Inleiding , voorbeeld , plaats , steden , kogels , pijlen , punt , kolos , ankers . Noten
Tome IV: Supplément
Over figuren met gelijke omtrekMijn betoog toen ik tot rector van de School in Dordrecht benoemd was.Ik ben u, Edelachtbare en zeer geleerde heren, werkelijk de hoogste dank verschuldigd en betuig ze u, dat u mij dit rectoraat niet onwaardig hebt geacht, en tegelijk verzoek ik u dat u mij en de overige leraren deze welwillendheid zult blijven betonen, waardoor gesteund ik (door Gods genade) u leerlingen zal tonen die aan uw verwachting beantwoorden, tenzij een achterover leunende traagheid van henzelf en een te ver gaande toegevendheid van de ouders hebben samengespannen tegen tucht. En zeker, als we wel beide groepen volgzaam zullen bevinden, en uw gezag zich laat gelden, geef ik u goede hoop op onze toewijding, en op een gunstig gevolg. En u, waarde jongelingen, zorgt u ervoor dat u de hoop van de heren schoolbestuurders, de uitgaven van uw ouders, en de inspanningen van de leraren niet vruchteloos maakt. En opdat u begrijpt hoe ze zijn, deze schone, aangename en nuttige zaken die we aanvatten, als ik het u met een enkel voorbeeld voor ogen stel zult u het inzien, zoals aan de klauw de leeuw wordt herkend a . Dit voorbeeld moet wis- en natuurkundig zijn, en laat onze school evenals eertijds die van Plato het opschrift krijgen "laat niemand die onontvankelijk is voor de meetkunde hier binnengaan" b , waarmee we bevelen dat alle nutteloze, onzinnige en belachelijke betogen van half-filosofen zich verwijderen, en we moeten niets toelaten dan wat met de sterkste bewijzen deugdelijk is bevonden. Tot deze zaak komen ons dienstig voor de figuren met gelijke omtrek, ten eerste van ongelijke vormen, vervolgens ook geheel gelijkvormige, en van beider gebruik zal ik, gezien de beperkte tijd, een gedeelte laten zien op het gebied van de natuurkunde. |
|
|
|
|
Van de figuren met gelijke omtrek is de meest regelmatige het omvangrijkst. Gegeven een rechthoekig parallelogram, waarvan de ene zijde is van zes delen, de andere van twee; na optelling van de tegenoverliggende zijden zal de omtrek, dat is een gang rondom de rechthoek, zijn van zestien delen. Gegeven ook een vierkant dat dezelfde omtrek heeft, zijn vier zijden zullen elk afzonderlijk zijn van vier van zulke delen. Laat verder elke figuur verdeeld worden met lijnen evenwijdig aan de zijden, door de verdelingen hiervan zal het vierkant wel zestien kleinere vierkanten in zich hebben, terwijl het parallelogram maar twaalf dergelijke vierkanten heeft. Hieruit blijkt waarom de allerverstandigste Ontwerper van het heelal deze wereld cirkelvormig of liever bolvormig heeft gemaakt, dat namelijk van alle figuren de regelmatigste met de kleinste omtrek het meest zou omvatten, opdat niet iets door de grootste bouwmeester zonder reden gemaakt lijkt, overeenkomstig dat gezegde: slecht wordt gedaan met meer, wat met minder kan c . Hetzelfde beginsel heeft ook zonder twijfel Dido gebruikt, Pygmalion ontvluchtend, toen ze voor zich in Afrika zoveel grond had verkregen als ze met een stierenhuid kon omspannen. Doordat ze namelijk de huid in heel smalle stukken had gesneden, heeft ze heel Carthago omvat d . En als ze deze repen niet tot een cirkel had uitgestrekt, maar een of andere langwerpige en minder regelmatige figuur had aangelegd, had ze zeker die stad veel kleiner gebouwd. Dit principe volgen kundige vaklieden nog altijd als ze met een zo regelmatig mogelijke figuur (waar mogelijk) hun werken bouwen. |
|
En niet minder krachtig is deze stelling bij weerleggingen. Want de definitie van 'plaats', tot vervelens toe opgedreund, wordt erdoor in het licht gesteld als gebrekkig. Plaats kan namelijk niet genoemd worden het oppervlak van een samenhangend lichaam 2 , tenzij hetzelfde oppervlak altijd dezelfde ruimte bevat. Aan Jan en alleman is immers bekend e dat gelijke plaatsen gelijke zaken bevatten, dat wil zeggen gelijke bekers eenzelfde hoeveelheid wijn, gelijke geldkisten eenzelfde menigte munten. Maar nu hebben we aangetoond dat dezelfde oppervlakken en omtrekken (die door hen plaatsen genoemd worden), niet dezelfde hoeveelheid land of materie omvatten. Dat plaats dus niet een oppervlak is. Maar dit zij voldoende over dikwijls ongelijkvormige figuren, omdat wat over de gelijkvormige gezegd zal worden, evenzeer betrekking heeft op deze als op die. |
|
| 
|
|
Van figuren die even regelmatig zijn heeft de grootste ten opzichte van de omvang de kleinste oppervlakte 3 . Want gegeven twee vierkanten, het ene waarvan we al gezien hebben dat het zestien kleinere vierkantjes bevat, en een ander met zijden van twee zulke delen waarvan het vorige er vier had; de omtrek hiervan zal dan zijn van acht delen. Maar van de kleinere vierkantjes, waarvan het grote vierkant er zestien bevatte, bevat het er slechts vier. Bijgevolg is van het grootste vierkant de omvang vier keer zo groot als van het kleinere, terwijl toch de omtrek van het eerste maar twee keer zo groot is als de omtrek van het laatste. Bij lichamen echter: een bol die een twee keer zo kleine middellijn heeft weegt acht keer zo weinig. Wie wil kan het afwegen. In elk geval zullen metselaars voor een regenbak van dubbele grootte niet de dubbele prijs verlangen. Uit deze stelling is duidelijk waarom grote steden gemakkelijker verdedigd kunnen worden door hun burgers dan kleine die even dicht bewoond zijn. Want laat dit grotere vierkant een grote stad zijn, en dat kleinere een kleine stad; en de binnenste vierkantjes de grenslijnen in de stad waarlangs huizen opgebouwd worden. U zult zien dat er in de grote stad vier keer zoveel huizen zijn van dezelfde grootte, de bolwerken echter zijn maar twee keer zo groot als de bolwerken van de kleinere stad. Als dan uit deze kleine stad alle burgers zich ter verdediging moeten verzamelen op de muren, blijkt dat uit de grootste stad slechts een deel van de burgers voor de verdediging vereist wordt, en dat de verdedigers hier eenzelfde onderlinge afstand hebben als daar, en daarom, terwijl alle burgers van de kleinste stad tegelijk voortdurend aan het werk gehouden worden, heeft in de grootste stad het andere deel van de burgers steeds rust, klaar om de afgematten af te lossen. Wie ziet in waarom een grotere ijzeren kogel verder weggeschoten wordt dan een kleinere uit een bronzen kanon met aangestoken kruit, als hij niet deze stelling over de omtrekken van figuren begrepen heeft 4 ? Wie zal niet schatten dat eerder de lichtste dingen zowel sneller bewegen als verder voortbewegen? |
|
Maar dit is de algemene mening, die geen enkel lichaam tussen ons en de hemel stelt, en die toch (met deze aanname) volkomen juist zou zijn. Waarom blijft immers een uit de hand weggegooide steen niet voortdurend bewegen, als het niet is door belemmering van de lucht die hij steeds tegenkomt f ? Als deze er niet was zou datgene het snelst bewegen, dat sneller bewoog terwijl het nog in het bewegende werktuig was; en dat is het lichtste, omdat het door de beweger makkelijker wordt overwonnen. Nu echter, terwijl lucht deze hele ruimte vult, wordt het zwaarste en grootste door evenredige kracht het verst weggeschoten. Daar we immers aangetoond hebben dat de omtrek van een grotere kogel een kleinere verhouding heeft tot zijn massa dan die van de kleinere tot de zijne, wordt deze stellig meer dan de eerste belemmerd door de ertegen komende lucht, want zwaarte drukt door en door lucht wordt alleen het oppervlak geraakt. Zo bewegen schepen des te sneller, naarmate ze groter zijn, mits de zeilen en winden overeenstemmen met de grootte, en eenmaal in beweging bewegen ze verder voort; en zozeer drukken ze soms door dat ze allerlei obstakels omverhalen, door niets te stuiten. Maar, zal misschien iemand zeggen, bij pijlen ligt de zaak anders 5 . Deze hebben immers (volgens het in het vorige stuk aangetoonde) een grote omtrek, daar ze gemaakt zijn volgens de minst regelmatige figuur van alle, niettemin doen ze toch voor geen enkele beweging onder in snelheid, mits ze worden afgeschoten door de vaardigste hand of met een welgevormde boog. Ik antwoord dat de zaak inderdaad zo ligt als we gehoord hebben. Maar, ook al hebben ze een zeer groot oppervlak, toch komt maar een zeer klein gedeelte ervan (namelijk de punt) lucht tegen, en het achterdeel komt onmiddellijk op de plaats die de punt zich verschaft heeft. Het nut van de isoperimetrische figuren komt dus door deze tegenwerping duidelijker uit: want daardoor zien we in dat wie bekend is met deze stelling, ook de onregelmatigste figuren voor bepaalde toepassingen het best van alle kan gebruiken, wat zelfs aan barbaren bekend is, van wie zeer lange pijlen van rietmateriaal naar ons meegebracht worden om ze te bekijken. Zwaardere pijlen worden immers door menskracht niet snel genoeg met de hand meebewogen, lichtere worden door de lucht teveel belemmerd; en hoe langer ze zijn, bij gelijke omstandigheden zijn ze des te volhardender om voort te gaan. Maar met niets worden deze dingen beter ingezien dan met voorbeelden van vallende voorwerpen. Laat het dan een voorbeeld zijn dat vóór ons niet is opgemerkt, en dat voor alle filosofen zeker tegen de verwachting in zal gaan. Wie van hen meent immers niet dat een steen des te sneller valt, naarmate hij al vallend dichter bij de Aarde is gekomen? Toch wordt dit door de werkelijkheid van proeven helder weerlegd. Want daar de vallende steen des te meer luchtdeeltjes tegenkomt naarmate hij meer afstand aflegt in dezelfde tijd, wie ziet dan niet dat tenslotte zoveel deeltjes hem in de weg komen, dat hierdoor een even grote belemmering ontstaat als de beweging is toegenomen door de opeenvolging in snelheid g bij het vallen? Wie is ooit zeer gekwetst door een vallende pluimbal h , die eerst loodrecht omhoog gegooid was? Maar als de beweging van de bal bij het vallen steeds zou toenemen (zoals men meent), zou stellig iedereen die erdoor getroffen werd ernstig gekwetst worden, wegens de grote valhoogte. |
|
Er is dus een bepaald vast punt waarvandaan het, zodra het al vallend daar is aangekomen, met een gelijkblijvende snelheid neervalt tot aan de grond 6 . Dit punt is bij vallend lood verder van het begin dan bij hout; eveneens anders bij een groot vallend lichaam dan bij een klein, zodanig dat dit punt bij een papierprop of pluimbal zelfs op een heel korte afstand gevonden kan worden. En dit punt is te vinden met een balans 7 : laat op de ene schaal een bepaald gewicht gezet worden, en op de andere moet een of andere bol vallen; laat eerst vanuit een toevallig aangenomen hoogte opgetekend worden hoeveel gewicht door die val opgetild wordt, daarna moet dezelfde bol van een grotere hoogte in dezelfde schaal vallen, en weer wordt het gewicht opgetekend, en dat gebeurt drie-, viermaal, enz., totdat het op de eerste schaal te leggen gewicht niet meer toeneemt. U zult namelijk zien dat tenslotte dit gelijkblijven bereikt wordt, zodat geen enkele hoogte nog enige beweegkracht aan het gewicht toevoegt. En dit is niet alleen bij vaste dingen zo, maar ook bij waterstralen van fonteinen en water dat uit spuitmonden springt 8 . Want hoe groter de opening is van de laatste buis, des te hoger het water er uitgeperst wordt, mits de hoogte van het erop drukkende water (zoals al vaker gezegd is) met de grootte van de opening in verhouding is en daarmee overeenstemt. Wat iedereen kan beproeven met het toestel van Hero van Alexandrië, daartoe hier getekend i . De kolos van de Zon bij de Rhodiërs was eertijds voor alle mensen een wonder 9 , niet zozeer wegens zijn grootte, als wel omdat hij vrij staand op voeten die niet groter waren dan volgens de verhouding van het menselijk lichaam, door geen stormen ooit in beweging gebracht is kunnen worden. Waar anders is nu de verklaring van dit wonder te halen dan uit deze stelling van ons? Want hiermee krijgt deze zaak helemaal niet meer de naam van een wonder. Daar deze immers van een ontzaglijke grootte was en van stevig brons opgebouwd, blijkt uit het aangetoonde dat winden en regen bij het in beweging brengen ervan geen zier hebben kunnen uitrichten. En zeker, als in die streken niet soms een aardbeving was voorgekomen (die dat als enige kon), zou hij ongetwijfeld ook nu nog te zien zijn, met zijn voeten op beide kanten van de haven der Rhodiërs. Maar wat heeft meer de gemoederen in beweging gebracht bij de Zeeuwen, dan de ankers die zeer onlangs in de haven der Middelburgers gevonden zijn 10 ? Deze liet eertijds bij eb die schepen zonder moeite binnen, die hij nu bij hoog water (ach helaas) niet kan binnenlaten. Niettemin zijn toch ankers die daar eertijds op de bodem verloren waren, nu boven al het zand gevonden. Wat nu? Is het ijzer dan (zoals in het Oude Testament door Gods macht soms voorkwam) veranderd van aard zodat het in water drijft? Geenszins, maar de genoemde stelling over isoperimetrische figuren heeft ook van deze zaak elk beroep op een wonder allang weggenomen. |
|
Want wie met schudden en nogal heftige beweging grotere appels of peren die boven in de mand lagen, heeft opgegeten of eruit genomen, maakt dat andere grotere die bij de bodem verborgen lagen, te voorschijn komen 11 . Ofschoon ze namelijk allemaal in de mand door die beweging tegelijkertijd met gelijke snelheid omhoog bewegen, worden de kleinere door de lucht die ertegen komt eerder belemmerd dan de grotere, en daarom worden ze sneller tot rust gebracht, en om dezelfde reden noodzakelijk op een lagere plek begraven, onder de grotere die na hen vallen. Zo ook wie zilver verzamelt uit afval van goudsmeden: met een plotseling schudden van de 'wan' waarin al het vermengde telkens gelegd wordt, scheiden ze het zware van het lichte 12 . Niet anders de kracht van de zee, door onstuimige winden opgeheven en met grote hevigheid de Aarde beukend: die laat haar schudden en bewegen, net zoals ook een wagen alleen door te rijden de huizen in de omgeving doet trillen. Zand nu, met aanwezig ijzer en alles erin door de stromingen bewogen en losgewoeld, wordt wegens de lichtheid en fijnheid meteen tot stilstand gebracht door water dat ertegen komt (daarin wel, niet in lucht als het even omhoog beweegt); zware dingen echter behouden een verkregen beweging langer. Daar dat zand dus eerst onderop valt, en de ankers hoger zodat ze op het zand gaan liggen, worden deze onvermijdelijk ontdekt. De reiziger bij Aesopus heeft dus met inzicht zijn kopergeld, dat hij door een schipbreuk verloren had, gezocht aan het strand van de zee. Want wie dat, wat we nu gezegd hebben, begrepen heeft, weet om dezelfde reden dat niets zwaars onder de aarde in zee verborgen wordt, maar dat goud, zilver, elk metaal, stenen en zelfs ook zand (dat zwaarder is dan aarde) bovenop de aarde liggend, tenslotte naar het strand geworpen worden, wat met stellig bewijs te beredeneren is.
ISACK BEECKMAN. Noten
[ Toegevoegd:
LiteratuurK. van Berkel, 'Spiegheling en daet bij Beeckman en Stevin' in Gewina 2-3 (1979). |