Deze meetkundige bloempjes ²) die u niet onaangenaam zullen zijn, zoals uw illustere vader ³) me heeft doen hopen, heb ik des te gewilliger gezonden omdat ik wist dat daaraan meer dan genoeg te zien zal zijn hoeveel vorderingen ik gemaakt heb door het lezen van uw boeken. Die aanbeveling kunnen ze meekrijgen dat ze vers zijn, en dat ze, in uw tuinen gegroeid, volgens het oordeel van rechtsgeleerden als de uwe beschouwd moeten worden. Gaat u dus door, met hulp van de goede God, ons te verblijden met die grootse vindingen van u, maar het meest in de optica, met ondersteuning waarvan u als eerste hebt waargenomen hoe die oude vader der goden zijn maantje liefkoost. Verborgen liefde tot nu toe, naar ik meen, want van een oude man; maar u hebt niet geduld dat de grijsaard straffeloos overmoedig is: u hebt immers de stervelingen aangewezen dat hij met nauwsluitende boeien omstrengeld is; en wat eens voor Mars en Venus de Stralende en de Vuurbedwinger *) waren, dat was voor Saturnus en diens maantje Huygens als enige. Beloning is het nageslacht u schuldig, en het zal u met een dankbaar gemoed voor de aanwijzing onsterfelijke roem toekennen. Leert u ons alleen met welke werktuigen u de hemel benaderd hebt, opdat wij datgene waarvan u ons met uw gezag overtuigt, ook met onze zintuigen in ons opnemen.

  De weledele van Schooten, die ik om zijn verdienste hoogacht, wil ik gegroet hebben uit mijn naam, als het niet bezwaarlijk is, en gewaarschuwd dat hij de weledele Gutschoven [<] niet zomaar vertrouwt wanneer deze over vrienden schrijft. Hij is namelijk gewend zich ietwat over te geven aan genegenheid, en overigens scherpzinnig en onberispelijk, in deze ene zaak verrekent hij zich, zij het met de beste bedoeling. Ondertussen is het passend om niet alleen alle mensen, maar vooral ook de in de goddelijke meetkunde ingewijden, boven de zakelijke waarheid te eren, zoals hij zegt. Ik voor mij heb geleerd mezelf de maat te nemen, vooral nu ik ondervind dat de vaardigheid die ik tot nu toe had in wiskundige zaken (hoe gering die is weet ik van allen het best) met de dag kleiner wordt. Ik ben namelijk in zo'n stad waarin van boeken die meetkundige zaken behandelen zelden, bijna geen van de mensen die daar zorg voor dragen te voorschijn gekomen is. Daarbij komen andere studies waarin ik me nodig moet verdiepen, of waaraan de plicht me onderwerpt.

Tuus et Virtuti Tuae devotus  
Renatus Franciscus Slusius.  

  Gegeven zoveel punten als men wil, in zoveel vlakken als men wil, een ander punt te vinden zodanig dat, als daarvandaan rechte lijnen getrokken worden naar de gegeven punten, hun kwadraten samen genomen het kleinst zijn van alle mogelijke.

16 Jul. 1657.

  Met grote en onvermoede vreugde heeft mij uw brief overstelpt, daar ik steeds maar aan het bedenken was hoe ik het best met u een wederzijdse briefwisseling en vriendschap zou aanknopen. Ziehier echter, u was bezig geweest deze zorg van mij weg te nemen door me onverwacht aan te spreken, en me die bloempjes van zowel uw verstand als van uw geleerdheid te doen toekomen, het aangenaamste dat ik had kunnen ontvangen. Die lijken mij niet in onze tuinen, zoals u zegt, gegroeid te zijn, maar veeleer op gemeenschappelijke meetkundige grond, waar u ze als eerste geplukt hebt. Inderdaad — als we de allegorie laten voor wat ze is — dat eerste, uw bewerking van het Delische probleem*)

  Dat ik de begeleider van Saturnus aan de hemel bij de mensen bekend gemaakt heb [<], daarmee wenst u mij rijkelijk geluk, en al te prachtig met een lofrede voor een zo gering iets. Wat is deze roem van mij immers anders dan dat ik iets aan het gevondene heb toegevoegd, wat men makkelijk noemt; als ik maar met grotere zorg lenzen slijp en onderling samenvoeg, dan misschien hiervoor door anderen is gebeurd. Onze buizen zijn namelijk ook voorzien van slechts twee of hoogstens drie bolle glazen, en daar gelijksoortige bij velen al lang in gebruik geweest zijn — en in de eerste plaats te Rome, waar ze naar men zegt een kunstvaardige Daedalus ²) hebben gevonden — verbaas ik me erover dat die nieuwe planeet daar niet vóór mijn ontdekking is opgemerkt. Dat hij nu in Engeland beslist wordt waargenomen, heeft J. Wallis, professor in Oxford, me geschreven ³), en dezelfde periode van 16 dagen is eraan toegekend; opdat u niet denkt dat u alleen op mij moet vertrouwen. Doch ik heb hem hier aan zeer velen laten zien, onder wie ook de weledele Boulliau, die nu in deze stad verblijft [<]. Och moge er toch een gelegenheid zijn waarbij hij ook voor u, en tegelijk u voor ons, te zien zal zijn.

  Wat u wilde dat ik aan van Schooten zou zeggen, dat heb ik hem eergisteren voorgelezen uit uw brief, toen hij hierheen gekomen was om ons nieuwe uurwerk te zien, met een doorgaande slinger. Het spijt hem echter in het geheel niet dat hij de weledele Gutschoven vertrouwd heeft, en vooral nadat ik had laten zien wat u me gezonden had; dit opdat u weet dat u tevergeefs voor ons het uitstekende streven kleineert waardoor u voorzien bent van ervaring in de Meetkunde. Doch wij weten dat deze niet alleen bij u aanwezig is, maar verbonden met veel geleerdheid en alle meer verfijnde beschaving.
Het ga u goed, uitnemende heer, en ik hoop dat u met die welwillendheid waarmee u begonnen bent blijft begeleiden met uw gunst

Tibi addictissimum.  

  Van uw vriendelijkheid en uw geleerdheid hebt u overvloedig blijk gegeven in de brief die ik gisteren van u ontvangen heb; en wel van de eerste, doordat u hebt willen lijken te menen, dat die kleinigheden van mij iets voorstellen; en van de laatste, doordat u hebt getoond de aard van het niet onbelangrijke Probleem al eerder te hebben doorzien. Ik ben dan ook buitengewoon blij, dat ik op dezelfde gedachten ben gekomen als u, op grond van dezelfde beschouwing van vlakke plaatsen, waarvan ik na berekening zag, dat zo het Probleem algemeen kan worden gesteld en opgelost, zoals ook veel andere, die tot één soort worden herleid, zoals bij Meetkundigen gebruikelijk is.
Eén ding treft mij als verbazend, dat u steeds die gelijkheid van het zwaartepunt met het gezochte punt in het zelfde vlak hebt waargenomen, ik weet niet hoe dit opgenomen moet worden. Voor mij staat namelijk vast dat dit niet uit de regels van zwaartepunten volgt, of u nu bedoelt het zwaartepunt van het vlak dat de verbindingslijnen van de gegeven punten insluiten, of van deze lijnen zelf. Voor heel weinig gevallen maak ik een uitzondering, die in één korte regel kunnen worden samengevat, en toen ik in het begin hierop kwam, kreeg ik veel hoop een methode te vinden die de zwaartepunten van alle vlakken bekend zou maken; maar zorgvuldiger beschouwing en herhaalde berekening hebben geleerd hoe onbeduidend het was, wat ik met ongegrond vertrouwen had aangenomen. Steekt u dus een fakkeltje aan in mijn duisternis, en stuurt u tegelijk iets, uit uw voorraad of uit die van de geleerde van Schooten te voorschijn gehaald, waarop ik mijn analyse kan loslaten, of waarvan ik tenminste de oplossing met een openhartige bekentenis van onwetendheid aan u kan ontlokken.
Bij ons is het nu vakantietijd, waarin we gewend zijn alle zorgen uit het geheugen te spoelen met de wateren van Spa. Maakt u dus dat er enige reden bestaat voor mijn vrije tijd, opdat die niet lijkt doorgebracht, zoals die beroemde*) zegt, zonder de letteren, dat is de dood en begrafenis van een levend mens. Och zou er maar een gelegenheid komen met u te spreken, er zijn immers zoveel dingen die binnen de beperkingen van brievan niet voldoende kunnen worden uitgelegd. Ik zou jaloers zijn, als het mocht, op de geleerde en bekende Boulliau die dit geluk heeft en die dat nauwkeurige Uurwerk van u en die scherpziende buizen niet genoeg kan bewonderen, daarvan ben ik overtuigd. Die Romeinse vakman die u roemt is Eustachio bijgenaamd Divini; dat hij het van de Ouden heeft opgenomen, ofschoon hij wegens uitmuntendheid van kunst verdient het als eerste onder de knie te hebben gekregen. Ik heb ondervonden dat zijn buizen voor geen andere onderdoen, ook al zijn ze voorzien van maar twee lenzen. Ik meen evenwel dat ze bij de uwe zo ver zijn achter te stellen, als u hem in theorie overtreft; hij is namelijk geheel onwetend in de meetkunde.

Tuo et Tibi Addictissimus  
Renato Francisco Slusio.  

Nobilissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem
Viro Clarissimo etc.
VI 1)	Hagam-comitis.

27 Jul. 1657.  

  Ik had inderdaad duidelijker te kennen moeten geven op welke manier ik heb kunnen beweren dat het zwaartepunt van de punten hetzelfde is als het gevraagde punt. Punten hebben geen zwaarte, maar ook lijnen en oppervlakken niet. En toch wordt er in gedachten zwaarte aan toegekend, zoals wanneer we het zwaartepunt van een parabool definiëren, en evenzo van de omtrek van een halve cirkel, wat Guldin ¹) en anderen hebben beschouwd.
En aan meer punten met gegeven positie kan als volgt zwaarte worden toegedicht: dat voor elk dezelfde wordt gesteld, of als u dit liever wilt, dat bij elk afzonderlijk als middelpunt een er omheen geplaatste bol met hetzelfde gewicht wordt aangenomen. Als bijvoorbeeld de punten A, B, D en F een gegeven plaats hebben, zal namelijk van de twee A en B het zwaartepunt C zijn, dat AB doormidden deelt. Als hier vandaan weer getrokken wordt CD, en deze wordt in E zodanig verdeeld dat DE tweemaal EC is, zal dat punt E het zwaartepunt zijn van de drie punten A, B en D.
Als vanuit E een rechte wordt getrokken naar F, en deze wordt verdeeld in G zodat FG driemaal GE is, dan zal G het zwaartepunt zijn van de vier punten A, B, D en F. Als vanuit dit punt G naar deze vier punten

  Bij gegeven positie dus van de rechten BA en AC die een hoek omvatten, en bij een gegeven punt D binnen de hoek, moet hierdoor een rechte BDC zodanig worden getrokken, dat de driehoek BAC de kleinste is van alle die zo afgesneden kunnen worden. Doch dit is vrij gemakkelijk.
Het volgende is moeilijker: namelijk als de hoek BAC rechthoekig gesteld wordt, door het erbinnen gegeven punt D een rechte BDC te trekken die van alle de kortste is.

  Met dezelfde methode van maxima en minima heb ik eertijds ²) gevonden hoe bij een gegeven brekingsverhouding van een of andere doorzichtige vloeistof dadelijk de hoek gevonden kan worden waaronder de regenboog gezien moet worden, zonder het opstellen van een tabel zoals Descartes in 'Les Meteores'heeft gegeven°). Doch de brekingswetten en de bolvormige druppel beschouw ik op dezelfde manier als hij.

  Het geschrift van Magiotti ³) over de onsamendrukbaarheid van water ⁴) heeft mijn vader die nu eindelijk thuis is gekomen ⁵) voor mij meegebracht, en dit heb ik terstond doorgelezen; zeer goed bevalt me het nieuwe experiment, en de oorzaak die hij gegeven heeft is zeer juist. Dat andere echter, naar aanleiding waarvan hij hierop kwam, lijkt geheel ongelofelijk, en ik heb besloten eerst na te gaan of het werkelijk zo toegaat, alvorens over een oorzaak na te denken. De aard en eigenschappen van een vloeistof verschaffen een bonte verscheidenheid aan stof tot bespiegeling. Zelf heb ik over drijvende lichamen, na Archimedes en Galilei^#), lang geleden niet weinig

  En steeds heb ik wel het meest datgene het beschouwen waard gevonden, waarin niet alleen het enkel overwegen van Meetkundige figuren een plaats had, maar waarin hun kracht en werkzaamheid aangewend werd voor het opdelven van enige waarheden in natuurkundige of andere zaken. Hoewel ook de zuivere Meetkunde zelf aan haar beoefenaars niet weinig genoegen brengt.
Het boek*) van van Schooten dat recent is uitgegeven zal ik aan u zenden zodra ik kan; daarin zult u veel vinden dat scherpzinnig bewezen is, en in het bijzonder over Vlakke meetkundige plaatsen, die hij alle heeft hersteld. Ook een korte verhandeling van mij over berekening bij het kansspel zult u bijgevoegd zien, maar niet voldoende passend uit onze taal, waarin ze door mij was opgesteld, in het Latijn vertaald.
Het ga u goed, zeer edele heer, en maak vruchtbaar gebruik van de wateren van Spa, zo wenst u toe

Tui observantissimus    
Chr. Hugenius de Z.    

  Uw brief was mij des te meer welkom, omdat er vriendelijk in wordt gewezen op de blindheid waarmee ik door overijlde haast geslagen was. Weliswaar had ik bij herhaald lezen van uw vorige brief al opgemerkt, dat op de manier die u nu uitlegt begrepen kan worden, en zelfs moet worden, wat u had geschreven, maar meegesleept door de voorbeelden van die gedachten die ik aan u heb geschreven, was ik onwillekeurig afgeweken naar zwaartepunten van vlakken of lijnen; vooral daar dat zwaartepunt van punten volgens mijn methode niets te maken leek te hebben met het gezochte punt. Nu echter, aangezien u verklaart dat dit hetzelfde is als het middelpunt van een cirkel van Apollonius,

  Gegeven op dezelfde rechte een willekeurig aantal punten A, B, C, D, E, F, G en H; een ander punt zoals I te vinden zodanig dat, als naar de gegeven punten getrokken worden de rechten AI enz. hun kwadraten samen de kleinste verhouding hebben tot de driehoek gemaakt door de uitersten AI, HI en de onderschepte rechte AH.

  Ik kom nu tot wat u mij hebt voorgelegd om op te lossen. En het eerste, waarvan u ook erkent dat het makkelijk is, wordt wel zonder enige moeite geconstrueerd. Als immers DE evenwijdig met AB wordt getrokken en EC gelijk wordt gesteld aan BE, zal de rechte CDA de driehoek ABC afsnijden die het kleinst is van alle die door D afgesneden kunnen worden.

  Het tweede hebt u naar het lijkt moeilijker gevonden, omdat het geen oplossing toelaat met vlakken. En ik meen dat u het mij daarom hebt willen voorleggen, om na te gaan of ik het Probleem over de twee middelevenredigen*) met een andere bewerking zou construeren dan tot nu toe is gedaan. Wat ik u durf toe te zeggen, weledele heer, ja zelfs verlangt u niet zó veel constructies van mij, dat ik er niet steeds meer kan leveren. U zult zo vriendelijk zijn mij deze grootspraak ten goede te houden, en toe te schrijven aan de methode die ik gevonden lijk te hebben om dat veel besproken Probleem op onbepaalde manieren te construeren.
Ik keer nu terug naar de bewerking van het uwe. Laat uit het gegeven punt D de loodlijnen DF en DE vallen op de zijden, die de rechthoek DB maken, waarvan het middelpunt G is; en door D gaat de rechte ADC in een zodanige positie, dat de rechten GA en GC gelijk zijn. Ik zeg dat die de kleinste is van alle die, door hetzelfde punt gaande, op de gegeven rechten eindigen.
U ziet dat ik de constructie van Hero heb gevolgd, als zijnde voor dit probleem geschikter, waarop ook neerkomen de redeneringen van Philo en van Apollonius en zelfs van Nicomedes, zoals u weet.
Het was mij zeer welkom te begrijpen dat het werkje u bevalt van wijlen Magiotti, met wie ik in Rome vaak heb gefilosofeerd over drijvende lichamen ('peri tôn ochoumenôn') volgens de principes van Archimedes en Galilei; hij was als een landgenoot, zo'n intieme vriend. Dus kon het niet anders dan aangenaam zijn dat u schrijft, dat u vroeger over dezelfde dingen uw berekeningen hebt gemaakt. En we waren evenals u van mening dat de Meetkunde bij andere wetenschappen moet worden ingebracht zodat ze aangenamer wordt en nuttiger. Dat ondertussen de grenzen ervan moeten worden opgeschoven zoveel als mogelijk is; daar voor ons veel en daarbij verfijnde kennis van de meetkunde nodig is, om de werken te doorzoeken van hem van wie Plato zei dat hij altijd als meetkundige te werk gaat°). En dat, aangezien er een bijna oneindig veld van Theorema's en Problemen is, we ons moeten toeleggen op methoden, waarmee het meeste van eenzelfde soort wordt opgelost, maar ik zou werkelijk pedant zijn als ik dit had verkondigd aan u, zo bedreven in de meetkunde. Ik zal dus niets meer toevoegen, behalve dat ik u enkel

Nobilissimo Clarissimoque Domino Domino Christiano Hugenio de Zulichem
VI	A la Haye.

Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse.

Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens.
Antwoord op No. 398. De Sluse's antwoord: No. 401.

  Ik denk dat u benieuwd bent, daar u merkte dat aan u zo gemakkelijke problemen door mij zijn voorgelegd — die u inderdaad zonder moeite hebt afgedaan, aangezien u hierbij een beproefde algemene methode hebt — of ik er een proef van zou willen nemen of u deze echt zou hebben. Daarentegen twijfelt u echter, en u wilt weten of ik dezelfde gebruik als u, aangezien ik het probleem over de gegeven punten [<] slechts in één vlak heb opgelost. Doch ziehier, ik breid het nu uit tot alle mogelijke vlakken, en ik zeg dat het gevraagde punt hetzelfde is als het zwaartepunt van alle gegeven punten. Verder, bij wat u mij te construeren hebt gegeven komt ook een eigenschap van het zwaartepunt voor.
Het wordt namelijk op deze manier gedaan: Wat is samengesteld uit alle lijnen AB, AC, AD, AE enz. wordt verdeeld in zoveel delen als er gegeven punten A, B, C, enz zijn. Neem als één van die delen AK. En richt vanuit K een loodlijn KI op; doch laat punt K het zwaartepunt zijn van alle gegeven punten. Evenzo wordt de som van alle kwadraten van AB, AC, AD, AE enz. verdeeld in zoveel delen als er gegeven punten A, B, C enz. zijn, en één van die delen wordt gelijk gesteld aan het kwadraat van de rechte AI, die hellend is ten opzichte van KI. Ik zeg dat dit deel het punt I bepaalt, waarvoor moet gelden: als daar vandaan de rechten IA, IB enz. worden getrokken, hebben hun kwadraten samen de kleinst mogelijke verhouding tot de driehoek AIH. Ik ben tot deze constructie gekomen langs twee wegen, waarvan

  Overigens laat het mij vergund zijn u nu iets anders voor te leggen om te onderzoeken, niet omdat ik schat dat het moeilijk is, maar het is toch van dien aard dat vastaat, als u het hebt opgelost, dat u iets meer hebt gezien dan Descartes.

  Hoe dit tot een vergelijking van de vierde macht moet worden herleid heb ik gevonden, maar niet zonder vrij lang nadenken.

  Ziehier voor u een brief gewijd aan Meetkundige speeltjes voor wie niemand een stuiver geeft behalve wie allang in deze geheimen is ingewijd en zich er bij uitstek mee vermaakt. En dat u zo iemand bent,

Christiaan Huygens aan ? ¹)

Aanhangsel bij No. 399.

Concept in Leiden, coll. Huygens.

    Nobilissime Domine.

  Nieuwe tekens van uw talent en kennis heb ik met uw brief eergisteren ¹) ontvangen. Ga door met deze geestkracht waarmee u zo succesvol uw methode voor de oplossing van beide

	Nobilissimo et Clarissimo Domino Domino Christiano Hugenio de Zulichem
VI	A la Haye.

  Een waarneming van de laatste maansverduistering ¹), mij gisteren uit Rome gebracht, zend ik u hierbij ²), en gezien die hartstocht waarmee u deze edele wetenschap behandelt, weet ik dat u deze niet ongaarne zult bekijken. Voor ons was waarnemen hier niet mogelijk, zozeer verijdelde een voortdurend bewolkte hemel onze pogingen. Als u de weergoden gunstiger gezind hebt bevonden, zendt u dan alstublieft uw waarneming, samen met deze, aan mij terug, opdat ik in staat ben beide mee te delen aan de weledele heer Gutschoven, die we eerstdaags hier verwachten. De weledele Michelangelo Ricci ³) heeft haar naar mij gezonden, wiens gelijke in de wiskunde ik te Rome niet heb gevonden;

  Inderdaad bewonder ik van dag tot dag meer en meer die uitnemende scherpte van uw verstand, waarmee u zo snel en toch zorgvuldig de meest verborgen schuilhoeken van de wiskunde bekijkt, dat niets u ontsnapt. Het was immers ditzelfde wat Descartes ontgaan was, wat u al opmerkte; en ik zou het misschien nooit gevonden hebben. Maar de eerste die het me bekend gemaakt heeft was Roberval, de scherpste beoordelaar van de geschriften van Descartes, zodat hij niet alleen een navolger was, maar ook een doodsvijand. Hij dan maakte me erop opmerkzaam [<] dat er altijd twee 'gehele plaatsen' zijn waarop het in dat probleem van Pappus gevraagde punt zou vallen*); met de naam 'gehele plaatsen' aanduidend een rechte lijn, een cirkel, of een kegelsnede, waarbij twee hyperbolen tegenover elkaar één 'plaats' zouden vormen. En ik heb gevonden dat dit zo is. En daarom voldoet ook de tegenovergestelde van die hyperbool, die u beschreven hebt, aan het voorgestelde.

  Om tenslotte het zwaartepunt te vinden: neem AQ gelijk aan

  Dus nu heb ik de drie dingen geleverd die u verlangd hebt: de kwadratuur, het zwaartepunt en de raaklijn. Bij de eerste twee, die tamelijk moeilijk te vinden zijn, schrijf ik het toe aan goed geluk dat ik ze zo snel verkregen heb, beide heb ik namelijk doorzien op dezelfde dag dat mij uw brief gegeven werd*). Doch een bepaalde methode voor dit probleem schijnt me er niet te zijn, daar behalve kennis van analyse bovendien een andere bijzondere vondst nodig is. Overigens was voor de kwadratuur van deze lijn de kwadratuur ²) van de parabool bruikbaar voor me; voor het opsporen van het zwaartepunt echter een zekere stelling die ik bij Guldin [1635] gevonden heb, onbewezen, maar toch zeer juist.

  Dat de verdubbeling van de kubus opgelost kan worden door snijding van een ellips en een cirkel, heb ik ontdekt°) kort voordat ik deze brief schreef, maar volstrekt niet met een korte constructie. Schrijf me alstublieft of die bij u voldoende gemakkelijk uitviel, en sta mij toe dat ik het vraag.

  Het boek ³) van van Schooten en Gedichten van mijn vader ⁴) ontvangt u bij deze brief. Ik weet niet of u gezien hebt wat J. Wallis, professor te Oxford, over de kwadratuur van de cirkel behandeld heeft, in een boek met de titel Arithmetica infinitorum. Uit Frankrijk heb ik enige tijd geen brieven ontvangen waarin iets meetkundigs stond; wat zeker door mijn schuld gebeurd is. Ik ben namelijk niet nauwgezet als iemand anders zich heeft aangediend die graag aan briefwisseling doet, behalve waar het gaat om mensen zoals u. Het ga u goed, en blijf in ere houden

Tui studiosissimum atque amantissimum
Chr. Hugenium de Z.  

    Nobilissime Domine

  Zodra ik de gedichten van uw illustere vader, samen met de boeken van de weledele van Schooten ontving, heb ik me terstond geworpen op uw berekening van het dobbelspel: geleerd, scherp, passend bij u.

  Voor u zijn ook het beschouwen waard de virtuele Parabolen van pater Gregorius van St. Vincent°), waarvan de schrijver de aard helemaal niet heeft gezien; deze vermelding zal voldoende zijn, want een berekening zal het overige laten zien. U zult me een genoegen doen als u me ervan op de hoogte stelt of Roberval tot nu toe iets heeft uitgegeven, wiens wedijver met lof "de strijd is die goed is voor de mensen", zoals Hesiodus zegt ^#), waarmee de grenzen van de wetenschappen worden opgeschoven, zolang ze niet tenslotte tot vijandschap overgaat, het moet immers niet zo zijn dat voor een klein beetje roem ooit wetten worden geschonden.

  De brief aan mij die u op 24 augustus hebt afgegeven, waaraan de waarneming van de Eclips was toegevoegd, heb ik in Zuilichem ontvangen, de andere heb ik hier in den Haag aangetroffen. Op de eerste zal ik eerst antwoorden dat, ook al verlangde ik het zeer, het mij niet te beurt is gevallen de maans­verduistering te zien, omdat de hemel geheel met wolken bedekt was. Anders zou ik haar zeer graag waargenomen hebben, in samenwerking met Boulliau.

  Ik kom nu tot uw laatste brief, waarin voor mij het meest welkom is dat u goedkeurt wat ik over het kansspel heb uitgegeven, hoewel ik erken dat het om meer dan één reden kon mishagen. Aan mijn Vader heb ik geleverd wat u voor hem gegeven had, waarin we uw beide zeer elegante verzen in beide talen vonden, die we meer dan enkele keer hebben gelezen. O wat bent u gelukkig met dit talent, voor ernstige en daarnaast ook voor meer bekoorlijke studies geschikt, passend en vaardig. Maar ik heb de goddelijke bewoners van de Helicon altijd tevergeefs aangeroepen, al ben ik buitengewoon blij met een gedicht.

  Dat u het werk van van Schooten in verminkte staat hebt ontvangen is gebeurd door mijn schuld, waarvoor ik vergiffenis vraag, en door overijlde haast, daar het dezelfde dag waarop ik u schreef uit Den Haag moest weggaan. Doch ik zal ervoor zorgen dat de bladen die er niet waren naar u worden gebracht langs dezelfde weg als het overige.

  Aan de beschouwing van de kromme lijn waarvan u zegt dat deze aan de ouden bekend is geweest, heb ik tevergeefs enige tijd besteed, en ik heb nog geen opmerkelijke eigenschap ervan kunnen vinden, behalve dat hij in één geval een volmaakte cirkel wordt; ik wil dus heel graag van u vernemen, om welke verdienste hij vroeger door de ouden en nu weer door u wordt besproken. Ik heb inderdaad nooit enige vermelding van deze lijn gezien, maar ik weet dat veel geschriften van de ouden verloren zijn gegaan en dat er ook nu nog veel verborgen zijn in Bibliotheken, waaruit u deze misschien te voorschijn hebt gebracht.
Het boek van Gregorius van St. Vincent heb ik nu niet bij de hand, ik heb het uitgeleend aan een vriend om te gebruiken; wat echter die Parabolen zijn die u virtuele noemt, herinner ik me niet voldoende, maar dat zal ik bij de eerste gelegenheid uitzoeken. Wat u vraagt over Roberval, of hij tot nu toe iets heeft uitgegeven: ik meen dat hij niets anders uitgegeven heeft dan, onder de naam van Aristarchus van Samos, een boek over het wereldstelsel ³). Hij is namelijk niet alleen van de annotaties die hij de zijne noemt, maar van het gehele boek de schrijver. Doch ik meen dat hij niet weinig in bewaring heeft dat het uitgeven waard is, waaronder een verhandeling over de Breking. Daaruit heeft hij me eens een probleem getoond, waarvan ik dacht dat ik de enige was die het gevonden had. Namelijk hoe stralen die op een bepaald punt gericht zijn, nauwkeurig verzameld kunnen worden in een ander gegeven punt, met behulp van een lens die slechts bolle oppervlakken heeft [<]. Probeert u eens, vraag ik u, of u een dergelijke lens kunt vinden, als gesteld is het brekingsprincipe dat we aan Descartes te danken hebben;

    Nobilissime Domine

  Ik heb uw brief van de 6e ¹) september ontvangen, en weinige dagen erna de resterende bladen van de werken van de geleerde van Schooten, waarvoor ik u weer dank zeg, zoveel als ik kan. De geleerde van Gutschoven heeft, in verschillende bezigheden verwikkeld, naar hij schrijft, zijn komst uitgesteld tot de volgende maand. Er is dus geen reden u te verontschuldigen voor het uitstel dat de Romeinse waarneming van de maans­verduistering bij u heeft gehad. Och was het maar mogelijk geweest ook de uwe te hebben, uitgevoerd met die nauwkeurige Uurwerken, zodat we door vergelijking van beide goed konden oordelen over de hele zaak.
Dat u mijn versjes prijst, doet u uit welwillendheid; ondertussen gaat het er goed genoeg mee, als er geen aanmerking op komt. Maar wat bent u innemend, mij erop te wijzen dat u tevergeefs de goddelijke bewoners van de Helicon aanroept met een vers, en u licht het toe met de woorden dat u door gemaakte verzen wordt beïnvloed. Daarom ben ik ervan overtuigd dat ik wat u zegt zo moet uitleggen, dat u, verzonken in hogere studies, deze bekoorlijkheden van talentvolle mensen beneden uw stand vindt.
De onechte Aristarchus van Samos heb ik enige jaren geleden gezien, in de uitgave van Mersenne als ik me niet vergis, en dat de schrijver ervan Roberval is heb ik toen al begrepen. Diens stelling over de oppervlakte van boldriehoeken is mijns inziens dezelfde als die welke de bekende Cavalieri jaren geleden gepubliceerd heeft, in een boek dat hij betiteld heeft als Directorium generale Uranometricum [p. 323], als volgt: De oppervlakte van een bol heeft tot de oppervlakte van een willekeurige daarop beschreven boldriehoek dezelfde verhouding, als vier rechte hoeken tot de helft van het overschot van de som der hoeken van deze driehoek boven twee rechte hoeken.
Doch het andere wonderlijke, over een bolle lens die op een bepaald punt gerichte stralen in een ander punt verzamelt, daarvan beken ik dat ik het nergens heb gezien. Ja zelfs is er nooit door mij naar gezocht, daar ik immers, overtuigd door de autoriteit van Descartes, dacht dat hij al deze stof uitputtend behandeld had. Maar door u aangespoord zal ik beginnen met zoeken, en ik zal het voortaan een wiskundige onwaardig achten in deze zaken

Nobilissimo et Clarissimo Viro D. Christiano Hugenio de Zulichem
VI	A la Haye.

  Ziehier, uw vertrouwen in mij beschaam ik niet, en ik zend de oplossing van het Optica-probleem dat ik had ontvangen om te onderzoeken. De volgende dag nadat ik u geschreven had ¹) — als het van belang is dit te weten — heb ik die gevonden; toen ik namelijk mijn gedachten op papier gezet had, zag ik dat het daaruit zonder moeite kon worden afgeleid. Doch ik heb het uitgesteld dit aan u te zenden, omdat ik hoopte dat het zou gebeuren dat ik onderwijl iets van de weledele Ricci [<] zou ontvangen; maar deze zwijgt tot dusver, hetzij door bezigheden bezet, hetzij omdat hij een brief van mij verwacht, zoals ik veeleer meen.

  Ondertussen heb ik een dubbele constructie gevonden, volgens de twee gevallen waarin het Probleem uiteenvalt. Immers, het punt waarin de stralen verzameld moeten worden is òf tussen de gezochte lens en het punt waarop ze gericht zijn, of aan de andere kant. Beide gevallen behandel ik als volgt.

Nobilissimo et Clarissimo Viro D. Christiano Hugenio de Zulichem
VI	A la Haye.

12 Oct. 1657.  

  Bij uw uit een hyperbool ontstane kromme [<] heb ik tot dusver niets buitengewoons kunnen opmerken, en er is me geen licht opgegaan doordat u hebt aangeduid dat die twee zusters heeft. Dus blijft u alstublieft niet doorgaan mij iets te vragen dat dichtbij waarzeggerij ligt. Ik verwacht namelijk hier nauwelijks iets te vinden als ik niet weet wat ik moet zoeken. Laat mij dan tenminste weten bij welke oude schrijver u die lijn hebt gevonden, tenzij u wilt dat ik u ervan verdenk zelf die schrijver te zijn, en het tegengestelde te hebben gedaan van wat een plagiaris doet.
Overigens is er een oneindig aantal lijnen die kunnen worden gevormd en bij elke afzonderlijk is er iets dat scherpzinnig te onderzoeken is. Maar wat er aan nieuws naar voren wordt gebracht bij die eerste en meest bekende, neem de cirkel en Kegelsneden, dat is mij altijd meer uitnemend voorgekomen dan bij de overige. Bij het Rekenkundige probleem, waarvoor Plutarchus u de aanleiding gaf, zie ik niet wat de moeilijkheid is, als slechts een vierkantsgetal wordt gezocht dat een gegeven verhouding heeft tot het viervoudige of drievoudige van de zijde ervan; die verhouding kan evenwel zo gegeven worden, dat het probleem onmogelijk wordt.

  Om de tijd te vergeten zet ik deze brief wat langer voort; ik breng namelijk deze nacht door zonder slaap, bij mijn zieke vader zittend, en hem het nodige toedienend, waardoor ik dikwijls onderbroken word. Om toch niet al te uitvoerig te worden zal ik u nu laten gaan, waarbij ik de constructie van het Delische probleem zal toevoegen die zoals u weet mij eertijds gevraagd is en die nu onlangs gevonden is [<].

  Over de virtuele Parabolen van pater Gregorius heb ik tot dusver evenmin als over die andere kromme kunnen doorgronden, waarom u ze het bekijken waard acht. In elk geval heb ik de eerste beoordeeld, en als deze uit verschillende krommen is samengevoegd, zijn die tenminste van een andere soort dan kegelsneden.
Maar deze slaapverwekkende brief moet tenslotte maar eindigen. Het ga u goed.

  Het genot, dat ik in hoge mate aan uw brief ontleend heb, wordt slechts door dit ene verstoord, dat ik daaruit de ongunstige gezondheids­toestand van uw uitstekende vader begrepen heb.

  Verder is er de parabool PHL die alle ordinaten van de eerste, zoals BI en CA, doormidden deelt. Maar als je ook nog een virtuele parabool voortbrengt met de regel de pater Gregorius in de beschrijving ervan voorschrijft, moet je delen van dezelfde lijn herhalen op deze manier, dat aan de kant van C een kromme CX komt, gelijkvormig en gelijk zal zijn met de kromme CL. En aan de kant van A een kromme AY, evenzo gelijkvormig en gelijk daarmee [met AL] ⁷). En dat als beide volgens hun aard worden verlengd, CX in A eindigt, en AY in M, zodanig dat AM gelijk zou zijn aan CA. Waaruit ik heb opgemaakt dat de kromme XCKAY [XCLAY] evenmin één lijn is als de kromme PCKAN die uit omgekeerde cirkelsegmenten is samengevoegd.

    Nobilissime Domine

  Onlangs ontving ik uit Parijs van een Italiaans edelman ¹) met wie ik bevriend ben geraakt, en die sinds enige maanden in Frankrijk verblijft, deze Problemen ²). De oplossing ervan is door verscheidene Wiskundigen tevergeefs geprobeerd, schrijft hij, terwijl ze zijn voorgelegd door een volgens hem zeer scherpzinnig iemand, de heer Pascal, u kent hem misschien. Ik heb gezien dat het eerste terstond kan worden opgelost met een ruimtelijke meetkundige plaats, namelijk door snijding van twee Hyperbolen; maar toen ik één geval aan analyse onderwierp, vond ik dat het een vlak probleem is, en niet moeilijk op te lossen, al geeft het een wat ingewikkelder constructie.
  Het tweede heeft mijns inziens zijn oorsprong te danken aan vijf vlakken die een kegel of tegenover elkaar

  Er is ook iets anders waarop ik u bij deze gelegenheid wil wijzen: een foute tekening, op tafel achtergelaten, waarvan ik een kopie onlangs in een brief naar u heb overgebracht ⁴), doet me vrezen dat ik daarop vertrouwend iets verkeerds heb gezet in het Onderzoek van de Parabolen van pater van St. Vincent. Het is namelijk zo: CX is wel gelijk en gelijkvormig met CL, maar AY wordt niet daaraan gelijk zoals de tekening aangeeft, maar aan AL. Verbetert u het dus en verontschuldig mij, als het een beetje verkeerd is gedaan. Zoals u al zo vaak hebt gedaan, ik weet het. Want ik ken uw geleerdheid en vriendelijkheid te goed, om te vermoeden dat u een met haastige pen zonder nadenken opgeschreven fout niet hebt opgemerkt of niet verontschuldigd.
Het ga u goed, weledele heer en begeleid mij altijd met gelijke genegenheid

Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem
VI	A la Haye.

    Problema j^um.

  Gegeven twee cirkels A en C, en een rechte EF, te vinden een cirkel EBDF die aan de gegeven cirkels raakt en op de gegeven rechte een boog EBDF overlaat, gelijk aan een gegeven hoek.

    Problema 2^dum.

  Gegeven vijf rechten AG, BF, CK, DL en EH, te vinden een kegelsnede die aan de vijf gegeven rechten raakt. Tegenover elkaar liggende Hyperbolen neem ik als één kegelsnede.

Samenvatting:  Virtuales. Spiricae. ipsius problema. Schotenii problema. Frenicle [>]. nova inventa mea.

vrijdag 2 Nov. 1657.  

  Ik begrijp dat u het geheel met mij eens bent over de Cartesiaanse regels bij botsing van lichamen, en over de bewijzen van Lipstorp, en ik verheug me er over. Bij mij zijn ze in de eerste plaats begonnen argwaan te wekken omdat ze met alle proefnemingen in strijd waren. Daarna heb ik opgemerkt dat de 5^e regel tegen de tweede ingaat.
De tweede stelt immers dat, als de lichamen B en C met gelijke snelheid bewegend tegen elkaar botsen, en B is groter dan C, dat dan alleen C terugkaatst, en dat onmiddellijk daarna beide aangrenzend met gelijke snelheid voortbewegen; die daarom in elk van beide dezelfde zal zijn aan die welke ze eerder hadden, omdat anders iets afgegaan zou zijn van de hoeveelheid beweging.
Doch de vijfde zegt dat, als een groter lichaam B botst met een kleiner lichaam C in rust, het lichaam B dan een deel van zijn beweging verliest. Dus uit deze twee zou volgen dat de beweging van lichaam B meer gehinderd zou worden door een kleiner lichaam C in rust, dan wanneer dit in tegengestelde richting bewoog, wat ik volstrekt ongerijmd acht.
Maar met mijn regels is het zoals het physisch het geval lijkt te zijn. Ik heb tenminste zekere bewijzen, en met geen enkele vondst was ik meer met mezelf ingenomen, want ze stemmen ook voorbeeldig overeen met de ondervinding. Voorts heb ik aangetoond dat een lichaam in rust, zo groot als men wil, bewogen wordt door een ertegen botsend lichaam, zo klein als men wil. En of ze dezelfde zijn als de uwe, dat zullen we met dit ene voorbeeld te weten komen. Ik zeg namelijk, als A het drievoudige is van B, en als ze met gelijke snelheid naar elkaar toegaan, dat A onbeweeglijk blijft staan, en B tweemaal zo snel als hij aankwam terugkaatst.

  Toen ik begrepen had dat uw kromme, gemaakt met een Hyperbool, één van de 'spirische' krommen [<] van Perseus is, heb ik toch nog lang geaarzeld, omdat ik ook niet zeker wist wat een 'spira' zou zijn. Tenslotte echter viel me iets in over ringen, van de soort die Tacquet heeft beschouwd [1651], en meteen vond ik hoe bij een gesloten ring een snede evenwijdig aan de as met uw kromme kan worden gegeven. Ik heb ook Theon*) ingekeken, die de derde lijn van de spirische lijkt te stellen van deze aard: hij zegt namelijk dat deze bij het midden nauwer is dan bij elk van beide kanten. En ik geloof dat ook de overige in de Spira kunnen worden aangetoond, maar wat 'de vijf sneden' zijn doorzie ik niet voldoende, en ik zou u dankbaar zijn voor een uitleg van dat Griekse Epigram ¹). En om welke reden Perseus zo blij was met de vondst van deze lijnen.
In uw beschrijving van de virtuele parabool had ik al eerder opgemerkt dat deze verbeterd moet worden zoals u hebt aangewezen. Maar aangezien pater Gregorius niets zegt over het doortrekken van de kromme, zie ik niet waarom u hem beschuldigt alsof hij die heeft samengevoegd uit slecht bij elkaar behorende gedeelten [<]. Doch over de verhouding die

  Van de Problemen van de heer Pascal heb ik het eerste onderzocht; dat het een vlak probleem is bewijst de berekening dadelijk, en ik vind er geen enkele moeilijkheid in. Maar ook bij dat andere, over een kegelsnede die raakt aan vijf lijnen met gegeven positie, is het niet moeilijk te laten zien hoe tot een vergelijking wordt gekomen, maar de berekening vraagt inderdaad teveel werk.
Uw Problemen bij die eerste kromme had ik aan van Schooten gestuurd [<], om voor te leggen aan de Meetkundigen die er in Leiden zijn. Hij heeft ze aan twee voorgelegd*), die ze elk hebben gevonden, en bovendien ook het volgende dat opmerkens­waardig is; namelijk welke verhouding onderling de segmenten hebben van de kromme, verdeeld door de rechte AB die de grootste breedte ervan bepaalt.

  En zij hebben op hun beurt de volgende drie lijnen aan ons geleverd [<] om te onder­zoeken, waarvan zij eveneens de Kwadratuur, het zwaartepunt en raaklijnen verlangen.
  De volgende eigenschappen gelden.
  Laat AE ¹) de diameter zijn, DF een halve ordinaat, en gegeven AG = a, en AD = x, DF = y.

  Ik heb geen tijd gehad dit te onderzoeken, en als ik het een keer zal aanpakken denk ik dat ik de eerste zal uitkiezen, met weglating van de andere, aangezien ik voorzie dat die uitvoerige berekeningen eisen. Doch ik houd van die problemen waarbij het vinden het voornaamste is, en de berekening makkelijk.
Met betrekking tot de parabool heb ik weinige dagen geleden twee vondsten verkregen°) die nieuw zijn, althans naar ze mij toeschijnen, en schitterend, en ik leg me er nu met de meeste ijver op toe ze te beschrijven. Het ga u goed, uitstekende heer, en houd mij in ere.

Tui observantissimum      
Chr. Hugenium de Zulichem.    

  Scherpzinnig zeker is uw opmerking, waarmee u hebt laten zien dat van de Cartesiaanse regels de tweede in tegenstelling is met de vijfde; maar voordat ik ertoe overga te onderzoeken of we het eens zijn, wil ik vooraf wat zeggen, om 'homonymie' in het vervolg uit te sluiten. Bij een bewegend iets beschouw ik (zoals ik meen dat u ook doet) drie dingen: de massa [moles], de ingeprente kracht [vis impressa] (of als u het liever zo wilt noemen: vaart [impetus], stoot [impuls], beweegkracht [momentum], bewegingsgraad), en

  Laten we ons voorstellen dat de neergelaten FD een derde deel is van AG, dan zeg ik dat parallelogram AF tot drielijn*) AFD de verhouding van 64 tot 37 heeft.

  Ik had geen tijd hierin verder onderzoek te doen, evenmin als in de tweede, vreeswekkend door een lange reeks machten; waarvan ik evenwel denk dat ze meer hanteerbaar zal zijn als het masker er afgetrokken is; maar die laat ik aan u over, want ze lijkt teveel werk te verlangen om te kunnen worden ontward door iemand die wordt afgeleid door verschillende zorgen.
Bij wat u schrijft, dat u plezier hebt aan die Problemen waarin het vinden het voornaamste is, en het rekenen niet moeilijk, ben ik het volkomen met u eens. Daarom feliciteer ik u echt als u iets hebt waargenomen dat niet eerder is opgemerkt bij de parabool. Ondertussen ben ik blij dat de Geleerde heren hebben laten zien in welke verhouding mijn kromme wordt verdeeld door de grootste neergelaten loodlijn. Hetzelfde hadden ze kunnen doen bij die welke de as doormidden deelt en bij andere, wat u zonder moeite zult opmerken.
Bijna was ik vergeten te vermelden, dat ik in het Griekse Epigram [<] de 'vijf sneden' op dezelfde manier opvat als bij de kegelsneden. Zodanig dat ze hier drie nieuwe 'spirische' sneden geven, maar dat hij van de overige twee er één geeft door de as van de 'spira', de andere hierop loodrechte is een cirkel of een kransje. Doch door welke verdienste ervan de spirische sneden zoveel toejuiching van Perseus verdienen, beken ik niet te weten, tenzij deze komt van het gevoel waardoor we gewoonlijk tot onze vondsten worden gebracht. Ondertussen keek ik er verbaasd van op dat u me bij de beschrijving ervan Theon noemt terwijl ik u naar Proclus heb verwezen, die in het uitgebreide 1e deel over Euclides veel vondsten van de ouden heeft aangeroerd. De getallen van de geleerde Frenicle°) zeggen mij niets.
  Dit is het eind van het papier, maar niet van mijn wens te betuigen hoezeer ik ben

vr. 7 Dec. 1657.

  Verder heb ik gezegd dat de verhouding van parallellogram DC tot drielijn DAF is als die van
a + y  tot  ¹/₂ a + ³/₄ y + ¹/₁₂ ay/(a + y) , die overeenstemt met de uwe.
Het zwaartepunt van oppervlak AFD of HAF heb ik echter niet gevonden en ik vraag me af of zij het zelf ook niet wisten, die het hebben voorgelegd om te zoeken.
Ik had geen zin de tweede lijn te proberen, die met eenzelfde scherpzinnigheid uit een andere eenvoudigere lijkt te zijn samengeflanst als die laatste, waarvan ze de bijzondere vorm hebben gesteld als
√√ax³ = x + y.
De raaklijn hiervan trek ik als volgt. Laat het raakpunt F zijn, vanwaar langs de ordinaat wordt neergelaten FD. En aan de onderschepte DA wordt in deze richting toegevoegd AB, gelijk aan een derde van AD, en langs de ordinaat wordt opgericht BC, gelijk aan AB. Ik zeg dat de rechte CF aan de kromme raakt in F. En het door de kromme omvatte oppervlak AFGH heb ik gevonden als een zevende deel van het vierkant op de as AG. Vervolgens, dat het zwaartepunt O die GA zodanig verdeelt, dat GO tot OA is als 19 tot 14. Waarvan u inderdaad juist hebt doorzien [<] dat het allemaal voortvloeit uit vondsten van anderen.
  Uw kromme is echter veel meer het beschouwen waard dan al die andere; en wat u daarover hebt vermeld, dat de verhouding van de segmenten ervan in verschillende gevallen kan worden geleverd, bevind ik zozeer waar, dat in het algemeen, hoe ook de ruimte door uw kromme omvat door een rechte lijn wordt gesneden, de genoemde verhouding van delen gegeven is.

  Van uw kromme ga ik over op wat u uiteenzet over meegedeelde beweging van lichamen. Waarbij u behalve de grootte [magnitudo] en de impetus ook de snelheid [velocitas] of bewegingsgraad zegt te beschouwen, die Descartes de bewegings­hoeveelheid noemt; zodat, als een lichaam A in grootte het drievoudige is van een lichaam B, maar daarentegen de snelheid van deze B het drievoudige van de snelheid waarmee A voortgaat, er in beide dezelfde hoeveelheid beweging is. Deze hoeveelheid beschouwt Descartes, en hiervan beweert hij dat na een botsing van lichamen altijd dezelfde behouden blijft. Wat ik onjuist bevonden heb.
Nu weet ik niet of u hierin de mening van Descartes deelt, maar ik vrees het, aangezien ik anders niet zie waartoe het nodig is die hoeveelheid of de impetus te onderzoeken. In het geval dat ik voorgelegd had over lichamen in een drievoudige verhouding, zoals anders ook altijd, is snelheid [celeritas] voor mij hetzelfde als beweging. Daarom verlang ik nu te weten of uw regels hetzelfde bepalen als wat ik in dat geval als uitkomst genoemd heb. Dat wij verschillende beginselen gebruiken bevind ik daaruit, dat u stelt [<]: als een kleiner lichaam botst op

  Wat wel zeer afwijkt van uw bepaling. Maar als u de proef neemt zult u bemerken dat het echt zo gebeurt. Van wie van ons beiden echter de bewijzen het meest geloof verdienen zullen we hierna uitzoeken.

  Over het epigram van Perseus aanvaard ik uw uitleg, er lijkt ook geen andere aannemelijk. Overigens verbaast u zich er terecht over dat ik u Theon noem; het is namelijk verkeerd, want ik bedoelde Proclus.

  De kwadratuur van de kromme van pater Gregorius zoals u die hebt opgespoord op grond van de vergelijking die u eerder voor mij hebt uiteengezet, is inderdaad een scherpzinnige vondst; ik zal proberen of ik die kan navolgen.

  Uw brief, afgegeven op de 7e van deze maand, heb ik al enige dagen geleden ontvangen; doch mijn antwoord heb ik uitgesteld omdat ik hoopte dat de geleerde van Schooten intussen iets aan u zou sturen waarvan u zo vriendelijk zou zijn er mij deelgenoot van te maken, Maar aangezien hij tot dusver zwijgt, heb ik me niet kunnen weerhouden u te schrijven, hoe aangenaam het mij trof dat we de afmeting van die eerste kromme langs dezelfde weg hebben aangepakt.

  Over de bewegingsregels: ofschoon veel dingen mij de waarheid van de mijne aannemelijk maken, toch lijkt me dat ik, aangezien ze van de uwe afwijken, terecht kan uitspreken volgens de oude formule: de zaak is niet duidelijk. Het beginsel van Descartes over een onveranderlijk dezelfde hoeveelheid beweging in het heelal [Ned. p. 67], als het niet uit zichzelf vaststaat moeten de grondslagen van zijn Filosofie wankelen. Daar komt bij dat wie eenmaal toestaat dat de hoeveelheid beweging vermindert, geen plaats lijkt te hebben om te staan, tenzij hij misschien van oordeel is dat een nieuwe hoeveelheid voortgebracht wordt vanuit natuurlijke, althans vrije oorzaken; waarover ik uw mening vraag. En het is niet omdat u de proeven volgt, waaraan ik weliswaar het geloof niet wil ontzeggen, maar mij schiet toch steeds weer te binnen die uitspraak van de oude man van Kos ¹) "de ervaring is bedrieglijk, het oordeel moeilijk"°), tenzij de rede het bevestigt. U weet immers wat omstandigheden kunnen doen in deze zaak.
Daarom weer, zoals in de meeste dergelijke gevallen: "ik schort mijn oordeel op en overweeg het"^#). Maar niet in de genegenheid waarmee ik u bejegen, ik ben namelijk met voortdurende volharding

Tui Observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

Drie dagen is het geleden dat ik Saturnus opnieuw begon waar te nemen met mijn lange telescoop; en ik heb de fase ervan bevonden zoals ik voorspeld had dat ze zou zijn^#), wat geheel en al mijn Systeem bevestigt. Ik vraag me evenwel af waar de Italiaanse waarnemingen blijven waarvan u schreef dat ze u toegezonden zouden gaan worden [<,>], hoewel ik weet dat ze zich niet bij u bevinden zonder dat ik ze ontvang. Het ga u goed, voortreffelijk heer, en houd mij in ere

Tibi addictissimum    
Christ. Hugenium de Zulichem.

  Hoewel ik denk dat mijn brief van de 18e van deze maand ¹) al bij u is gebracht, het antwoord daarop verwacht ik met ongeduldig verlangen, toch heb ik na ontvangst van uw laatste brief het niet willen uitstellen, u het zeer grote genoegen kenbaar te maken dat ik daarvan kreeg, en ook iets te zeggen over de zaak zelf. Slechts dit vooraf zeggend dat ik de heer Hudde al ken uit de laatste Lectiones*) van de geleerde van Schooten, en dat de mening die ik al had over zijn scherpzinnigheid en kennis versterkt en nog veel meer bevestigd is door die voorbeelden die u mij gestuurd hebt.
Ik zal nu beginnen met wat ik heb aangevoerd, naar u zegt, dat zijn derde kromme afhangt van vondsten van anderen, en ik zal uitgebreider uiteenzetten hoe ik dit bedoelde, om beter bekend te maken wat ik heb willen aanduiden met de naam 'onvolgroeide lijn'.
Laat er een kromme AFGA zijn om de as AG, waarop een willekeurig punt F wordt genomen, en als de normaal FE wordt getrokken (en als in analytische termen AG = a, AE = x, FE = y) kan deze vergelijking worden verkregen:
ay + yy = ax − xx.  Ik zeg dat deze kromme AFGA een 'onvolgroeide lijn' is, en wel samengevoegd uit twee gelijke bogen van eenzelfde cirkel, de bogen die AG als zijde van het ingeschreven vierkant onderspant, zoals u makkelijk opmerkt.
Nu moet er een parabool zijn van een hogere soort, waarvan de top A is en de as AO, en dan worden op een halve rechte hoek gezet OG en QF, waarvan de vierde machten zich onderling verhouden als de derde machten van OA en AQ; en AG wordt onderspannen door een eveneens halve rechte hoek van de parabool die in G komt. Ik zeg dat deze kromme AFG de derde is van de heer Hudde; die ik om dezelfde reden als hiervoor genoemd heb een 'onvolgroeide lijn'. Niet omdat kennis ervan afhangt van vondsten van anderen, dit heeft ze immers gemeen met andere en met de mijne, maar omdat uit de vergelijking zelf al bekend wordt, dat ze een segment is van één van oneindig veel parabolen, dat is weergegeven aan beide kanten van de rechte AG. En of hij dit aan u heeft geschreven zou ik graag van u vernemen.
Ondertussen beken ik vrijmoedig dat de mijne niet uit deze principes van de heer Hudde, maar uit eenvoudiger principes door mij is afgeleid, en dat ik niet voordat u me er op wees de gemeenschappelijke oorsprong had herkend van zijn eerste of tweede (tenminste, op de manier waarop hij het uitlegt) met de mijne; en daarom was ik er niet weinig blij mee, dat hij een nieuwe weg naar hun afmeting leek te openen. Maar opdat ik uw scherpzinnige en vindingrijke overdenkingen niet

Samenvatting:  Afleiding over Parabolen. Over de Hyperbool. Afleiding van Heuraet ervan met lijnen.

  Op uw twee brieven, beide voor mij zeer welkom, antwoord ik. In de eerste laat u zien dat u dezelfde methode hebt gebruikt als ik ook heb gevolgd bij het onderzoeken van de kwadratuur van Hudde's kromme; en ik meen dat het helemaal klopt, aangezien ik ook op die zelfde termen kwam,
aa + yy + 2 ay  tot  ¹/₂ aa + ³/₄ yy + ⁴/₃ ay.  Ik heb het oppervlak van deze kromme namelijk uit drie stukken aaneengesmeed, waarvan er één rechtlijnig begrensd is, en ik zou bijna durven verzekeren dat hetzelfde door u is toegepast. En dat leek wel de meest geschikte weg naar de kwadratuur. Deze vraagt althans een makkelijker berekening, dan die welke door Hudde wordt voorgesteld; die ik overigens ook zelf had gevonden. Maar dat deze kromme zo verwant is met de uwe, daarop ben ik voor het eerst door hem opmerkzaam gemaakt.
Op deze plaats wil ik u nu ook die kromme doen toekomen, die de ander van die wiskundigen aan wie de heer van Schooten uw kromme had voorgelegd als antwoord heeft gegeven, en als u deze goed onderzoekt zult u inzien dat ze vol zit met spitsvondigheid en scherpzinnigheid. Heuraet is de naam van deze Meetkundige, uit wiens brief aan van Schooten, in het Nederlands geschreven, ik het volgende in het Latijn heb vertaald ²).

  Verder, dat Hudde's lijn 'onvolgroeid' is, is mij niet ontgaan, en ook hem niet, zoals u makkelijk hebt kunnen afleiden uit wat ik u in de vorige brief heb geschreven. Daarom meen ik ook niet dat u de raaklijn naar de top van de kromme nu nog verlangt, aangezien u al weet dat deze op dezelfde manier moet worden getrokken, als die naar het eind van uw lijn, die we eerder hebben gegeven*).
U zegt dat u raaklijnen aan parabolische krommen°), waaruit deze lijnen zijn samen te stellen, op de Euclidische manier hebt laten zien; wat ik deze keer evenzo heb gedaan, nu ik deze krommen behandel, en wel met een rechtstreeks bewijs. Maar van alle ook de kwadraturen, en ik heb van lichamen ontstaan door omwenteling ervan de verhouding met een cilinder afgeleid op dezelfde Euclidische manier, en van al hun regels die bij Mersenne in het voorwoord van Mechanicorum ³) zijn te lezen heb ik een bewijs opgeschreven, waarvan ik weet dat het, als u het niet hebt gevonden, zeer aangenaam voor u zal zijn als ik het geef. Ik ben hierin namelijk verder gekomen langs een nog niet gebaande weg.
Over de bewegingswetten: ik kan me nauwelijks bedwingen om niet mijn redeneringen en hypothesen hier voor u uiteen te zetten, aangezien ik weet dat niet op een andere wijze dat bezwaar weggenomen kan worden, dat u weliswaar scherpzinnig hebt aangeroerd, maar niet boven mijn verwachting. Maar het is zeker een uitgebreide zaak en niet geschikt voor een brief, en ik heb deze materie in een heel boek uiteengezet, dat ik eens ter beoordeling aan welwillende lezers zal geven. Hoewel van Schooten en alle anderen die aan Descartes meer toegewijd zijn dan billijk is, mij al lang ervan afhouden. Maar wat ik aanvoer weten ze helemaal niet, behalve dat ik verklaard heb dat het in strijd is met diens leer.
Denk niet dat ik alsmaar proeven doe, ik weet namelijk hoe glibberig ze zijn. Doch voor de bewijzen neem ik enkele dingen aan, zoals dat een groter lichaam dat botst met een kleiner in rust, dit in beweging brengt, en daarom iets van zijn snelheid afstaat. Evenzo dat als twee lichamen met elkaar botsen, en het ene ervan na de aanraking dezelfde snelheid heeft als het tevoren had, dat dan ook het andere niets van zijn vorige snelheid afstaat. En als u met dit laatste instemt, twijfel ik er niet aan of u zult ook de overige postulaten toelaten, omdat die namelijk nog duidelijker zijn dan dit.
Het axioma van Descartes over het behoud van beweging, zodanig dat er altijd eenzelfde hoeveelheid van overblijft, leek me vroeger ook heel waarschijnlijk en in overeenstemming met de rede. Maar nu weet ik dat het niet blijvend kan zijn; met een ander duidelijker principe dat dit onomstotelijk bewijst. Doch wat u moeilijk toeschijnt, dat een deel van de beweging verloren gaat — daar bij het toelaten hiervan er niets in de weg lijkt te staan waarom ze niet geheel verloren gaat — daarmee is het anders gesteld. De hoeveelheid beweging kan namelijk zowel verminderen, als weer een een vermeerdering krijgen tot zoveel als er eerder afgegaan is. En beide hebben zekere grenzen. Maar hierover wellicht tevergeefs, totdat we van grondslagen zullen zijn uitgegaan.

  Op uw laatste brief zal ik minder nauwkeurig antwoorden, aangezien deze niet voorhanden is; ik heb hem namelijk aan van Schooten gestuurd om hem aan Hudde te laten zien. U maakt duidelijk hoe de derde kromme van Hudde ook zelf 'onvolgroeid' is en van welke oorsprong ze is afgeleid.

  Dat mijn vondst over het herleiden van het oppervlak van een parabolische conoïde tot een cirkel

  Laat binnen de kromme op een of andere manier een rechte lijn AB worden getrokken, en laat uit A en B de loodlijnen op de as AC en BD vallen. Deel dan CD in vier gelijke delen met de punten F, E en G, en trak de rechten FI, EH en GK evenwijdig met AC; en verbind A met H, en H met B. Onderzoek nu de verhouding die HL heeft tot IM en KN samen, welke ik bevind als 2 tot 1. En dientengevolge is die van het segment AIHKBA tot de ingeschreven driehoek AHB, als 4 tot 3.

  Voorts heb ik bevonden dat deze kromme lijn bestaat uit twee tegengestelde bochten, en dat het punt ertussen wordt gevonden door te nemen OQ = 1/3 OP, en door RS loodrecht op OP te trekken.
Indien nu uit R en S twee gelijke rechten, zoals RT en SV, binnen de kromme worden getrokken, en die in ettelijke gelijke delen worden verdeeld, met lijnen evenwijdig met TV, en de punten van de kromme waarin de genoemde lijnen vallen worden verbonden; dan zullen de zo afgesneden segmenten in voortdurende verhouding zijn van de oneven getallen vanaf de eenheid; 1, 3, 5, 7, 9, 11 enz.
Hieruit vind ik dat het zwaartepunt van de twee door de rechten SV en RT afgesneden segmenten valt in Y, zodanig dat bij verdeling van de lijn QX in 15 delen gesteld kan worden dat QY gelijk is aan acht daarvan.

  Uw zeer welkome brief van de 3e van dit jaar heb ik eergisteren ontvangen, samen met de scherpzinnige vondsten van de voortreffelijke Heuraet, die ik uit dit voorbeeld, zoals men de leeuw aan zijn klauw kent, voldoende als een geleerde Meetkundige heb leren kennen. En om eindelijk te doen wat ik had beloofd, namelijk duidelijk te maken wat ik verder had opgemerkt aan mijn kromme en die eerste van Hudde, moet ik de zaak grondiger terughalen.
Ik had vroeger, toen mijn hoeveelheid vrije tijd dit toeliet, met het voorbeeld van oneindig veel parabolen, ook oneindig veel Hyperbolen en cirkels of ellipsen bedacht, met een geringe verandering in de vergelijking. Het zal volstaan dit met een voorbeeld duidelijk te maken.
Laat er een rechte AB zijn, en een kromme BD, waarop een willekeurig punt D wordt genomen, vanwaar neergelaten wordt DC, die ik in analytische termen noem x, en BC y, en dan AB a; laat nu voortdurend deze vergelijking worden aangehouden:
ay + yy = ax.  Deze heb ik genoemd de eerste van oneindig veel Hyperbolen.
Als 2e heb ik gesteld  ay + yy = xx.  Een hogere  ayy + y³ = aax  of  ayy + y³ = axx  en zo tot in het oneindige, wat zonder moeite gedaan kan worden, zoals u wel opmerkt.
Breng dit nu over op cirkels, namelijk door de + te veranderen in een −, en er komt
ay − yy = ax,  ay − yy = xx, 
ayy − y³ = aax  of  ayy − y³ = axx  enz.
Toen ik onderzoek deed naar hun eigenschappen, zag ik meteen dat de eerste en tweede van de genoemde Hyperbolen of Ellipsen waren: een parabool, een cirkel, een Ellips of Hyperbool van Apollonius, maar de overige niet zo;

Tui Observantissimum

Renatum Franciscum Slusium.

  Leodij 8 Aⁱ. 1658.

  In uw laatste brief legt u eindelijk uit hoe u voor het eerst op uw peervormige lijn bent gekomen, die ons tot dusver heel mooie stof heeft geleverd om berekeningen te doen. Maar het meest verbazend van alles is, dat die ons zo lang heeft kunnen misleiden met een verkeerde soort. Ik ben er zeker van, dat u al gevonden hebt wat u mij voorlegt om te onderzoeken; te weten dat deze kromme niets anders is, dan juist een kubische parabool. Of liever

  De Siciliaanse waarnemingen van Saturnus, die ik enige weken gelden aan u heb gestuurd ¹), zijn allang aan u gegeven, naar ik hoop. Hier hebt u ook nog, aangezien u het wilt, langs welke weg ik op bekendheid met die kromme

Tui Observantissimum

Renatum Franciscum Slusium.

  Dabam Leodij viij feb^rij.
  MDCLVIIJ.

    Nobilissime Domine

  Dat de intense koude gedurende deze dagen mij trager heeft gemaakt in het schrijven, zal u geenszins verbaasd hebben naar ik weet, daar nu ook van u slechts vrij korte brieven afkomstig zijn. Hoewel ik beken dat een dankbetuiging voor de waarnemingen van Saturnus, met zoveel nauwgezetheid bij mij bezorgd, te lang is uitgesteld, daar ik ze het meest aan u te danken heb. Ik vraag me echter af hoe het gekomen is dat de schrijver zelf ¹), die mij zo beleefd aanspreekt ²), geen moeite gedaan heeft om die bladen sneller naar mij te doen brengen.
Het schijnt dat die man door een enorme liefde voor de dingen aan de hemel in beslag wordt genomen, en dat hij het daarom waard is van betere telescopen te worden voorzien. Want dat hij een hypothese heeft omarmd die zo weinig waarschijnlijk is, is mijns inziens niet zozeer aan hemzelf toe te schrijven als wel aan een gebrek aan instrumenten. Anders zou hij namelijk gevonden hebben dat de meeste van die fasen bij Saturnus nooit voorkomen, die zijn systeem hem noodzakelijk ingeeft.

  Dat deze dingen u zullen bevallen betwijfel ik niet, en vooral als u de constructies ziet. Tegen welke prijs u ze van mij kunt krijgen weet u al. Maar ik wil met u niet gaan bieden; dus zult u ze binnenkort zonder kosten ontvangen, opdat u mij kent als

Tui observantissimum

Chr. Hugenium de Zulichem.

  vr. 15 Febr. 1658.

  Zeer welkom was mij uw brief van 15 februari, waarin u vriendelijk mijn laconisme kastijdt; ook al lijkt u zich daarin immers te beklagen, dat ik u voorzichtig en

  Bij de kromme waarvan de bijzondere vorm [<] wordt uiteengezet met deze termen:
ay³ − y⁴ = xxaa,  de verhouding van het parallellogram tot dat oppervlak is zoals bij een andere, die wordt uiteengezet als:
ay³ − y⁴ = x⁴,  de verhouding van de omgeschreven cilinder tot het lichaam, voortgebracht uit dezelfde omwenteling om de as. Daar op dezelfde gedeelten van de as nu eens wordt neergelaten  x⁴,  en dan weer  aaxx.  Het bewijs ervan is niet ongelijk aan dat, waaruit we opmaken dat de omgeschreven cilinder zich zó verhoudt tot de bol, als het ingeschreven parallellogram tot de parabool.
Stel u dus voor dat beschreven is de kromme ACB, waarvan de as AB a is, en waarop een willekeurig punt C is genomen, waaruit is CD neergelaten, en dat als AD genoemd wordt y, en CD x, voortdurend geldt de vergelijking:
ay³ − y⁴ = x⁴.  Daar omheen zij beschreven het parallellogram FOE, en met een diameter GH gelijk aan AB wordt een cirkel gemaakt, en hier omheen het vierkant IKLM.
Het staat voldoende vast dat, als het vierkant samen met de cirkel wordt gewenteld om de rechte IL, de voortgebrachte cilinder dezelfde verhouding zal hebben tot de 'spira' [<] als het vierkant tot de cirkel. Dit is immers wel dadelijk duidelijk uit de Centrobaryca, aangezien het zwaartepunt van de cirkel en van het vierkant hetzelfde is. Ik zeg dus: als het parallellogram AE en de kromme ACB worden gedraaid om de as AB, zal de nu ontstane cilinder tot het ingesloten lichaam die verhouding hebben die het vierkant tot de cirkel heeft, of die de eerste cilinder tot de spira heeft.
Hieruit bestaat de hele redenering van de 'overstap', zoals u ziet. En dat dit zo is zult u gemakkelijk opmaken op als u de afzonderlijk verkregen vergelijkingen samen vergelijkt; ik schaam me er namelijk voor u dit uitgebreider uit te leggen, opdat ik niet, terwijl ik moeite doe bondigheid te vermijden, in gebeuzel verval.

Tui observantissimum

Renatum Franciscum Slusium.

  Dabam Leodij 19 feb^rij 1658.

  Een derde macht te vinden die opgeteld bij al zijn delers een kwadraat maakt ¹). Bijvoorbeeld: het getal 343 is de derde macht van de wortel 7; zijn delers

  Ook wordt gevraagd een kwadraatgetal dat opgeteld bij al zijn delers een derde macht maakt enz.

26 Févr. 1658.

  Wie zou niet zwichten voor u, een zo goed redenaar, en die met onvervalste vleierij te werk gaat? Zeker niet alleen bij dat, wat betreft het onderzoek van uw lijn, heb ik u aldoor vertrouwd als u zich rechtvaardigde, maar ook scheelde het weinig of ik aanvaardde de andere verontschuldiging over uw redenering van de kwadratuur, tot nog toe voor mij niet ontward; misleid namelijk door uw mooie praatjes, als u zegt dat het uw enige zorg was mij zelfs niet voor een ogenblik uit de Saturnushemel weg te roepen naar de aarde. Toch was dit stellig niet de reden, maar u hebt willen beproeven wat ik op eigen houtje kon bereiken.
Zie immers hoe u ook nu, terwijl u verklaart mij de hele zaak te zullen uiteenzetten, datgene weglaat dat de voornaamste moeilijkheid inhoudt; tot grotere schade evenwel voor u dan voor mij. Want als u het overige nauwkeurig ten uitvoer had gebracht en juist berekend, had u zeker opgemerkt dat de 'overstap' die u ons beloofd had verkeerd was. U wilde dat deze volgens mijn oordeel zou standhouden, of vallen. Dan valt hij, omdat hij op zo'n fundament is opgetrokken dat ik hem zo nodig met een kort bewijs overtuigend zou kunnen bewijzen. Dus begrijp ik helmaal niet op welke manier u wilt dat de twee vergelijkingen met elkaar vergeleken worden, en dit verlang ik van u te horen, dat wil zeggen met wat voor 'pseudarion'*) u een verloren gegaan boek van Euclides bent gaan herstellen.
Ondertussen, omdat ik me heb aangematigd te oordelen dat er iets aan te merken is op wat u schreef, zou ik tevens willen dat u uw afkeuring uitspreekt over dit van ons, als u er soms iets in vindt dat niet in orde is.

  De kracht van het water ¹), die bij ons de gedachtenis aan de oude zondvloed weer heeft opgewekt, heeft uw brief tot op deze dag onderweg opgehouden. Toen ik deze ontvangen had voelde ik me met een zodanige hartstocht vervuld, als ik tot nu toe niet ondervonden heb. Ik heb me namelijk verheugd over uw scherpzinnige vondsten, waarvoor ik u zowel de grootste dank betuig, als geheimhouding beloof.
Maar wat zal ik zeggen over mijn 'overstap'? waarvan het fundament, aangezien het door u niet wordt goedgekeurd, bij mij nu wankelt. Wankelt, zeg ik, niet instort; want al hecht ik veel waarde aan uw gezag, toch houdt een beminnelijke dwaasheid mij voor de gek, totdat u een bewijs toegevoegd zult hebben, en de zeer dierbare dwaling van het verstand kan niet anders worden weggenomen dan door de kracht van een strikt bewijs.
Ik heb twee brieven aan u gestuurd, één ²) met deze termen:  ay³ − y⁴ = x⁴,  een andere met deze:  ay³ − y⁴ = aaxx.  Dat dit laatste afhangt van het eerste kunt u niet ontkennen, naar ik meen, terwijl het eerste wel overtuigend het voorbeeld bewijst dat ik heb aangevoerd van een cilinder omschreven om een bol, en van een parallellogram dat een parabool insluit. Minder ontevreden bent u naar ik meen met wat ik schreef, dat de cilinder tot de 'spira', of ingesnoerde cirkelvormige ring, dezelfde verhouding heeft als een vierkant tot de ingeschreven cirkel. Schrijft u dus waar dat 'pseudarion' schuilt, opdat ik weet of u de afzondelijk aanvaarde vergelijkingen op dezelfde manier hebt vergeleken als ik.
Als u het fundament waarop deze 'overstappen' berusten ontwricht, is het noodzakelijk dat ook de meeste andere dingen instorten, die ik daarop heb gebouwd. U kent de Cissoïde van de ouden. Dat deze een asymptoot heeft is tot nu toe voorzover ik weet niet naar voren gebracht. Maar die heeft ze en die is niet zonder nut. Wie namelijk het oneindige lichaam afmeet dat ontstaat uit omwenteling van de Cissoïde daar omheen, die zal eveneens ook de cirkel kunnen afmeten. Deze 'overstap' heb ik afgeleid uit hetzelfde principe als de overige, over de geloofwaardigheid ervan behoor ik echter te zwijgen, aangezien u het zo voorschrijft.

	Ze groeit en kraait victorie met gesmolten sneeuw,
	En die rebelse Maas verzamelt vreemd a) veel water
En nog met deze zesvoet*), om de hoogte aan te wijzen tot waar ze gestegen is:
	't Is hier de grens voor golven: niet voorbij de streep.

  In de getalletters°) ervan vindt u uitgedrukt het chronogram van het tegenwoordige jaar.
Dat dit beneden uw waardigheid is weet ik wel, maar ik heb het erbij geschreven opdat u begrijpt hoe ver ik me van de meetkunde moet verwijderen, als ik de studies van vrienden wil volgen. Help me dus weer op weg, en vertel me met welk 'pseudarion' ik de boeken van de Euclides ben gaan verrijken, en u zult zeer verplichten

Tui observantissimum

Renatum Franciscum Slusium.

Dabam Leodij
4 Martij 1658.

  Nu is dus trapezium AGNB groter dan her oppervlak van de kromme ACBA. Maar ik zeg dat trapezium AGNB een kleinere verhouding heeft tot BO, dan de cirkel tot het omgeschreven vierkant. Bijgevolg zal het oppervlak van kromme ACB een veel kleinere hebben tot BO. Dat zal als volgt duidelijk worden.
Aangezien AE het dubbele is van EF, zal ook GO het dubbele van OA zijn. Waaruit volgt dat het vierkant AH gelijk is aan Δ AGO. En daarom is

Tui      

  Iets waarvan ik eerder mezelf had overtuigd is ook zo gegaan, naar ik uit uw brief heb opgemaakt, namelijk dat ik bij de uitleg van de aan u geleverde 'overstap' onduidelijk ben geweest, terwijl ik mijn best deed kort te zijn. Doch ik zou willen dat u de schuld van deze bondigheid van me niet op mij werpt, maar op uw verstand, dat zo snel is en scherp en waarvan ik al dadelijk de mening heb opgevat dat alles uit de eerste en nog heel grove lijnen er aan bekend wordt. Dus terwijl ik vaak denk dat ik wat slordig mag zijn, gebeurt het tenslotte dat ik die 'overstap' onder verdenking heb gebracht, waarvan het voor mij zó zeker is dat die zonder fouten is, als de Meetkunde zelf zeker is.
Maar om u te bevrijden van de last van een lange berekening, en mezelf van de verdenking een een 'pseudarion', zal ik de zaak uitvoeriger uiteenzetten; met slechts dit vooraf gezegd: toen ik schreef dat de verhouding van de cilinder tot de 'spira' dezelfde was als die van zijn cilnder tot het nieuwe lichaam, bedoelde ik "evenzeer bekend" in plaats van "dezelfde"*); en het zou nooit gebeurd zijn dat u er onzeker over was, als u de vergelijkingen zoals ik ze had aangeduid, en waarvan ik geheel overtuigd was dat u ze zou opstellen, samen had vergeleken. U zou namelijk meteen hebben gezien dat het nieuwe lichaam een vierde deel is van de spira.

  Dat mijn versjes door die grote man uw Vader [<] en door u goedgekeurd worden, is meer dan ik hoopte en zelfs wenste. Dit gaf me de moed u een puntdicht te zenden waarin ik zinspeel op de dag waarop de rivier buiten de bedding is gegaan waarlangs hij neerbruiste, en op de bede die in het openbaar gehouden is. En u zult in de verzen ervan het getal van dit jaar viermaal uitgedrukt vinden.

  Het ga u goed, zeer voortreffelijk heer, en ga voort met beminnelijk te zijn tegenover

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

22 Mart. 1658.  

  Waar, uitstekend en scherpzinnig is deze laatste 'overstap' van u, en geheel duidelijk. De voorgaande echter is terecht door mij afgekeurd; ik ben namelijk ook niet geneigd te geloven dat u kortheidshalve dezelfde verhouding hebt geschreven voor evenzeer bekend. U weet maar al te goed hoezeer deze uitdrukkingen verschillend klinken voor meetkundigen, en u zou niet willens en wetens misbruik hebben willen maken van mijn tijd en de uwe. Zeker toen het vergelijken van vergelijkingen gevonden was, waarnaar u mij wilde laten zoeken, heeft uw bewering mij daarom niet minder fout geleken. Dat zoeken was evenwel overbodig, aangezien ik al langs een andere, kortere weg had opgemerkt dat uw theorema ongerijmd en ondeugdelijk was.
Zonder enige beschouwing namelijk van het uit de tweede lijn ontstane lichaam, had ik gevonden dat van de eerste lijn*) het oppervlak de helft is van de omgeschreven cirkel°); en dat het daarom niet tot de omgeschreven is, zoals de cirkel tot het omgeschreven vierkant, wat uit uw mening volgde. Ik wist dus dat bij een gegeven verhouding van deze kromme de kwadratuur van de cirkel gegeven is, en bovendien wist ik dat dit net zo'n verhouding is als de verhouding van de cilinder tot het ingesloten lichaam van de laatste kromme.
Inderdaad was me ook niet ontgaan dat evenzeer bekend is de verhouding van de cirkel tot het vierkant er omheen, en ook van het genoemde lichaam tot de genoemde cilinder. Maar dat u dit hebt willen bedoelen toen u zei dat de verhouding dezelfde was, is nooit bij me opgekomen. Ik was er immers ook niet zeker van dat u nooit een fout zou kunnen maken, ook al zag ik enkele zeer uitstekende dingen van uw verstand en scherpzinnigheid. Maar ik heb het nu al teveel over deze dingen, waarvan ik toch vond dat ze niet geheel weggelaten moesten worden, opdat het niet zou lijken dat ik het verreweg zwaarste vergrijp van een onbezonnen berisping licht zou opvatten, of onverdiend op me zou nemen.
Over het oneindige lichaam van de Cissoïde dat u voor mij uiteenzet: het is zeer bijzonder, zoals ook deze hele methode om lichamen met elkaar te vergelijken. Of u echter ook een andere, nog elegantere eigenschap van deze lijn hebt opgemerkt, stel mij ervan in kennis alstublieft. Want als als u die niet kent, zal ik deze in ruil geven voor die van u.
Het ga u goed, weldele heer en geloof me, ik heb nog steeds dezelfde genegenheid voor u

Tui observantissimum.

  Het vergrijp van een onbezonnen berisping, u moet niet vrezen dat het u is overkomen, ik beken zelfs dat ik door u niet onbezonnen ben berispt, maar met een goede reden; daar ik immers met een dwaze uitspraak de aanleiding ervoor heb gegeven, dat u mijn opvatting in andere zin aannam dan ik wilde. En als het bij me was opgekomen dat uw bezwaar hierin zat, had ik me dadelijk met de eerste brief aan u gerechtvaardigd, maar dat het zelfs niet vaag door mij is gezien, geeft dat voorbeeld wel aan dat ik toen aanvoerde, van het oneindige lichaam voortgebracht door de Cissoïde.
U hebt er dus juist aan gedaan te oordelen dat ik een fout kan maken. Treurig is immers dit privilege van onze sterfelijkheid, ik beken dat ik er gebruik van heb gemaakt, zij het tegen mijn zin, och was het maar niet zo vaak. Ondertussen zal ik mijn best doen, hierna met nauwkeuriger zorgvuldigheid te voldoen aan uw zeer weloverwogen beoordeling, waarbij het niet is toegestaan slordig te zijn, zoals die bekende man zegt*). En nu genoeg hierover.
Een eigenschap van de Cissoïde dan: behalve die welke ik heb aangevoerd, en andere die betrekking hebben op raaklijnen, die ik op twee manieren heb getrokken, heb ik geen wetens­waardige nieuwe opgemerkt. Ik verwacht dus van u die elegantere, die u belooft. Hier gebt u ondertussen bij voorbaat wat ik heb bedacht over de Hyperbool.
Laat er een hyperbool zijn waarvan de as is BI, de top K; de asymptoten zijn BG en BC (die met het oog op een makkelijker berekening een halfrechte hoek moeten insluiten), een naar de asymptoten verlengde ordinaat is AEDC.
We stellen ons voor dat om CM, evenwijdig met de as, worden gewenteld zowel de hyperbool EKD als de driehoek ABC. Allang is aangetoond dat, als de verhouding van de voortgebrachte lichamen bekend zou worden, eveneens de afmeting van de hyperbool bekend zal zijn. Trek nu op de asymptoot BC een normaal CG, die de andere asymptoot ontmoet in G, en de hyperbool in H en F.
Ik zeg dat, als zowel de driehoek GBC als de hyperbool HKF wordt gewenteld om de rechte BC, de verhouding van de erdoor voortgebrachte lichamen bekend is, en dat daardoor toch niet de kwadratuur van de hyperbool gegeven wordt.

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

  Wat u schrijft over de afmeting van het Hyperbolische lichaam uit omwenteling om de ordinaat door het middelpunt van de kegelsnede, had ik lang geleden opgemerkt, daar het duidelijk volgt uit het evenwicht van een gedeelte van een hyperbool en de er tegenover liggende driehoek, bevat door de asymptoten, dat zoals u weet de basis is geworden van mijn kwadratuur*).
Doch over dat andere lichaam van u, dat ontstaat door omwenteling om de asymptoot, had ik inderdaad nooit nagedacht, maar ik zie dat het kan worden afgeleid uit dezelfde gelijke zwaarte van een gedeelte en van een driehoek°). Of ook uit die eigenschap van de Hyperbool, waarmee een parallellogram tussen de asymptoten en de kegelsnede aan elkaar gelijk worden verkregen. Waaruit Torricelli^#) ook

  Ik kom tot de heel bijzondere eigenschap van de Cissoïde, die ik u met wel des te meer genoegen meedeel, omdat als u deze Lijn niet eerst in het midden had gebracht, ik die misschien nooit in onderzoek had genomen.

  Laat er een Cissoïde AEBC zijn. De cirkel waaruit ze is voortgebracht is ABD. De asymptoot is DG.
Ik zeg dat het oppervlak gelegen tussen deze en de Cissoïde en de lijn AD, het drievoudige is van de halve cirkel ABD.
Iets dergelijks heb ik tot nog toe bij geen andere krommen gevonden. Want het oppervlak tussen de hyperbool en de asymptoot, zoals het oneindig is bij uitbreiding, zo ook in grootte, evenals bij de Conchoïde, al gaan de beide lichamen een bepaalde grootte niet te boven.
Als nu aan de andere kant van de lijn AD dezelfde Cissoïde wordt ontrold, zal van het aan weers­kanten oneindige oppervlak het zwaartepunt L zijn, AD zodanig verdelend, dat deel AL het vijfvoudige is van LD. Wat bekend wordt op grond van uw vondst en mijn vondst samen. Bijgevolg zal ook door omwenteling van de Cissoïde en de asymptoot rondom de as AM, evenwijdig aan de laatste, een oneindig lichaam ontstaan uit het oppervlak ABCGD, dat het vijfvoudige is van de halve 'spira' uit de halve cirkel ABD. Wat u allemaal wel duidelijk doorziet.

  Ik voeg erbij een 'overstap' naar de kwadratuur van de cirkel, zodanig als er niet veel voorkomen. Als namelijk het oppervlak AEBM, bevat door de Cissoïde van Diocles (want de verlengde moeten we die van Slusius noemen) en de rechten AM en MB, waarvan de laatste de halve cirkel raakt in de top; dit oppervlak, zeg ik, als we een eraan gelijk vierkant of een eraan gelijke cirkel kunnen geven, zal de zaak van de Kwadratuur van de Cirkel tot stand gebracht zijn.

  Meer toevoegen kan ik niet wegens gebrek aan tijd. Behalve dit ene, dat ik ben

Tui observantissimum  

  Ik was de stad uit toen uw brief bij ons is bezorgd, waardoor het kwam, dat ik hem later ontving dan behoorde. Maar hij heeft dit uitstel overvloedig gecompenseerd; nauwelijks kan worden gezegd hoe blij ik ben met uw vondsten, maar het meest met die waarbij u het oppervlak hebt gemeten tussen

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

  Op uw laatste brief van de 5e van de afgelopen maand heb ik dadelijk geantwoord ¹), met de vraag of u voor mij een kopie wilde maken van dat bewijs, waarmee u het oneindige oppervlak van mijn Cissoïde hebt gemeten. Maar het is al een maand, en langer, dat ik tevergeefs wacht op een brief van u.
En daar ik weet dat dit niet in overeenstemming is met uw beleefdheid, moet ik wel vrezen dat uw gezondheid is getroffen door de onbestendigheid van het weer, die deze hele provincie geslagen heeft met ziekten onder het volk. Ook ik ben geplaagd door heesheid en verkoudheid, scherpe hoest, maar meer door een moeilijk bewegen van het lichaam, niet zonder lichte koorts, waarvan ik echter na enkele dagen zonder medische zorg bevrijd ben. Stel mij op uw beurt ervan in kennis, hoe het met u is gegaan, of ik blij kan zijn dat u steeds een constante gezondheid ten deel is gevallen, of dat ik u tenminste kan feliciteren (wat ik hoop en wens) met een herstelde gezondheid.
Het ga u goed. Leodij xxj May MDCLViij.

Tui observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

  Amstelod. 28 Maj. 1658.

  Als beloning had u beloofd een methode waarmee raaklijnen aan kromme lijnen worden getrokken.

  Langs welke weg ik een brief naar de heer Hodierna op Sicilië kan zenden, die waarlangs de brief gekomen is die ik heb, of een andere, als u dit weet duid het me dan aan alstublieft. Ik ben hem namelijk een antwoord schuldig, en hier doet zich geen gelegenheid voor ¹).

  Een groot genoegen kreeg ik bij uw laatste brief, zowel omdat deze mij deelgenoot heeft gemaakt van de constructie voor een bewijs van die subtiele vondst van u, waarvoor ik de grootste dank heb; als ook vooral omdat deze mij een bevestiging heeft gegeven van uw gezondheid, waarvoor ik niet voor niets had gevreesd. Eén ding trof me onaangenaam, dat ik begreep dat u door verschillende zaken in beslag wordt genomen; hoe dit namelijk de regelmaat van onze gemeenschappelijke studies verstoort, heb ik allang zelf ondervonden.
Ik wijt het aan dergelijke beslommeringen, dat ik het bijna voltooide boekje over middelevenredigen niet heb afgemaakt; ik had besloten het u de afgelopen winter te sturen, maar het was niet mogelijk vrij te zijn. Ondertussen zal ik er moeite voor doen dat het in deze zomermaanden klaar is en aan uw oordeel wordt onderworpen, tenminste voor mijn vertrek uit deze provincie. Ik zal namelijk weggaan, tenzij zich iets anders voordoet, september aanstaande naar Italië, afgevaardigd door de Mijnen wegens openbare aangelegenheden. Maar overal waar ik onder de hemel geplaatst word zal ik getuigenis afleggen van uw verdienste, en mij gewillig en met genoegen aan uw dienst wijden, wanneer u het zo voorschrijft.
Daaraan voorafgaand krijgt u de constructie voor de Verdubbeling van de kubus, die u zonder veel moeite zult toepassen op andere die gegeven zijn.
Laat gegeven zijn AB en BC, in de verhouding van het dubbele; BC wordt doormidden gedeeld in O, opgericht wordt de normaal OE, gelijk aan AB, en de verbinding van A met E wordt doorgetrokken tot H, zodanig dat AE en EH gelijk zijn; en als OE doormidden is gedeeld in F, wordt eraan evenwijdig getrokken CG.
Dan wordt om de diameter AH een halve ellips beschreven, waarvan GC ¹) een van de ordinaten is, en met als middelpunt F en afstand FC een boog CKB, die de Ellips in elk geval zal snijden in punt K; als hieruit de normaal KD valt, zal deze van de rechte BD de kleinste van de twee gezochte afsnijden.
Het bewijs wordt zonder moeite gehaald uit de constructie zelf. Ik voeg er dus niet meer aan toe, en zal binnenkort oneindig veel dergelijke geven, of tenminste de methode ervan, waarover u verbaasd zult zijn, weet ik, dat deze tot dusver bij niemand is opgekomen.
Ik heb veel genegenheid voor de voortreffelijke jongeman Cosmo Brunetti [>], met wie vroeger in Rome en hier in Luik vriendschap is ontstaan; en daar ik vaak heb ondervonden dat ik door hem word gewaardeerd, vrees ik dat hij zich teveel aan zijn gevoelens heeft overgegeven in die gesprekken die hij over mij heeft gehad.

Tui observantissimus    
Renatus Franciscus Slusius.

  Gisteren ontving ik enige exemplaren van de Problemen die onlangs in Frankrijk zijn voorgesteld, en al ben ik ervan overtuigd dat ze langs een andere weg bij u zijn gekomen, toch wilde ik het niet zover laten komen, dat ik van de mijne niet ook u deelgenoot zou maken, zowel omdat ik elke gelegenheid graag aangrijp om u aan te spreken, die ik om uw verdienste hoogacht, als om naar uw mening te vragen, of om te weten of u bezig bent geweest met een analyse daarvan.
Ik had het eerste ervan al lange tijd in mijn Aantekeningen opgelost staan, maar op de overige heb ik tot dusver mijn aandacht niet gericht; ik zal het echter doen als mij wat tijd overblijft. Hetzelfde zult u ook doen, denk ik, op het werk is immers een prijs gesteld. Ik bedoel niet dat goud, ik weet dat het beneden uw waardigheid is; maar de roem die u zal achtervolgen als u de zaak afgedaan zult hebben, zoals ik hoop.

  Het ga u goed, voortreffelijke heer en houd mij in ere zoals u doet

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

  Daar ik een week in Trudonopolis ²) was gebleven, samen met afgevaardigden van de Academie van Leuven, wegens openbare aangelegenheden die tussen ons en deze gebeuren, heb ik bij mijn terugkomst twee dagen geleden uw brief van de 11e van deze maand hier gevonden, en tot mijn grote genoegen heb ik geleerd hoever u bent gekomen met de analyse van de Problemen die uit Frankrijk zijn gestuurd.
Tot dusver was het mij weliswaar niet mogelijk hierover na te denken, maar daar ik in mijn Aantekeningen de afmeting van de oppervlakken CAF en CZY ³) had, en het zwaartepunt van de twee op de rechten CF en CY, heb ik zonder moeite die zelfde lichamen gemeten waarover u mij schreef. Namelijk met behulp van de Centrobaryca [<], en ik ben ervan overtuigd dat u ook langs deze weg bent gegaan.
Nu blijft over wat ik als moelijkste zie, en dit is het enige waarom het Probleem naar ons is gestuurd, wat u zult begrijpen uit het bijgevoegde blaadje ⁴) dat u, als u het elders vandaan hebt ontvangen, aan de Leidse Meetkundigen of anderen kunt geven.

Tui observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

  Zeer veel heb ik te danken aan uw vriendelijkheid, beken ik, omdat u de beschrijving van uw uurwerk naar mij hebt gestuurd, die u terecht hebt gepubliceerd. Ik meen namelijk dat u niet onluist voorspelt ²), dat er mensen zullen zijn die zich die roem, die geheel de uwe is, zullen gaan aanmatigen of die gaan vermeerderen. Ik zal deze, als er toevallig aanleiding voor is, voortdurend aan u toekennen; ik heb namelijk een afkeer van namaak zoals van de poorten van de hel*), en ik heb het een verstandig iemand altijd onwaardig geacht wat de Comicus ³) zegt:

Verworven roem door veel werk van een ander, is vaak voor zich te winnen, voor wie slim is.

  Tijd hebben voor het Probleem van de Fransen is tot dusver niet mogelijk geweest, zowel vanwege andere dingen, als ook vooral vanwege mijn gezondheid, die ik deze zomer, anders dan ik gewend ben, niet sterk genoeg heb bevonden. Ja zelfs, om de waarheid te zeggen, had ik er ook niet veel zin in; ik ben ondertussen blij en ik feliciteer u ermee dat u zo ver bent gekomen. U hebt me het water in de mond doen lopen door van Wallis te noemen

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

  Gisteren is mij uw brief ²) gegeven, zo bemodderd en vochtig dat hij niet uit de tas van een koerier, maar eerder uit een moeras leek te zijn gehaald. Het weer neigt nu al wel naar de winter, en heeft ons dezer dagen met dichte stortregens gekweld; maar niets is bestand tegen zoveel regenval. Het exemplaar van uw Horologium is overal zo bedorven, dat het eerlijk gezegd niet kan worden opgestuurd.
Ik had besloten het te vervangen door het exemplaar dat u mij hebt willen schenken, maar ik vreesde dat ook de brief aan de Siciliaanse Astronoom ³) uit medeleven enige schade had geleden, vooral aangezien in Astronomische zaken het gemis van zelfs een enkel woordje of getal de hele betekenis kan veranderen. En ook, als ik bij u een grapje mag maken, was ik bang, dat die brief zonder goede voortekenen van u weg zou gaan, en daarom in de zee bij Sicilië schipbreuk zou lijden, nadat hij op zo'n kort reisje, en nog wel over land, al bijna door water verzwolgen was. Ik heb hem dus naar u teruggestuurd, volgens de oude formule: oordeelt u zelf.
Het boek van Wallis verwacht ik met verlangen, ik zal immers het genot hebben van uw goedgunstigheid, wanneer u dit wilt, en bij de eerste gelegenheid zal ik het terugsturen. Het Delische Probleem [<] zal binnenkort eindelijk in het licht verschijnen. Ik heb namelijk mijn halsstarrigheid bedwongen, waarmee ik had besloten niets hiervan uit te geven, toen ik voortdurend in mijn oren hoorde weerklinken dat gezegde van Persius: "Wie zal dit lezen?". Och, ik hoop dat het aan uw verwachting voldoet, of als deze wens al te stoutmoedig is, dat het tenminste niet verdient door u te worden afgekeurd. U bent namelijk voor mij de enige, en opwegend tegen veel anderen. Het ga u goed, voortreffelijke heer, van

Tuo Tuique observantissimo  
Renato Francisco Slusio.

  Ik verkeer in de grootste onzekerheid, wilt u het mij alstublieft uitleggen: ik heb aan u geschreven ¹), nu al vijftien dagen geleden, en ik heb de brief teruggestuurd die u voor de Siciliaanse Astronoom bestemd had, omdat die zo

Tui observantissimum    
Renatum Franciscum Slusium.

  Terwijl ik een gelegenheid verwacht waarbij uw Wallis ¹) veilig naar u terug kan gaan, zijn wat meer dagen verstreken, maar ik hoop dat u dit uitstel goed zult opnemen, en aan mijn zorgvuldigheid overlaten. Ik heb in het boek veel gevonden waarover ik het een andere keer met u wil hebben, wanneer ik begrijp dat u vrij bent. Ik vrees namelijk, zoals die bekende man zegt*), "tegen het algemeen belang in te gaan, als ik met een wat langer verhaal uw tijd in beslag neem", die u besteedt aan studies die voor de republiek der letteren nuttiger zijn.
Veel indruk maakte op mij de beloofde meting van de Hyperbool°), en ik ben bang dat de scherpzinnige man zijn belofte niet nakomt, althans met die methode die bij de oude Meetkundigen in gebruik is geweest. Ik las iets over een tekst van Pappus, met een hint dat die weer bij u wordt uitgegeven ²). Ik heb geen andere gezien dan die van Commandino ³). Breng me dus ervan op de hoogte of er een andere bestaat, maar pas als de bezigheden het mogelijk maken, en vertrouw erop dat ik met voortdurende gengenheid ben

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

  Uw brief ¹) heb ik vandaag voor de geleerde Ricci bestemd (waarover ik hem twee weken geleden al vooraf had bericht) en ik heb er een ander exemplaar aan toegevoegd van de figuur van uw uurwerk, opdat als, wat ik denk dat zal gebeuren, sommigen daar uw boekje of tenminste een groot deel ervan zouden overschrijven, ze bevrijd zouden zijn van de moeite het af te beelden. Ik hoop dat uw Wallis ²) al bij u is teruggekomen, waarin veel dingen mij bevallen zijn, al heb ik niet zoveel plezier in rekenkundige als in Meetkundige zaken.
Ondertussen heb ik in mijn Aantekeningen een Probleem gevonden, aan deze stof niet vreemd, dat, al is het die grote rekenaars misschien onwaardig, de vaardigheid van beginnende Rekenkundigen toch makkelijk zou misleiden. En het is als volgt. Bij de Pythagorici waren vroeger waardevol de getallen 16 en 18, omdat ze als enige onder alle hele getallen als vierkant, respectievelijk als vlak, het oppervlak om zo te zeggen gelijk hadden aan de omtrek ³).
Ik heb er dus naar gezocht of bij een gegeven verhouding van omtrek tot oppervlak altijd kwadraat­getallen of vlakgetallen*) gevonden zouden kunnen worden; en of het er één is of veel; dan wel of het Probleem bij sommige termen onmogelijk zou zijn; en ik heb de zaak opgelost met een enkele regel. Bij kwadraten is de moeilijkheid niet groot, bij vlakgetallen wat groter. Bijvoorbeeld: te vinden een vlakgetal waarvan het oppervlak tot de omtrek (want het zij me vergund zo te spreken met onjuist woordgebruik) een verhouding heeft van een derde, anderhalf, vierderde enz. Uit deze drie voorbeelden is gemakkelijk een richtsnoer te halen, dat u meteen zal invallen als u de zaak belangrijk genoeg zult hebben gevonden om te onderzoeken.
Apollonius ⁴), waarover Boulliau het heeft, is dezelfde naar ik vermoed, als die ik heb gezien en aangewezen toen ik de Bibliotheca Medicea heb mogen bekijken op bevel van prins Leopold van Etrurië. Doch het is geheel in het Arabisch, en toen leek het me op het eerste gezicht (want ik zou weggaan en had geen tijd er te blijven) veeleer een uittreksel van de Conica, dan de boeken die we zoeken.
Het verschijnsel°), dat de fysische redeneringen van de Academies in de war brengt, heb ik nog niet kunnen waarnemen. Ondertussen betreur ik het, dat u wordt geplaagd door rechtszaken, die ik, zoals de rechtsgeleerden zeggen bij ingetogen nadenken vervloek, al ben ik er geheel bij betrokken; maar in die van anderen, niet van mij, en waarin ik niet verwacht dat ik een uitspraak doe.

Tui observantissimum    
Renatum Franciscum Slusium.

  Dit zelfde uur is mij een brief gegeven van de geleerde Ricci, waarin hij belooft dat hij ervoor zal zorgen, dat die van u ¹) veilig in handen van de heer Hodierna komt; en dit via de heer Caramuel ²), van wie hij de Verhandeling ³) had ontvangen die ik aan u heb gestuurd. Hij prijst uw Horologium ⁴) buitengewoon, zowel hij zelf, als allen die in Rome over die zaak kunnen oordelen. Hij voegt er ook aan toe, dat zeven boeken van de Conica van Apollonius Pergaeus, uit het Arabisch vertaald, binnenkort moeten worden uitgegeven ⁵) op last van en op kosten van de Mediceïsche prinsen; ik meen dat ze genomen zijn uit de autograaf waarover ik u een andere keer heb geschreven, naar ik me herinner.
Met betrekking tot de Parijse Problemen lijken degenen, die met overijlde haast hun vruchten hebben prijsgegeven, op ongelukkige wijze moeite te hebben verspeeld. Ik denk dat u het ook weet.

  Het ga u goed, voortreffelijke heer bij de aanvang van dit nieuwe jaar, dat ik u en de uwen van harte voorspoedig en gelukkig toewens

Tui observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI             A la Haye.

  Wat er is gedaan met betrekking tot het oplossen van de Parijse Problemen zult u zien in dit blaadje ¹), dat ik al enige weken geleden zou hebben gestuurd, als ik niet tot de overtuiging was gekomen dat u het van de geleerde Boulliau hebt ontvangen ²). Eén van degenen die moeite verspeeld hebben is mijns inziens Wallis, of een andere Meetkundige uit Engeland. En over Pascal: ik ben gaan vermoeden dat hij degene is die de Problemen heeft voorgesteld; dus van hem moet de oplossing ervan komen, die hij in het eerste geschrift plechtig beloofd heeft.
Mijn Mesolabum ³) is tussen verschillende taken door hoe dan ook toch afgemaakt. Het zal echter een werkje zijn van heel weinig bladen, waarin ik met de eerste proposities de methode heb laten zien om twee middelevenredigen te geven tussen gegeven grootheden, met een cirkel en een Ellips of een Hyperbool, op oneindig veel manieren.

  Verder heb ik enkele bijzondere uitwerkingen van hetzelfde Probleem toegevoegd, om de lezer gelegenheid te geven, de methode die ik had gebruikt uit te breiden. Tenslotte heb ik de oplossing van ruimtelijke Problemen uiteengezet ^a), ook met cirkel en ellips of hyperbool evenzo op oneindig veel manieren, volgens die drie formules waarnaar ze herleid worden. Nu wordt het overgeschreven, zodat het naar de geleerde van Gutschoven kan gaan, die de zorg voor het uitgeven op zich heeft genomen. Hier zijn namelijk geen mensen die de figuren met behoorlijke nauwkeurigheid kunnen graveren; daarom was het voor mij noodzakelijk gebruik te maken van de medewerking van de geleerde heer, die hij vriendelijk heeft aangeboden.
Doch ik heb alles bewezen met de methode van de ouden, en ik heb er niet iets ingemengd van de recentere analyse ^b), zowel omdat ik van mening was dat die eerste aangenamer en bekender is, als omdat ik de analyse waarop ik hier en in degelijke gevallen ben gekomen, wilde bewaren voor een ander werk, als God leven en vrije tijd geeft, waarvan dit als het ware een voorbeeld is. Ik hoop dat het door u en uw gelijken niet wordt afgekeurd, dan zal ik namelijk alle punten behaald*) lijken te hebben. Als er ondertussen in onze studies, hetzij van u ^c), hetzij van een ander, iets nieuws is opgedoken, stel mij er dan alstublieft van in kennis. Bij mij zwijgt en kwijnt namelijk de kracht van de meetkunde geheel, als er nog wat is, tenzij die door een of ander idee van buiten wordt opgewekt.

Tui observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse.

Samenvatting*) en kopie in Leiden, coll. Huygens.
Antwoord op No. 559 en 563. De Sluse's antwoord: No. 572.
 

    Nobilissime Domine

  Fluxius ¹), kanunnik van de kerk van Luik en Meetkundige? Wie is dat dan? Als ze nu hebben gewild dat ik bekend werd. Werkelijk, die letter s is ongelukkig en ellendig, omdat hij overal wordt afgewezen. Vroeger, als je Lucianus moet geloven, heeft hij een rechtszaak aangespannen tegen de letter t vanwege geweld en diefstal, en die heeft hij niet ongelukkig bepleit*). Maar nu heeft hij twee tegenstanders; en u kent dat oude gezegde, tegen twee is zelfs Hercules niet opgewassen°). Dus heb ik aangeraden dat hij op het onrecht geen acht moet slaan, en openlijk verklaren dat Fluxius niets met hem te maken heeft.
Houd nu maar op u erover te verbazen, dat ik het voor u heb willen verbergen, zoals u zegt, dat ik enige moeite heb besteed aan deze Problemen. Ik zweer namelijk bij de zeven Klankletters (in een zo moeilijke zaak wil ik de rechters van Lucianus te hulp roepen) dat ik hem niets anders heb gestuurd dan de algemene afmeting van alle Cycloïden, of ze nu hun oorsprong hadden uit een cirkel, of uit een willekeurige kromme rondom de as; waarvan ik u had geschreven ²) dat ik die in mijn aantekeningen had gevonden. Me toeleggen op het verder oplossen van de Problemen was me niet mogelijk en wilde ik ook niet. Dus weet ik niet aan welke verdienste van me ik het te danken zou hebben dat ik mij ook vermeld zie onder de Acheïsche leiders^#).
De vondst van de Engelse Meetkundige Wren heb ik hooggeschat (ik was namelijk over hem ingelicht) maar ik heb daaruit niet afgeleid wat u schijnt te doen: een kromme geven die gelijk is aan een rechte, anders dan het tot dusver is gedaan. Aangezien immers de basis van de primaire Cycloïde gelijk gesteld wordt aan de omtrek van de voortbrengende cirkel, is het geen wonder dat de kromming ervan gelijk gevonden kan worden aan die van een rechte. Gesteld namelijk dat een of andere rechte gelijk is aan een of andere omtrek, kunnen er zoals u weet

Tui observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

    Nobilissime Domine

  Zou ik al een derde brief ¹) van u hebben ontvangen zonder antwoord te geven? Hoe het hiermee is, of wie zo slecht is dat hij op onze brieven loert en ze onderschept. Dat u er namelijk al zoveel

    Nobilissime Domine

  Ik ben ingenomen met de fout van onze Brunetti, of zal ik liever zeggen zijn list? Ik had aan hem geschreven, toen hij mij over uw gezondheid in kennis had gesteld, dat ik al lang geen brieven van u had ontvangen; en hij maakte u bezorgd over drie door mij geschreven brieven, ik geloof opdat hij aan u een brief zou ontlokken, waarin ik naar hij weet buitengewoon veel behagen schep, hij weet namelijk hoe hoog ik uw verdienste schat. Ik herinner me evenwel een enkele ¹) te hebben geschreven, waarop ik geen antwoord heb ontvangen, maar dat verwachtte ik ook niet, zowel omdat ik dacht dat daarin niets was dat het nodig maakte. als omdat ik wel wist dat u door andere dingen in beslag werd genomen.
Intussen gebeurde het dat het boek van Dettonville ²) aan mij werd gegeven, en dit heel weinig weken geleden (het bleef namelijk een maand steken in Sedan), waarin ik boven verwachting de eer heb leren kennen van een opdracht aan mij ³), gemeenschappelijk met u. Ik heb het tot dusver niet helemaal kunnen doornemen, het vereist immers een aandacht die vrijer van bezigheden is dan ik nu kan opbrengen. Wat ik ervan heb gezien is evenwel mooi, scherpzinnig en subtiel, vind ik, en het kan niet ontkend worden dat de Meetkunde erdoor verder is gebracht. In bewijzen lijkt hij wel ergens te zijn afgeweken van nauwgezetheid en duidelijkheid, maar hij wilde mijns inziens de hoofdzaken volgen*), zich ermee tevreden stellend zijn methode bekend gemaakt te hebben.
Op dergelijke gedachten ben ik vroeger gekomen naar aanleiding van de propositie die Torricelli heeft gevonden, en die Dettonville misschien heeft bekeken, ik heb deze namelijk in Italië uitgegeven gezien in de Exercitationes ⁴) van Cavalieri. Deze is namelijk als volgt.
Laat er een willekeurig recht cilindrisch lichaam zijn waarvan de evenwijdige bases zijn AGH en DEF, van één van de bases zij de as AB en het zwaartepunt C. Men stelle zich voor dat het wordt doorsneden door een vlak dat gaat door EF en A, enz.
Torricelli heeft aangetoond dat de hoef°) ADE zich verhoudt tot de rest van het lichaam AEH, zoals BC tot CA. Die propositie had ik vroeger uitgebreid tot oppervlakken, Dettonville heeft deze echter met succes verder gebracht tot reeksen naar het oneindige^#), en daaruit heeft hij ook die consequentie afgeleid die u in uw brief aanroert; en als u daarvan een makkelijk bewijs hebt, twijfel ik er niet aan dat u ook andere dingen duidelijker kunt maken. De vergelijking van een spiraallijn met een Parabolische had ik nog niet aangeroerd, maar toen ik er door u op gewezen was heb ik dadelijk

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

    Nobilissime Domine

  Mijn Mesolabum is ten einde gebracht en ik zou al enige exemplaren ervan naar u hebben gestuurd, als ik niet vreesde dat u niet thuis zou zijn, daar ik op de brief die ik enige weken geleden aan u heb geschreven ¹) niets van een antwoord heb ontvangen. Licht mij dus alstublieft in, waarheen en langs welke weg u wilt dat het verzonden wordt, opdat het aan uw oordeel wordt onderworpen, dat ik altijd ook boven uitvoerige lof van anderen stel. Het ga u goed, voortreffelijke heer, en houd mij in ere, van wie u weet dat ik met oprechte genegenheid ben

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

    Nobilissime Domine

  Uw boek ¹), dat naar ik meen al ten einde gebracht is, verwacht ik met de vervoerders van Den Bosch, wanneer geen andere gelegenheid zich voordoet. Heel graag zal ik daarvan zoveel exemplaren als u stuurt verspreiden. In het mijne ²) zijn er nog maar een paar figuren over die gedrukt moeten worden. Dus binnenkort zult u het ontvangen, 'brons tegen goud'*) natuurlijk. Hoewel ik dat toch, overtuigd door de verhevenheid van het onderwerp, heb opgedragen ³) aan de doorluchtige prins Leopold, broer van de groothertog van Etrurië; u zult voor mij iets doen dat heel welkom is als u me toont langs welke weg ik er het best voor kan zorgen dat het naar hem wordt gebracht, want ik denk dat u dat van u ook naar vrienden in Florence zult ⁴) sturen, en ik zou willen dat ik me als reisgenoot daarbij kon aansluiten.
Terecht bewondert u de vondsten van Dettonville; maar u hebt ook de fout in het allernieuwste Theorema juist doorzien, die echter verbeterd kan worden als alleen dit Theorema anders wordt geformuleerd. Ik heb de schrijver al eerder hierop gewezen, maar ik meen dat Carcavi buiten de stad is, aan wie ik mijn brief had gericht ⁵). Ik ben verbaasd dat u schrijft nog niet ⁶) te hebben gezien wat ik gevonden heb over Conoïden en sferoïden. Het is namelijk meer dan een jaar geleden dat ik u alles heb doen toekomen ⁷) en dat u hebt te kennen gegeven dat te hebben ontvangen ⁸). Dus ga na in uw herinnering en u het zult ongetwijfeld vinden in een brief van mij als u die bewaart. En over de Parabolische lijn is er een Theorema als volgt.

  En als u nog niet de nieuwe uitgave hebt gezien van de Geometria van Descartes die van Schooten heeft verzorgd, is er reden u een uitstekende vondst mee te delen van een jongeman bij ons met de naam Heuraet. Deze heeft bij een onderzoek van de meting van de parabolische lijn, waarvan hij te weten was gekomen dat die door mij was gevonden ⁹), deze inderdaad eerst verkregen, en vervolgens verder zoekend een soort van krommen gevonden (en wel van die welke geacht worden Meetkundig te zijn) waarbij absoluut gelijke rechte lijnen kunnen worden bepaald, naar hij heeft meegedeeld. De eerste en eenvoudigste ervan is die parabolische kromme waarbij de derde machten van de ordinaten naar de as zich verhouden als de kwadraten van de abscissen naar de top.
Ik zou een voorbeeld kunnen toevoegen, maar u zult binnenkort leren hoe het zit uit dat boek dat ik noemde, als u het misschien niet al hebt geleerd. Er is dus geen reden het langer tegennatuurlijk te vinden dat een kromme gelijk aan een rechte wordt gevonden ¹⁰).

Leodij, 15 Julij 1659.  

  U hebt er goed aan gedaan dat u uw nachtelijke studies hebt opgedragen aan de doorluchtige prins Leopold, het is namelijk, zoals ik door ondervinding heb geleerd, iemand die niet minder aan te bevelen is om zijn wellevendheid en kennis, dan om zijn hoge afkomst. Ik zou ook hetzelfde gedaan hebben als ik enig vertrouwen had kunnen hebben

  Ondertussen ga het u goed, voortreffelijke heer, van hem die met volle genegenheid is

Tui observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

  Een exemplaar van uw Mesolabum ¹) werd mij onlangs gegeven door de goede man S. Sorbière, ...

... toen u dit de eerste keer had uitgegeven ³) ...

Leodij, 29 Julij 1659.  

  Dat mijn boekje u bevalt was mij aangenaam, maar veel aangenamer is dat het wordt beschouwd als uw zorg en onderzoek waard*). Ga er dus mee door, en als u iets vindt dat niet in orde is, wijs me er dan op, ik ben steeds bereid het uit te leggen of te verbeteren. De methode die ik heb gebruikt zult u begrijpen, daar twijfel ik niet aan, u bent namelijk op weg, zoals ik zie. Nu u die weg gevonden hebt zult u zonder moeite in de 14e en volgende propositie oneindig veel Ellipsen of Hyperbolen in de plaats stellen van één parabool.
Er is ook iets anders waarvan ik geen melding heb gemaakt, te weten bij de vlakke Problemen, dat langs deze weg dikwijls ook oneindig veel cirkels te vinden zijn die met een rechte lijn aan het voorgestelde voldoen, en ook vele en makkelijke constructies bij die Problemen die we tot dusver onder de moeilijke hebben gerekend; zoals in propositie 72 van dat 7e boek van Pappus, waarvan u vroeger ¹) een nieuw bewijs hebt aangevoerd.
Ik heb de hele Bibliotheek van St. Jacob doorzocht om een Manuscript van Ovidius te vinden ²), en daar ik mijn nauwgezetheid niet vertrouwde heb ik lijsten doorgenomen, en ouderen geraadpleegd die voorheen de leiding ervan hadden, maar met vergeefse inspanning. En ze zeiden dat de meeste van de handgeschreven boeken verloren waren gegaan, door onachtzaamheid van degenen die dergelijke boeken verachten, in vergelijking met die nieuwe en aardige uitgaven

Tui observantissimum  
Renatum Franciscum Slusium.

Leodij, 5^ta Aug^ti 1659.  

  Wat ik had voorspeld toen ik u mijn boekje stuurde ondervind ik nu inderdaad, te weten dat u de weg zou vinden die ik ben ingeslagen bij het tot stand brengen van dat ¹) werk. Ik beken namelijk dat toen ik er voor het eerst aan begon, mij zulke gedachten zijn voorgekomen als die u maar me hebt gestuurd ²). Maar om eerlijk te zijn, ik heb tenslotte een andere en makkelijker methode gebruikt, die u als u verder doorgaat zoals u begonnen bent zult vinden, daar twijfel ik niet aan. U voegt eraan toe, dat u niet alleen die cirkel kunt gebruiken die de rechthoek van de twee uitersten insluit, maar ook oneindig veel andere, en om niet overhaast een oordeel te vellen vraag ik u, de zaak nauwkeuriger uit te leggen en met een voorbeeld toe te lichten; u zult mij namelijk ten zeerste aan u verplichten als u dit doet.
Descartes vind ik goed, maar ik lees hem kritisch*), ik heb niet zo veel aan hem te danken. Ik had me namelijk al verdiept in een beschouwing van meetkundige plaatsen voordat ik zijn Geometrie had gezien. Want wat zijn tenslotte die plaatsen anders dan eigenschappen van figuren, en dat die met de analyse worden opgespoord is juist de roem van de Geometrie, die inderdaad in de eerste plaats aan Descartes is te danken. En waarin mijn methode verschilt van die van hem, zult u zien in een ander werk°), ja zelfs in dit huidige als u de 3e en 6e propositie die ik u al heb aangewezen met elkaar vergelijkt. Als daarover ondertussen iets aan mij te schrijven is, en als verder iets

  Luister nu naar iets anders. Van onze geleerde van Gutschoven heb ik ontvangen het boekje van Thomas White de Albis ⁶) (Chrysaspis°) noemt hij het), niet van grote omvang, maar het belooft veel. Namelijk de kwadratuur van de cirkel en dergelijke. Toen de schrijver een jaar geleden een Exercitatio had uitgegeven ⁷), waarin hij had getracht aan te tonen dat een spiraal van eerste omwenteling

Tui observantissimus  
Renatus Franciscus Slusius.

Leodij, 22 Aug^ti 1659.  

  Uw Systema Saturnium ¹) heb ik al enige dagen geleden ontvangen, het is geleerd, bij Jupiter! en vol met zware arbeid, ja ook scherpzinnig; het is niet iets van een gewoon verstand zoveel diversiteiten van verschijnselen met een ware Hypothese te verbinden. Dat er een enkel maantje bij Saturnus is, en niet meer, zoals Rheita had geloofd ²), hebt u terecht vastgesteld; al ben ik hier namelijk verstoken van die instrumenten waarmee we de ogen dichterbij de hemel brengen, toch zou het zeker tegen de rede ingaan geen geloof te schenken aan zoveel getuigen, die het op uw aanwijzingen hebben waargenomen.
Wie zou niet die begeleidende ring van Saturnus bewonderen! En als het inderdaad wat de waarnemingen betreft mogelijk zou zijn, zou ik me er niet zozeer tegen verzetten, als van de Planeet werd gesteld dat hij excentrisch is, ik vind namelijk nauwelijks iets in de natuur, dat zich precies houdt aan de regel van een centrum. Ik voeg er ook aan toe dat hiermee de reden kan worden gezocht, waarom de hengsels ongelijk schijnen te zijn, zoals de meesten verzekeren dat het wel eens is gebeurd. Maar aangezien uw waarnemingen het niet toelaten, sluit ik me liever bij u aan, en ik meen dat de toewijding van een langer tijdvak afgewacht moet worden om iets te kunnen toevoegen aan uw vondsten.
Ik heb vroeger in Rome Saturnus met hengsels waargenomen met kijkers van Eustachio, en ik kan me niets herinneren dat niet goed overeenkomt met uw Hypothese.
Ik denk dat die brief die ik ongeveer drie weken geleden heb gestuurd ³) u bereikt heeft. Ik verwacht dus wat u vindt van mijn methode van oneindig veel constructies bij vlakke plaatsen.
Vale Vir praestantissime et ama

Tui observantissimum    
Renatum Franciscum Slusium.

[Sept. 1659].

  Dat u mijn hypothese over Saturnus niet absurd vindt verheugt mij. Niet alleen de Begeleider maar ook de vormen van Saturnus, de laatste drie jaren waargenomen, worden bevestigd door waarnemingen in Engeland.
Excentrische ring (noch mijn waarnemingen noch mijn hypothese).
Al een hele maand heb ik niet vrij kunnen zijn voor studies, waardoor het komt dat ik uw vondst, voorzover die betreft de constructies van vlakke problemen, niet verder heb onderzocht. Doch nu begin ik ook te denken waarom ik moeite zou besteden aan het uitzoeken van iets, dat ik misschien niet zal vinden, en dat ik later voor niets van u zal ontvangen. Wat u belooft wil ik toch weten, en wel of vlakke Problemen, waarbij wordt bevonden dat de vergelijking voor het eerst tot de vierde graad stijgt, zoals dat van Pappus waaraan u eerder hebt herinnerd, of, zeg ik, uw methode dadelijk zichtbaar maakt dat dit een vlak probleem is.
Want in het laatste voorbeeld blijkt wel dadelijk dat het een vlak probleem is, terwijl slechts gevraagd wordt de snijding van een cirkel en een ellips waarvan het middelpunt hetzelfde is. En ook daaruit ontstaat slechts een kwadratische vergelijking. Waaraan toch moeilijk een zo korte en mooie constructie als de uwe zou zijn te ontlokken. Vale.

  In Angliam.*)

    Nobilissime Domine

  Al enkele dagen ben ik u antwoord verschuldigd op uw brief, door verschillende en zeer ver van de Meetkunde liggnde bezigheden afgeleid. Bij deze eerste gelegenheid dat het kan bedank ik u er dus voor, dat u wilde dat voor uw Saturnus die naar Engeland vertrekt mijn boekje een metgezel is, waarvan ik hoop dat het met deze leidsman welwillend zal worden ontvangen door die scherpzinnige Meetkundigen.
Hoe meer ik uw Hypothese onderzoek, des te meer bevalt ze me; en hoe een ring een planeet omgeeft, kan mij niet ongewoon toeschijnen, gewend als ik ben, zonderlinge en onverwachte zaken van de natuur te beschouwen, ook in de kleinste dingen. En u hebt juist voorzien wat ik over uw cirkel zou denken; in een andere stamboom is hij namelijk teruggevonden, en een aantal dergelijke ordes van oneindig veel cirkels zult u zien in het werkje dat ik onder handen heb ¹), en met een aantal afzonderlijke parabolen en oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen die een Probleem kunnen oplossen.
Ik heb het enige keren vermeld in mijn Mesolabum, dat met een willekeurige cirkel enige parabolen met oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen overeenkomen, zoals op pagina 47, 48 en 51 waarop ik twee proposities heb beschreven waarop oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen betrekking hebben; geheel op dezelfde manier als wanneer een kegel wordt gesneden door oneindig veel vlakken, opgericht met verschillende hellingen ten opzichte van een driehoek door de as, steeds door hetzelfde punt*): hij zal slechts één parabool en één cirkel geven, maar een oneindig aantal Hyperbolen en Ellipsen. Maar als je een ander punt neemt maak je weer een andere reeks Hyperbolen en Ellipsen, en aangezien je oneindig veel punten kunt nemen, zul je wel oneindig veel cirkels krijgen, maar voor elk afzonderlijk oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen, en een enkele parabool.
Geheel op dezelfde wijze kunnen deze Problemen niet alleen worden opgelost met die cirkel die de rechthoek van de uitersten insluit, maar met oneindig veel andere, echter zodanig, dat bij elk probleem hetzelfde kan worden bewezen wat ik over die ene in mijn Mesolabum heb aangetoond; wat ik ook in het voorwoord heb aangeduid toen ik schreef dat het niet gewoon één keer, maar meer keren gedaan kan worden; doch ik heb er niet bijgezet "oneindig veel", om niet met die oneindige herhaling, met een woord van Plautus°), hoogdravend te lijken.
Waar evenwel de edelachtbare heer de Witt op wijst (aan wiens vriendelijkheid ik verklaar heel veel te danken te hebben), dat mijn constructies meer elegantie gehad zouden hebben, als ik die cirkel had gesneden na eerst een Ellips of een Hyperbool te hebben gesteld; ik erken dat dit inderdaad makkelijk voor mij was, en u zult het vaak gedaan zien in

  Over die Problemen die tot de vierde graad lijken te stijgen heb ik slechts dit opgemerkt, dat gemaakt kan worden dat ze vaak met een makkelijke constructie in de tweede graad blijven. Als voorbeeld laat ik het zien in het probleem van Pappus dat door Descartes is aangehaald in Geometria pagina 93 ³), waarin u onder andere deze heel makkelijke constructie met mijn analyse zult vinden:
Laat verlengd worden (in zijn figuur) DC tot Q, zodanig dat DQ gelijk is aan DN, en aan de rechthoek QCD wordt gelijk gesteld QFC, dan zal de rechte BF, die de verlengde AC in E ontmoet, aan het voorgestelde voldoen.

  Ondertussen is er iets waarover ik me verwonder: dat u het meeste en het moeilijkste in die methode begrijpt, maar bij het makkelijkste van de weg afwijkt. Ik denk dat dit om geen andere reden is, dan dat u naar de gewoonte van hen die sterk van kracht zijn, voorbij het doel mikt; u zult immers zien, als God kracht en vrije tijd geeft, op hoe zwakke fundamenten deze hele massa van oneindig veel constructies rust.
Vale Vir Praesantissime meque ama

Tuj observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.