordarum et alioqui nihil accurate dici possit de reflectionibus, nihil hinc elicere possum, cum unus echo tardius, alter citius ad acutiorem chordam perveniat. Sed quia unus ictus non magis huic quam illi conjungitur, nullâ familiaritate cum se invicem intercedente, ex qua quid utile impraesentiarum elicere queam, hîc finem facio.


Gelijke tijden

Chordae ictûs omnes aequali tempore ab invicem distant.

    Existimandum est, cum chorda mota tandem quiescit, spacium, per quod movetur secundo ictu, brevius esse quam illud, per quod ictu primo movebatur; atque hoc pacto ictûs spacia decrescere. Attamen, cum auribus soni omnes similes appareant usque ad finem, necesse est ut omnes ictûs aequali semper intervallo temporis a se invicem distent, ergo tardius moventur consequentes motûs; quantumque spacio, tantum etiam celeritati detrahitur, cum chorda eodem tempore parvum spacium transit, quo antea majus pertransierat. At etiam ex tarditate hac incitatio languescit, ita ut non semper aequali violentia aures feriat, unde fit ne tantum discrimen sit quam ante inter ictum ipsum et silentium, id est quietem; atque ictûs non sunt tam diuturni, extremitatibusque eorum derasis neque ad auditum pervenientibus; unde fiunt silentia majora.

    Cum igitur parva est differentia inter sonum ipsum et silentium, auris non distinguit sonum a quiete, eo modo quo oculus longinqua, perforata et discreta habet pro continuis, propter parvum discrimen quod apparet inter imagines foraminis remque ipsam ipsaque foramina: parum enim lucis e longinquis rebus oculos ingreditur. Sic sonus videtur continuus perpetuumque murmur. At omnium foraminum medium adhuc optime omnium videtur, quia maxime immersum est rebus speciebus, ita ut illis omnibus, oculum ingredientibus ab utraque parte medij foraminis, imagines adhuc aliquam rationem habeant ad ipsum foramen; id est manifestum discrimen praebeat inter se et medium foramen.

[ 250 ]
Sic etiam media quies inter quatuor ictus maxime animadvertitur, toto murmure circa eam ab omni parte aures feriente, manifestumque discrimen inter se et silentium demonstrante. Sic virtus pulchrumque aliquid in medio contrariorum maxime elucescit. Adhaec, quae revera continua sunt, medium obtinent manifestum differensque a reliquis partibus, quia ab ectremis aequaliter undique distat, unumque hoc tantum est in toto continuo, cui nihil est simile, cum reliqua puncta, vel particulae, sua omnia similia ab altera parte hujus medij, quae tantum continet specierum visibilium, a dextris, sinistris, superne, inferne, etc. obtinent atque ipsa ab hac parte.

    Sic igitur etiam sonus continuus facillime omnium bisecatur, quia, ut in visibili, una tantum est medietas, undique aequaliter affecta.
    [ > ]


Terts beter dan kwart

Ditonus, cur melior quam diatessaron.

    Cum haec ita se habeant voxque perpetuo languescat magisque continua fiat, si vox aliqua solitaria audiatur, haec suos ictus nunquam multiplicabit, ideoque non referet unquam sonum acutiorem, quia is multiplicatis ictibus constat. Non igitur octava ejus acutior subaudietur, sed cum, ut patuit, vox se contrahat, ac pauciores ictus languescens prae se ferat, aeque multas ab utraque parte quietes absorbendo (ita ut ea, quae octo ictibus constabat, jam tantum quatuor constare videatur tandemque tantum duobus), patet octavam graviorem, quae paucioribus ictibus explicatur, repraesentari et subaudiri.

    Cum jam duae voces simul sonant differuntque per diapente, gravior vox, duobus ictibus constans, languescendo continuum ictum repraesentat constituitque octavam graviorem. Acutior vero, etsi etiam languescendo ad continuitatem tendat, quia tamen medietas hujus non quies, sed medietas ictûs est, (constat enim tribus ictibus), quae utrimque silentio clauditur, non potest bisecari in partes duas uniformes. Unum enim silentium alter ictus praecedit, aliud alter ictus sequitur, ita ut perpetuo formam trium ictuum obtineat quamdiu auditur, neque unquam octavam graviorem potest repraesentare, quae integris ictibus constat, et non ut haec: dimidio ictu, totâ quiete, toto ictu, totâ quiete, dimidio ictu.

    Hinc sequitur inconcinnitas diatessaron. Gravior enim ejus vox constat tribus ictibus, atque ideo nequit octavam graviorem repraesentare, caretque dulcedine harmoniae, quae fit cum bassus majore consonantiâ constat. Ditoni vero gravior vox quatuor ictuum redit ad duos, repraesentatque harmoniam 2, 4, 5.

[ 251 ]
    Dicet forsan aliquis: Cum una vox constet multis ictibus, diatessaron gravior erit sex ictuum, ideoque dividi poterit in octavam graviorem. Quod verum est, at eodem tempore etiam acutior octo ictuum redit ad 4, ita ut semper in eadem proportione maneatur, cum ditoni acutior vox 5 ictuum in sua forma permaneat, neque in octavam graviorem dividatur.

    Iterum dices acutiorem vocem diatessaron quatuor ictuum dividi in octavam graviorem, unde fit 1, 2, 3, 4. Sed respondeo: dum 4 languescit, etiam 3 languescere, ita ut acutior unquam videatur gravior: auditus enim graviorem vocem semper substernit.

    At, inquis, confertur ictus praesens acutioris cum praeterito gravioris. Imo vero necesse est ita fieri, sed ea conditione, ut vox, quae prior visa fuit gravior, nunquam videatur acutior, ictûsque gravioris graviori loco constituantur, quia revera gratiores sunt auri ijs, ut gravioribus jam assueta est.


    Diapason per se placet maxime, quia medietas silentij chordae acutioris exacte coincidit cum medietate vocis gravioris, ita ut auditus graviorem secet in duo aequalia per medietatem silentij, quae bisectio dicta est facillima ideoque gratissima.

    Si gravior languescat, quia tantum unicus ictus est, aliam formam non accipit. Si putentur 8 ictûs graviorem et 16 acutiorem constituere, dicendum potius multas esse octavas, viz. octo et unaquaeque constans per se ex 1, 2. Sic 12, 16 quatuor sunt quartae diversae etc. Sic 8, 10 duo sunt ditoni ex 4, 5, qui tamen ultimus languidior videtur coalescere in 2, 5. Huic interpone vocem quae primo audiebat, quae necdum memoriae excidit; facies 2, 4, 5. Acutior enim chorda 5 ictuum non mutat formam, quia non bisecatur, sed languescendo semper eandem formam animo exprimit.

    Ex his etiam sequitur finalem chordam alteram principalem notam per diapente supra se constituere in modis, quod alias in arithmeticâ divisione [<,>].


Geluid en licht

Auditus cur fiat per obliqua et non visus.

    Cur audimus vocem per obliqua viarum, et non videmus?

    Quia lux tam tenuis est ut a minimis quibusque asperitatibus rerum reflectatur, atque ita is radius, qui ad oculum deberet pervenire, dispergitur in varias plagas atque perit; a laevibus vero speculis reflectitur radius totus, ideoque eo medio per obliquum videmus. Aer vero crassior est, nec reflectitur ad minimas quasque asperitates, sed ad majores exstantias ideoque non ita ubique dispergitur; parvi enim globuli ad parvum quodvis corpus resultant. Cumque lux poros ipsos ingrediatur, ij ipsi luci sunt asperi. Lux igitur foramen obliquum subintrans, parvis exstantijs quibuslicet occurrens, revertitur. Aeri vero hae exstantiae non obstant, ut, si planum quoddam declive imagines, refertum exstantijs, cujus lineae majores sint diametro pilulae, hae pilulae ad perpendiculum dimissae, non semper ad aequales angulos reflectentur,

[ 252 ]
id est ab hoc plano deorsum, sed aliquando ad hoc perpendiculum resultabunt, aliquando etiam versus eam partem perpendiculi, quae summitatem montis spectat, quia exstantias ingrediuntur. Majores vero pilulae semper ad angulos rectos reflectuntur, quia summitatibus exstantiarum tantummodo incidunt, quae summitates in plano declivi etiam declinant. Praeterea lux ab ijs asperitatibus dividitur, fiuntque ejus particulae minores quam ut possint visum movere (uniuscujusque rei enim est certa quantitas) atque ita transeunt corpus nostrum, oculos, ligna, lapides, etc. absque sensu: prae tenuitate enim minimos quosque poros libere transeunt, ideoque tunicas oculi non afficiunt.


Kwart, enkele stem

Diatessaron in monochordo gratissima.

[<]     Mirandum foret si sustema constet 3, 4, 6: media enim nota languescit in 2, unde fit 2, 3, 4, 6, quod, quanquam ante [<] respectu diatessaron incongruum judicatum est, respectu tamen diapente superioris 4, 6, locum habet.

    Adhaec in cantilenis hae voces non simul audiuntur, solâque memoriâ tenetur gravioris chordae forma in consonantia diatessaron. Nihil igitur obstat, quo minus superioris chordae languescentis sonus sub illa statuatur.

    Hinc fit quod maximam gratiam diatessaron obtinet in monochordis, et solitaria voce. Inde enim oritur harmonia perfecta 2, 3, 4, finali nota existente 4. In monochordo vero per diapente variatus, gravior est finalis. Inde fit 1, 2, 3. Si enim acutior foret finalis, tribus ictibus constans, non posset sub hac diapason concipi, nisi in pluribus ictibus 3, 4, 6. Foret haec inconcinna harmonia. Neque etiam in dicto sistemate 3, 4, 6, gravior 3 est finalis, ob dictas rationes. Cum enim nulla nota crebrius et magis audiatur quam finalis, necesse est hujus languorem et per octavae descensum praecipue elucere, quod in solis icitbus paribus fieri posse commode demonstravimus [<].


Stem

Vox cum chorda in ictibus collata.

    Quod supra [<] de consonantijs disputavi in chordis, quarum soni ictibus constant, id, exempli tantum loco factum, revera etiam ad voces, quae continuae dicuntur, pertinet, quaeque flatu perficiuntur.

    Nam particulae aeriae, quae ex ore loquentis aures ingrediuntur [<], sunt duplo majores, ab octavae graviore voce dimissae, quam ab acutiore voce procedentes; in diatessaron tres particulae gravioris vocis aequantur quatuor acutioris et sic in caeteris, non aliter quam majores chordae grossiores particulas sonitûs edunt; aer enim lentius et per majora intervalla secatur; quoque res magis discutiuntur, eo in minores partes franguntur.

[ 253 ]
Sic, quo sal in vase celerius minoribusque intervallis cum vase disjicitur, eo tenuius reddetur: impetus enim saepius sistitur; neque aliter fieri in arteriâ asperâ credendum, aere per angustius foramen exeunte. Praeterea constat acutior diapason duplo pluribus particulis quam gravior vox; in caeterisque consonantijs pro ratione proportionis numerorum, quibus explicatur ut hae particulae vocis continuae ictibus chordarum respondeant.


Aarde

Terrae motus annuus, bene intellectus, tertium motum omnino abolet.

    Id, quod semel movetur, in vacuo semper movetur, sive secundum lineam rectam, seu circularem [<], tam super centro suo, qualis est motus diurnus Terrae <quam circa centrum, qualis est motus>*) annuus. Cum enim quaelibet minima pars circumferentiae sit curva, atque eodem modo curva atque tota peripheria, nulla ratio est cur motus circularis Terrae annuus desereret hanc lineam curvam et ad rectam procederet, nam recta non magis naturalis et aequalis naturae et extensionis est quam circularis, quia pars circumferentiae se eo modo habet ad totam, quo pars rectae ad rectam totam. aardbaan, 3 cirkels

    Motus trepidationis, quem vocant [<], revera nullus est. Sit enim Terrae axis bc, centrum motûs Terrae a. Cum primus motor°) Deus Terram circa centrum a moveret, voluit ut omnes partes Terrae, tam centrum n, quam uterque polus b et c, eadem celeritate moverentur, unde accidit ut tres circulos aequales se invicem intersecantes, describerent: centrum Terrae circulum npl, polus b circulum bdk, cujus centrum i, polus c circulum cem, cujus centrum h. Dum igitur centrum Terrae movetur ad p, movetur eodem tempore b ad d et c ad e. Partes igitur peripheriarum np, bd, ce sunt aequales cumque sint axes Terrae ubique aequales bc et de, descriptum est bdec quadrangulum oppositis lateribus aequalibus; est ergo parallelogrammum, axesque Terrae perpetuo et ubique locorum ad eam plagam spectant.   [>]


    *)  quam ... motus omis.
    °)  motus (sic) en caractères gothiques à la place laissée en blanc.
  [>]
[ 254 ]

Beweging in lucht

Motus circularis in vacuo longe alius est quam in aere.

    Sed dicet aliquis: Cur apud nos in aere nulla res hoc pacto circulariter moveri potest?

voorwerp op wiel     Sit enim corpus cf moveaturque a rota ighk circulariter; subtrahitur dein rota, ita ut cf sola in aere haereat, non movebitur cf circulariter, sed ad rectam.

    Ratio hujus rei est corpus, in quo cf movetur, viz. aer. Nam cum pars ce per majorem circulum moveatur quam bf, eodem tempore movebitur celerius ce quam cf priusque cf de motu pristino remittet. Imo statim plus remittet quam ce, quia, ut ante alubi dictum est*), partes aeris, quibus celeriter motum occurrit, hoc non tantum impediunt quam tardius motum caeteris paribus: est autem ce per omnia aequale cum bf, vel gravior, vel levior, superficiebus aequalibus vel inaequalibus existentibus. Imo, si hoc momento partes cf ita dispositae sint, ut occursu aeris superficies et corporeitates inter se ejus sint proportionis ut eodem tempore unaquaeque suum circulum absolveret, si in eo motu et proportione perseveraret, attamen altero momento proportio, ideoque et motus, variat.

    Id exemplo uno demonstrabimus. Si, cf in aere dimisso, ce celerius circulum suum absolveret quam bf suum, vertetur cf super centro o praecedetque ce, accedetque propius ad centrum a, bf vero longius ab eo removebitur; cumque o sit centrum gravitatis, nullo negotio super eo res volvitur in libero aere. Ergo f majorem quam ante et c minorem quam ante, circulum describunt; ergo c pauciori, f vero pluri aeri occurret. Ut fit ut ce levamento accepto et bf impedimento majore, proportio motûs inter ce et bf adhuc major fiat idque fit fere momento.
Si vero bf gravior sit celeriusque suum circulum absolveret quam ce suum, dimisso cf in aere, praecedet bf removebiturque longius a centro a, at ce propius ad id accedet; atque hoc pacto ce ad a facilius, bf ad a difficilius procedunt, donec ad talem locum pervenerunt, in quo ce suum circulum eo tempore exacte absolveret, quo bf suum. At altero ab hoc momento bf adhuc praecedit, quia magis aeri resistit minusque fatigatur propter gravitatem, et ce magis languescit.

    Si enim duo corpora hoc momento disposita sint ut inaequales circulos aequali tempore percurrerent in eodem aere, id fit, quia sunt inaequalia pondere vel superficie. At quod est majus pondere, si celerius moveatur, multo minus ab aere impedietur; si tardius, magis quidem videntur dicta duo corpora ad motûs proportionalitatem accedere, ita ut gravius et tardius eodem tempore et eodem modo per partes parvum circulum percurrere possit, quo levius et celerius majorem percurrit. At cum superficies sunt aequales, mihi tamen videtur proportionem non perpetuo eandem permanere; non tamen jam vacat mihi diligentius inquirere. Si vero duorum corporum, pondere aequalium, id quod majus est superficie, tardius aut celerius moveatur, videat alius ut se res sit habitura.


    *)  Vgl. 24, 25, 31, 61, 85, 104.   [ Het 'dictum' werd niet gevonden. Steen rechtlijnig van wiel: 167.]
[ 255 ]
    Hoc vero ego addam: Cum ad rectam lineam corpus aliquid movetur, id, quod gravius est et minoris superficiei, praecedet, nec ulla ratio est cur partes corporis moti ab ea recta recedant, quia omnes partes per aequale spacium eodem tempore moventur. Earum situ mutato, impedit quidem levior materia et magna superficies celerem motum gravioris et parvae superficiei, sed tamen ab incepto motu non deturbat et dumtaxat efficit, ut tardius moveatur, ideoque hic tantum unicum centrum gravitatis spectatur. Cum ergo in praeposita figura corpus cf ad eum situm pervenerit, ut gravior et celerior pars pars prior sit, levior ultimo permanet in eo motu. At ob dictas rationes momento hoc fit; ergo nulla ratio est quod post recta via mutetur.   [>]


Vierkant

Quadratum radici aequale datum.

    Renatus Descartes [<,>] mihi proposuit problema: Dare quadratum aequale radici alterius quadrati. Cumque quaedam de notione radicis latae, quam vocat, explicasset, sic solvi:

2 vierkanten     Nota est sola area quadrati; verbi gratia, 9. Haec area continet 9 quadrata, quorum unum geometrice describendum est; hoc igitur nona pars erit totius quadrati. Ut autem se habet primum quadratum ad 1, sic se habet latus primi quadrati (quod etiam non numero, sed lineari descriptione notum est) ad lineam, videlicet nonam partem dicti lateris. Si jam medium proportionale statuas inter hanc et dictum latus, erunt tres lineae proportionales, id est: ut se habet latus dicti quadrati ad inventum medium proportionale, sic se habet hoc medium proportionale ad inventam prius lineam quae erat nona pars lateris dati. Sed quadratum datum se habet ad quadratum cujus latus quaeritur, ut prima harum proportionalium ad tertiam; ergo medium proportionale erit latus quaesitum.

    Ut se habet 9 ad 1, sic ab ad e; sed cd est medium proportionale inter ab et e, ergo est latus secundi quadrati.

[ 256 ]
lijnstuk, 2 vierkanten, rechthoek     Sic k est quinta pars fg et hi est latus quadrati, quod est quinta pars quadrati ft. Si jam facias rectangulum fg et hi, habebis radicem quadrati 5. Quorum fg et hi medium proportionale est latus quadrati, quod est aequale radici dati quadrati; quod erat faciendum.

    In praecedenti figura, ab aequat 9, e 1, medium proportionale cd 3; quae 3 aequantur ar, quae est tertia pars lateris. Multiplica 3 per ab 9, facies 27 rb rectangulum, quod continet tertiam partem quadrati; estque ejus radix.


Cirkelbeweging van kandelaber

Motus Terrae annuus, etiam in aere, hîc exemplo demonstratur.

[v]     Demonstratum est paulo ante [<] motum circularem hîc in aere fieri non posse eo modo ut una rei motae pars perpetuo minorem circulum describat quam altera. Sed si omnes partes aequales circulos describant, eo modo quo dixi motum annuum Terrae fieri, quin possit talis motus circularis hîc fieri? Praecedit in motu rectu gravior pars, at hîc omnes partes vicissim debent praecedere.

    Exemplum habes in candelabris aeneis, quae in templis funi longo appendent; haec enim hoc modo moventur circulariter, si quis ijs talis motûs initium dederit, ut omnes partes vicissim praecedant. Sic si globum ligneum ex fune suspendas et in aquam demittas moveasque per funem circulariter, ablato fune, globus perget moveri, eo modo quo candelabra funi appensa; imo si dictus ligneus globus, funi appensus, in aere circulariter moveatur subitoque abscisso fune aquae incidat, non dubitem quin in ea circulariter motus futurus sit.

    Cur enim candelabra in templis non mutant motum circularem in rectam? Si dicas: quia funi adhaerent segh ic, eveleens de slingers en den steen daerin, die aen de touwe hanghen; maer de slingers syn altyt so aen de touwen gestrect, dat het één deel van de steen altyt naest de hant is en eenen kleyneren cirkel beschryft dan het uyterste deel van de steen, dat veerst van de hant blyft. Cum candelabra appendeant longo funi, eaque parvo circulo moveantur, funis non fit semidiameter circularis motûs eorum, ita ut, si candelabra rectum motum appeterent, nullo negotio extra suum circulum procurrerent. At, cum id non fiat, manifestum est, cum candelabra longissimo funi appendeant, fere nullam esse rationem cur motum circularem non servent, ita ut hîc, eo modo, quo in recto motu, valeat hoc theorema: Quod semel movetur, semper eo modo movetur, dum ne ab extrinseco impediatur. In vacuo vero nulla talis consideratio habenda: magnum enim corpus, parvum, grave, leve, magnâ aut parvâ superficie, hac sive illâ figurâ, etc. semper eo modo quo semel motum est, pergit moveri, his accedentibus nihil impedimenti afferentibus.

[ 257 ]
    Praeterea, cum candelabra eo modo moventur, quo dico annuum motum Terrae fieri, si abscisso fune fieri posset ut candelabra in aere elevata manerent neque deciderent, sed ut astra in coelo, sic haec in aere vagarentur, nulla ratio videtur esse cur non pergerent circulariter moveri usque dum saepius aeri occursando, fuissent impedita tandem. Cum autem in hoc motu omnes partes rei motae vicissim antecedant, cumque graviores partes rei in aere motae naturâ suâ, ut ante diximus [<], nitantur antecedere, praestat rem motam globum esse et aequabilis ubique materiae. Attamen, etsi res mota talis omnino non sit, tanta tamen est vis motionis semel factae, ut non subito motus hic circularis propter id impediatur, sed citius dumtaxat quiescit et inconcinnius movetur.
    [ > ]


Rollende bol

Bol, op de vloer rollende, en kan daerop geen circkel maken.

    Eenen bol, die men over de vloer doet rollen, en can niet circulariter loopen, omdat den eenen pool altyt naest het centrum moet wesen. Want elck deelken in den bol soude moeten den pool worden by beurte. Eenen drayenden top can circulariter gestiert worden, want al syn deelen syn by beurte naest het centrum, daer hy rontom loopen soude.


Naam

[v]     Mr. Duperon Picto Renatus Descartes [<] vocatur in eâ Musicâ, quam meâ causâ jam describit.


    René Descartes noemde zich toen vaak 'Mr. du Perron', naar een leengoed in de Poitou. Het Compendium Musicae werd een nieuwjaarsgeschenk [>], in 1627 opgenomen in het Journaal. In 1650 werd het gedrukt.
[ Ned. ]

[ 258 ]     23 nov. - 26 dec. 1618

Tweedeling in de muziek

Bisectio in musicis facillima et gratissima.

    Mr. de Peron [>] chordam dividit bifariam, ut gf in a, estque gf ad ga diapason. Tum af bifariam in e, estque ge ad ga diapente; tum ae bifariam in d, estque gd ad ga ditonus; tum ad bifariam in c, estque gc ad ga tonus major; tum ac bifariam in b, estque gb ad ga semitonium majus. Ast gf ad ge diatessaron, ge ad gd sesquitonus, gd ad gc tonus minor, gc ad gb semitonium minus. Consonantiae vero quae oriuntur ex hac bisectione sunt ipsae meliores: diapason, quinta, ditonus, tonus major, semitonium majus.
lijn met verdeling
[ 259 ]
    Quod etiam meis rationibus consonat, quibus asseritur bisectionem esse facillimam, proindeque jucundissimam. Haec vero bisectio in auribus fit hoc pacto:

    Ictus unicus gravioris chordae octavae gf in auribus duplo diutius haeret tempore unici ictûs chordae ga quia demonstravimus [<] hanc duos ictûs excutere quo tempore illa unicum, et graviorem tam diu durare, donec acutior bis audita sit. Nihil igitur facilius auri quam tempus ictûs gravioris bisecare per tempus acutioris. Reliquum vero dimidium gravioris iterum si bisecet auris, erit hoc medium tempus, junctum cum tempore ictûs acutioris, sesquialterum ad tempus ictûs acutioris. Haec autem bisectio per se occurrit: diximus [<] enim, pulsâ acutiore chordâ, ejus octavam inferiorem etiam subaudiri, duosque ictûs coalescere in unum, vel quatuor in duos; attamen ita ut adhuc quaedam reliquiae distinctionis singulorum ictuum exaudiantur. Unde fit ut gravior, bisecta per acutiorem, dividatur in partes, quae nullo negotio etiam bisecari possint. At si gravior pulsetur, non subauditur octava acutior, unde fit ut gf ad ge, quae est diatessaron, non sit apta divisio nec ab ictibus ipsis praemonstrata. Iterum pulsâ ga, auditur gf, quatuorque ictûs ga redeunt ad duos gf. Ablato tempore duorum ictuum ga a tempore duorum ictuum gf, postea restat tempus unius ictûs, estque propterea haec vox ab illâ per octavam remota. At tempore unius ictûs gravioris, quod restabat, iterum bisecto, quod facile fit per unicum ictum acutioris, incidet divisio in e. At tempore ea iterum bisecto, incidet divisio in d; tempus vero da cum ag, id est dg, ad ag, est sesquiquartum, ideoque ditonus; tempus vero ge ad gd est tertia minor.
    [ > ]


Namen

    De stadthouder van Tuyrnoudt hiet Hendrick Dergint, vrient van Geraert Gysberts; desen styfvader hiet Adriaen Steltens oft De Kaes. Lenaert van Gurp, schoemaecker in de Gastestraet te Tuyrnhout, van de religie. In de Spiegel is goet logys.


Snaar en slinger

Chordae ictuum aequalitas cum pondere ex fune pendente collatio.

[v]     Existimandum est chordam, unam numero semelque pulsam, omnes ictûs aequali tempore facere, sed primos celerius moveri et plus spacium percurrere. Idem etiam fit, sive fortiter, sive leviter pellatur chorda. Cum enim fortior pellitur, magis a recta linea decedit ideoque magis tenditur, unde celerior motus; si vero leviter tangatur, minus a recta removetur ideoque minus tenditur, unde remissior et tardior motus. Sic etiam ultimi ictûs fiunt a chordis minus tensis, primi a magis tensis. Hinc sequitur unam chordam non aliter posse moveri quin certo et aequali tempore singulos ictûs semper circumscribat. [<]
[ 260 ]
    Non aliter fit in candelabris ex fune pendentibus: haec enim videntur aequali temporis intervallo moveri, cum motûs circularis, non vero conici, centrum statuitur extremitas chordae quâ trabi alligatur, dats te seggen als se sóó geroert worden gelyck wy plegen te tauteren. Tunc enim, si fortiter impellantur, recedunt longius a loco, ubi quiescebant, majusque spacium conficiunt.

    Sit verbi gratia spacium quadrans circuli; dico quoties candelabrum per quadrantem circuli movetur, semper eadem celeritate necessario moveri. Si enim ipse celerius moveas, candelabrum, in altera parte quadrantis constitutum, describet in adversa parte majorem partem quam pars est, quae manum tuam et locum quietis interjacet; et in reditu etiam ab hac parte majorem partem circuli describet, ita ut tota motûs pars, quam describet, quadrantem circuli excedat; ergo congruenter celerius movetur, quia in majore circuli parte fit motus celerior cum longius distet a loco quietis, ideoque diutius et violentius naturaliter descendet. Cum vero parvam circuli partem describit, tardius movetur ob dictae causae contrarium; attamen eodem tempore suam partem percurret, quo prior suam. Et crediderim idem candelabrum, ab ejusdem longitudinis chordâ pendens, suum proprium tempus obtinere, quo circuli partem quamvis percurrat, idque semper esse aequale, quoque longiores eo diuturnius, quo breviores eo minus. Hoc enim videor expertus esse in ijs rebus quae ex longis funibus pendent: si enim eas levissimo tactu moveas, diu admodum erit antequam ad te redeant. Contrarium vero fit in ijs, quae ex brevibus chordis pendent: tacta enim, statim ad te revertuntur.

    Concludamus igitur ea, quae ex ejusdem longitudinis chordis pendent, partem circuli, per quem moventur pedetentim minuere usque ad quietem. Tempus vero quod inter utramque motûs extremitatem interest, semper esse aequale: ut enim se habet pars magna circuli ad partem minorem, sic se habet inclinatio ad locum quietis major ad minorem. Singulae enim particulae circuli addunt aliquid ad motum deorsum; ergo: quo plures particulae in circuli parte, eo major inclinatio descensûs. Sic igitur etiam se habet celeritas majoris ad tarditatem minoris; quantumque spacium minuitur, tantum tarditas augetur; ergo tempus semper aequale est.

    Hoc si in vacuo fieri imaginetur, solâ inclinatione ad centrum Terrae retentâ, exactius forsan dictis respondebit: tarditas enim motûs valde ab aere afficitur, ita ut statim adhuc tardior multo evadat.

[ 261 ]

Vrije val

Lapis cadens in vacuo, cur semper celerius cadat.

[v]     Moventur res deorsum ad centrum Terrae, vacuo intermedio spatio existente, hoc pacto:

    Primo momento tantum spacium conficitur, quantum per Terrae tractionem fieri potest. Secundo, in hoc motu perseverando superadditur motus novus tractionis, ita ut duplex spacium secundo momento peragretur. Tertio momento duplex spacium perseverat, cui superadditur ex tractione Terrae tertium, ut uno momento triplum spacij primi peragretur.   [<,>]

[ Ned. ]

[ 262 ]

Valtijd in stukjes

Lapidis cadentis tempus supputatum.

[v]     Cum autem [<] momenta haec sint individua, habebis spacium per quod res unâ horâ cadit, ade. Spatium per quod duabus horis cadit, duplicat proportionem temporis, id est ade ad acb, quae est duplicata proportio ad ad ac.

rechthoekige driehoek met verdeling in vierkantjes     Sit enim momentum spatij per quod res unâ horâ cadit alicujus magnitudinis, videlicet adef. Duabus horis perficiet talia tria momenta, scilicet afegbhcd. Sed afed constat ex ade cum afe; atque afegbhcd constat ex acb cum afe et egb, id est cum duplo afe.
Sic, si momentum fit airs, erit proportio spatij ad spatium, ut ade cum klmn ad acb cum klmnopqt, id est etiam duplum klmn. Ast klmn est multo minus quam afe.
Cum igitur proportio spatij peragrati ad spatium peragratum constet ex proportione trianguli ad triangulum, adjectis utrique termino proportionis aequalibus, cumque haec aequalia adjecta semper eo minora fiant, quo momenta spatij minora sunt, sequitur haec adjecta nullius quantitatis fore, quando momentum nullius quantitatis statuitur. Tale autem momentum est spatij per quod res cadit. Restat igitur spacium per quod res cadit unâ horâ, se habere ad spatium per quod cadit duabus horis, ut triangulum ade ad triangulum acb.


    [ Grafiek: snelheid (hor.) tegen tijd (vert.), met driehoek als doorlopen afstand, en vierkant als afstand bij constante snelheid (eindsnelheid van gekozen tijdsduur).]
[ 263 ]
    Haec ita demonstravit Mr. du Peron*), cum ei ansam praebuissem rogando an possit quis scire quantum spacium res cadendo conficeret unicâ horâ, cum scitur quantum conficiat duabus horis, secundum mea fundamenta, viz. quod semel movetur, semper movetur, in vacuo, [<]  et supponendo inter Terram et lapidem cadentem esse vacuum.

    Si igitur experientiâ compertum sit, lapidem cecidisse duabus horis per mille pedes, continebit triangulum abc 1000 pedes. Hujus radix est 100 pro linea ac, quae respondet horis duabus. Bisectâ eâ in d, respondet ad uni horae. Ut igitur se habet proportio ac ad ad duplicata, id est 4 ad 1, sic 1000 ad 250, id est acb ad ade.

    Si vero momentum minimum spatij sit alicujus quantitatis, erit arithmetica progressio. Nec poterit sciri ex uno casu quantum singulis horis perficiat; sed opus erit duobus casibus, ut inde sciamus quantitatem primi momenti. Ita autem ego supposueram; at, quia magis placet suppositio momenti indivisibilis, haec non explicabo fusius.


    Aliter quoque videmus spacium casûs unius horae se habere ad spacium casûs duarum horarum, ut ade ad acb, cum consideramus, in arithmetica progressione, numeros omnes, contentos sub dimidio terminorum, ad omnium terminorum numeros se nunquam habere ut 1 ad 4, etsi proportio perpetuo augetur. Sic duorum terminorum progressio, quae est 1, 2 se habet ut 1 ad 3. Sic 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 se habet ut 10 ad 36. Sic termini hi octo usque ad 16 se habent ut 36 ad 136, quod nondum est ut 1 ad 4. Si igitur descensus lapidis fiat per distincta intervalla, trahente Terrâ per corporeos spiritûs, erunt tamen haec intervalla seu momenta tam exigua, ut proportio eorum arithmetica, ob multitudinem particularum, non sensibiliter fuerit minor quam 1 ad 4. Retinenda ergo triangularis dicta demonstratio.


    *)  Descartes [<] gaf de 'démonstration triangulaire' in een geschrift, afgedrukt in deel IV [>] (vgl. Appendix, 361). Beeckman kan de 'differentiële driehoek' gezien hebben in Stevins Weeghconst (67, 78) en Waterwicht (23-).


Gelijkheidspunt in lucht

Punctum aequalitatis, id est ubi lapidis casus non amplius movetur, quaesitum in aere.

[v]     Eodem modo quo spatium multiplicatur, etiam impedimentum multiplicatur, si intelligas in aere vel aqua, id est in pleno, quicquam cadere. Res enim cadens describit figuram oblongam, lineis omnibus parallelam. Cum res secundâ horâ velocius cadit plusque spacij percurrat, ea est proportio figurae quam primâ horâ describit, ad eam quam describit secundâ horâ, ut spacium primâ horâ peragratum ad secundâ horâ peragratum.
[ 264 ]
Si igitur res cadens ab impedimento non impediretur, tanto pluri aeri secundâ horâ occurreret, quanto majus est secundae horae parallelopipedum, quam primae horae. At cum certum sit impediri rem cadentem ab aere — res enim unaquaeque cadens experimento probatur non semper celeritate augeri, sed est aliquis locus, ad quem cum pervenerit, movetur per reliquum spacium aequaliter [<] — videmus quo modo id fiat.


    Placuit quidem autem nobis triangularis haec proportio [<], non quod revera non foret aliquod minimum physicum mathematice divisibile spacium, per quod minima physica vis attractiva rem movet (vis enim haec non est revera continua, sed discreta, et, ut belgice loquar sy trect met cleyne hurtkens [>], ac propterea constant augmenta praedicta, ex vera arithmetica progressione); sed placuit, inquam, quia hoc minimum est tam parvum et insensibile, ut propter multitudinem terminorum progressionis, proportio numerorum non sensibiliter differat a proportione triangulari continua.


    Haec cum ita se habeant, sequitur, si res cadens uno minimo momento temporis physico (quo viz. minimum physicum spacium res conficit), tanto aeris occurrat quanto ipsa corporis constat, non amplius celerius moveri, sed in hoc motu permanere, id est, si parallelopipedum quod tali momento describitur, tantum corporeitatis contineat, quantum res ipsa continet, non poterit attractrix vis Terrae motui rei quicquam addere, quia gravitas corporis in quo versatur, id est aeris, aequalis est gravitati rei; nam aeque grave existens ac aqua in aqua, non movebitur deorsum. Semper igitur rei cadentis motus augetur quidem; at ita ut, qui deberet augeri secundum proportionem ade ad decb, propter impedimentum crescens perpetuo de proportione hac aliquid detrahat, donec tandem motus non amplius augetur, antiquatâ ab impedimento attractrice vi, et dumtaxat retento motu, quem hoc ultimo momento habebat. Hic enim non jam etiam minuitur, quia sola attractrix vis potest aboleri; quâ ablatâ, res pergit moveri, ut si in vacuo semel mota movetur; cum enim nulla ratio sit cur motus augeretur, nulla etiam ratio est cur pluri aeri occurreret et parallelopipedum longius describeretur sequentibus momentis, quam eo momento describebatur, quo primum tantum aeris continebat, quantum res corporeitatis.

    Hinc sciri potest punctum, a quo res cadens non amplius celerius cadit. Nota enim locum a quo res incipit cadere et nota locum ad quem cadat. Fac, secundo, ut per spacium centum pedibus longius cadat, et vide quantum temporis confecerit hos centum pedes percurrendo. Tertio, cadat per spatium adhuc centum pedibus longius et vide iterum quantum temporis consumptum sit his centum pedibus.

[ 265 ]
Si tempus sit aequale, jam scis te ultra id punctum processisse, a quo deinde aequaliter deorsum res movetur. Proinde statuito spatium per quod res primo movebatur minus, atque iterum secundo et tertio res per centum pedes ut ante movebatur; atque id toties facito, donec per ultimos centum pedes rei motae motus auctus quidem sit, sed vix sensibiliter. Tum enim hic erit punctus, a quo rei motus deorsum spectans, non amplius augetur. [>]


Kometenstaart

Cometarum caudae quid sint.

    Cometarum caudae*) (siquidem semper ex adverso Solis positae sint) non videntur esse aliud quam substantia ipsa cometae, quae a Solis radijs, per corpus planetae transeuntibus, assumuntur, disjiciuntur, et unâ ad adversam cometae partem rapiuntur, eo modo quo ventus fumum secum rapit. Stella autem quae apparuit in sidere Cassiopeae ano 1572°), projecit caudam suam sursum ex adverso oculorum nostrorum, vel a Solis radijs procreatam per corpus ejus transeuntibus, vel ita naturaliter a Sole aversam, ut flamma, centrum Terrae aversata, sursum fertur. Altitudo hujus cometae causata est caudae invisibilitate; ideo enim a nobis conspici nequibat, quia Sol a Terra distat parvo intervallo respectu cometae; ergo cauda nobis fere aeque ex adversa posita fuit ac Soli.   [>]
    *)  Sinds half november was de grote komeet van 1618 aan de hemel te zien.
    °)  Al eerder (p. 33) bleek Beeckman bekend met de Stella nova van Tycho Brahe.


Vallen in water

Punctum aequalitatis in cadendo in aqua habetur manifestius.

[<]     In aqua etiam hic punctus eodem modo invenietur. Ultimo enim physico momento lapis immersus descendens tantum aquae occursando contingit, quantus est excessus ponderis lapidis a pondere aquae, quae idem spacium occuparet, quod lapis occupat.   [>]


Beweging in vacuum

Pondus maximum in vacuo a minima vi moveri probatur.

    In vacuo movebitur maximum corpus a minima vi [<]. Hoc fere exemplariter vides in pondere longo funi appenso. Hoc enim levi momento movetur; duplex pondus, si eidem funi appensum sit, non tam levi momento movebitur, quia motum longius a centro Terrae recedit; graviora vero difficilius a centro dimoventur. At si hoc pondus ex duplicis longitudinis fune pendeat, aeque levi momento movebitur ac prius pondus. In vacuo autem nullus est recessus a centro, etc.
[ 266 ]

Botsing

Motus in vacuo ab occurrentibus quomodo impediatur.

    Idemque si quod corpus quiescens a quocumque corpore moto tangatur. Quod quiescebat movebitur cum moto hoc pacto: Si utrumque est aequalis corporeitatis utrumque movebitur duplo tardius quam prius motum movebatur. Cum enim tot partes insunt quiescenti ac moto, et motum aequalem progressum illi adfert, id est cum idem impetus debet sustinere duplo majus corpus quam ante, necesse est tanto etiam tardius procedere: id enim in omnibus machinis animadvertitur, ut duplex pondus, aequali vi sublatum, etiam duplo tardius ascendat quam prius pondus.

    Si duplo majus est corpus quiescens, cui motum occurrit, demuntur 2/3 de celeritate moti; si triplo majus, 3/4 demuntur; moveturque utrumque quadruplo tardius quam prius motum.

    Si vero duplo majus sit quod movetur, demitur de celeritate moti 1/3, moveturque utrumque per 2/3 celeritatis moti corporis atque ita: ut se habet corpus utrumque ad prius motum, sic se habet celeritas prius moti ad celeritatem utriusque simul.

    Quae aequalia aequali celeritate sibi mutuo occurrunt, directe quiescent, abrogato utriusque motu. Inaequalis vero celeritatis motûs adduntur, moveturque utrumque dimidio celeritatis totius, siquidem versus eandem plagam movebantur. At si sibi mutuo occurrant, aufertur minor celeritas a majore moveturque utrumque secundum dimidium motum excessûs versus quam partem celerius movebatur; aboletur enim motu minor, et qui restat per utrumque distribuitur.

    Duplo vero majus corpus, si alteri aeque celeri occurrat, perdit dimidium celeritatis, et siquidem id secum rapit; reliquum dimidium bisecatur moveturque utrumque quadruplo [triplo] tardius quam majus corpus ante movabatur.

    Si vero horum minus duplo tardius fuerit, demitur de motu majoris tantummodo quarta pars. Si enim majus corpus bisecaretur, foret una pars aequalis tardiori corpori; hoc vero ab illo aufert tantum dimidium celeritatis, ergo restat totius quartam partem dumtaxat. Utrumque ergo simul junctum movebitur hoc modo: Quarta pars majoris corporis propter occursum minoris, immobilis habenda est; restant igitur adhuc tres partes sincerae et pristinae celeritatis. Hae debent movere minus corpus et quartam partem majoris corporis ac si utraque quiescerent. Cum igitur ad haec se habeant syncerae partes ut 3 ad 3, habebunt se syncerae partes ad omnia ut 3 ad 6. Movetur igitur duplo majus et duplo celerius, cum altero, per motum duplo tardiorem quam antea.
    [ > ]

Geen rust

Motus in vacuo nunquam crescit, sed decrescit. Cur igitur tandem non fit universalis quies?

    His ita positis nunquam motus in vacuo potest intelligi ad celeriorem motum vergere, sed omnia tandem spectare ad quietem propter aequales occursûs. Unde sequitur Deum Opt. Max. solum potuisse motum conservare movendo semel maxima corpora maximâ celeritate, quae deinceps reliqua ad quietem semper spectantia perpetuo resuscitant et vivificant.
    Beeckman herhaalt deze overwegingen later [>]. Over het verdwijnen van beweging zie ook III, 129, 131, 160.
[ 267 ]

Steen omhoog gooien

Motus sursum quomodo a Terrae tractione impediatur.

    Cum lapidem sursum projicis, et si foret hoc vacuum aere, recidet nihilominus in Terram atque hoc pacto, sicut lapis omnibus suis particulis corporeis movetur sursum, sic etiam ijsdem omnibus a Terra deorsum trahitur. Ergo sive lapis sit magnus, sive parvus, caeteris paribus, eodem semper modo motus, propter consensum cum Terra, impedietur; id est, si lapis magnus unâ horâ mille pedes sursum movetur ac ibi quiescit et ad cadendum se comparat, etiam minor lapis, eadem celeritate e manu emissus, eodem modo se habebit. Ut enim inclinatio ad Terram in magno lapide est ad omnium partium suae corporeitatis motum, sic inclinatio in parvo lapide est ad omnium partium suarum motum. Cum igitur motus cujuslibet corporis, in vacuo sursum moti, uno momento potest deorsum trahi, res mota perget sursum moveri, et vis Terrae singulis momentis aequalem semper partem de motu rei demet, donec ultimo momento tantum auferat, quantum res eo momento promovebatur. Id est: si res mota, nec impedita, centum pedes mille momentis conficeret et Terra mille momentis rem a quinquaginta pedibus ad se attraheret, aequali semper motu et celeritate remanente, res movebitur sursum impedita a vi Terrae per 50 pedes, impedimento dimidium motûs auferente.

Motus sursum quî ab aere impediatur.

    Si autem non vis Terrae, sed solus aer, rem motum impedire imaginetur, aer erit vice corporis quiescentis auferetque de motu lapidis pro ratione corporeitatis suae; viz. cum lapis occurrerit tanto aeri corporeitatis atque ipse est, minuetur ejus celeritas dimidio, ut ante [<] de corpore moto et quiescente in vacuo diximus. At cum aeris partes sibi invicem contactu jungantur, corpus majus pluri aeri occurret quam primus ejusdem ponderis pro ratione superficierum; unde sequitur citius quiescere impedimento tractionis Terrae, huic atque illi aequliter accidente.

    Desen 26en December anno 1618 te Breda.


Gelijkheidspunt vinden

Punctum aequalitatis cadentium invenire.

[v]     Ut invenias punctum a quo res cadens aequaliter deinceps deorsum movetur [<], sic facito:

    Cadat res supra lancem unam bilancis; in altera lance sit pondus quod inventum est (bis, terve etc. dimittendo rem ab eadem altitudine) a rei cadentis impetu juste attolli, ita ut pondus majus rei cadentis casu non possit attolli.

[ 268 ]
balans Deinde cadat res ab altiore loco. Si pondus majus hoc pondere cadendo in lancem res tollat, apparet lineam quaesitam adhuc longiorem esse eâ; si vero secundus hic casus eodem modo pondus dictum tollat quo prior et brevior casus, creditur linea quaesita esse brevior. Proinde cadat res per brevius spacium, id perpetuo abbreviando, donec res cadat et cadendo vix pondus tollat, adeo ut, si breviores casûs facias, pondus impetui praevaleat. Hoc erit punctum quaesitum et linea quaesita ea ducta a lance usque ad punctum, unde res cecidit.
    [ Lettre à Mersenne, 1 oct. 1629 (IV, 161): "quamquam nunquam per bilancem punctum aequalitatis exploraverim ...".]


Valplof wegen

Impetum cadentium ponderare.

[v]     Anno 1618, 26en December. — Id quod dixi de bilance ad punctum inveniendum, a quo res deorsum cadens, aequaliter perget moveri, non incommode poterit adhiberi ad aestimandum rei cadentis impetum: tantus enim est, quantum ponderis elevat cadendo supra id quod quiescendo elevat.     [>]
    Beeckman schijnt de eerste te zijn geweest die deze methode voorstelde om de botskracht te meten. Ze wordt ook genoemd in Probl. 3 van Recreations mathematiques van Leurechon, 1624 [Engl. 1653: fig.] en door Mersenne in zijn Traité de l'harmonie universelle, 1627 [1637: p. 129-].

[ Het experiment met de balans staat in Cazraeus, Physica demonstratio, qua ratio, mensura, modus ac potentia accelerationis motus in naturali descensu gravium determinatur adversus nuper excogitatam a Galilaeo Galilaei,... de eodem motu pseudo-scientiam..., 1645.]  Gassendi bekritiseerde Le Cazre in De proportione qua gravia decidentia accelerantur. Epistolae 3, 1646 [zie figuur].
[ Zie ook Borelli, De vi percussionis (1667), p. 249-, waar tevens verwezen wordt naar Mersenne, Novarum observationum physico-mathematicarum (1647), Cap. VIII.]
[ Bryan W. Roberts, 'How Galileo dropped the ball ...', § 2.3: 'Une bataille de pierres'.]

[ Ned. ]



Beeckman | Journaal - 1618 L c (top) | vervolg