Stevin | Waterwicht | Woordenlijst

Overzicht , Inleiding , taal , water , wet van Archimedes , paradox , kracht op wand , mens


Stevins Waterwicht

De Beghinselen des Waterwichts, met de 'Anvang der Waterwichtdaet' en de 'Anhang', komt na De Beghinselen der Weeghconst en De Weeghdaet. Uitgave: Leiden 1586.

Het 'Waterwicht' heeft 63 blz, hier verdeeld in stukken van zo'n 10 blz.

Anvang der Waterwichtdaet:
  1. Een schip ligt dieper in de Rijn dan in zee. Hoeveel?
  2. Hydrostatische paradox - vijf daetlicke voorbeelden (dat den bodem des waters duer een grooter water niet meer beswaert en wort dan duer een cleinder)
  3. Waerom een mensch diep onder t'water swemmende, niet doot gheprangt en wort.
In een brief uit de praktijk wordt een Watermolen beschreven.

Byvough der Weeghconst (1605): Vlietende Topswaerheyt, over evenwicht van een schip.

Zie deel 1 van Principal Works (^) voor een facsimile.
    Origineel bij Google (Bayerische Staatsbibliothek).




Inleiding

In de opdracht aan "Den Staten der Vereenichde Neerlanden" wijst Stevin op het belang van het onderwerp:
Anghesien kennelick ghenouch is, E. Heeren, de gheduerighe oefning die dese landen mettet water hebben, meer als ander; waer in oock blijckelick is, wat grooter voordeel hun de oirsaeckelicke kennis der wichtighe ghedaenten des waters doen can; ghemerckt daerbeneuen dat onse Weeghconst die duer d'uyterste beghinselen openbaert
De theorie staat weer in dienst van de praktijk: spiegeling en daad zijn allebei nodig. Inzicht in de gewichts-eigenschappen van water geeft voordelen, zoals: kunnen berekenen hoe zwaar je een schip kunt beladen, en: hoe hard water drukt tegen een sluisdeur.


Taal

Anden Leser is voornamelijk een lofrede op Archimedes en op de eigen taal:
Want dit moet ghy weten, dat de sprakens goetheyt niet alleen voorderlick en is om de Consten bequaemlick daer duer te leeren, maer oock den Vinders in haer soucking.

nieuwe Consten brenghen nieuwe woorden me

Stofswaerheyt, Stoflichtheyt, Euestofswaer, en dierghelijcke, [...] welcke woorden de Griecken soo cort, ende by haren yderman soo verstaenlic, oock so eyghentlick haer grondt beteeckenende, noyt en hebben connen segghen, [...] want datter niet in en is en cander niet uytghetrocken worden

Stevin laat zien dat moeizame formuleringen na "ouersetting" in onze taal veel korter en duidelijker zijn. Hij citeert twee stukken uit Commandino's Latijnse vertaling (1566) van de "Keghelsche boucken" van Apollonius, die "wy dencken int Duytsch te laten uytgaen" (dit is nooit verschenen). Na vertaling zijn ze vier keer zo kort en veel helderder (als je de termen kent).
In plaats van spot zien we dan: "diens naem ick met eerbieding gheern ghedenck", en "duer wiens neersticheyt veel saken die int Griecx verborghen laghen, anden dach ghebrocht sijn". De kortere formulering is te danken aan de "helpende oirsaec" die Stevin had in zijn taal.
Soo ist mettet Duytsch ghestelt, ende diets hem niet en verstaet, bidt hem, beminde leser, dat hijt leere, lieuer dan als een dwaes van het Duytsch dwaeslick te oirdeelen.
Angaende v yemandt voortbrenghen mocht, dat vele met dese nieuwe costlicheyt der Duytsche tael, daer wy elders breeder af gheseyt hebben, haer spot sullen houden, wanneer sijder af hooren, daer en stoot v niet an, want sulcx is den loop des weerelts

Water

Een wateroppervlak is niet plat, want het is een stukje van een "weereltvlack" (zie ook blz 23). Eigenlijk moet je de theorie "daer na rechten". Maar dat is
tottet einde, dat is de Waterwichtdaet, niet voorderlicker, soo worter begheert datmen toelate, yder waters oppervlack plat te wesen, euewydich vanden sichteinder.
Andere uitzonderingen zijn te vinden
in een droppel erghens op ligghende ofte anhangende, ofte in water daer eenich lichaem me bestreken mocht wesen [...]

maer in soo cleyne menichvuldigheyt waters als dese, noch in soo groote als daer t'ghinste in merckelick is, verkeeren de volgende voorstellen {Propositiones } niet.

Water rust op water, anders zou er een "eewich roersel" zijn. Voorstel 1 zegt het zo:
T'ghestelde water houdt alle plaets diemen hem binnen water gheeft.
Op blz 16 blijkt de "form soot valt" in de tekening een schip te zijn, en dat ligt in
een water van t'welck een teerlincksche voet [kubieke voet] weeght 65 lb (soo veel weeght naer d'eruaring een Delfsche voet Delfs water, ende daerop sullen wyse inde volghende voorbeelden altijdt schatten)
Zeewater is anders:
Laet by voorbeelt een schip ligghen inden Rhijn te Leyen, ende men wil weten hoe veel dattet daerin dieper sincken sal dan in See voor Catwyck. Men sal ondersoucken de reden der stofswaerheyt van dat water tot dit, welcke sy als van 42 tot 43, soo heb ickse in Hoymaent duer d'eruaring beuonden, want nemende twee euegroote lichamen, dat vanden Rhijn wouch 4260 azen maer t'Seewater 4362 azen
Stevin kon nauwkeurig wegen: zijn verhouding is 1,024 en die vinden we ook in een tabellenboek (bij 20 °C en 3 % zout). Hij gebruikte minder dan een half pond water. De temperatuur kon hij niet opgeven, een 'Warmtekunde' was er nog niet. Maar het was wel een warme zomermaand.


Wet

vierkant D in groter vierkant BC, vierkant A ernaast, even groot als D Bewijs van de wet van Archimedes:
T'vlackvat D vol waters, en is in t'water BC licht noch swaer, want het daer in alle ghestalt houdt diemen hem gheeft, duer het Ie voorstel, daerom t'water D uytghegoten, t'vlackvat sal t'ghewicht des waters lichter sijn dant in sijn eerste ghedaente was, dat is, van soo veel volcommentlick licht:  Laet ons nu daer in legghen t'lichaem A, t'selue sal daerin effen passen
Het genoemde 'vlackvat' is een denkbeeldig vat
sonder lichamelicke grootheyt, ende sonder ghewicht [...]
Vlacvat, ouermits siin stof uyt vlacken bestaet
Zie ook: Bepaling 7, en Begheerten 4, 5.
De 'lichtheid' kan ook gemeten worden: voor het "staltwicht in t'water" wordt een katrol onder water getekend.

Een uitbreiding van de wet staat in de Anhang:

so neemt dat een man gantsch onder t'water sy, aldaer by hem hebbende quicsiluer, gout, met een waegh, ende houdende t'water als voor locht: Ick seg dattet gaudt aldaer so veel lichter sal sijn int quicsiluer dan int water, als de swaerheyt des quicsiluers mettet gaudt euegroot

Paradox

Kracht op de bodem, met een drijvend voorwerp:
Waer uyt blijckt dat eenighe drijuende stof in t'water gheleyt, sy en verswaert noch en verlicht (welverstaende als t'water inde selfde hoochde blijft) den grondt niet.
Een mooi betoog leidt in Voorstel 10 tot de hydrostatische paradox, die eigenlijk zou moeten heten 'paradox van Stevin':
dat den bodem des waters [...] duer een grooter water (d'hoochde de selfde blijuende) niet meer beswaert en wort dan duer een cleinder
dunne buis, onderaan verbonden met breed vat, even hoog Deze formulering komt uit de Waterwichtdaet, en daar staan heuse natuurkundeproeven 1,
want den menighen dat voor onnatuerlick mocht achten, sullen bouen t'voorgaende Wisconstich bewys, daeraf vijf daetlicke voorbeelden beschrijuen, welcke yghelijck versoucken, ende ooghenschijnlick sien mach.
Voorbeeld 2: Een "cleen dun buysken" en een "groot dick vat" (zie figuur); en bij 4 is de conclusie:
dat I lb waters [...] meer ghewelts sal connen doen [ ... ] dan hondert duysent ponden [ ... ], t'welckmen der naturen verborghenheyt soude mueghen noemen dat d'oirsaken onbekent waren.

Geprang tegen de wand

rechthoekige bak en katrol met gewicht, touw trekt aan het verste vertikale vlak Voorstel 11 gaat over de kracht van het water tegen de wand ("helft des pilaers waters", DH = DC). Het 'begheerde' geeft een vooruitblik naar voorstel 18: waar grijpt de kracht aan?
(de tekening is vereenvoudigd)

Het probleem wordt goed inzichtelijk gemaakt door kantelen (AC wordt MP) en een 'stijflichaem' in plaats van water: diagonaal gehalveerde kubus
dan wordt de situatie echt voelbaar:

alsulcken gheprang [...], te weten meer pranghende naer NO dan naer MP, om dattet aldaer dicker en swaerder is dan alhier
Hierna volgt een lang bewijs voor de stelling dat de "macht des gheprangs" gelijk is aan het gewicht aan water van het getekende prisma 2. De methode van de "oneindelicke naerdering" wordt nog verduidelijkt met een rekenvoorbeeld: de wand (bodem) wordt verdeeld in gelijke horizontale stukken; eerst vier, dan "in soo veel deelen alst ons belieft, latet sijn in thienen", en dan voor alle zekerheid: "deelende den bodem duer de ghedacht in 1000 euen deelen".

In de Waterwichtdaet blijkt het belang van deze stelling:

daer uyt is onder anderen kennelick, wat ghewicht waters datter druct, teghen elcke siide der duer van een sluys, ende dierghelijcke: Oock dattet water ouer d'een siide alleenlick een stroobreet, daer teghen soo stijf prangt als t'water diens breede de Zee van Oceane ouer d'ander siide; Welverstaende als sy euenhooghe siin.
Met deze kennis heeft Stevin een nieuw ontwerp gemaakt voor een watermolen.

En dit inzicht van het verschil tussen 'macht' en 'geprang' was ook toepasbaar op een ander gebied: dat van de vestingbouwkunde. In de Sterctenbouwing vinden we, na beschouwingen over "overwelfsels van kelders, brugghen, kercken" en over een "bornput", de opmerking:

soo der bolwercken ghebruijck inhielde, te moeten wederstaen een persinghe die van buijten over al daer teghen anquaem, soo soude de veelhouckighe, of ronde form tot dien einde wel stercker wesen, maer sulcke persinghe en worter niet op verwacht. Angaende de clooten die van buijten daer op gheschoten worden, dat en is gheen persinghe overal
Dit is een duidelijk voorbeeld van wat 'spiegeling en daad' vermag: een algemeen theoretisch inzicht biedt oplossingen voor heel diverse praktische problemen.


Duiken

Diep onder water is er een grote "macht des gheprangs". Toch wordt een mens in de diepte niet dood gedrukt:
Laet een mensch 20 voeten diep onder water ligghen, weghende elcke voet waters 65 lb, ende t'gheheel vlack sijns lichaems sy groot 10 [vierkante] voeten. Dit soo wesende, daer sal teghen sijn lijf perssen byde 13000 ponden ghewichts [...]
T'welck soo sijnde, hoe ist mueghelick, sal ymant segghen, dat sulcken ghewicht den mensch niet doot en druct?
Met een 'syllogisme' bewijst Stevin dat je heel blijft:
A.   Alle duwing die t'lichaem weedom andoet, verset eenich deel des lichaems uyt siin natuerlicke plaets ;
O.   Dese duwing des waters en verset gheen deel des lichaems uyt siin natuerlicke plaets ;
O.   Dese duwing des waters dan, en doet het lichaem gheen weedom an.
En hij licht toe:
Soo eenich deel als vleesch, bloet, vochticheyt, wattet sy, uyt sijn natuerlicke plaets verset wierde, t'soude moeten plaets hebben daert in ghinge, die plaets en is buyten t'lichaem niet, [...] sy en is oock binnen t'lichaem niet, wanttet [omdat het] daer soo vol lichamelickheyts is als daer buyten, waer duer yder dit deel, soo stijf stoot teghen yder dat deel, als yder dat, teghen yder dit, ouermits t'water rondom t'lichaem tot allen sijden met een selue reden staat. 3
mens, liggend op de bodem van een vierkant vat, kurk in de bodem Zou Stevin ook gedacht hebben aan ingeademde lucht?
Nog een gedachtenproef:
Maer wildi nu daetlick sien dit de waerachtighe oirsaeck te wesen, so trect den tap E uyt, ende dan en sal teghen sijn rug an E gheen stootsel sijn, als an alle d'ander plaetsen sijns lichaems, daerom oock sal het lichaem daer prangsel lijden, ende dat soo stijf [ ... ] als veroirsaeckt wort duer t'ghewicht des pilaers waters, diens gront het gat E is, ende hoochde, de hoochde des waters bouen hem, waermede t'voornemen opentlick bewesen is.



Noten

  1. Twee van deze proeven werden in 1614 fraai afgebeeld door Christoph Grienberger, met engeltjes of 'putti' zoals die van Rubens (zie Aguilon). Stevin wordt genoemd in een bijbehorende publicatie van 1614, zie het vertaalde stukje in 'Stevins faam'.   «
        Michael John Gorman, 'Mathematcis and modesty', in Mordechai Feingold (ed.), The new science and Jesuit science (2003).
        François de Aguilon, Opticorum libri sex (1613), zie het begin van elk deel.

  2. Christiaan Huygens gaf later een ander bewijs voor de "halve pylaer waters".
    Nic. Witsen, Aeloude en hedendaegsche scheeps-bouw en bestier (1671), p. 234-238 volgt de voetstappen van Stevin, met 10 wiskundige voorstellen over de zwaarte van water en een voorbeeldberekening bij een schip.   «

  3. De gedachtenproef staat, met de figuur, beschreven in:  Georg Philipp Harsdörffer, Deliciae philosophicae et mathematicae, 3 (1653) p. 483.
    Iemand die het in 1658 nog niet begreep was Gaspar Schott: "op de bodem van een hoog en smal vat heeft hij meer water boven zich dan naast zich ... hij wordt niet van alle kanten gelijk ingedrukt", in Magiae universalis naturae et artis, Pars III & IV, p. 436.
    Schott noemt "Stevinus lib. 8. staticae Propos. 3", zie: Hypomnemata mathematica (1605) T. IV Statica, p. 149.
    Over de hydrostatische paradox staat in Magia universalis III & IV, p. 454: "Wat te denken van de theorie van Stevin in propos. X van boek 4 en prop. 2 van boek 5 van de Statica", zie p. 119 en 146. Conclusie van Schott: de theorie is goed, het voorbeeld niet (maar zie hoe zijn onbegrip blijkt uit het in 'Stevins faam vertaalde stukje: minder water weegt minder).



Simon Stevin | Waterwicht (top) | Begin